Kuramoto-Modell - Kuramoto model

Das Kuramoto-Modell (oder Kuramoto-Daido-Modell ), das zuerst von Yoshiki Kuramoto (蔵本 由紀, Kuramoto Yoshiki ) vorgeschlagen wurde , ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung der Synchronisation . Genauer gesagt ist es ein Modell für das Verhalten einer großen Menge gekoppelter Oszillatoren . Seine Formulierung wurde durch das Verhalten von Systemen chemischer und biologischer Oszillatoren motiviert und hat weit verbreitete Anwendungen in Bereichen wie Neurowissenschaften und oszillierende Flammendynamik gefunden. Kuramoto war ziemlich überrascht, als das Verhalten einiger physikalischer Systeme, nämlich gekoppelter Arrays von Josephson-Kontakten , seinem Modell folgte.

Das Modell macht mehrere Annahmen, unter anderem, dass es eine schwache Kopplung gibt, dass die Oszillatoren identisch oder nahezu identisch sind und dass Wechselwirkungen sinusförmig von der Phasendifferenz zwischen jedem Objektpaar abhängen.

Definition

Medien abspielen

Phasenverriegelung im Kuramoto-Modell

In der beliebtesten Version des Kuramoto-Modells wird davon ausgegangen, dass jeder der Oszillatoren seine eigene Eigenfrequenz hat und jeder gleich an alle anderen Oszillatoren gekoppelt ist. Überraschenderweise lässt sich dieses vollständig nichtlineare Modell exakt im Limes unendlicher Oszillatoren N → ∞ lösen ; alternativ kann man unter Verwendung von Selbstkonsistenzargumenten stationäre Lösungen des Ordnungsparameters erhalten. ${\displaystyle \omega_{i}}$

Die beliebteste Form des Modells hat die folgenden maßgebenden Gleichungen:

${\displaystyle {\frac {d\theta_{i}}{dt}}=\omega_{i}+{\frac{K}{N}}\sum_{j=1}^{N}\ sin(\theta_{j}-\theta_{i}),\qquad i=1\ldots N}$,

wobei das System aus N Grenzzyklus-Oszillatoren mit Phasen und Kopplungskonstante K besteht . ${\displaystyle \theta_{i}}$

Rauschen kann dem System hinzugefügt werden. In diesem Fall wird die ursprüngliche Gleichung geändert zu:

${\displaystyle {\frac {d\theta_{i}}{dt}}=\omega_{i}+\zeta_{i}+{\dfrac{K}{N}}\sum _{j= 1}^{N}\sin(\theta_{j}-\theta_{i})}$,

wo ist die Fluktuation und eine Funktion der Zeit. Betrachten wir das Rauschen als weißes Rauschen, dann gilt: ${\displaystyle \zeta_{i}}$

${\displaystyle\langle\zeta_{i}(t)\rangle=0}$ ,

${\displaystyle \langle\zeta_{i}(t)\zeta_{j}(t')\rangle =2D\delta_{ij}\delta (t-t')}$

mit der Stärke des Rauschens. ${\displaystyle D}$

Transformation

Die Transformation, die eine exakte Lösung dieses Modells (zumindest im N → ∞-Limit) ermöglicht, lautet wie folgt:

Definieren Sie die Parameter "Ordnung" r und ψ als

${\displaystyle re^{i\psi}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}e^{i\theta_{j}}}$.

Hier r stellt die Phasenkohärenz der Bevölkerung von Oszillatoren und ψ gibt die durchschnittliche Phase. Die Multiplikation dieser Gleichung mit und nur unter Berücksichtigung des Imaginärteils ergibt: ${\displaystyle e^{-i\theta_{i}}}$

${\displaystyle {\frac {d\theta_{i}}{dt}}=\omega_{i}+Kr\sin(\psi -\theta_{i})}$.

Damit sind die Gleichungen der Oszillatoren nicht mehr explizit gekoppelt; stattdessen bestimmen die Ordnungsparameter das Verhalten. Üblicherweise erfolgt eine weitere Transformation in einen rotierenden Rahmen, bei dem der statistische Mittelwert der Phasen über alle Oszillatoren Null ist (dh ). Schließlich lautet die maßgebende Gleichung: ${\displaystyle \psi =0}$

${\displaystyle {\frac {d\theta_{i}}{dt}}=\omega_{i}-Kr\sin(\theta_{i})}$.

Große N- Grenze

Betrachten wir nun den Fall, dass N gegen Unendlich strebt. Nehmen Sie die Verteilung der Eigenfrequenzen als g ( ω ) (angenommen normalisiert ). Nehmen Sie dann an, dass die Dichte der Oszillatoren bei einer gegebenen Phase θ mit gegebener Eigenfrequenz ω zum Zeitpunkt t ist . Die Normalisierung erfordert, dass ${\displaystyle \rho (\theta,\omega,t)}$

${\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\rho (\theta,\omega,t)\,d\theta=1.}$

Die Kontinuitätsgleichung für die Oszillatordichte lautet

${\displaystyle {\frac {\partial\rho }{\partial t}}}+{\frac {\partial }{\partial\theta}}[\rho v]=0,}$

wobei v die Driftgeschwindigkeit der Oszillatoren ist, die durch die unendliche N- Grenze in der transformierten Regelgleichung gegeben ist, so dass

${\displaystyle {\frac {\partial\rho }{\partial t}}}+{\frac {\partial }{\partial\theta}}[\rho\omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.}$

Schließlich müssen wir die Definition der Ordnungsparameter für den Grenzwert des Kontinuums (unendlich N ) umschreiben . muss durch seinen Gesamtmittelwert (über alles ) und die Summe durch ein Integral ersetzt werden, um zu erhalten ${\displaystyle \theta_{i}}$${\displaystyle\omega}$

${\displaystyle re^{i\psi}=\int_{-\pi}^{\pi}e^{i\theta}\int _{-\infty}^{\infty}\rho (\theta , \omega ,t)g(\omega)\,d\omega \,d\theta.}$

Lösungen

Der inkohärente Zustand mit allen zufällig driftenden Oszillatoren entspricht der Lösung . In diesem Fall besteht keine Kohärenz zwischen den Oszillatoren. Sie sind gleichmäßig über alle möglichen Phasen verteilt, und die Population befindet sich in einem statistischen Steady-State (obwohl einzelne Oszillatoren weiterhin ihre Phase entsprechend ihrem intrinsischen ω ändern ). ${\displaystyle \rho=1/(2\pi)}$${\displaystyle r=0}$

Bei ausreichend starker Kupplung K ist eine vollsynchronisierte Lösung möglich. Im vollständig synchronisierten Zustand teilen sich alle Oszillatoren eine gemeinsame Frequenz, obwohl ihre Phasen unterschiedlich sein können.

Eine Lösung für den Fall einer teilweisen Synchronisation ergibt einen Zustand, in dem nur einige Oszillatoren (die nahe der mittleren Eigenfrequenz des Ensembles) synchronisieren; andere Oszillatoren driften inkohärent. Mathematisch hat der Staat

${\displaystyle \rho =\delta\left(\theta -\psi -\arcsin\left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)}$

für gesperrte Oszillatoren und

${\displaystyle \rho ={\frac {\rm {Normalisierung\;konstante}}{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi))}}}$

für driftende Oszillatoren. Die Abschaltung erfolgt, wenn . ${\displaystyle |\omega |<Kr}$

Verbindung zu Hamiltonschen Systemen

Das dissipative Kuramoto-Modell ist in bestimmten konservativen Hamilton-Systemen mit Hamilton-Operatoren der Form enthalten:

${\displaystyle {\mathcal{H}}(q_{1},\ldots,q_{N},p_{1},\ldots,p_{N})=\sum_{i=1}^{N} {\frac {\omega_{i}}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})+{\frac {K}{4N}}\sum _{i ,j=1}^{N}(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i }^{2}-p_{i}^{2})}$

Nach einer kanonischen Transformation in Aktionswinkelvariablen mit Aktionen und Winkeln (Phasen) entsteht eine exakte Kuramoto-Dynamik auf invarianten Mannigfaltigkeiten von konstant . Mit dem transformierten Hamilton-Operator: ${\displaystyle I_{i}=\left(q_{i}^{2}+p_{i}^{2}\right)/2}$${\displaystyle \phi_{i}=\mathrm {arctan} \left(q_{i}/p_{i}\right)}$${\displaystyle I_{i}\equiv I}$

${\displaystyle {\mathcal{H'}}(I_{1},\ldots I_{N},\phi_{1}\ldots,\phi_{N})=\sum_{i=1}^ {N}\omega _{i}I_{i}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\ sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin(\phi_{j}-\phi_{i}),}$

Hamiltons Bewegungsgleichung lautet:

${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial\phi_{i}}}=-{\frac { 2K}{N}}\sum_{k=1}^{N}{\sqrt {I_{k}I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\cos(\phi_{ k}-\phi_{i})}$

und

${\displaystyle {\frac {d\phi_{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}'}{\partial I_{i}}}=\omega_{i }+{\frac{K}{N}}\sum_{k=1}^{N}\left[2{\sqrt {I_{i}I_{k}}}\sin(\phi_{k }-\phi_{i})\right.\left.+{\sqrt {I_{k}/I_{i}}}(I_{k}-I_{i})\sin(\phi_{k }-\phi_{i})\right].}$

Die Mannigfaltigkeit mit ist also invariant, weil und die Phasendynamik wird die Dynamik des Kuramoto-Modells (mit den gleichen Kopplungskonstanten für ). Die Klasse der Hamiltonschen Systeme charakterisiert bestimmte quantenklassische Systeme, darunter Bose-Einstein-Kondensate . ${\displaystyle I_{j}=I}$${\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=0}$${\displaystyle {\frac {d\phi_{i}}{dt}}}$${\displaystyle I=1/2}$

Variationen der Modelle

Ausgeprägte Synchronisationsmuster in einem zweidimensionalen Array von Kuramoto-ähnlichen Oszillatoren mit unterschiedlichen Phasenwechselwirkungsfunktionen und räumlichen Kopplungstopologien. (A) Windräder. (B) Wellen. (C) Chimären. (D) Chimären und Wellen kombiniert. Die Farbskala zeigt die Oszillatorphase an.

Es gibt eine Reihe von Variationen, die auf das oben vorgestellte Originalmodell angewendet werden können. Einige Modelle ändern sich zur topologischen Struktur, andere ermöglichen heterogene Gewichtungen und andere Änderungen beziehen sich eher auf Modelle, die vom Kuramoto-Modell inspiriert sind, aber nicht die gleiche funktionale Form haben.

Variationen der Netzwerktopologie

Neben dem Originalmodell, das eine All-to-All-Topologie aufweist, ist eine ausreichend dichte, komplexe netzwerkartige Topologie für die Mittelfeldbehandlung geeignet, die in der Lösung des Originalmodells verwendet wird ( weitere Informationen finden Sie oben unter Transformation und großer N- Grenzwert). ). Netzwerktopologien wie Ringe und gekoppelte Populationen unterstützen Chimärenzustände. Man kann auch nach dem Verhalten von Modellen fragen, in denen es intrinsisch lokale, wie eindimensionale Topologien gibt, bei denen die Kette und der Ring prototypische Beispiele sind. In solchen Topologien, in denen die Kopplung nicht nach 1/ N skalierbar ist, kann der kanonische Mean-Field-Ansatz nicht angewendet werden , die Grundlage für die Abstraktion allgemeiner Lösungsprinzipien sein können.

Gleichmäßige Synchronität, Wellen und Spiralen können in zweidimensionalen Kuramoto-Netzwerken mit diffusiver lokaler Kopplung leicht beobachtet werden. Die Stabilität von Wellen in diesen Modellen kann analytisch mit den Methoden der Turing-Stabilitätsanalyse bestimmt werden. Gleichmäßige Synchronität ist tendenziell stabil, wenn die lokale Kopplung überall positiv ist, während Wellen entstehen, wenn die weitreichenden Verbindungen negativ sind (hemmende Surround-Kopplung). Wellen und Synchronität sind durch einen topologisch unterschiedlichen Lösungszweig verbunden, der als Welligkeit bekannt ist. Dies sind ortsperiodische Abweichungen geringer Amplitude, die über eine Hopf-Bifurkation aus dem einheitlichen Zustand (oder dem Wellenzustand) hervorgehen . Die Existenz von Welligkeitslösungen wurde von Wiley, Strogatz und Girvan vorhergesagt (aber nicht beobachtet) , die sie als mehrfach verdrehte q-Zustände bezeichneten.

Die Topologie, auf der das Kuramoto-Modell untersucht wird, kann durch die Verwendung eines Fitnessmodells adaptiv gemacht werden, das eine Verbesserung der Synchronisation und Perkolation auf selbstorganisierte Weise zeigt.

Variationen von Netzwerktopologie und Netzwerkgewichten: von der Fahrzeugkoordination bis zur Gehirnsynchronisation

Medien abspielen

Metronome , anfänglich phasenverschoben, synchronisieren sich durch kleine Bewegungen der Basis, auf der sie platziert sind. Es hat sich gezeigt, dass dieses System dem Kuramoto-Modell entspricht.

Einige Arbeiten in der Steuerungsgemeinschaft haben sich auf das Kuramoto-Modell für Netzwerke und mit heterogenen Gewichtungen konzentriert (dh die Verbindungsstärke zwischen zwei beliebigen Oszillatoren kann beliebig sein). Die Dynamik dieses Modells lautet wie folgt:

${\displaystyle {\frac {d\theta_{i}}{dt}}=\omega_{i}+\sum_{j=1}^{N}a_{ij}\sin(\theta_{ j}-\theta_{i}),\qquad i=1\ldots N}$

wobei eine positive reelle Zahl ungleich Null ist, wenn der Oszillator mit dem Oszillator verbunden ist . Ein solches Modell ermöglicht eine realistischere Untersuchung von zB Beflockung, Schulung und Fahrzeugkoordination. In der Arbeit von Dörfler und Kollegen liefern mehrere Theoreme strenge Bedingungen für die Phasen- und Frequenzsynchronisation dieses Modells. Weitere Studien, motiviert durch experimentelle Beobachtungen in den Neurowissenschaften, konzentrieren sich auf die Ableitung analytischer Bedingungen für die Clustersynchronisation heterogener Kuramoto-Oszillatoren auf beliebigen Netzwerktopologien. Da das Kuramoto-Modell eine Schlüsselrolle bei der Beurteilung von Synchronisationsphänomenen im Gehirn zu spielen scheint, können theoretische Bedingungen, die empirische Ergebnisse unterstützen, den Weg für ein tieferes Verständnis neuronaler Synchronisationsphänomene ebnen. ${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$

Variationen der Phasenwechselwirkungsfunktion

Kuramoto hat die Phasenwechselwirkung zwischen zwei beliebigen Oszillatoren durch seine erste Fourier-Komponente angenähert, nämlich , wobei . Bessere Näherungen können durch Einbeziehung von Fourier-Komponenten höherer Ordnung erhalten werden, ${\displaystyle \Gamma(\phi)=\sin(\phi)}$${\displaystyle \phi =\theta_{j}-\theta_{i}}$

${\displaystyle \Gamma(\phi)=\sin(\phi)+a_{1}\sin(2\phi +b_{1})+...+a_{n}\sin(2n\phi +b_ {n})}$,

wo Parameter und geschätzt werden müssen. Beispielsweise kann die Synchronisation zwischen einem Netzwerk schwach gekoppelter Hodgkin-Huxley-Neuronen unter Verwendung gekoppelter Oszillatoren repliziert werden, die die ersten vier Fourier-Komponenten der Wechselwirkungsfunktion beibehalten. Die Einführung von Phasenwechselwirkungstermen höherer Ordnung kann auch interessante dynamische Phänomene wie teilweise synchronisierte Zustände, heterokline Zyklen und chaotische Dynamiken induzieren . ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$

Verfügbarkeit

• Die pyclustering- Bibliothek enthält eine Python- und C++-Implementierung des Kuramoto-Modells und seiner Modifikationen. Außerdem besteht die Bibliothek aus oszillatorischen Netzwerken (zur Clusteranalyse, Mustererkennung, Graphfärbung, Bildsegmentierung), die auf dem Kuramoto-Modell und dem Phasenoszillator basieren.

Siehe auch

• Master-Stabilitätsfunktion
• Oszillatorisches neuronales Netz

Verweise