Keplersche Gesetze der Planetenbewegung - Kepler's laws of planetary motion

Abbildung 1: Darstellung der drei Keplerschen Gesetze mit zwei Planetenbahnen.
  1. Die Bahnen sind Ellipsen, mit Brennpunkten F 1 und F 2 für den ersten Planeten und F 1 und F 3 für den zweiten Planeten. Die Sonne steht im Brennpunkt F 1 .
  2. Die beiden schraffierten Sektoren A 1 und A 2 haben die gleiche Oberfläche und die Zeit, die Planet 1 benötigt, um das Segment A 1 zu bedecken, ist gleich der Zeit, um das Segment A 2 zu bedecken .
  3. Die Gesamtumlaufzeiten von Planet 1 und Planet 2 haben ein Verhältnis .

In der Astronomie , die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung , herausgegeben von Johannes Kepler zwischen 1609 und 1619 beschreiben die Bahnen der Planeten um die Sun . Die Gesetze modifizierten die heliozentrische Theorie von Nicolaus Copernicus , ersetzten ihre kreisförmigen Bahnen und Epizyklen durch elliptische Bahnen und erklärten, wie sich die Planetengeschwindigkeiten ändern. In den drei Gesetzen heißt es:

  1. Die Umlaufbahn eines Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte.
  2. Ein Liniensegment, das einen Planeten und die Sonne verbindet, überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen.
  3. Das Quadrat der Umlaufperiode eines Planeten ist proportional zum Kubik der Länge der großen Halbachse seiner Umlaufbahn.

Die elliptischen Bahnen von Planeten wurden durch Berechnungen der Marsbahn angezeigt . Daraus schloss Kepler, dass auch andere Körper im Sonnensystem , einschließlich der weiter von der Sonne entfernten, elliptische Bahnen haben. Der zweite Hauptsatz hilft festzustellen, dass sich ein Planet schneller fortbewegt, wenn er näher an der Sonne ist. Das dritte Gesetz besagt, dass je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto langsamer seine Umlaufgeschwindigkeit ist und umgekehrt.

Isaac Newton zeigte 1687, dass als Folge seiner eigenen Bewegungsgesetze und des Gesetzes der universellen Gravitation Beziehungen wie die von Kepler im Sonnensystem gelten würden .

Vergleich mit Copernicus

Die Gesetze von Johannes Kepler verbesserten das Modell des Kopernikus . Wenn die Exzentrizitäten der Planetenumlaufbahnen als Null genommen werden, dann im Grunde Kepler mit Kopernikus vereinbart:

  1. Die Planetenbahn ist ein Kreis mit Epizykeln.
  2. Die Sonne steht ungefähr im Zentrum der Umlaufbahn.
  3. Die Geschwindigkeit des Planeten in der Hauptumlaufbahn ist konstant.

Die Exzentrizitäten der Umlaufbahnen dieser Planeten, die Copernicus und Kepler bekannt sind, sind klein, so dass die vorstehenden Regeln gute Annäherungen an die Planetenbewegung liefern, aber die Gesetze von Kepler passen besser zu den Beobachtungen als das von Copernicus vorgeschlagene Modell. Keplers Korrekturen sind:

  1. Die Planetenbahn ist kein Kreis mit Epizykeln, sondern eine Ellipse .
  2. Die Sonne befindet sich nicht in der Nähe des Zentrums, sondern in einem Brennpunkt der elliptischen Umlaufbahn.
  3. Weder die Lineargeschwindigkeit noch die Winkelgeschwindigkeit des Planeten in der Umlaufbahn ist konstant, aber die Flächengeschwindigkeit (historisch eng mit dem Konzept des Drehimpulses verbunden ) ist konstant.

Die Exzentrizität der Erdumlaufbahn macht die Zeit von der Tagundnachtgleiche im März bis zur Tagundnachtgleiche im September etwa 186 Tage, ungleich der Zeit von der Tagundnachtgleiche im September bis zur März-Tagundnachtgleiche, etwa 179 Tage. Ein Durchmesser würde die Umlaufbahn in gleiche Teile schneiden, aber die Ebene durch die Sonne parallel zum Äquator der Erde schneidet die Umlaufbahn in zwei Teile mit Flächen in einem Verhältnis von 186 zu 179, so dass die Exzentrizität der Erdumlaufbahn ungefähr beträgt

was nahe am korrekten Wert liegt (0.016710218). Die Genauigkeit dieser Berechnung erfordert, dass die beiden gewählten Daten entlang der Nebenachse der elliptischen Umlaufbahn liegen und dass die Mittelpunkte jeder Hälfte entlang der Hauptachse liegen. Da es sich bei den beiden hier gewählten Daten um Tagundnachtgleichen handelt, ist dies korrekt, wenn das Perihel , das Datum, an dem die Erde der Sonne am nächsten ist, auf eine Sonnenwende fällt . Das aktuelle Perihel, nahe dem 4. Januar, ist ziemlich nahe an der Sonnenwende am 21. oder 22. Dezember.

Nomenklatur

Es dauerte fast zwei Jahrhunderte, bis die heutige Formulierung von Keplers Werk seine feste Form annahm. Voltaire ‚s Eléments de la philosophie de Newton ( Elemente der Newtonschen Philosophie ) von 1738 war die erste Veröffentlichung der Terminologie der‚Gesetze‘zu verwenden. Die Biographical Encyclopedia of Astronomers stellt in ihrem Artikel über Kepler (S. 620) fest, dass die Terminologie der wissenschaftlichen Gesetze für diese Entdeckungen mindestens seit der Zeit von Joseph de Lalande aktuell war . Es war die Darstellung von Robert Small in Ein Bericht über die astronomischen Entdeckungen von Kepler (1814), die den Satz von drei Gesetzen ausmachte, indem er das dritte hinzufügte. Small behauptete auch gegen die Geschichte, dass dies empirische Gesetze seien , die auf induktivem Denken beruhten .

Darüber hinaus ist die derzeitige Verwendung von "Kepler's Second Law" eine Fehlbezeichnung. Kepler hatte zwei qualitativ verwandte Versionen: das "Entfernungsgesetz" und das "Flächengesetz". Das "Flächengesetz" ist das, was in der Dreiergruppe zum zweiten Hauptsatz wurde; aber Kepler selbst hat es nicht so privilegiert.

Geschichte

Kepler veröffentlichte 1609 seine ersten beiden Gesetze über die Planetenbewegung, nachdem er sie durch die Analyse der astronomischen Beobachtungen von Tycho Brahe gefunden hatte . Keplers drittes Gesetz wurde 1619 veröffentlicht. Kepler hatte an das kopernikanische Modell des Sonnensystems geglaubt , das kreisförmige Bahnen verlangte, aber er konnte Brahes hochpräzise Beobachtungen nicht mit einer kreisförmigen Anpassung an die Umlaufbahn des Mars in Einklang bringen – Mars hatte zufällig die höchste Exzentrizität aller Planeten außer Merkur. Sein erstes Gesetz spiegelte diese Entdeckung wider.

1621 stellte Kepler fest, dass sein drittes Gesetz für die vier hellsten Monde des Jupiter gilt . Auch Godefroy Wendelin machte 1643 diese Beobachtung. Der zweite Hauptsatz in der Form des "Flächengesetzes" wurde von Nicolaus Mercator in einem Buch von 1664 bestritten, aber 1670 waren seine Philosophical Transactions dafür. Im Laufe des Jahrhunderts wurde es immer mehr akzeptiert. Die Rezeption in Deutschland änderte sich merklich zwischen 1688, dem Jahr, in dem Newtons Principia veröffentlicht wurde und im Wesentlichen als kopernikanisch angesehen wurde, und 1690, als das Werk von Gottfried Leibniz über Kepler veröffentlicht wurde.

Newton wurde das Verständnis zugeschrieben, dass das zweite Gesetz nichts Besonderes für das inverse quadratische Gesetz der Gravitation ist, da es nur eine Folge der radialen Natur dieses Gesetzes ist, während die anderen Gesetze von der inversen quadratischen Form der Anziehung abhängen. Carl Runge und Wilhelm Lenz identifizierten viel später im Phasenraum der Planetenbewegung ein Symmetrieprinzip (die orthogonale Gruppe O(4) wirkt), das im Fall der Newtonschen Gravitation den ersten und dritten Hauptsatz erklärt, wie die Drehimpulserhaltung über Rotationssymmetrie für den zweiten Hauptsatz.

Formulare

Das mathematische Modell der den Gesetzen unterworfenen Kinematik eines Planeten erlaubt eine Vielzahl weiterer Berechnungen.

Erstes Gesetz

Die Umlaufbahn jedes Planeten ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der beiden Brennpunkte .

Abbildung 2: Keplers erstes Gesetz, das die Sonne in den Brennpunkt einer elliptischen Bahn stellt
Abbildung 3: Heliozentrisches Koordinatensystem ( r , θ ) für Ellipse. Ebenfalls gezeigt sind: große Halbachse a , kleine Halbachse b und Halblatus Rektum p ; Mittelpunkt der Ellipse und ihre beiden durch große Punkte markierten Brennpunkte. Für θ = 0° , r = r min und für θ = 180° , r = r max . 

Mathematisch kann eine Ellipse durch die Formel dargestellt werden:

Dabei ist der Semilatus Rectum , ε die Exzentrizität der Ellipse, r der Abstand von der Sonne zum Planeten und θ der Winkel zur aktuellen Position des Planeten von seiner nächsten Annäherung, von der Sonne aus gesehen. ( rθ ) sind also Polarkoordinaten .

Für eine Ellipse 0 <  ε  < 1 ; im Grenzfall ε = 0 ist die Umlaufbahn ein Kreis mit der Sonne im Mittelpunkt (dh bei Null-Exzentrizität).

Bei θ = 0°, Perihel , ist der Abstand minimal

Bei θ = 90° und bei θ = 270° ist der Abstand gleich .

Bei θ = 180°, Aphel ist der Abstand maximal (per Definition ist Aphel – ausnahmslos – Perihel plus 180°)

Die große Halbachse a ist das arithmetische Mittel zwischen r min und r max :

Die kleine Halbachse b ist das geometrische Mittel zwischen r min und r max :

Der Semilatus rectum p ist das harmonische Mittel zwischen r min und r max :

Die Exzentrizität ε ist der Variationskoeffizient zwischen r min und r max :

Die Fläche der Ellipse ist

Der Spezialfall eines Kreises ist ε = 0, was zu r = p = r min = r max = a = b und A = πr 2 führt .

Zweites Gesetz

Eine Linie, die einen Planeten und die Sonne verbindet, überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen.

Die gleiche (blaue) Fläche wird in einem festgelegten Zeitraum ausgekehrt. Der grüne Pfeil ist die Geschwindigkeit. Der zur Sonne gerichtete violette Pfeil ist die Beschleunigung. Die anderen beiden lila Pfeile sind Beschleunigungskomponenten parallel und senkrecht zur Geschwindigkeit.

Der Bahnradius und die Winkelgeschwindigkeit des Planeten auf der elliptischen Bahn werden variieren. Dies wird in der Animation gezeigt: Der Planet bewegt sich schneller, wenn er näher an der Sonne ist, dann langsamer, wenn er weiter von der Sonne entfernt ist. Das zweite Keplersche Gesetz besagt, dass der blaue Sektor eine konstante Fläche hat.

In einer kleinen Zeit nach Behandlung des Planeten - Sweeps aus einem kleinen Dreieck Basislinie und Höhe und Fläche , so dass die konstanten Flächengeschwindigkeit ist

Die von der elliptischen Bahn umschlossene Fläche beträgt . Der Zeitraum erfüllt also

und die mittlere Bewegung des Planeten um die Sonne

erfüllt

Und so,

Drittes Gesetz

Das Verhältnis des Quadrats der Umlaufperiode eines Objekts zum Kubus der großen Halbachse seiner Umlaufbahn ist für alle Objekte, die dieselbe Primärachse umkreisen, gleich.

Dies erfasst die Beziehung zwischen der Entfernung der Planeten von der Sonne und ihren Umlaufzeiten.

Dieses dritte Gesetz formulierte Kepler 1619 in einem mühsamen Versuch, die aus seiner Sicht „ Sphärenmusik “ nach genauen Gesetzmäßigkeiten zu bestimmen und in musikalischer Notation auszudrücken. Es wurde daher als harmonisches Gesetz bezeichnet .

Mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz (veröffentlicht 1687) kann dieser Zusammenhang im Fall einer Kreisbahn gefunden werden, indem man die Zentripetalkraft gleich der Gravitationskraft setzt:

Wenn wir dann die Winkelgeschwindigkeit in Bezug auf die Umlaufperiode ausdrücken und dann neu anordnen, finden wir das dritte Keplersche Gesetz:

Eine detailliertere Herleitung kann mit allgemeinen elliptischen Bahnen anstelle von Kreisen sowie mit Umlaufbahnen des Massenmittelpunkts anstelle nur der großen Masse erfolgen. Dies führt dazu, dass ein Kreisradius durch die große Halbachse der elliptischen Relativbewegung einer Masse relativ zur anderen ersetzt wird sowie die große Masse durch ersetzt wird . Da die Planetenmassen jedoch so viel kleiner sind als die Sonne, wird diese Korrektur oft ignoriert. Die vollständige entsprechende Formel lautet:

Wo ist die Masse der Sonne , ist die Masse des Planeten, ist die Gravitationskonstante , ist die Umlaufzeit und ist die elliptische Haupthalbachse und ist die Astronomische Einheit , die durchschnittliche Entfernung von der Erde zur Sonne.

Die folgende Tabelle zeigt die Daten, die Kepler verwendet hat, um sein Gesetz empirisch abzuleiten:

Von Kepler (1618) verwendete Daten
Planet Mittlerer Abstand
zur Sonne (AU)
Zeitraum
(Tage)
 (10 -6  AE 3 /Tag 2 )
Quecksilber 0,389 87.77 7,64
Venus 0,724 224.70 7,52
Erde 1 365,25 7,50
Mars 1,524 686,95 7,50
Jupiter 5.20 4332.62 7,49
Saturn 9.510 10759.2 7,43

Als Kepler dieses Muster fand, schrieb er:

Ich glaubte zuerst zu träumen... Aber es ist absolut sicher und genau, dass das Verhältnis, das zwischen den Periodenzeiten zweier Planeten besteht, genau das Verhältnis der 3/2-ten Potenz der mittleren Entfernung ist.

—  übersetzt aus Harmonien der Welt von Kepler (1619)
Log-Log-Diagramm der Periode T gegen die große Halbachse a (Durchschnitt von Aphel und Perihel) einiger Umlaufbahnen des Sonnensystems (Kreuze, die die Kepler-Werte angeben) zeigt, dass a ³/ T ² konstant ist (grüne Linie)

Zum Vergleich hier moderne Schätzungen:

Moderne Daten (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018)
Planet Große Halbachse (AU) Zeitraum (Tage)  (10 -6  AE 3 /Tag 2 )
Quecksilber 0,38710 87.9693 7.496
Venus 0,72333 224.7008 7.496
Erde 1 365.2564 7.496
Mars 1.52366 686.9796 7.495
Jupiter 5.20336 4332.8201 7.504
Saturn 9.53707 10775.599 7.498
Uranus 19.1913 30687.153 7.506
Neptun 30.0690 60190.03 7.504

Planetenbeschleunigung

Isaac Newton hat in seinem Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica die Beschleunigung eines Planeten berechnet, der sich nach dem ersten und zweiten Keplerschen Gesetz bewegt.

  1. Die Richtung der Beschleunigung geht zur Sonne.
  2. Die Größe der Beschleunigung ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung des Planeten von der Sonne (das Gesetz der inversen Quadrate ).

Dies impliziert, dass die Sonne die physikalische Ursache für die Beschleunigung von Planeten sein könnte. Newton stellt jedoch in seinen Principia fest, dass er Kräfte aus einem mathematischen und nicht aus einem physikalischen Blickwinkel betrachtet und dabei eine instrumentalistische Sichtweise vertritt. Außerdem ordnet er der Schwerkraft keine Ursache zu.

Newton definierte die auf einen Planeten wirkende Kraft als Produkt seiner Masse und der Beschleunigung (siehe Newtons Bewegungsgesetze ). So:

  1. Jeder Planet wird von der Sonne angezogen.
  2. Die auf einen Planeten wirkende Kraft ist direkt proportional zur Masse des Planeten und umgekehrt proportional zum Quadrat seiner Entfernung von der Sonne.

Die Sonne spielt eine unsymmetrische Rolle, die nicht gerechtfertigt ist. Also nahm er im Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation an :

  1. Alle Körper im Sonnensystem ziehen sich an.
  2. Die Kraft zwischen zwei Körpern ist direkt proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen.

Da die Planeten im Vergleich zur Sonne geringe Massen haben, entsprechen die Bahnen in etwa den Keplerschen Gesetzen. Das Newton-Modell verbessert das Kepler-Modell und passt die tatsächlichen Beobachtungen genauer an. (Siehe Zweikörperproblem .)

Unten folgt die detaillierte Berechnung der Beschleunigung eines Planeten, der sich nach dem ersten und zweiten Gesetz von Kepler bewegt.

Beschleunigungsvektor

Betrachten Sie aus heliozentrischer Sicht den Vektor zum Planeten, wo die Entfernung zum Planeten und ein Einheitsvektor zum Planeten ist.

wobei ist der Einheitsvektor, dessen Richtung 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn von ist , und ist der Polarwinkel, und wobei ein Punkt über der Variablen eine Differenzierung nach der Zeit bedeutet.

Differenzieren Sie den Positionsvektor zweimal, um den Geschwindigkeitsvektor und den Beschleunigungsvektor zu erhalten:

So

wo die radiale Beschleunigung ist

und die Querbeschleunigung ist

Inverses quadratisches Gesetz

Das zweite Keplersche Gesetz besagt das

ist konstant.

Die Querbeschleunigung ist Null:

Die Beschleunigung eines Planeten, der dem zweiten Keplerschen Gesetz gehorcht, ist also auf die Sonne gerichtet.

Die Radialbeschleunigung ist

Das erste Keplersche Gesetz besagt, dass die Umlaufbahn durch die Gleichung beschrieben wird:

Differenzierung nach Zeit

oder

Noch einmal differenzieren

Die Radialbeschleunigung erfüllt

Einsetzen der Ellipsengleichung ergibt

Die Beziehung liefert das einfache Endergebnis

Dies bedeutet, dass der Beschleunigungsvektor eines Planeten, der dem ersten und zweiten Keplerschen Gesetz gehorcht, das inverse quadratische Gesetz erfüllt

wo

ist eine Konstante und ist der Einheitsvektor, der von der Sonne zum Planeten zeigt, und ist der Abstand zwischen dem Planeten und der Sonne.

Da die mittlere Bewegung wo ist, hat die Periode nach dem dritten Keplerschen Gesetz für alle Planeten den gleichen Wert. Das inverse quadratische Gesetz für planetare Beschleunigungen gilt also im gesamten Sonnensystem.

Das inverse quadratische Gesetz ist eine Differentialgleichung . Die Lösungen dieser Differentialgleichung umfassen die Keplerschen Bewegungen, wie gezeigt, aber sie umfassen auch Bewegungen, bei denen die Umlaufbahn eine Hyperbel oder Parabel oder eine gerade Linie ist . (Siehe Kepler-Bahn .)

Newtons Gravitationsgesetz

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Gravitationskraft, die auf den Planeten wirkt:

wo ist die Masse des Planeten und hat den gleichen Wert für alle Planeten im Sonnensystem. Nach dem dritten Newtonschen Gesetz wird die Sonne von einer gleich großen Kraft vom Planeten angezogen. Da die Kraft proportional zur Masse des Planeten ist, sollte sie unter der symmetrischen Betrachtung auch proportional zur Masse der Sonne sein, . So

wo ist die Gravitationskonstante .

Die Beschleunigung der Körperzahl i des Sonnensystems ist nach den Newtonschen Gesetzen:

wo ist die Masse von Körper j , ist der Abstand zwischen Körper i und Körper j , ist der Einheitsvektor von Körper i zu Körper j , und die Vektorsumme gilt für alle Körper im Sonnensystem außer i selbst.

In dem Sonderfall, in dem es nur zwei Körper im Sonnensystem gibt, Erde und Sonne, wird die Beschleunigung zu

das ist die Beschleunigung der Kepler-Bewegung. Diese Erde bewegt sich also nach den Keplerschen Gesetzen um die Sonne.

Wenn die beiden Körper im Sonnensystem Mond und Erde sind, wird die Beschleunigung des Mondes

In dieser Näherung bewegt sich der Mond also nach den Keplerschen Gesetzen um die Erde.

Im Dreikörperfall sind die Beschleunigungen

Diese Beschleunigungen sind nicht die von Kepler-Bahnen, und das Dreikörperproblem ist kompliziert. Aber die Keplersche Näherung ist die Grundlage für Störungsrechnungen . (Siehe Mondtheorie .)

Position als Funktion der Zeit

Kepler verwendete seine beiden ersten Gesetze, um die Position eines Planeten als Funktion der Zeit zu berechnen. Seine Methode beinhaltet die Lösung einer transzendenten Gleichung namens Kepler-Gleichung .

Die Berechnung der heliozentrischen Polarkoordinaten ( r , θ ) eines Planeten als Funktion der Zeit t seit Perihel erfolgt in fünf Schritten:

  1. Berechnen Sie die mittlere Bewegung n  = (2 π Radiant)/ P , wobei P die Periode ist.
  2. Berechnen Sie die mittlere Anomalie M  =  nt , wobei t die Zeit seit dem Perihel ist.
  3. Berechnen Sie die exzentrische Anomalie E, indem Sie die Kepler-Gleichung lösen:
    wo ist die exzentrizität.
  4. Berechnen Sie die wahre Anomalie θ, indem Sie die Gleichung lösen:
  5. Berechnen Sie den heliozentrischen Abstand r :
    wo ist die große Halbachse.

Der kartesische Geschwindigkeitsvektor kann dann berechnet werden als , wobei der Standardgravitationsparameter ist .

Der wichtige Spezialfall der Kreisbahn, ε  = 0, gibt θ = E = M . Da die gleichmäßige Kreisbewegung als normal angesehen wurde , wurde eine Abweichung von dieser Bewegung als Anomalie betrachtet .

Der Beweis für dieses Verfahren ist unten gezeigt.

Mittlere Anomalie, M

Abbildung 5: Geometrische Konstruktion für Keplers Berechnung von θ. Die Sonne (im Brennpunkt) ist mit S und der Planet P bezeichnet . Der Hilfskreis ist eine Berechnungshilfe. Die Linie xd verläuft senkrecht zur Basis und durch den Planeten P . Die schattierten Sektoren werden durch Positionierung des Punktes y so angeordnet, dass sie gleiche Flächen haben .

Das Keplersche Problem geht von einer elliptischen Bahn und den vier Punkten aus:

  • s die Sonne (an einem Brennpunkt der Ellipse);
  • z das Perihel
  • c die Mitte der Ellipse
  • p der Planet

und

Abstand zwischen Zentrum und Perihel, die große Halbachse ,
die Exzentrizität ,
die kleine Halbachse ,
der Abstand zwischen Sonne und Planet.
die Richtung zum Planeten von der Sonne aus gesehen, die wahre Anomalie .

Das Problem besteht darin, die Polarkoordinaten ( r , θ ) des Planeten aus der Zeit seit dem Perihelt, zu berechnen .

Es wird in Schritten gelöst. Kepler betrachtete den Kreis mit der Hauptachse als Durchmesser, und

die Projektion des Planeten auf den Hilfskreis
den Punkt auf dem Kreis so, dass die Sektorflächen | zcy | und | zsx | sind gleich,
die mittlere Anomalie .

Die Sektorbereiche sind verbunden durch

Der Kreissektor Bereich

Das seit dem Perihel gefegte Gebiet,

ist nach dem zweiten Keplerschen Gesetz proportional zur Zeit seit dem Perihel. Die mittlere Anomalie M ist also proportional zur Zeit seit dem Perihel, t .

wobei n die mittlere Bewegung ist .

Exzentrische Anomalie, E

Wenn die mittlere Anomalie M berechnet wird, ist das Ziel , die wahre Anomalie zu berechnen θ . Die Funktion θ  =  f ( M ) ist jedoch nicht elementar. Keplers Lösung ist zu verwenden

, x von der Mitte aus gesehen, die exzentrische Anomalie

als Zwischenvariable und erste Rechen E als Funktion von M durch nachfolgend Kepler-Gleichung zu lösen, und dann berechnet die wahre Anomalie θ von der exzentrischen Anomalie E . Hier sind die Details.

Division durch a 2 /2 ergibt die Kepler-Gleichung

Diese Gleichung gibt M als Funktion von E an . Die Bestimmung von E für ein gegebenes M ist das inverse Problem. Iterative numerische Algorithmen werden häufig verwendet.

Nachdem die exzentrische Anomalie E berechnet wurde , besteht der nächste Schritt darin, die wahre Anomalie θ zu berechnen  .

Beachten Sie jedoch: Kartesische Positionskoordinaten in Bezug auf den Mittelpunkt der Ellipse sind ( a  cos  Eb  sin  E )

Bezogen auf die Sonne (mit Koordinaten ( c ,0) = ( ae ,0) ), r = ( a  cos  Eae , b  sin  E )

Die wahre Anomalie wäre arctan( r y / r x ), die Größe von r wäre r  ·  r .

Wahre Anomalie, θ

Beachten Sie aus der Abbildung, dass

so dass

Dividieren durch und Einsetzen aus dem ersten Keplerschen Gesetz

bekommen

Das Ergebnis ist eine brauchbare Beziehung zwischen der exzentrischen Anomalie E und der wahren Anomalie  θ .

Eine rechnerisch bequemere Form folgt durch Einsetzen in die trigonometrische Identität :

Werden

Multiplizieren mit 1 +  ε ergibt das Ergebnis

Dies ist der dritte Schritt in der Verbindung zwischen Zeit und Position in der Umlaufbahn.

Entfernung, r

Der vierte Schritt besteht darin, den heliozentrischen Abstand r von der wahren Anomalie θ nach dem ersten Keplerschen Gesetz zu berechnen :

Unter Verwendung der obigen Beziehung zwischen θ und E lautet die endgültige Gleichung für den Abstand r :

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Im Jahr 1621 bemerkte Johannes Kepler in seinem Epitome Astronomiae Copernicanae [Inbegriff der kopernikanischen Astronomie] (Linz ("Lentiis ad Danubium"), (Österreich): Johann Planck, 1622), Buch 4 ., dass die Monde des Jupiter (ungefähr) seinem dritten Gesetz gehorchen, Teil 2, Seiten 554–555 . Aus S. 554–555: „ … plane ut est cum sex planet circa Solem, … prodit Marius in suo mundo Ioviali ista 3.5.8.13 (vel 14. Galilæo) … Periodica vero tempora prodit idem Marius … sunt maiora simplis, minora vero duplis ." (…so wie es unter den sechs Planeten um die Sonne eindeutig [wahr] ist, so ist es auch unter den vier [Monden] des Jupiter, denn um den Körper des Jupiter kreist jeder [Satellit], der sich weiter von ihm entfernen kann, langsamer und sogardass [Orbits Periode] ist im gleichen Verhältnis nicht, aber größer [als der Abstand von Jupiter], die, 3/2 (ist sescupla ) des Anteils von jedem der Abstände von Jupiter, die eindeutig die sehr [Proportion] wie für die sechs Planeten oben verwendet.In seinem [Buch] The World of Jupiter [ Mundus Jovialis , 1614] stellt [Simon Mayr oder] "Marius" [ 1573- 1624 ] diese Entfernungen von Jupiter der vier [Monde] von Jupiter: 3, 5, 8, 13 (oder 14 [nach] Galileo) [Anmerkung: Die Abstände der Jupitermonde von Jupiter werden als Vielfache des Jupiterdurchmessers ausgedrückt.] … Mayr stellt ihre Zeiträume vor: 1 Tag 18 1/2 Stunden, 3 Tage 13 1/3 Stunden, 7 Tage 2 Stunden, 16 Tage 18 Stunden: für alle [diese Daten] ist der Anteil größer als das Doppelte, also größer als [der pro Anteil] der Abstände 3, 5, 8, 13 oder 14, obwohl kleiner als [der Anteil] der Quadrate, die die Anteile der Abstände verdoppeln, nämlich 9, 25, 64, 169 oder 196, ebenso wie [eine Potenz of] 3/2 ist ebenfalls größer als 1, aber kleiner als 2.)
  2. ^ Godefroy Wendelin schrieb einen Brief an Giovanni Battista Riccioli über die Beziehung zwischen den Abständen der Jupitermonde vom Jupiter und den Perioden ihrer Umlaufbahnen und zeigte, dass die Perioden und Abstände dem dritten Keplerschen Gesetz entsprachen. Siehe: Joanne Baptista Riccioli, Almagestum novum ... (Bologna (Bononia), (Italien): Victor Benati, 1651), Band 1, Seite 492 Scholia III. Am Rand neben dem entsprechenden Absatz steht: Vendelini ingeniosa speculatio circa motus & intervalla satellitum Jovis . (Wendelins kluge Spekulation über die Bewegung und Entfernungen der Jupiter-Satelliten.) Von S. 492: "III. Non minus Kepleriana ingeniosa est Vendelini … & D. 7. 164/1000. pro penextimo, & D. 16. 756/1000. pro extimo." (Nicht weniger geschickt [als] Keplers ist die eifrigste Untersuchung des Astronomen Wendelin über das Verhältnis der Perioden und Entfernungen der Jupiter-Satelliten, die er mir mit großer Großzügigkeit [in] einem sehr langen und sehr gelehrten Brief mitgeteilt hatte. Also, einfach wie bei den größeren Planeten liegen die mittleren Entfernungen der Planeten von der Sonne jeweils im Verhältnis 3/2 ihrer Perioden; daher sind die Entfernungen dieser kleinen Planeten des Jupiter vom Jupiter (die 3, 5, 8 , und 14) stehen jeweils im Verhältnis von 3/2 [ihrer] Perioden (das sind 1,769 Tage für die innerste [Io], 3,554 Tage für die nächstgelegene [Europa], 7,164 Tage für die nächstgelegene [ Ganymed] und 16.756 Tage für den äußersten [Callisto]).)

Verweise

Literaturverzeichnis

  • Keplers Leben auf den Seiten 523-627 und Buch Fünf sein zusammengefasst Magnum Opus , Harmonice Mundi ( Harmonien der Welt ), ist auf den Seiten 635-732 abgedruckt von Auf den Schultern von Riesen : Die großen Werke für Physik und Astronomie (Werke von Copernicus, Kepler , Galileo , Newton und Einstein ). Stephen Hawking , Hrsg. 2002 ISBN  0-7624-1348-4
  • Eine Ableitung des dritten Keplerschen Planetenbewegungsgesetzes ist ein Standardthema im Unterricht der Technischen Mechanik. Siehe zum Beispiel Seiten 161–164 von Meriam, JL (1971) [1966]. Dynamik, 2. Aufl . New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-59601-1..
  • Murray und Dermott, Solar System Dynamics, Cambridge University Press 1999, ISBN  0-521-57597-4
  • VI Arnold, Mathematische Methoden der klassischen Mechanik, Kapitel 2. Springer 1989, ISBN  0-387-96890-3

Externe Links