Kantorovich Ungleichung - Kantorovich inequality

In der Mathematik ist die Kantorovich-Ungleichung ein besonderer Fall der Cauchy-Schwarz-Ungleichung , die selbst eine Verallgemeinerung der Dreiecksungleichung ist .

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Länge von zwei Seiten eines Dreiecks zusammengenommen gleich oder größer als die Länge der dritten Seite ist. Im einfachsten Sinne übersetzt die Kantorovich-Ungleichung die Grundidee der Dreiecksungleichung in die Begriffe und Notationskonventionen der linearen Programmierung . ( Weitere Beispiele dafür, wie die der Dreiecksungleichung innewohnenden Grundideen - Liniensegment und Abstand - in einem breiteren Kontext verallgemeinert werden können, finden Sie unter Vektorraum , inneres Produkt und normierter Vektorraum .)

Formal kann die Kantorovich-Ungleichung folgendermaßen ausgedrückt werden:

Lassen

${\ displaystyle p_ {i} \ geq 0, \ quad 0 <a \ leq x_ {i} \ leq b {\ text {for}} i = 1, \ dots, n.}$

Lassen ${\ displaystyle A_ {n} = \ {1,2, \ dots, n \}.}$

Dann

${\ displaystyle {\ begin {align} & {} \ qquad \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1) } ^ {n} {\ frac {p_ {i}} {x_ {i}}} \ right) \\ & \ leq {\ frac {(a + b) ^ {2}} {4ab}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ right) ^ {2} - {\ frac {(ab) ^ {2}} {4ab}} \ cdot \ min \ left \ {\ left (\ sum _ {i \ in X} p_ {i} - \ sum _ {j \ in Y} p_ {j} \ right) ^ {2} \ ,: \, {X \ cup Y = A_ {n} }, {X \ cap Y = \ varnothing} \ right \}. \ End {align}}}$

Die Kantorovich-Ungleichung wird in der Konvergenzanalyse verwendet ; es begrenzt die Konvergenzrate von Cauchys steilstem Abstieg .

Äquivalente der Kantorovich-Ungleichung sind in verschiedenen Bereichen aufgetreten. Zum Beispiel entsprechen die Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky-Ungleichung und die Wielandt-Ungleichung der Kantorovich-Ungleichung, und all dies sind wiederum Sonderfälle der Hölder-Ungleichung .

Die Kantorovich Ungleichheit ist nach sowjetischem Ökonomen, Mathematiker benannt und Nobelpreis Sieger Leonid Kantorovich , ein Pionier auf dem Gebiet der linearen Programmierung .

Es gibt auch eine Matrix-Version der Kantrovich-Ungleichung aufgrund von Marshall und Olkin.

Verweise

• Weisstein, Eric W. "Kantorovich-Ungleichung" . MathWorld .
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung bei PlanetMath.org .
• Mathematische Programmierung Glossareintrag zur "Kantorovich-Ungleichung"
• MARSHALL AW und OLKIN, I., Matrixversionen der Ungleichungen von Cauchy und Kantorovieh. Aequationes Mathematicae 40 (1990), S. 89–93.

Externe Links

• Biographie von Leonid Vitalyevich Kantorovich