Jeans Gleichungen - Jeans equations

Die Jeans-Gleichungen beschreiben die Bewegung einer Ansammlung von Sternen in einem Gravitationsfeld .

Wenn n  =  n ( x , t ) die Dichte der Sterne im Raum ist, als Funktion der Position x  = ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ) und der Zeit t , v  = ( v ₁ ,  v ₂ ,  v ₃ ) ist die Geschwindigkeit und Φ = Φ ( x , t ) ist das Gravitationspotential, die Jeans-Gleichungen können wie folgt geschrieben werden

${\ displaystyle {\ frac {\ partielle n} {\ partielle t}} + \ sum _ {i} {\ frac {\ partielle (n \ langle {v_ {i}} \ rangle)} {\ partielle x_ {i }}} = 0,}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell (n \ langle {v_ {j}} \ rangle)} {\ partiell t}} + n {\ frac {\ partiell \ Phi} {\ partiell x_ {j}}} + \ sum _ {i} {\ frac {\ partiell (n \ langle {v_ {i} v_ {j}} \ rangle)} {\ partiell x_ {i}}} = 0 \ qquad (j = 1,2, 3.)}$

Hier bedeutet die Notation <...> einen Durchschnitt zu einem bestimmten Zeitpunkt und zu einem bestimmten Zeitpunkt (x, t), so dass beispielsweise der Durchschnitt der Komponente 1 der Geschwindigkeit der Sterne zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Der zweite Satz von Gleichungen kann alternativ als geschrieben werden ${\ displaystyle \ langle {v_ {1}} \ rangle}$

${\ displaystyle n {\ frac {\ partielle \ langle {v_ {j}} \ rangle} {\ partielle t}} + \ sum _ {i} n \ langle {v_ {i}} \ rangle {\ frac {\ partiell {\ langle {v_ {j}} \ rangle}} {\ partiell x_ {i}}} = - n {\ frac {\ partiell \ Phi} {\ partiell x_ {j}}} - \ sum _ {i } {\ frac {\ partiell (n \ sigma _ {ij} ^ {2})} {\ partiell x_ {i}}} \ qquad (j = 1,2,3.)}$

Dabei wird die Geschwindigkeitsdispersion in den Komponenten i und j an einem bestimmten Punkt gemessen . ${\ displaystyle \ sigma _ {ij} ^ {2} = \ langle {v_ {i} v_ {j}} \ rangle - \ langle {v_ {i}} \ rangle \ langle {v_ {j}} \ rangle}$

Die Jeans-Gleichungen sind analog zu den Euler-Gleichungen für den Flüssigkeitsfluss und können aus der kollisionsfreien Boltzmann-Gleichung abgeleitet werden . Sie wurden ursprünglich von James Clerk Maxwell abgeleitet, aber zuerst von James Jeans auf die Sternendynamik angewendet .

Verweise