K3-Oberfläche - K3 surface

Eine glatte quartische Fläche im 3-Raum. Die Abbildung zeigt einen Teil der reellen Punkte (der reellen Dimension 2) in einer bestimmten komplexen K3-Fläche (der komplexen Dimension 2, also reelle Dimension 4).

In der Mathematik ist eine komplexe analytische K3-Fläche eine kompakte zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 2 mit trivialem kanonischen Bündel und Unregelmäßigkeit Null. Eine (algebraische) K3-Fläche über einem beliebigen Feld bedeutet eine glatte echte geometrisch zusammenhängende algebraische Fläche , die die gleichen Bedingungen erfüllt. In der Enriques-Kodaira-Klassifikation der Flächen bilden K3-Flächen eine der vier Klassen von Minimalflächen der Kodaira-Dimension Null. Ein einfaches Beispiel ist die quartische Fermat- Fläche

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$

im komplexen projektiven 3-Raum .

Zusammen mit zweidimensionalen kompakten komplexen Tori sind K3-Flächen die Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten (und auch die Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten ) der zweiten Dimension. Als solche stehen sie im Zentrum der Klassifikation algebraischer Flächen, zwischen den positiv gekrümmten del Pezzo-Flächen (die leicht zu klassifizieren sind) und den negativ gekrümmten Flächen allgemeiner Art (die im Wesentlichen nicht klassifizierbar sind). K3-Flächen können als die einfachsten algebraischen Varietäten angesehen werden, deren Struktur sich nicht auf Kurven oder abelsche Varietäten reduziert und dennoch ein substantielles Verständnis möglich ist. Eine komplexe K3-Fläche hat die reelle Dimension 4 und spielt eine wichtige Rolle bei der Untersuchung glatter 4-Mannigfaltigkeiten . K3-Flächen wurden auf Kac-Moody-Algebren , Spiegelsymmetrie und Stringtheorie angewendet .

Es kann nützlich sein, sich komplexe algebraische K3-Flächen als Teil der breiteren Familie komplexer analytischer K3-Flächen vorzustellen. Viele andere Arten von algebraischen Varietäten haben solche nicht-algebraischen Deformationen nicht.

Definition

Es gibt mehrere gleichwertige Möglichkeiten, K3-Flächen zu definieren. Die einzigen kompakten komplexen Flächen mit trivialem kanonischen Bündel sind K3-Flächen und kompakte komplexe Tori, und so kann man jede Bedingung mit Ausnahme der letzteren hinzufügen, um K3-Flächen zu definieren. Zum Beispiel ist es äquivalent, eine komplexe analytische K3-Fläche als eine einfach zusammenhängende kompakte komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 2 mit einer nirgendwo verschwindenden holomorphen 2-Form zu definieren . (Die letztere Bedingung besagt genau, dass das kanonische Bündel trivial ist.)

Es gibt auch einige Varianten der Definition. Über den komplexen Zahlen betrachten einige Autoren nur die algebraischen K3-Flächen. (Eine algebraische K3-Fläche ist automatisch projektiv .) Oder man kann K3-Flächen erlauben, du Val-Singularitäten (die kanonischen Singularitäten der Dimension 2) zu haben, anstatt glatt zu sein.

Berechnung der Betti-Zahlen

Die Betti-Zahlen einer komplexen analytischen K3-Oberfläche werden wie folgt berechnet. (Ein ähnliches Argument gibt die gleiche Antwort für die Betti-Zahlen einer algebraischen K3-Fläche über einem beliebigen Körper, definiert durch die l-adische Kohomologie .) Per Definition ist das kanonische Bündel trivial und die Unregelmäßigkeit q ( X ) (die Dimension des kohärente Garbenkohomologie Gruppe ) Null ist . Durch die Serre-Dualität , ${\displaystyle K_{X}=\Omega_{X}^{2}}$${\displaystyle h^{1}(X,O_{X})}$${\displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$

${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal{O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.}$

Als Ergebnis ist die arithmetische Gattung (oder holomorphe Euler-Charakteristik ) von X :

${\displaystyle \chi(X,{\mathcal{O}}_{X}):=\sum_{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal{O} }_{X})=1-0+1=2.}$

Andererseits sagt der Riemann-Roch-Satz (Noether-Formel):

${\displaystyle \chi(X,{\mathcal{O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2} (X)\rechts),}$

wo ist die i- te Chern-Klasse des Tangentenbündels . Da trivial ist, ist die erste Chern-Klasse null, und so . ${\displaystyle c_{i}(X)}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)}$${\displaystyle c_{2}(X)=24}$

Als nächstes ergibt die Exponentialfolge eine exakte Folge von Kohomologiegruppen und so . So ist die Bettizahl Null ist , und von Poincaré Dualität , ebenfalls Null. Schließlich ist gleich der topologischen Euler-Charakteristik${\displaystyle 0\nach \mathbb{Z} _{X}\nach O_{X}\nach O_{X}^{*}\nach 0}$${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb{Z})\to H^{1}(X,O_{X})}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb{Z})=0}$${\displaystyle b_{1}(X)}$${\displaystyle b_{3}(X)}$${\displaystyle c_{2}(X)=24}$

${\displaystyle \chi(X)=\sum_{i}(-1)^{i}b_{i}(X).}$

Aus und folgt das . ${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$${\displaystyle b_{2}(X)=22}$

Eigenschaften

• Zwei beliebige komplexe analytische K3-Flächen sind diffeomorph als glatte 4-Mannigfaltigkeiten, von Kunihiko Kodaira .
• Jede komplexe analytische K3-Fläche hat eine Kähler-Metrik von Yum-Tong Siu . (Analog, aber viel einfacher: Jede algebraische K3-Fläche über einem Körper ist projektiv.) Aus Shing-Tung Yaus Lösung der Calabi-Vermutung folgt, dass jede komplexe analytische K3-Fläche eine Ricci-flache Kähler-Metrik besitzt.
• Die Hodge-Nummern jeder K3-Oberfläche sind in der Hodge-Diamant aufgeführt:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, besteht darin, das Jacobi-Ideal einer bestimmten K3-Fläche zu berechnen und dann eine Variation der Hodge-Struktur auf den Modulen algebraischer K3-Flächen zu verwenden, um zu zeigen, dass alle diese K3-Flächen die gleichen Hodge-Zahlen haben. Eine einfachere Berechnung kann unter Verwendung der Berechnung der Betti-Zahlen zusammen mit den Teilen der Hodge-Struktur durchgeführt werden, die für eine beliebige K3-Oberfläche berechnet wurden . In diesem Fall wirken die Hodge-Symmetriekräfte also . Für K3-Flächen in der Charakteristik p > 0 wurde dies zuerst von Alexey Rudakov und Igor Shafarevich gezeigt .${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb{Z})}$${\displaystyle H^{0}(X;\Omega_{X}^{2})\cong\mathbb{C}}$${\displaystyle H^{1}(X,\Omega_{X})\cong\mathbb{C}^{20}}$

• Für eine komplexe analytische K3-Fläche X ist die Schnittform (oder das Cup-Produkt ) on eine symmetrische Bilinearform mit Werten in den ganzen Zahlen, bekannt als das K3-Gitter . Dies ist isomorph zum geraden unimodularen Gitter oder äquivalent , wobei U das hyperbolische Gitter vom Rang 2 und das E8-Gitter ist .${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{22}}$ ${\displaystyle \operatorname {II} _{3,19}}$${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$${\displaystyle E_{8}}$
• Yukio Matsumotos 11 / 8-Vermutung sagt voraus, dass jede glatt orientierte 4-Mannigfaltigkeit X mit gerader Schnittform eine zweite Betti-Zahl hat, die mindestens das 11/8-fache des absoluten Werts der Signatur beträgt . Dies wäre optimal, wenn wahr, da Gleichheit für eine komplexe K3-Fläche gilt, die die Signatur 3−19 = −16 hat. Die Vermutung würde implizieren, dass jede einfach zusammenhängende glatte 4-Mannigfaltigkeit mit gerader Schnittform homöomorph zu einer zusammenhängenden Summe von Kopien der K3-Fläche und von ist .${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• Jede komplexe Fläche, die zu einer K3-Fläche diffeomorph ist, ist eine K3-Fläche von Robert Friedman und John Morgan . Auf der anderen Seite gibt es glatte komplexe Flächen (einige davon projektiv), die homöomorph, aber nicht diffeomorph zu einer K3-Fläche sind, von Kodaira und Michael Freedman . Diese "Homotopie-K3-Oberflächen" haben alle die Kodaira-Dimension 1.

Beispiele

• Die doppelte Abdeckung X der projektiven Ebene, die entlang einer glatten sextischen Kurve (Grad 6) verzweigt ist, ist eine K3-Fläche der Gattung 2 (dh Grad 2 g −2 = 2). (Diese Terminologie bedeutet, dass das inverse Bild in X einer allgemeinen Hyperebene in eine glatte Kurve der Gattung 2 ist.)${\displaystyle \mathbf{P} ^{2}}$
• Eine glatte quartische (Grad 4) Fläche in ist eine K3-Fläche der Gattung 3 (dh Grad 4).${\displaystyle \mathbf{P} ^{3}}$
• Eine Kummer-Fläche ist der Quotient einer zweidimensionalen abelschen Varietät A durch die Wirkung . Dies führt zu 16 Singularitäten an den 2-Torsionspunkten von A . Die minimale Auflösung dieser singulären Fläche kann auch Kummer-Fläche genannt werden; diese Auflösung ist eine K3-Fläche. Wenn A die Jacobilinie einer Kurve der Gattung 2 ist, zeigte Kummer, dass sich der Quotient in eine quartische Fläche mit 16 Knoten einbetten lässt .${\displaystyle a\mapsto -a}$${\displaystyle A/(\pm 1)}$${\displaystyle \mathbf{P} ^{3}}$
• Allgemeiner gesagt: Für jede quartische Fläche Y mit du Val-Singularitäten ist die minimale Auflösung von Y eine algebraische K3-Fläche.
• Der Schnittpunkt eines quadrischen und eines kubischen in ist eine K3-Fläche der Gattung 4 (dh Grad 6).${\displaystyle \mathbf{P} ^{4}}$
• Der Schnittpunkt von drei Quadriken in ist eine K3-Fläche der Gattung 5 (dh Grad 8).${\displaystyle \mathbf{P} ^{5}}$
• Es gibt mehrere Datenbanken von K3-Flächen mit du-Val-Singularitäten in gewichteten projektiven Räumen .

Das Picard-Gitter

Die Picard-Gruppe Pic( X ) einer komplexen analytischen K3-Fläche X bedeutet die abelsche Gruppe komplexer analytischer Linienbündel auf X . Für eine algebraische K3-Fläche bedeutet Pic( X ) die Gruppe der algebraischen Linienbündel auf X . Die beiden Definitionen stimmen für eine komplexe algebraische K3 Oberfläche, von Jean-Pierre Serre ‚s GAGA Satz.

Die Picard-Gruppe einer K3-Fläche X ist immer eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe; ihr Rang wird Picard-Zahl genannt . Im komplexen Fall ist Pic( X ) eine Untergruppe von . Ein wichtiges Merkmal von K3-Oberflächen ist, dass viele verschiedene Picard-Zahlen vorkommen können. Für X kann eine komplexe algebraische K3-Fläche jede ganze Zahl zwischen 1 und 20 sein. Im komplexen analytischen Fall kann sie auch null sein. (In diesem Fall enthält X überhaupt keine geschlossenen komplexen Kurven. Im Gegensatz dazu enthält eine algebraische Fläche immer viele stetige Kurvenscharen.) Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik p > 0 gibt es eine spezielle Klasse von K3-Flächen, Supersingular K3-Oberflächen , mit Picard-Nummer 22. ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{22}}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$

Das Picard-Gitter einer K3-Fläche bedeutet die abelsche Gruppe Pic( X ) zusammen mit ihrer Schnittform, einer symmetrischen Bilinearform mit Werten in den ganzen Zahlen. (Über , die Schnittform bedeutet die Beschränkung der Schnittform auf . Über ein allgemeines Feld kann die Schnittform unter Verwendung der Schnitttheorie von Kurven auf einer Fläche definiert werden, indem die Picard-Gruppe mit der Divisor-Klassengruppe identifiziert wird .) Die Picard Gitter einer K3-Fläche ist immer gerade , dh die ganze Zahl ist für jede gerade . ${\displaystyle\mathbb{C}}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb{Z})}$${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$

Der Satz des Hodge-Index impliziert, dass das Picard-Gitter einer algebraischen K3-Fläche eine Signatur hat . Viele Eigenschaften einer K3-Fläche werden durch ihr Picard-Gitter als symmetrische Bilinearform über den ganzen Zahlen bestimmt. Dies führt zu einer starken Verbindung zwischen der Theorie der K3-Flächen und der Arithmetik symmetrischer Bilinearformen. Als erstes Beispiel für diesen Zusammenhang: Eine komplexe analytische K3-Fläche ist genau dann algebraisch, wenn es ein Element mit gibt . ${\displaystyle (1,\rho -1)}$${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle u^{2}>0}$

Grob gesagt hat der Raum aller komplexen analytischen K3-Flächen die komplexe Dimension 20, während der Raum der K3-Flächen mit Picard-Zahl die Dimension hat (ohne Supersingular). Insbesondere treten algebraische K3-Flächen in 19-dimensionalen Familien auf. Weitere Details zu Modulräumen von K3-Flächen sind unten angegeben. ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle 20-\rho}$

Die genaue Beschreibung, welche Gitter als Picard-Gitter von K3-Flächen auftreten können, ist kompliziert. Eine klare Aussage von Viacheslav Nikulin und David Morrison ist, dass jedes gerade Gitter der Signatur mit das Picard-Gitter einer komplexen projektiven K3-Oberfläche ist. Der Raum solcher Flächen hat Dimension . ${\displaystyle (1,\rho -1)}$${\displaystyle \rho\leq 11}$${\displaystyle 20-\rho}$

Elliptische K3-Oberflächen

Eine wichtige Unterklasse der K3-Flächen, die einfacher zu analysieren ist als der allgemeine Fall, sind die K3-Flächen mit elliptischer Fibration . "Elliptisch" bedeutet, dass alle bis auf endlich viele Fasern dieses Morphismus glatte Kurven der Gattung 1 sind. Die singulären Fasern sind Vereinigungen rationaler Kurven , wobei die möglichen Arten von singulären Fasern von Kodaira klassifiziert werden. Es gibt immer einige singuläre Fasern, da die Summe der topologischen Euler-Eigenschaften der singulären Fasern ist . Eine allgemeine elliptische K3-Oberfläche hat genau 24 singuläre Fasern, jede vom Typ (eine kubische Knotenkurve). ${\displaystyle X\to\mathbf{P} ^{1}}$${\displaystyle\chi(X)=24}$${\displaystyle I_{1}}$

Ob eine K3-Fläche elliptisch ist, lässt sich an ihrem Picard-Gitter ablesen. Eine K3-Fläche X weist nämlich in der Charakteristik nicht 2 oder 3 eine elliptische Fibration genau dann auf, wenn es ein von Null verschiedenes Element mit gibt . (In Merkmal 2 oder 3 kann letztere Bedingung auch einer quasi-elliptischen Fibration entsprechen .) Daraus folgt, dass eine elliptische Fibration eine Co-Dimension-1-Bedingung auf einer K3-Oberfläche ist. Es gibt also 19-dimensionale Familien komplexer analytischer K3-Flächen mit elliptischer Faserung und 18-dimensionale Modulräume projektiver K3-Flächen mit elliptischer Faserung. ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$${\displaystyle u^{2}=0}$

Beispiel: Jeder quartic Oberfläche glatt X in , daß eine Linie enthält , L eine elliptische Faserung , gegeben durch von wegragenden L . Der Modulraum aller glatten quartischen Flächen (bis auf Isomorphie) hat die Dimension 19, während der Unterraum der quartischen Flächen, die eine Linie enthalten, die Dimension 18 hat. ${\displaystyle \mathbf{P} ^{3}}$${\displaystyle X\to\mathbf{P} ^{1}}$

Rationale Kurven auf K3-Flächen

Im Gegensatz zu positiv gekrümmten Varianten wie den del Pezzo-Flächen ist eine komplexe algebraische K3-Fläche X nicht ungestört ; das heißt, es wird nicht von einer stetigen Familie rationaler Kurven abgedeckt. Andererseits enthält X im Gegensatz zu negativ gekrümmten Varietäten wie Flächen allgemeinen Typs eine große diskrete Menge rationaler Kurven (möglicherweise Singular). Insbesondere Fedor Bogomolov und David Mumford zeigten , dass jede Kurve auf X ist linear äquivalent zu einer positiven linearen Kombination von rationalen Kurven.

Ein weiterer Gegensatz zu negativ gekrümmten Varianten besteht darin, dass die Kobayashi-Metrik auf einer komplexen analytischen K3-Fläche X identisch Null ist. Der Beweis verwendet, dass eine algebraische K3-Fläche X immer von einer stetigen Schar von Bildern elliptischer Kurven bedeckt ist. (Diese Kurven sind in X singulär , es sei denn, X ist zufällig eine elliptische K3-Fläche.) Eine stärkere Frage, die offen bleibt, ist, ob jede komplexe K3-Fläche eine nicht entartete holomorphe Abbildung von zulässt (wobei "nicht entartet" bedeutet, dass die Ableitung der Abbildung . ist irgendwann ein Isomorphismus). ${\displaystyle \mathbb{C} ^{2}}$

Die Periodenkarte

Definieren Sie eine Markierung einer komplexen analytischen K3-Fläche X als Isomorphismus von Gittern von zum K3-Gitter . Der Raum N markierter komplexer K3-Flächen ist eine Nicht- Hausdorff- komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 20. Die Menge der Isomorphismusklassen komplexer analytischer K3-Flächen ist der Quotient von N durch die orthogonale Gruppe , aber dieser Quotient ist kein geometrisch sinnvoller Modulraum, weil die Wirkung von weit davon entfernt ist, richtig diskontinuierlich zu sein . (Zum Beispiel ist der Raum glatter quartischer Flächen der Dimension 19 irreduzibel, und dennoch hat jede komplexe analytische K3-Fläche in der 20-dimensionalen Familie N beliebig kleine Deformationen, die zu glatten quartischen isomorph sind.) Aus dem gleichen Grund gibt es nicht ein sinnvoller Modulraum kompakter komplexer Tori der Dimension mindestens 2. ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb{Z})}$${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$ ${\displaystyle O(\Lambda)}$${\displaystyle O(\Lambda)}$

Das Perioden-Mapping sendet eine K3-Fläche an ihre Hodge-Struktur . Bei sorgfältiger Formulierung gilt der Satz von Torelli : Eine K3-Fläche wird durch ihre Hodge-Struktur bestimmt. Der Periodenbereich ist definiert als die 20-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit

${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda\otimes\mathbb{C}):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0\}.}$

Das Periodenmapping sendet eine markierte K3-Fläche X an die komplexe Linie . Dies ist surjektiv und ein lokaler Isomorphismus, aber kein Isomorphismus (insbesondere weil D Hausdorff ist und N nicht). Das globale Torelli-Theorem für K3-Flächen besagt jedoch, dass die Quotientenabbildung der Mengen ${\displaystyle N\to D}$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega^{2})\Teilmenge H^{2}(X,\mathbb{C})\cong\Lambda\otimes\mathbb{C}}$

${\displaystyle N/O(\Lambda)\to D/O(\Lambda)}$

ist bijektiv. Daraus folgt , daß zwei komplexe analytische K3 Flächen X und Y isomorph sind , wenn und nur wenn es eine ist Hodge Isometrie von zu , das, isomorph der abelschen Gruppen ist, die die Schnittform erhält und sendet an . ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb{Z})}$${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb{Z})}$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega^{2})\Teilmenge H^{2}(X,\mathbb{C})}$${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega^{2})}$

Modulräume projektiver K3-Flächen

Eine polarisierte K3-Fläche X der Gattung g ist definiert als eine projektive K3-Fläche zusammen mit einem reichlichen Linienbündel L, so dass L primitiv ist (das heißt nicht zwei- oder mehrmals ein anderes Linienbündel) und . Dies wird auch als polarisierte K3-Fläche vom Grad 2 g −2 bezeichnet. ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$

Unter diesen Annahmen L ist Basispunkt frei . In der Kennlinie Null impliziert der Satz von Bertini , dass es im linearen System | . eine glatte Kurve C gibt L |. Alle diese Kurven haben die Gattung g , was erklärt, warum ( X , L ) die Gattung g hat .

Der Vektorraum von Abschnitten von L hat die Dimension g + 1, also gibt L einen Morphismus von X in den projektiven Raum . In den meisten Fällen handelt es sich bei diesem Morphismus um eine Einbettung, sodass X isomorph zu einer Fläche vom Grad 2 g −2 in ist . ${\displaystyle \mathbf{P} ^{g}}$${\displaystyle \mathbf{P} ^{g}}$

Für jede gibt es einen irreduziblen groben Modulraum polarisierter komplexer K3-Flächen der Gattung g ; sie kann als offene Zariski- Untermenge einer Shimura-Varietät für die Gruppe SO angesehen werden (2,19) . Für jeden g , ist eine quasi-projektive komplexe Vielfalt der Dimension 19 Shigeru Mukai zeigte , dass dieser Modulraum ist unirational wenn oder . Im Gegensatz dazu Valery Gritsenko, Klaus Hulek und Gregory Sankaran hat gezeigt , dass der ist allgemeiner Art , wenn oder . Eine Übersicht über diesen Bereich wurde von Voisin (2008) gegeben . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle g\leq 13}$${\displaystyle g=18,20}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle g\geq 63}$${\displaystyle g=47,51,55,58,59,61}$

Die verschiedenen 19-dimensionalen Modulräume überlappen sich auf komplizierte Weise. Tatsächlich gibt es eine abzählbar unendliche Menge von Untervarietäten der Kodimension-1, von denen jede K3-Flächen der Picard-Zahl mindestens 2 entspricht. Diese K3-Flächen haben Polarisationen von unendlich vielen verschiedenen Graden, nicht nur 2 g –2. Man kann also sagen, dass sich unendlich viele der anderen Modulräume treffen . Dies ist ungenau, da es keinen wohlerzogenen Raum gibt, der alle Modulräume enthält . Eine konkrete Version dieser Idee ist jedoch die Tatsache, dass zwei beliebige komplexe algebraische K3-Flächen durch algebraische K3-Flächen verformungsäquivalent sind. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$

Allgemeiner gesagt bedeutet eine quasi-polarisierte K3-Fläche der Gattung g eine projektive K3-Fläche mit einem primitiven nef und einem großen Linienbündel L, so dass . Ein solches Linienbündel gibt noch einen Morphismus zu , kann aber nun endlich viele (−2)-Kurven zusammenziehen, so dass das Bild Y von X singulär ist. (Eine (−2)-Kurve auf einer Fläche bedeutet eine Kurve isomorph zu mit Selbstschnitt −2.) Der Modulraum von quasipolarisierten K3-Flächen der Gattung g ist noch irreduzibel der Dimension 19 (enthält den vorherigen Modulraum als an offene Teilmenge). Formal funktioniert es besser, dies als Modulraum von K3-Flächen Y mit du-Val-Singularitäten zu betrachten. ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$${\displaystyle \mathbf{P} ^{g}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

Der weite Kegel und der Kegel der Kurven

Ein bemerkenswertes Merkmal algebraischer K3-Flächen ist, dass das Picard-Gitter viele geometrische Eigenschaften der Fläche bestimmt, einschließlich des konvexen Kegels reichlicher Teiler (bis hin zu Automorphismen des Picard-Gitters). Der weite Kegel wird wie folgt durch das Picard-Gitter bestimmt. Nach dem Hodge-Index-Theorem hat die Schnittform im reellen Vektorraum die Signatur . Daraus folgt, dass die Menge der Elemente von mit positivem Selbstschnitt zwei verbundene Komponenten hat . Nennen Sie den positiven Kegel die Komponente, die einen beliebigen reichlichen Teiler auf X enthält . ${\displaystyle N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R} }$${\displaystyle (1,\rho -1)}$${\displaystyle N^{1}(X)}$

Fall 1: Es gibt kein Element u von Pic( X ) mit . Dann ist der weite Kegel gleich dem positiven Kegel. Somit ist es der Standard-Rundkegel. ${\displaystyle u^{2}=-2}$

Fall 2: Ansonsten sei die Wurzelmenge des Picard-Gitters. Die orthogonalen Komplemente der Wurzeln bilden eine Menge von Hyperebenen, die alle durch den positiven Kegel gehen. Dann ist der reichliche Kegel eine Zusammenhangskomponente des Komplements dieser Hyperebenen im positiven Kegel. Beliebige zwei solcher Komponenten sind isomorph über die orthogonale Gruppe des Gitters Pic( X ), da diese die Reflexion über jede Wurzelhyperebene enthält. In diesem Sinne bestimmt das Picard-Gitter den weiten Kegel bis zur Isomorphie. ${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2\}}$

Eine verwandte Aussage von Sándor Kovács ist, dass die Kenntnis eines reichlichen Teilers A in Pic( X ) den gesamten Kurvenkegel von X bestimmt . Angenommen, X hat die Picard-Nummer . Ist die Wurzelmenge leer, so ist der geschlossene Kurvenkegel der Abschluss des positiven Kegels. Ansonsten ist der geschlossene Kurvenkegel der geschlossene konvexe Kegel, der von allen Elementen mit aufgespannt wird . Im ersten Fall enthält X keine (−2)-Kurven; im zweiten Fall ist der geschlossene Kurvenkegel der geschlossene konvexe Kegel, der von allen (−2)-Kurven aufgespannt wird. (Wenn , gibt es noch eine andere Möglichkeit: Der Kurvenkegel kann von einer (−2)-Kurve und einer Kurve mit Selbstschnittpunkt 0 aufgespannt werden.) Der Kurvenkegel ist also entweder der Standardrundkegel, oder er hat "scharfe Ecken" (weil jede (−2)-Kurve einen isolierten Extremalstrahl des Kurvenkegels überspannt ). ${\displaystyle \rho\geq 3}$${\displaystyle \Delta}$${\displaystyle u\in \Delta}$${\displaystyle A\cdot u>0}$${\displaystyle \rho =2}$

Automorphismus-Gruppe

K3-Flächen sind unter algebraischen Varietäten insofern etwas ungewöhnlich, als ihre Automorphismusgruppen unendlich, diskret und stark nonabelsch sein können. Nach einer Version des Torelli-Theorems bestimmt das Picard-Gitter einer komplexen algebraischen K3-Fläche X die Automorphismusgruppe von X bis zur Kommensurabilität . Die Weyl-Gruppe W sei nämlich die Untergruppe der orthogonalen Gruppe O (Pic( X )), die durch Reflexionen in der Menge der Wurzeln erzeugt wird . Dann ist W eine Normaluntergruppe von O (Pic( X )), und die Automorphismusgruppe von X ist mit der Quotientengruppe O (Pic( X ))/ W kommensurabel . Eine verwandte Aussage von Hans Sterk ist, dass Aut( X ) auf den nef-Kegel von X mit einem rationalen polyedrischen Fundamentalbereich wirkt . ${\displaystyle \Delta}$

Beziehung zur String-Dualität

K3-Oberflächen treten in der String-Dualität fast allgegenwärtig auf und bieten ein wichtiges Werkzeug zu deren Verständnis. String-Kompaktifizierungen auf diesen Oberflächen sind nicht trivial, aber dennoch einfach genug, um die meisten ihrer Eigenschaften im Detail zu analysieren. Die Saite vom Typ IIA, die Saite vom Typ IIB, die heterotische Saite E ₈ × E _{8, die} heterotische Saite Spin(32)/Z2 und die M-Theorie sind durch Kompaktifizierung auf einer K3-Oberfläche verwandt. Zum Beispiel ist der auf einer K3-Oberfläche kompaktierte Typ IIA-String äquivalent zu dem auf einem 4-Torus kompaktierten heterotischen String ( Aspinwall (1996) ). harvtxt-Fehler: kein Ziel: CITEREFAspinwall1996 ( Hilfe )

Geschichte

Quartische Oberflächen wurden von Ernst Kummer , Arthur Cayley , Friedrich Schur und anderen Geometern des 19. Jahrhunderts untersucht. Ganz allgemein beobachtete Federigo Enriques 1893, dass es für verschiedene Zahlen g Oberflächen vom Grad 2 g −2 in mit trivialem kanonischen Bündel und Unregelmäßigkeit Null gibt. 1909 zeigte Enriques, dass solche Flächen für alle existieren , und Francesco Severi zeigte, dass der Modulraum solcher Flächen die Dimension 19 für jedes g hat . ${\displaystyle \mathbf{P} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf{P} ^{g}}$${\displaystyle g\geq 3}$

André Weil (1958) gab K3-Oberflächen ihren Namen (siehe Zitat oben) und machte mehrere einflussreiche Vermutungen über ihre Klassifizierung. Kunihiko Kodaira vervollständigte die grundlegende Theorie um 1960 und führte insbesondere die erste systematische Untersuchung komplexer analytischer K3-Flächen durch, die nicht algebraisch sind. Er zeigte, dass zwei beliebige komplexe analytische K3-Flächen verformungsäquivalent und damit diffeomorph sind, was sogar für algebraische K3-Flächen neu war. Ein wichtiger späterer Fortschritt war der Beweis des Torelli-Theorems für komplexe algebraische K3-Flächen von Ilya Piatetski-Shapiro und Igor Shafarevich (1971), erweitert auf komplexe analytische K3-Flächen von Daniel Burns und Michael Rapoport (1975).

Siehe auch

• Enriques-Oberfläche
• Tate Vermutung
• Mathieu Moonshine , eine mysteriöse Beziehung zwischen K3-Oberflächen und der Mathieu-Gruppe M24 .

Anmerkungen

Verweise

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Externe Links

• Homepage der Graded Ring Database für einen Katalog von K3-Oberflächen
• K3-Datenbank für das Computeralgebra-System Magma
• Die Geometrie von K3-Flächen , Vorträge von David Morrison (1988).