Kinetische Energie - Kinetic energy

Kinetische Energie
Die Autos einer Achterbahn erreichen ihre maximale kinetische Energie, wenn sie am unteren Ende des Weges sind. Wenn sie ansteigen, beginnt die kinetische Energie in potentielle Gravitationsenergie umgewandelt zu werden . Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie im System bleibt konstant, Reibungsverluste vernachlässigt .
Gemeinsame Symbole	KE, E k , T oder
SI-Einheit	Joule (J)
Ableitungen von anderen Mengen	E k = 1/2m v 2 E k = E t + E r

Teil einer Serie über
Klassische Mechanik
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Zweites Bewegungsgesetz
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v T e

Unbekannter Maler: Émilie du Châtelet (1706-1749) mit einem Zirkel in der rechten Hand. Sie war die erste, die den Zusammenhang für kinetische Energie veröffentlichte . Dies bedeutet, dass ein Objekt mit doppelter Geschwindigkeit viermal – 2x2 – härter trifft.${\displaystyle E_{\text{kin}}\propto mv^{2}}$

In der Physik ist die kinetische Energie eines Objekts die Energie , die es aufgrund seiner Bewegung besitzt . Sie ist definiert als die Arbeit, die benötigt wird, um einen Körper einer bestimmten Masse aus dem Ruhezustand auf seine angegebene Geschwindigkeit zu beschleunigen . Nachdem der Körper diese Energie während seiner Beschleunigung gewonnen hat , behält er diese kinetische Energie bei, solange sich seine Geschwindigkeit nicht ändert. Die gleiche Arbeit verrichtet der Körper beim Verzögern von seiner aktuellen Geschwindigkeit in einen Ruhezustand.

In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie eines nicht rotierenden Objekts der Masse m , das sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt . In der relativistischen Mechanik ist dies nur dann eine gute Näherung, wenn v viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist . ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Die Standardeinheit der kinetischen Energie ist das Joule , während die englische Einheit der kinetischen Energie das Foot-Pfund ist .

Geschichte und Etymologie

Das Adjektiv kinetisch hat seine Wurzeln im griechischen Wort κίνησις kinesis , was „Bewegung“ bedeutet. Die Dichotomie zwischen kinetischer Energie und potentieller Energie lässt sich auf Aristoteles Konzepte von Aktualität und Potenzialität zurückführen .

Das Prinzip in der klassischen Mechanik , dass E & agr; mv ² wurde zuerst von entwickelt Gottfried Leibniz und Johann Bernoulli , die kinetische Energie als die beschriebenen Lebenskraft , vis viva . Willems Gravesande aus den Niederlanden lieferte experimentelle Beweise für diesen Zusammenhang. Durch das Fallenlassen von Gewichten aus verschiedenen Höhen in einen Tonblock stellte Willem's Gravesande fest, dass ihre Eindringtiefe proportional zum Quadrat ihrer Aufprallgeschwindigkeit war. Émilie du Châtelet erkannte die Implikationen des Experiments und veröffentlichte eine Erklärung.

Die Begriffe kinetische Energie und Arbeit in ihrer heutigen wissenschaftlichen Bedeutung stammen aus der Mitte des 19. Jahrhunderts. Frühes Verständnis dieser Ideen kann Gaspard-Gustave Coriolis zugeschrieben werden , der 1829 das Papier mit dem Titel Du Calcul de l'Effet des Machines veröffentlichte , in dem die Mathematik der kinetischen Energie skizziert wurde. William Thomson , später Lord Kelvin, wird die Prägung des Begriffs "kinetische Energie" zugeschrieben. c. 1849–51. Rankine , der 1853 den Begriff "potentielle Energie" und den Ausdruck "tatsächliche Energie" eingeführt hatte, um ihn zu ergänzen, zitiert später William Thomson und Peter Tait als Ersatz für "tatsächlich" durch das Wort "kinetisch".

Überblick

Energie kommt in vielen Formen vor, einschließlich chemischer Energie , thermischer Energie , elektromagnetischer Strahlung , Gravitationsenergie , elektrischer Energie , elastischer Energie , Kernenergie und Ruheenergie . Diese können in zwei Hauptklassen eingeteilt werden: potentielle Energie und kinetische Energie. Kinetische Energie ist die Bewegungsenergie eines Objekts. Kinetische Energie kann zwischen Objekten übertragen und in andere Energiearten umgewandelt werden.

Kinetische Energie lässt sich am besten anhand von Beispielen verstehen, die zeigen, wie sie in und aus anderen Energieformen umgewandelt wird. Ein Radfahrer verwendet beispielsweise chemische Energie, die durch die Nahrung bereitgestellt wird , um ein Fahrrad auf eine gewählte Geschwindigkeit zu beschleunigen. Auf ebenem Untergrund kann diese Geschwindigkeit ohne weitere Arbeit gehalten werden, außer um Luftwiderstand und Reibung zu überwinden . Die chemische Energie wurde in kinetische Energie, die Bewegungsenergie, umgewandelt, aber der Prozess ist nicht vollständig effizient und erzeugt Wärme innerhalb des Radfahrers.

Die kinetische Energie des sich bewegenden Radfahrers und des Fahrrads kann in andere Formen umgewandelt werden. Zum Beispiel könnte der Radfahrer auf einen Hügel stoßen, der gerade hoch genug ist, um hochzurollen, so dass das Fahrrad oben vollständig zum Stehen kommt. Die kinetische Energie wurde nun weitgehend in potentielle Gravitationsenergie umgewandelt, die durch Freilauf auf der anderen Seite des Hügels freigesetzt werden kann. Da das Fahrrad einen Teil seiner Energie durch Reibung verloren hat, erreicht es ohne zusätzliches Treten nie seine volle Geschwindigkeit. Die Energie wird nicht zerstört; es ist nur durch Reibung in eine andere Form umgewandelt worden. Alternativ könnte der Radfahrer einen Dynamo an eines der Räder anschließen und bei der Abfahrt elektrische Energie erzeugen. Das Fahrrad würde am Fuß des Hügels langsamer fahren als ohne den Generator, da ein Teil der Energie in elektrische Energie umgewandelt wurde. Eine andere Möglichkeit wäre, dass der Radfahrer bremst, wobei die kinetische Energie durch Reibung als Wärme abgebaut würde .

Wie jede physikalische Größe, die eine Funktion der Geschwindigkeit ist, hängt die kinetische Energie eines Objekts von der Beziehung zwischen dem Objekt und dem Bezugssystem des Beobachters ab . Somit ist die kinetische Energie eines Objekts nicht invariant .

Raumfahrzeuge verwenden chemische Energie, um zu starten, und gewinnen beträchtliche kinetische Energie, um Bahngeschwindigkeit zu erreichen . Bei einer vollständig kreisförmigen Umlaufbahn bleibt diese kinetische Energie konstant, da es im erdnahen Raum fast keine Reibung gibt. Es wird jedoch beim Wiedereintritt sichtbar, wenn ein Teil der kinetischen Energie in Wärme umgewandelt wird. Wenn die Umlaufbahn elliptisch oder hyperbolisch ist , werden während der Umlaufbahn kinetische und potentielle Energie ausgetauscht; Die kinetische Energie ist am größten und die potentielle Energie am niedrigsten bei der nächsten Annäherung an die Erde oder einen anderen massiven Körper, während die potentielle Energie am größten und die kinetische Energie am niedrigsten bei maximaler Entfernung ist. Ohne Verlust oder Gewinn bleibt jedoch die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant.

Kinetische Energie kann von einem Objekt auf ein anderes übertragen werden. Beim Billardspiel übt der Spieler kinetische Energie auf den Spielball aus, indem er ihn mit dem Queue anschlägt. Wenn die Spielkugel mit einer anderen Kugel kollidiert, verlangsamt sie sich dramatisch, und die getroffene Kugel beschleunigt ihre Geschwindigkeit, da die kinetische Energie an sie weitergegeben wird. Kollisionen beim Billard sind effektiv elastische Kollisionen , bei denen kinetische Energie erhalten bleibt. Bei unelastischen Stößen wird kinetische Energie in verschiedene Energieformen wie Wärme, Schall, Bindungsenergie (Aufbrechen gebundener Strukturen) dissipiert.

Schwungräder wurden als Methode zur Energiespeicherung entwickelt . Dies verdeutlicht, dass auch in Rotationsbewegungen kinetische Energie gespeichert wird.

Es gibt mehrere mathematische Beschreibungen der kinetischen Energie, die sie in der entsprechenden physikalischen Situation beschreiben. Für Gegenstände und Prozesse der allgemeinen menschlichen Erfahrung ist die Formel ½mv² der Newtonschen (klassischen) Mechanik geeignet. Wenn jedoch die Geschwindigkeit des Objekts mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar ist, werden relativistische Effekte signifikant und die relativistische Formel wird verwendet. Wenn sich das Objekt auf der atomaren oder subatomaren Skala befindet , sind quantenmechanische Effekte signifikant und ein quantenmechanisches Modell muss verwendet werden.

Newtonsche kinetische Energie

Kinetische Energie starrer Körper

In der klassischen Mechanik hängt die kinetische Energie eines punktförmigen Objekts (ein Objekt, das so klein ist, dass seine Masse angenommen werden kann, dass es an einem Punkt existiert) oder eines nicht rotierenden starren Körpers von der Masse des Körpers sowie seiner Geschwindigkeit ab . Die kinetische Energie ist gleich 1/2 des Produkts aus Masse und dem Quadrat der Geschwindigkeit. In Formelform:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

wo ist die Masse und ist die Geschwindigkeit (oder die Geschwindigkeit) des Körpers. In SI- Einheiten wird die Masse in Kilogramm , die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde und die resultierende kinetische Energie in Joule gemessen . ${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$

Zum Beispiel würde man die kinetische Energie einer 80 kg schweren Masse (ca. 180 lbs) berechnen, die mit 18 Metern pro Sekunde (ca

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s} }\right)^{2}=12.960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}}$

Wenn eine Person einen Ball wirft, hat die Person Arbeit auf , um es Geschwindigkeit zu geben , wie er die Hand verlässt. Der sich bewegende Ball kann dann auf etwas treffen und es schieben, wobei er an dem arbeitet, was er trifft. Die kinetische Energie eines sich bewegenden Objekts ist gleich der Arbeit, die erforderlich ist, um es aus dem Ruhezustand auf diese Geschwindigkeit zu bringen, oder die Arbeit, die das Objekt leisten kann, während es zur Ruhe gebracht wird: Nettokraft × Verschiebung = kinetische Energie , dh

${\displaystyle Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Da die kinetische Energie mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunimmt, hat ein Objekt, das seine Geschwindigkeit verdoppelt, viermal so viel kinetische Energie. Beispielsweise benötigt ein Auto, das doppelt so schnell fährt wie ein anderes, bei konstanter Bremskraft viermal so viel Weg zum Anhalten. Als Folge dieser Vervierfachung ist es viermal so viel Arbeit, die Geschwindigkeit zu verdoppeln.

Die kinetische Energie eines Objekts hängt mit seinem Impuls durch die Gleichung zusammen:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

wo:

• ${\displaystyle p}$ ist Schwung
• ${\displaystyle m}$ ist die Masse des Körpers

Für die translatorische kinetische Energie, d. h. die mit der geradlinigen Bewegung verbundene kinetische Energie , eines starren Körpers mit konstanter Masse , dessen Massenschwerpunkt sich geradlinig mit der Geschwindigkeit bewegt, ist , wie oben gesehen, gleich ${\displaystyle m}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

wo:

• ${\displaystyle m}$ ist die Masse des Körpers
• ${\displaystyle v}$ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunktes des Körpers.

Die kinetische Energie jeder Entität hängt vom Bezugssystem ab, in dem sie gemessen wird. Die Gesamtenergie eines isolierten Systems, dh eines Systems, in das Energie weder ein- noch austreten kann, ändert sich jedoch im Bezugssystem, in dem sie gemessen wird, über die Zeit nicht. Somit wird die chemische Energie, die von einem Raketenmotor in kinetische Energie umgewandelt wird, je nach gewähltem Bezugssystem unterschiedlich zwischen dem Raketenschiff und seinem Abgasstrom aufgeteilt. Dies wird als Oberth-Effekt bezeichnet . Die Gesamtenergie des Systems, einschließlich kinetischer Energie, chemischer Energie des Brennstoffs, Wärme usw., bleibt jedoch im Laufe der Zeit erhalten, unabhängig von der Wahl des Bezugssystems. Unterschiedliche Beobachter, die sich mit unterschiedlichen Referenzsystemen bewegen, würden sich jedoch über den Wert dieser Energieerhaltung nicht einig sein.

Die kinetische Energie solcher Systeme hängt von der Wahl des Bezugssystems ab: Das Bezugssystem, das den minimalen Wert dieser Energie angibt, ist das Zentrum des Impulssystems , dh das Bezugssystem, in dem der Gesamtimpuls des Systems Null ist. Diese minimale kinetische Energie trägt zur invarianten Masse des Gesamtsystems bei.

Ableitung

Ohne Vektoren und Kalkül

Die Arbeit W, die eine Kraft F auf ein Objekt über eine Strecke s parallel zu F verrichtet , ist gleich

${\displaystyle W=F\cdot s}$.

Verwenden des zweiten Newtonschen Gesetzes

${\displaystyle F=ma}$

mit m die Masse und a die Beschleunigung des Objekts und

${\displaystyle s={\frac {at^{2}}{2}}}$

die Strecke, die das beschleunigte Objekt in der Zeit t zurücklegt , finden wir mit für die Geschwindigkeit v des Objekts ${\displaystyle v=at}$

${\displaystyle W=ma{\frac {at^{2}}{2}}={\frac {m(at)^{2}}{2}}={\frac {mv^{2}}{ 2}}.}$

Mit Vektoren und Kalkül

Die Arbeit, die bei der Beschleunigung eines Teilchens der Masse m während des infinitesimalen Zeitintervalls dt geleistet wird, ergibt sich aus dem Skalarprodukt der Kraft F und der infinitesimalen Verschiebung d x

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )\,,}$

wobei wir die Beziehung p  =  m  v und die Gültigkeit des zweiten Newtonschen Gesetzes angenommen haben . (Siehe jedoch auch die spezielle relativistische Herleitung unten .)

Wenn wir die Produktregel anwenden , sehen wir Folgendes:

${\displaystyle d(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=(d\mathbf{v})\cdot\mathbf{v} +\mathbf{v} \cdot(d\mathbf{v}) =2(\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v}).}$

Daher (unter der Annahme konstanter Masse mit dm = 0) gilt:

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac { m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac{mv^{2}}{2}}\right).}$

Da dies ein totales Differential ist (dh es hängt nur vom Endzustand ab, nicht davon, wie das Teilchen dorthin gelangt ist), können wir es integrieren und das Ergebnis kinetische Energie nennen. Unter der Annahme, dass das Objekt zum Zeitpunkt 0 in Ruhe war, integrieren wir vom Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt t, da die Arbeit, die die Kraft verrichtet, um das Objekt aus dem Ruhezustand auf die Geschwindigkeit v zu bringen, gleich der Arbeit ist, die erforderlich ist, um das Gegenteil zu tun:

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int_{0}^{t}\mathbf {v } \cdot d(m\mathbf{v})=\int_{0}^{t}d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)={\frac {mv ^{2}}{2}}.}$

Diese Gleichung besagt, dass die kinetische Energie ( E _k ) gleich dem Integral des Skalarprodukts der Geschwindigkeit ( v ) eines Körpers und der infinitesimalen Änderung des Impulses des Körpers ( p ) ist. Es wird angenommen, dass der Körper in Ruhe (bewegungslos) ohne kinetische Energie startet.

Rotierende Körper

Wenn ein starrer Körper Q um eine beliebige Linie durch den Massenmittelpunkt rotiert, hat er eine kinetische Rotationsenergie ( ), die einfach die Summe der kinetischen Energien seiner beweglichen Teile ist und somit gegeben ist durch: ${\displaystyle E_{\text{r}}\,}$

${\displaystyle E_{\text{r}}=\int_{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int_{Q}{\frac {(r\omega)^ {2}dm}{2}}={\frac{\omega^{2}}{2}}\int_{Q}{r^{2}}dm={\frac{\omega^{2} }{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

wo:

• ω ist die Winkelgeschwindigkeit des Körpers
• r ist der Abstand einer beliebigen Masse dm von dieser Linie
• ${\displaystyle I}$ist das Trägheitsmoment des Körpers , gleich .${\textstyle \int _{Q}{r^{2}}dm}$

(In dieser Gleichung muss das Trägheitsmoment um eine Achse durch den Massenmittelpunkt genommen werden und die mit ω gemessene Drehung muss um diese Achse erfolgen; allgemeinere Gleichungen gibt es für Systeme, bei denen das Objekt aufgrund seiner exzentrischen Form einem Taumeln unterliegt) .

Kinetische Energie von Systemen

Ein Körpersystem kann aufgrund der relativen Bewegung der Körper im System eine innere kinetische Energie haben. Im Sonnensystem zum Beispiel umkreisen die Planeten und Planetoiden die Sonne. In einem Gastank bewegen sich die Moleküle in alle Richtungen. Die kinetische Energie des Systems ist die Summe der kinetischen Energien der darin enthaltenen Körper.

Ein makroskopischer Körper, die ortsfest ist (dh ein Referenzrahmen an den Körper des zu entsprechen , wurde gewählt Mitte des Impulses ) kann verschiedene Arten von hat innere Energie auf molekulare oder atomare Ebene, die als kinetische Energie angesehen werden kann, durch molekulare Übersetzung, Rotation und Vibration, Elektronentranslation und -spin und Kernspin. Diese tragen alle zur Masse des Körpers bei, wie es die spezielle Relativitätstheorie vorsieht. Wenn von Bewegungen eines makroskopischen Körpers gesprochen wird, ist die kinetische Energie normalerweise nur die der makroskopischen Bewegung. Alle inneren Energien aller Art tragen jedoch zur Masse, Trägheit und Gesamtenergie eines Körpers bei.

Flüssigkeitsdynamik

In der Fluiddynamik wird die kinetische Energie pro Volumeneinheit an jedem Punkt in einem inkompressiblen Fluidströmungsfeld als dynamischer Druck an diesem Punkt bezeichnet.

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Division durch V, die Einheit des Volumens:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^ {2}\\q&={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{ausgerichtet}}}$

wobei der dynamische Druck und ρ die Dichte des inkompressiblen Fluids ist. ${\displaystyle q}$

Bezugsrahmen

Die Geschwindigkeit und damit die kinetische Energie eines einzelnen Objekts ist rahmenabhängig (relativ): Sie kann jeden nicht negativen Wert annehmen, indem ein geeignetes Trägheitsbezugssystem gewählt wird . Zum Beispiel hat eine Kugel, die einen Beobachter passiert, kinetische Energie im Bezugssystem dieses Beobachters. Dieselbe Kugel ist für einen Beobachter, der sich mit derselben Geschwindigkeit wie die Kugel bewegt, stationär und hat daher keine kinetische Energie. Im Gegensatz dazu kann die gesamte kinetische Energie eines Systems von Objekten durch geeignete Wahl des Inertialsystems nicht auf Null reduziert werden, es sei denn, alle Objekte haben die gleiche Geschwindigkeit. In allen anderen Fällen hat die gesamte kinetische Energie ein Minimum ungleich Null, da kein Trägheitsbezugssystem gewählt werden kann, in dem alle Objekte stationär sind. Diese minimale kinetische Energie trägt zur unveränderlichen Masse des Systems bei , die unabhängig vom Bezugssystem ist.

Die gesamte kinetische Energie eines Systems hängt von dem Inertialsystem : es ist die Summe der gesamten kinetischen Energie in einem ist Zentrum des Impulsrahmens und die kinetische Energie der Gesamtmasse haben würde , wenn es in der konzentrierten Massenzentrum .

Dies kann einfach gezeigt werden: sei die Relativgeschwindigkeit des Schwerpunktsystems i im System k . Schon seit ${\displaystyle \textstyle \mathbf {V}}$

${\displaystyle v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf{v}_{i}+\mathbf{V}\right)\cdot\ left(\mathbf{v}_{i}+\mathbf{V} \right)=\mathbf{v}_{i}\cdot\mathbf{v}_{i}+2\mathbf{v}_{ i}\cdot\mathbf{V}+\mathbf{V}\cdot\mathbf{V} =v_{i}^{2}+2\mathbf{v}_{i}\cdot\mathbf{V} + V^{2},}$

Dann,

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+ \mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.}$

Aber sei die kinetische Energie im Massenschwerpunktsystem einfach der Gesamtimpuls, der im Massenschwerpunktsystem per Definition Null ist, und sei die Gesamtmasse: . Ersetzend erhalten wir: ${\textstyle \int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}$${\textstyle \int \mathbf {v} _{i}dm}$${\textstyle \int dm=M}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.}$

Somit ist die kinetische Energie eines Systems bis zum Mittelpunkt der Impulsbezugssysteme am niedrigsten, dh zu Bezugssystemen, in denen der Massenmittelpunkt stationär ist (entweder das Massenmittelpunktssystem oder irgendein anderes Impulsmittelpunktssystem ). In jedem anderen Bezugssystem gibt es zusätzliche kinetische Energie, die der Gesamtmasse entspricht, die sich mit der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts bewegt. Die kinetische Energie des Systems im Zentrum des Impulssystems ist eine unveränderliche Größe (alle Beobachter sehen sie gleich).

Rotation in Systemen

Manchmal ist es zweckmäßig, die gesamte kinetische Energie eines Körpers in die Summe der translatorischen kinetischen Energie des Körperschwerpunkts und der Rotationsenergie um den Schwerpunkt ( Rotationsenergie ) aufzuteilen :

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}}$

wo:

• E _k ist die gesamte kinetische Energie
• E _t ist die kinetische Translationsenergie
• E _r ist die Rotationsenergie oder winkelkinetische Energie im Ruhesystem

Somit ist die kinetische Energie eines Tennisballs im Flug die kinetische Energie aufgrund seiner Rotation plus die kinetische Energie aufgrund seiner Translation.

Relativistische kinetische Energie starrer Körper

Wenn die Geschwindigkeit eines Körpers einen signifikanten Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit ausmacht , ist es notwendig, die relativistische Mechanik zu verwenden, um seine kinetische Energie zu berechnen. In der speziellen Relativitätstheorie wird der Ausdruck für den linearen Impuls modifiziert.

Da m die Ruhemasse eines Objekts ist , v und v seine Geschwindigkeit und Geschwindigkeit und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, verwenden wir den Ausdruck für linearen Impuls , wobei . ${\displaystyle\mathbf{p}=m\gamma\mathbf{v}}$${\textstyle \gamma=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Integrieren nach Teileausbeuten

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int\mathbf {v} \cdot d(m\gamma\mathbf {v} )=m \gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{ 2}}\int\gamma d\left(v^{2}\right)}$

Da , ${\displaystyle \gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d\left (1-{\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$ist eine Integrationskonstante für das unbestimmte Integral .

Vereinfachen des erhaltenen Ausdrucks

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}E_{\text{k}}&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2} }{c^{2}}}\right)\right)-E_{0}\\&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right) -E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$wird gefunden, indem man beobachtet, dass wenn und , geben ${\displaystyle\mathbf{v}=0,\\gamma=1}$${\displaystyle E_{\text{k}}=0}$

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

ergibt die Formel

${\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{ 2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}}$

Diese Formel zeigt, dass die Arbeit, die aufgewendet wird, um ein Objekt aus der Ruhe zu beschleunigen, sich der Unendlichkeit nähert, wenn sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit nähert. Somit ist es unmöglich, ein Objekt über diese Grenze zu beschleunigen.

Das mathematische Nebenprodukt dieser Berechnung ist die Masse-Energie-Äquivalenzformel – der Körper in Ruhe muss einen Energiegehalt haben

${\displaystyle E_{\text{rest}}=E_{0}=mc^{2}}$

Bei niedriger Geschwindigkeit ( v ≪ c ) wird die relativistische kinetische Energie gut durch die klassische kinetische Energie angenähert. Dies geschieht durch binomiale Approximation oder durch Ziehen der ersten beiden Terme der Taylor-Entwicklung für die reziproke Quadratwurzel:

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}} }\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

So kann die Gesamtenergie bei niedrigen Geschwindigkeiten in die Ruhemassenenergie plus die Newtonsche kinetische Energie aufgeteilt werden. ${\displaystyle E_{k}}$

Wenn sich Objekte mit einer viel langsameren Geschwindigkeit als Licht bewegen (zB bei alltäglichen Phänomenen auf der Erde), überwiegen die ersten beiden Terme der Reihe. Der nächste Term in der Taylor-Reihen-Approximation

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}} }+{\frac{3}{8}}{\frac{v^{4}}{c^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}} mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}}$

ist klein für niedrige Geschwindigkeiten. Beispielsweise beträgt die Korrektur der Newtonschen kinetischen Energie für eine Geschwindigkeit von 10 km/s (22.000 mph) 0,0417 J/kg (bei einer Newtonschen kinetischen Energie von 50 MJ/kg) und für eine Geschwindigkeit von 100 km/s beträgt sie 417 J/kg (bei einer Newtonschen kinetischen Energie von 5 GJ/kg).

Der relativistische Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls ist gegeben durch

${\displaystyle E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

Diese kann auch als Taylor-Reihe erweitert werden , deren erster Term der einfache Ausdruck aus der Newtonschen Mechanik ist:

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}} }.}$

Dies legt nahe, dass die Formeln für Energie und Impuls keine speziellen und axiomatischen Formeln sind, sondern Konzepte, die sich aus der Äquivalenz von Masse und Energie und den Relativitätsprinzipien ergeben.

Generelle Relativität

Unter Verwendung der Konvention, dass

${\displaystyle g_{\alpha\beta}\,u^{\alpha}\,u^{\beta}\,=\,-c^{2}}$

wobei die Vierergeschwindigkeit eines Teilchens

${\displaystyle u^{\alpha}\,=\,{\frac {dx^{\alpha}}{d\tau}}}$

und die Eigenzeit des Teilchens ist, gibt es in der Allgemeinen Relativitätstheorie auch einen Ausdruck für die kinetische Energie des Teilchens . ${\displaystyle \tau}$

Wenn das Teilchen Impuls hat

${\displaystyle p_{\beta}\,=\,m\,g_{\beta\alpha}\,u^{\alpha}}$

wenn es an einem Beobachter mit vier Geschwindigkeiten u _{obs vorbeigeht} , dann ist der Ausdruck für die beobachtete Gesamtenergie des Teilchens (gemessen in einem lokalen Inertialsystem)

${\displaystyle E\,=\,-\,p_{\beta}\,u_{\text{obs}}^{\beta}}$

und die kinetische Energie kann als Gesamtenergie minus Ruheenergie ausgedrückt werden:

${\displaystyle E_{k}\,=\,-\,p_{\beta}\,u_{\text{obs}}^{\beta}\,-\,m\,c^{2}\, .}$

Betrachten Sie den Fall einer diagonalen und räumlich isotropen Metrik ( g _tt , g _ss , g _ss , g _ss ). Schon seit

${\displaystyle u^{\alpha}={\frac {dx^{\alpha}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau}}=v^{\alpha}u^{t}}$

wobei v ^α die gewöhnliche Geschwindigkeit gemessen am Koordinatensystem ist, erhalten wir

${\displaystyle -c^{2}=g_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+ g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.}$

Auflösen nach u ^t gibt

${\displaystyle u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.}$

Also für einen stationären Beobachter ( v = 0)

${\displaystyle u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}}$

und damit hat die kinetische Energie die Form

${\displaystyle E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt { \frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.}$

Herausrechnen der Restenergie ergibt:

${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}} -1\rechts)\,.}$

Dieser Ausdruck reduziert sich auf den speziellen relativistischen Fall für die Metrik im flachen Raum, wobei

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-c^{2}\\g_{ss}&=1\,.\end{aligned}}}$

In der Newtonschen Annäherung an die Allgemeine Relativitätstheorie

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\\g_{ss}&=1-{\frac {2\Phi }{ c^{2}}}\end{ausgerichtet}}}$

wobei Φ das Newtonsche Gravitationspotential ist . Dies bedeutet, dass Uhren in der Nähe von massiven Körpern langsamer laufen und Messstäbe kürzer sind.

Kinetische Energie in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik werden Observablen wie kinetische Energie als Operatoren dargestellt . Für ein Teilchen der Masse m erscheint der kinetische Energieoperator als Term im Hamilton-Operator und wird durch den fundamentaleren Impulsoperator definiert . Der kinetische Energieoperator im nichtrelativistischen Fall kann geschrieben werden als ${\displaystyle {\hat{p}}}$

${\displaystyle {\hat{T}}={\frac {{\hat{p}}^{2}}{2m}}.}$

Beachten Sie, dass dies durch Ersetzen durch im klassischen Ausdruck für kinetische Energie in Form von Impuls erhalten werden kann , ${\displaystyle p}$${\displaystyle {\hat{p}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$

In dem Bild Schrödinger , nimmt die Form , wo die Ableitung in Bezug auf Positionskoordinaten genommen wird und somit ${\displaystyle {\hat{p}}}$${\displaystyle -i\hbar\nabla}$

${\displaystyle {\hat {T}}=-{\frac {\hbar^{2}}{2m}}\nabla ^{2}.}$

Der Erwartungswert der kinetischen Energie des Elektrons, , für ein System von N Elektronen, beschrieben durch die Wellenfunktion, ist eine Summe der Erwartungswerte des 1-Elektronen-Operators: ${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle}$ ${\displaystyle \vert \psi\rangle}$

${\displaystyle \left\langle {\hat{T}}\right\rangle =\left\langle\psi\left\vert \sum _{i=1}^{N}{\frac {-\hbar^{ 2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla_{i}^{2}\right\vert \psi\right\rangle =-{\frac {\hbar^{2}}{2m_{ \text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \psi \left\vert \nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle }$

wo ist die Masse des Elektrons und ist der Laplace- Operator, der auf die Koordinaten des i- ^ten Elektrons wirkt und die Summation über alle Elektronen läuft. ${\displaystyle m_{\text{e}}}$${\displaystyle \nabla_{i}^{2}}$

Die Dichtefunktional Formalismus der Quantenmechanik erfordert die Kenntnis der Elektronendichte nur , das heißt, es ist offiziell keine Kenntnis der Wellenfunktion benötigen. Bei einer gegebenen Elektronendichte ist das genaue Funktional der kinetischen N-Elektronenenergie unbekannt; für den speziellen Fall eines 1-Elektronen-Systems kann die kinetische Energie jedoch geschrieben werden als ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )} {\rho(\mathbf{r})}}d^{3}r}$

wobei als kinetisches Energiefunktional von Weizsäcker bekannt ist. ${\displaystyle T[\rho]}$

Siehe auch

• Fluchtgeschwindigkeit
• Fuß-Pfund
• Joule
• Penetrator für kinetische Energie
• Kinetische Energie pro Masseeinheit der Projektile
• Kinetisches Projektil
• Parallelachsensatz
• Potenzielle Energie
• Rückstoß

Anmerkungen

Verweise

• Physik-Klassenzimmer (2000). "Kinetische Energie" . Abgerufen 2015-07-19 .
• Oxford Wörterbuch 1998
• Fakultät für Mathematik und Statistik, University of St Andrews (2000). "Biographie von Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843)" . Abgerufen 2006-03-03 .
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physik für Wissenschaftler und Ingenieure (6. Aufl.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul (2004). Physik für Wissenschaftler und Ingenieure: Mechanik, Schwingungen und Wellen, Thermodynamik (5. Aufl.). WH Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.
• Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Moderne Physik (4. Aufl.). WH Freeman. ISBN 0-7167-4345-0.

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit kinetischer Energie bei Wikimedia Commons