Jongleur-Sequenz - Juggler sequence

In der Zahlentheorie ist eine Jongleurfolge eine ganzzahlige Folge , die mit einer positiven ganzen Zahl a ₀ beginnt , wobei jeder nachfolgende Term in der Folge durch die Rekursionsbeziehung definiert ist :

$${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{ k}{\text{ ist gerade}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\text{if }}a_{k} {\text{ ist ungerade}}.\end{cases}}}$$

Hintergrund

Jongleursequenzen wurden vom amerikanischen Mathematiker und Autor Clifford A. Pickover veröffentlicht . Der Name leitet sich von der steigenden und fallenden Natur der Sequenzen ab, wie Bälle in den Händen eines Jongleurs .

Beispielsweise ausgehend die juggler Sequenz mit einem ₀ = 3

${\displaystyle a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5.196\dots \rfloor =5,}$

${\displaystyle a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11.180\dots \rfloor =11,}$

${\displaystyle a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36.482\dots \rfloor =36,}$

${\displaystyle a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,}$

${\displaystyle a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2.449\dots \rfloor =2,}$

${\displaystyle a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1,414\dots \rfloor=1.}$

Wenn eine Jongleursequenz 1 erreicht, sind alle nachfolgenden Terme gleich 1. Es wird vermutet, dass alle Jongleursequenzen schließlich 1 erreichen. Diese Vermutung wurde für anfängliche Terme bis 10 ⁶ verifiziert , aber nicht bewiesen. Jongleursequenzen stellen daher ein Problem dar, das der Collatz-Vermutung ähnelt , zu der Paul Erdős feststellte, dass "die Mathematik für solche Probleme noch nicht bereit ist".

Für einen gegebenen Anfangsterm n definiert man l ( n ) als die Anzahl von Schritten, die die bei n beginnende Jongleurfolge benötigt, um zuerst 1 zu erreichen, und h ( n ) als den Maximalwert in der bei n beginnenden Jongleurfolge . Für kleine Werte von n gilt:

n	Jongliersequenz	ich ( n ) (Sequenz A007320 im OEIS )	h ( n ) (Sequenz A094716 im OEIS )
2	2, 1	1	2
3	3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	6	36
4	4, 2, 1	2	4
5	5, 11, 36, 6, 2, 1	5	36
6	6, 2, 1	2	6
7	7, 18, 4, 2, 1	4	18
8	8, 2, 1	2	8
9	9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1	7	140
10	10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	7	36

Juggler - Sequenzen können sehr große Werte erreichen , bevor auf 1. Beispiel absteigend, der Jongleur Sequenz beginnend bei einem ₀ = 37 erreicht einen Maximalwert von 24906114455136. Harry J. Smith hat festgestellt , dass der Jongleur Sequenz beginnend bei einem ₀ = 48443 erreicht ein Maximum Wert bei einem ₆₀ mit 972.463 Stellen, die vor dem 1. bei Erreichen einer ₁₅₇ .

Siehe auch

• Arithmetische Dynamik
• Collatz-Vermutung
• Wiederholungsbeziehung

Verweise

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Jongleur-Sequenz" . MathWorld .
• Jongleursequenz (A094683) in der Online -Enzyklopädie der Integer-Sequenzen . Siehe auch:
  • Anzahl der Schritte, die für die Jongleursequenz (A094683) benötigt werden, die bei n beginnt, um 1 zu erreichen.
  • n stellt einen neuen Rekord für die Anzahl der Iterationen auf, um 1 im Jongleursequenzproblem zu erreichen.
  • Anzahl der Schritte, bei denen die Juggler-Sequenz einen neuen Datensatz erreicht.
  • Kleinste Zahl, die n Iterationen erfordert, um 1 im Jongleursequenzproblem zu erreichen.
  • Startwerte, die eine größere Jongleurzahl ergeben als kleinere Startwerte.
• Jongliersequenz-Rechner im Collatz Conjecture Calculation Center
• Jongleur-Zahlenseiten von Harry J. Smith