Schoenflies-Problem - Schoenflies problem

In der Mathematik ist das Schoenflies-Problem oder Schoenflies-Theorem der geometrischen Topologie eine Schärfung des Jordan-Kurvensatzes von Arthur Schoenflies . Für Jordankurven in der Ebene wird es oft als das Jordan-Schoenflies-Theorem bezeichnet.

Originalformulierung

Die ursprüngliche Formulierung des Schoenflies-Problems besagt, dass nicht nur jede einfache geschlossene Kurve in der Ebene die Ebene in zwei Bereiche aufteilt, einen (das "innen") begrenzt und den anderen (das "außen") unbeschränkt; aber auch , dass diese beiden Bereiche sind homeomorphic an der Innenseite und Außenseite eines Standard Kreis in der Ebene.

Eine alternative Erklärung ist , dass , wenn eine einfache geschlossene Kurve ist, dann gibt es eine homeomorphism , so dass es das Gerät Kreis in der Ebene. Elementare Beweise finden sich bei Newman (1939) , Cairns (1951) , Moise (1977) und Thomassen (1992) . Das Ergebnis kann erst für Polygone bewiesen werden, wenn der Homöomorphismus als stückweise linear und die Identitätsabbildung aus einer kompakten Menge angenommen werden kann; der Fall einer stetigen Kurve wird dann durch Näherung durch Polygone abgeleitet. Der Satz ist auch eine unmittelbare Konsequenz des Erweiterungssatzes von Carathéodory für konforme Abbildungen , wie in Pommerenke (1992 , S. 25) diskutiert .

Wenn die Kurve glatt ist, kann der Homöomorphismus als Diffeomorphismus gewählt werden . Beweise stützen sich in diesem Fall auf Techniken der differentiellen Topologie . Obwohl direkte Beweise möglich sind (zB ausgehend vom polygonalen Fall), kann die Existenz des Diffeomorphismus auch durch Verwendung des glatten Riemannschen Abbildungssatzes für das Innere und Äußere der Kurve in Kombination mit dem Alexander-Trick für Diffeomorphismen des Kreises und ein Ergebnis auf glatter Isotopie aus differentieller Topologie.

Ein solcher Satz ist nur in zwei Dimensionen gültig. In drei Dimensionen gibt es Gegenbeispiele wie die gehörnte Kugel von Alexander . Obwohl sie den Raum in zwei Bereiche aufteilen, sind diese Bereiche so verdreht und verknotet, dass sie nicht homöomorph zum Inneren und Äußeren einer normalen Kugel sind.

Beweise des Jordan-Schoenflies-Theorems

Für glatte oder polygonale Kurven lässt sich der Jordan-Kurvensatz auf einfache Weise beweisen. Tatsächlich weist die Kurve eine röhrenförmige Umgebung auf , die im glatten Fall durch das Feld der Einheitsnormalenvektoren zur Kurve oder im polygonalen Fall durch Punkte in einem Abstand von weniger als ε von der Kurve definiert wird. In der Nähe eines differenzierbaren Punktes auf der Kurve gibt es eine Koordinatenänderung, bei der die Kurve zum Durchmesser einer offenen Scheibe wird. Nimmt man einen Punkt, der nicht auf der Kurve liegt, trifft eine gerade Linie, die auf die Kurve ab dem Punkt gerichtet ist, schließlich auf die röhrenförmige Umgebung; der Pfad kann neben der Kurve fortgesetzt werden, bis er auf die Scheibe trifft. Es wird es auf der einen oder anderen Seite treffen. Dies beweist, dass das Komplement der Kurve höchstens zwei Zusammenhangskomponenten hat. Andererseits ist mit der Cauchy-Integralformel für die Windungszahl zu sehen, dass die Windungszahl bei zusammenhängenden Komponenten des Kurvenkomplements konstant ist, nahe unendlich Null ist und beim Überqueren der Kurve um 1 ansteigt. Daher hat die Kurve genau zwei Komponenten, ihr Inneres und die unbeschränkte Komponente. Das gleiche Argument funktioniert für eine stückweise differenzierbare Jordan-Kurve.

Polygonale Kurve

Gegeben eine einfache geschlossene polygonale Kurve in der Ebene, der stückweise lineare Satz von Jordan-Schoenflies besagt, dass es einen stückweise linearen Homöomorphismus der Ebene gibt, mit kompakter Unterstützung, der das Polygon auf ein Dreieck trägt und das Innere und Äußere von einem auf das Innere nimmt taking und das Äußere des anderen.

Das Innere des Polygons kann durch kleine Dreiecke trianguliert werden, so dass die Kanten des Polygons Kanten einiger der kleinen Dreiecke bilden. Stückweise lineare Homöomorphismen können aus speziellen Homöomorphismen gebildet werden, die erhalten werden, indem man einen Diamanten aus der Ebene entfernt und eine stückweise affine Abbildung nimmt, die Kanten des Diamanten fixiert, aber eine Diagonale in eine V-Form bewegt. Zusammensetzungen von Homöomorphismen dieser Art führen zu stückweise linearen Homöomorphismen mit kompaktem Träger; sie fixieren die Außenseite eines Polygons und wirken affin auf eine Triangulation des Inneren. Ein einfaches induktives Argument zeigt, dass es immer möglich ist, ein freies Dreieck – eines, dessen Schnittpunkt mit dem Rand eine zusammenhängende Menge aus einer oder zwei Kanten ist – zu entfernen, wobei ein einfaches geschlossenes Jordan-Polygon zurückbleibt. Die oben beschriebenen speziellen Homöomorphismen oder ihre Umkehrungen liefern stückweise lineare Homöomorphismen, die das Innere des größeren Polygons auf das Polygon mit entferntem freien Dreieck tragen. Durch Iteration dieses Prozesses folgt, dass es einen stückweise linearen Homöomorphismus eines kompakten Trägers gibt, der das ursprüngliche Polygon auf ein Dreieck trägt.

Da der Homöomorphismus durch die Komposition endlich vieler Homöomorphismen der kompakten Trägerebene erhalten wird, folgt, dass der stückweise lineare Homöomorphismus in der Aussage des stückweise linearen Satzes von Jordan-Schoenflies einen kompakten Träger hat.

Daraus folgt, dass sich jeder Homöomorphismus zwischen einfachen geschlossenen polygonalen Kurven zu einem Homöomorphismus zwischen ihren Inneren erstreckt. Für jedes Polygon gibt es einen Homöomorphismus eines gegebenen Dreiecks auf den Abschluss seines Inneren. Die drei Homöomorphismen ergeben einen einzigen Homöomorphismus des Randes des Dreiecks. Durch den Alexander-Trick kann dieser Homöomorphismus zu einem Homöomorphismus der Schließung des Inneren des Dreiecks erweitert werden. In Umkehrung dieses Prozesses ergibt dieser Homöomorphismus einen Homöomorphismus zwischen den Abschlüssen der Inneren der polygonalen Kurven.

Kontinuierliche Kurve

Der Satz von Jordan-Schoenflies für stetige Kurven kann mit dem Satz von Carathéodory über die konforme Abbildung bewiesen werden . Es besagt, dass sich die Riemann-Abbildung zwischen dem Inneren einer einfachen Jordan-Kurve und der offenen Einheitsscheibe kontinuierlich zu einem Homöomorphismus zwischen ihren Abschlüssen ausdehnt und die Jordan-Kurve homöomorph auf den Einheitskreis abbildet. Um den Satz zu beweisen, kann der Satz von Carathéodory auf die beiden Gebiete auf der durch die Jordan-Kurve definierten Riemannschen Kugel angewendet werden. Dies führt zu Homöomorphismen zwischen ihren Abschlüssen und den geschlossenen Scheiben | z | ≤ 1 und | z | ≥ 1. Die Homöomorphismen von der Jordan-Kurve zum Kreis unterscheiden sich durch einen Homöomorphismus des Kreises, der durch den Alexander-Trick auf die Einheitsscheibe (oder ihr Komplement) erweitert werden kann . Die Komposition mit diesem Homöomorphismus ergibt ein Paar von Homöomorphismen, die auf der Jordan-Kurve übereinstimmen und daher einen Homöomorphismus der Riemannschen Kugel definieren, der die Jordan-Kurve auf den Einheitskreis trägt.

Der kontinuierliche Fall kann auch aus dem polygonalen Fall abgeleitet werden, indem die kontinuierliche Kurve durch ein Polygon angenähert wird. Der Satz der Jordan-Kurve wird zuerst mit dieser Methode hergeleitet. Die Jordan-Kurve ist durch eine stetige Funktion auf dem Einheitskreis gegeben. Sie und die Umkehrfunktion von ihrem Bild zurück zum Einheitskreis sind gleichmäßig stetig . Wenn man den Kreis also in genügend kleine Intervalle aufteilt, gibt es Punkte auf der Kurve, so dass die Liniensegmente, die benachbarte Punkte verbinden, nahe an der Kurve liegen, sagen wir um ε. Zusammen bilden diese Liniensegmente eine polygonale Kurve. Wenn es sich selbst schneidet, müssen diese auch polygonale Schleifen bilden. Das Löschen dieser Schleifen führt zu einer polygonalen Kurve ohne Selbstschnittpunkte, die immer noch nahe an der Kurve liegt; einige seiner Scheitelpunkte liegen möglicherweise nicht auf der Kurve, aber sie liegen alle in einer Umgebung der Kurve. Die polygonale Kurve teilt die Ebene in zwei Bereiche, einen begrenzten Bereich U und einen unbeschränkten Bereich V . Sowohl U als auch V ∪ sind kontinuierliche Bilder der geschlossenen Einheitsscheibe. Da die Originalkurve in einer kleinen Umgebung der polygonalen Kurve enthalten ist, verfehlt die Vereinigung der Bilder geringfügig kleinerer konzentrischer offener Scheiben die Originalkurve vollständig und ihre Vereinigung schließt eine kleine Umgebung der Kurve aus. Eines der Bilder ist eine begrenzte offene Menge, die aus Punkten besteht, um die die Kurve Windung Nummer eins hat; die andere ist eine unbeschränkte offene Menge, die aus Punkten der Windungszahl Null besteht. Das Wiederholen für eine Folge von Werten von ε, die gegen 0 strebt, führt zu einer Vereinigung von offenen Pfad-verbundenen begrenzten Mengen von Punkten der Windung Nummer Eins und einer Vereinigung von offenen Pfad-verbundenen unbeschränkten Mengen der Windungsnummer Null. Durch Konstruktion füllen diese beiden disjunkten offenen Pfad-verbundenen Mengen das Komplement der Kurve in der Ebene.

Hexagonale Tessellation der Ebene: Wenn sich 2 Sechsecke treffen, müssen sie eine gemeinsame Kante haben
Eine Standardfliese aus Mauerwerk des Flugzeugs

Mit dem Jordan-Kurvensatz kann der Satz von Jordan-Schoenflies wie folgt bewiesen werden.

  • Im ersten Schritt soll gezeigt werden, dass eine dichte Menge von Punkten auf der Kurve von der Innenseite der Kurve zugänglich ist, dh sie befinden sich am Ende eines Liniensegments, das vollständig im Inneren der Kurve liegt. Tatsächlich liegt ein gegebener Punkt auf der Kurve einem beliebigen Punkt im Inneren beliebig nahe, und um diesen Punkt gibt es eine kleinste geschlossene Scheibe, die die Kurve nur an ihrem Rand schneidet; diese Grenzpunkte liegen nahe dem ursprünglichen Punkt auf der Kurve und sind konstruktionsbedingt zugänglich.
  • Der zweite Schritt besteht darin, zu beweisen, dass bei endlich vielen zugänglichen Punkten A i auf der Kurve, die mit den Liniensegmenten A i B i in ihrem Inneren verbunden ist, im Inneren disjunkte polygonale Kurven mit Knoten auf jedem der Liniensegmente existieren, deren Abstand zu die ursprüngliche Kurve ist beliebig klein. Dies erfordert Tessellationen der Ebene durch gleichmäßig kleine Kacheln, so dass, wenn zwei Kacheln zusammentreffen, sie eine Seite oder ein Segment einer Seite gemeinsam haben: Beispiele sind die standardmäßige hexagonale Tesselierung ; oder die Standard- Mauerwerksfliesen durch Rechtecke oder Quadrate mit gemeinsamen oder dehnbaren Verbindungen. Es genügt, einen polygonalen Pfad so zu konstruieren, dass sein Abstand zur Jordankurve beliebig klein ist. Richten Sie die Tessellation so aus, dass keine Seite einer Kachel parallel zu irgendeinem A i B i ist . Die Größe der Kacheln kann beliebig klein gewählt werden. Nehmen Sie die Vereinigung aller geschlossenen Kacheln, die mindestens einen Punkt der Jordan-Kurve enthalten. Seine Grenze besteht aus disjunkten polygonalen Kurven. Bei ausreichend kleiner Kachelgröße liegen die Endpunkte B i im Inneren genau einer der polygonalen Grenzkurven. Ihr Abstand zur Jordankurve beträgt weniger als den doppelten Durchmesser der Kacheln, ist also beliebig klein.
  • Der dritte Schritt besteht darin, zu beweisen, dass jeder Homöomorphismus f zwischen der Kurve und einem gegebenen Dreieck zu einem Homöomorphismus zwischen den Abschlüssen ihres Inneren erweitert werden kann. Nehmen wir tatsächlich eine Folge 1 , ε 2 , ε 3 , ..., die auf Null abnimmt. Wähle endlich viele Punkte A i auf der Jordan-Kurve Γ mit aufeinanderfolgenden Punkten weniger als ε 1 auseinander. Machen Sie die Konstruktion des zweiten Schritts mit Kacheln mit einem Durchmesser von weniger als 1 und nehmen Sie C i als die Punkte auf der polygonalen Kurve Γ 1 an, die A i B i schneidet . Nimm die Punkte f ( A i ) auf dem Dreieck. Fixieren Sie einen Ursprung im Dreieck Δ und skalieren Sie das Dreieck, um einen kleineren Δ 1 in einem Abstand von weniger als ε 1 vom ursprünglichen Dreieck zu erhalten. Seien D i die Punkte im Schnittpunkt des Radius durch f ( A i ) und das kleinere Dreieck. Es gibt einen stückweise linearen Homöomorphismus F 1 der polygonalen Kurve auf das kleinere Dreieck, das C i auf D i trägt . Nach dem Jordan-Schoenflies-Theorem erstreckt es sich auf einen Homöomorphismus F 1 zwischen den Abschlüssen ihrer Inneren. Führen Sie nun den gleichen Vorgang für ε 2 mit einer neuen Menge von Punkten auf der Jordan-Kurve durch. Dies erzeugt einen zweiten polygonalen Pfad Γ 2 zwischen 1 und Γ. Zwischen Δ 1 und liegt ebenfalls ein zweites Dreieck Δ 2 . Die Liniensegmente für die zugänglichen Punkte auf Γ teilen den polygonalen Bereich zwischen Γ 2 und Γ 1 in eine Vereinigung von polygonalen Bereichen; ähnlich für Radien für die entsprechenden Punkte auf Δ teilt das Gebiet zwischen Δ 2 und Δ 1 in eine Vereinigung von polygonalen Gebieten. Der Homöomorphismus F 1 kann zu Homöomorphismen zwischen den verschiedenen Polygonen erweitert werden, die sich auf gemeinsame Kanten (geschlossene Intervalle auf Liniensegmenten oder Radien) einigen. Nach dem polygonalen Jordan-Schoenflies-Theorem erstreckt sich jeder dieser Homöomorphismen bis ins Innere des Polygons. Zusammen ergeben sie einen Homöomorphismus F 2 des Abschlusses des Inneren von 2 auf den Abschluss des Inneren von Δ 2 ; F 2 erweitert F 1 . Wenn man auf diese Weise fortfährt , entstehen polygonale Kurven Γ n und Dreiecke Δ n mit einem Homomeomorphismus F n zwischen den Abschlüssen ihres Inneren; F n erweitert F n – 1 . Die Regionen innerhalb von Γ n nehmen zu der Region innerhalb von Γ zu; und die Dreiecke Δ n nehmen zu Δ zu. Die Homöomorphismen F n fügen sich zu einem Homöomorphismus F vom Inneren von Γ auf das Innere von Δ zusammen. Nach Konstruktion hat sie Grenzwert f auf den Randkurven Γ und Δ. Daher ist F der erforderliche Homöomorphismus.
  • Der vierte Schritt besteht darin, zu beweisen, dass jeder Homöomorphismus zwischen Jordan-Kurven zu einem Homöomorphismus zwischen den Abschlüssen ihres Inneren erweitert werden kann. Mit dem Ergebnis des dritten Schrittes genügt es zu zeigen, dass sich jeder Homöomorphismus des Randes eines Dreiecks auf einen Homöomorphismus des Abschlusses seines Inneren erstreckt. Dies ist eine Folge des Alexander-Tricks. (Der Alexander-Trick stellt auch einen Homöomorphismus zwischen dem ausgefüllten Dreieck und der geschlossenen Scheibe her: Der Homöomorphismus ist nur die natürliche radiale Verlängerung der Projektion des Dreiecks auf seinen Umkreis in Bezug auf seinen Umkreis.)
  • Der letzte Schritt besteht darin, zu beweisen, dass es bei zwei Jordan-Kurven einen Homöomorphismus der kompakten Trägerebene gibt, der eine Kurve auf die andere überträgt. Tatsächlich liegt jede Jordan-Kurve innerhalb desselben großen Kreises und im Inneren jedes großen Kreises gibt es Radien, die zwei diagonal gegenüberliegende Punkte mit der Kurve verbinden. Jede Konfiguration teilt die Ebene in das Äußere des großen Kreises, das Innere der Jordan-Kurve und den Bereich zwischen den beiden in zwei begrenzte Bereiche, die von Jordan-Kurven begrenzt werden (bestehend aus zwei Radien, einem Halbkreis und einer der Hälften des Jordans). Kurve). Nehmen wir den Identitätshomöomorphismus des großen Kreises; stückweise lineare Homöomorphismen zwischen den beiden Radienpaaren; und ein Homöomorphismus zwischen den beiden Hälften der Jordan-Kurven, gegeben durch eine lineare Umparametrierung. Die 4 Homöomorphismen fügen sich auf den Randbögen zusammen, um einen Homöomorphismus der Ebene zu ergeben, die durch die Identität des großen Kreises gegeben ist und eine Jordan-Kurve auf die andere trägt.

Glatte Kurve

Beweise im glatten Fall hängen davon ab, einen Diffeomorphismus zwischen dem Inneren/Äußeren der Kurve und der geschlossenen Einheitsscheibe (oder ihrem Komplement in der erweiterten Ebene) zu finden. Dies lässt sich beispielsweise mit dem glatten Riemannschen Abbildungssatz lösen , für den eine Reihe direkter Methoden zur Verfügung stehen, beispielsweise durch das Dirichlet-Problem auf der Kurve oder Bergman-Kerne . (Solche Diffeomorphismen sind im Inneren und Äußeren der Kurve holomorph; allgemeinere Diffeomorphismen können leichter mit Vektorfeldern und Flüssen konstruiert werden.) Betrachtet man die glatte Kurve als innerhalb der ausgedehnten Ebene oder 2-Sphäre liegend, erzeugen diese analytischen Methoden glatte bis zur Grenze zwischen den Abschlüssen des Inneren/Äußeren der glatten Kurve und denen des Einheitskreises abbildet. Die beiden Kennzeichnungen der glatten Kurve und des Einheitskreises unterscheiden sich durch einen Diffeomorphismus des Einheitskreises. Andererseits kann ein Diffeomorphismus f des Einheitskreises durch die Alexander-Erweiterung zu einem Diffeomorphismus F der Einheitsscheibe erweitert werden :

wobei ψ eine glatte Funktion mit Werten in [0,1] ist, gleich 0 nahe 0 und 1 nahe 1 und f ( e i θ ) = e ig (θ) , mit g (θ + 2π) = g (θ ) + 2π . Das Zusammensetzen eines der Diffeomorphismen mit der Alexander-Erweiterung ermöglicht es, die beiden Diffeomorphismen zusammenzufügen, um einen Homöomorphismus der 2-Sphäre zu ergeben, der sich auf einen Diffeomorphismus auf der geschlossenen Einheitsscheibe und die Abschlüsse seines Komplements beschränkt, die er auf das Innere und Äußere überträgt der ursprünglichen glatten Kurve. Durch den Isotopiesatz in der Differentialtopologie kann der Homöomorphismus auf der ganzen 2-Sphäre auf einen Diffeomorphismus angepasst werden, ohne ihn auf dem Einheitskreis zu verändern. Dieser Diffeomorphismus liefert dann die glatte Lösung des Schoenflies-Problems.

Der Satz von Jordan-Schoenflies lässt sich mit Hilfe der Differentialtopologie herleiten . Tatsächlich ist es eine unmittelbare Folge der Klassifikation bis zum Diffeomorphismus glatt orientierter 2-Mannigfaltigkeiten mit Rand, wie in Hirsch (1994) beschrieben . Tatsächlich teilt die glatte Kurve die 2-Sphäre in zwei Teile. Durch die Klassifikation sind sie jeweils diffeomorph zur Einheitsscheibe und – unter Berücksichtigung des Isotopiesatzes – durch einen Diffeomorphismus des Randes zusammengeklebt. Durch den Alexander-Trick erstreckt sich ein solcher Diffeomorphismus auf die Scheibe selbst. Es gibt also einen Diffeomorphismus der 2-Sphäre, der die glatte Kurve auf den Einheitskreis trägt.

Andererseits kann der Diffeomorphismus auch direkt mit dem Jordan-Schoenflies-Theorem für Polygone und elementaren Methoden der Differentialtopologie konstruiert werden, nämlich durch Vektorfelder definierte Flüsse. Wenn die Jordan-Kurve glatt ist (parametrisiert durch die Bogenlänge), ergeben die Einheitsnormalenvektoren ein nicht verschwindendes Vektorfeld X 0 in einer röhrenförmigen Umgebung U 0 der Kurve. Nehmen Sie eine polygonale Kurve im Inneren der Kurve nahe der Grenze und quer zur Kurve (an den Scheitelpunkten sollte das Vektorfeld genau innerhalb des von den Kanten gebildeten Winkels liegen). Nach dem stückweise linearen Jordan-Schoenflies-Theorem gibt es einen stückweise linearen Homöomorphismus, affin zu einer geeigneten Triangulation des Inneren des Polygons, der das Polygon auf ein Dreieck bringt. Nehmen Sie einen inneren Punkt P in einem der kleinen Dreiecke der Triangulation. Er entspricht einem Punkt Q im Bilddreieck. Auf dem Bilddreieck befindet sich ein radiales Vektorfeld, das aus geraden Linien besteht, die auf Q zeigen . Dies ergibt eine Reihe von Linien in den kleinen Dreiecken, aus denen das Polygon besteht. Jeder definiert ein Vektorfeld X i auf einer Umgebung U i des Abschlusses des Dreiecks. Jedes Vektorfeld ist quer zu den Seiten, vorausgesetzt, dass Q in "allgemeiner Position" so gewählt wird, dass es mit keiner der endlich vielen Kanten in der Triangulation kollinear ist. Wenn nötig, kann man annehmen, dass P und Q im Ursprung 0 liegen. Auf dem Dreieck, das P enthält, kann das Vektorfeld als das standardmäßige radiale Vektorfeld angenommen werden. In ähnlicher Weise kann das gleiche Verfahren auf die Außenseite der glatten Kurve angewendet werden, nachdem die Möbius-Transformation angewendet wurde, um sie in den endlichen Teil der Ebene und ∞ auf 0 abzubilden. In diesem Fall haben die Umgebungen U i der Dreiecke negative Indizes. Nehmen Sie die Vektorfelder X i mit negativem Vorzeichen, die vom Punkt im Unendlichen weg zeigen. Zusammen U 0 und U i ‚s mit i ≠ 0 bildet eine offene Abdeckung der 2-Sphäre. Man nehme eine glatte Teilung von Eins ψ i untergeordnet der Hülle U i und setze

X ist ein glattes Vektorfeld auf den beiden Kugeln, das nur bei 0 und ∞ verschwindet. Es hat den Index 1 bei 0 und -1 bei . In der Nähe von 0 entspricht das Vektorfeld dem radialen Vektorfeld, das auf 0 zeigt. Wenn α t die durch X definierte glatte Strömung ist , ist der Punkt 0 ein anziehender Punkt und ∞ ein abstoßender Punkt. Da t gegen +∞ strebt, zeigt der Fluss-Sendepunkt auf 0; während t zu –∞ tendiert, werden Punkte an ∞ gesendet. Das Ersetzen von X durch f ⋅ X durch f eine glatte positive Funktion ändert die Parametrisierung der Integralkurven von X , aber nicht die Integralkurven selbst. Für eine geeignete Wahl von f gleich 1 außerhalb eines kleinen Kreisrings nahe 0 werden die Integralkurven, die an Punkten der glatten Kurve beginnen, alle einen kleineren Kreis erreichen, der den Kreisring zur gleichen Zeit s begrenzt . Der Diffeomorphismus α s trägt also die glatte Kurve auf diesen kleinen Kreis. Eine Skalierungstransformation, die 0 und ∞ fixiert, trägt dann den kleinen Kreis auf den Einheitskreis. Das Zusammensetzen dieser Diffeomorphismen ergibt einen Diffeomorphismus, der die glatte Kurve auf den Einheitskreis trägt.

Verallgemeinerungen

Es existiert eine höherdimensionale Verallgemeinerung aufgrund von Morton Brown  ( 1960 ) und unabhängig davon Barry Mazur  ( 1959 ) mit Morse (1960) , die auch als verallgemeinerter Schoenflies-Satz bezeichnet wird . Es besagt , dass, wenn eine ( n  - 1) -dimensionalen Kugel S in die eingebetteten n -dimensionalen Kugel S n in eine lokal ebenen Weise (das heißt, die Einbettung des von einem verdickten Bereich erstreckt), dann wird das Paar ( S n ,  S ) ist homöomorph zum Paar ( S n , S n −1 ), wobei S n −1 der Äquator der n- Sphäre ist. Brown und Mazur erhielten für ihre Beiträge den Veblen-Preis . Sowohl der Brown- als auch der Mazur-Beweis werden als "elementar" angesehen und verwenden induktive Argumente.

Das Schoenflies-Problem kann in anderen Kategorien als der topologisch lokal flachen Kategorie gestellt werden, dh begrenzt eine glatt (stückweise-linear) eingebettete ( n  − 1)-Kugel in die n- Kugel eine glatte (stückweise-lineare) n- Kugel? Für n  = 4 ist das Problem für beide Kategorien noch offen. Siehe Mazur-Verteiler . Für n  5 ist die Frage in der glatten Kategorie bejahend und folgt aus dem Satz des h-Kobordismus .

Anmerkungen

Verweise