Invex-Funktion - Invex function

In der Vektorrechnung ist eine Invexfunktion eine differenzierbare Funktion von bis, für die es eine vektorwertige Funktion gibt, so dass ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle f(x)-f(u)\geq \eta(x,u)\cdot \nabla f(u),\,}$

für alle x und u .

Invex-Funktionen wurden von Hanson als Verallgemeinerung konvexer Funktionen eingeführt . Ben-Israel und Mond lieferten einen einfachen Beweis dafür, dass eine Funktion genau dann invex ist, wenn jeder stationäre Punkt ein globales Minimum ist , ein Satz, der erstmals von Craven und Glover aufgestellt wurde.

Hanson zeigte auch, dass die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein globales Minimum ausreichen , wenn das Ziel und die Nebenbedingungen eines Optimierungsproblems bezüglich derselben Funktion invex sind. ${\displaystyle \eta(x,u)}$

Invex-Funktionen vom Typ I

Eine leichte Verallgemeinerung von invexen Funktionen, genannt invexe Funktionen vom Typ I, sind die allgemeinste Klasse von Funktionen, für die die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen notwendig und für ein globales Minimum ausreichend sind. Betrachten Sie ein mathematisches Programm der Form

${\displaystyle {\begin{array}{rl}\min &f(x)\\{\text{st}}&g(x)\leq 0\end{array}}}$

wo und sind differenzierbare Funktionen. Lassen Sie den zulässigen Bereich dieses Programms bezeichnen. Die Funktion ist eine Zielfunktion vom Typ I und die Funktion ist eine Einschränkungsfunktion vom Typ I in Bezug darauf, ob es eine vektorwertige Funktion gibt, die so definiert ist , dass ${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$${\displaystyle g:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}}$${\displaystyle F=\{x\in\mathbb{R}^{n}\;|\;g(x)\leq 0\}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq \eta(x)\cdot \nabla {f(x_{0})}}$

und

${\displaystyle -g(x_{0})\geq \eta(x)\cdot \nabla {g(x_{0})}}$

für alle . Beachten Sie, dass die Invexität vom Typ I im Gegensatz zur Invexität relativ zu einem Punkt definiert wird . ${\displaystyle x\in {F}}$${\displaystyle x_{0}}$

Theorem (Theorem 2.1 in ): Wenn und in einem Punkt in Bezug auf Typ I invex sind und die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen bei erfüllt sind , dann ist ein globaler Minimierer von über . ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

Siehe auch

• Konvexe Funktion
• Pseudokonvexe Funktion
• Quasikonvexe Funktion

Verweise

Weiterlesen

• SK Mishra und G. Giorgi, Invexity and Optimization, Nonconvex Optimization and Its Applications, Vol. 2, No. 88 , Springer-Verlag, Berlin, 2008.
• SK Mishra, S.-Y. Wang und KK Lai, Generalized Convexity and Vector Optimization, Springer, New York, 2009.