Abgabenverteilung - Lévy distribution

Levy (unverschoben)

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	${\displaystyle\mu}$Lage; Skala${\displaystyle c>0\,}$
Unterstützung	${\displaystyle x\in[\mu,\infty)}$
PDF	${\displaystyle {\sqrt {\frac {c}{2\pi}}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu)}}}}{(x -\mu)^{3/2}}}}$
CDF	${\displaystyle {\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu)}}}\right)}$
Bedeuten	${\displaystyle\infty}$
Median	${\displaystyle \mu +c/2({\textrm {erfc}}^{-1}(1/2))^{2}\,}$
Modus	${\displaystyle \mu +{\frac {c}{3}}}$
Abweichung	${\displaystyle\infty}$
Schiefe	nicht definiert
Ex. kurtosis	nicht definiert
Entropie	${\displaystyle {\frac {1+3\gamma +\ln(16\pic^{2})}{2}}}$ wo ist die Euler-Mascheroni-Konstante${\displaystyle\gamma}$
MGF	nicht definiert
CF	${\displaystyle e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}}$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist die nach Paul Lévy benannte Lévy-Verteilung eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine nicht-negative Zufallsvariable . In der Spektroskopie wird diese Verteilung mit der Frequenz als abhängiger Variable als Van-der-Waals-Profil bezeichnet . Es ist ein Sonderfall der inversen Gammaverteilung . Es ist eine stabile Verteilung .

Definition

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Lévy-Verteilung über das Gebiet ist ${\displaystyle x\geq\mu}$

${\displaystyle f(x;\mu,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi}}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x- \mu)}}}}{(x-\mu)^{3/2}}}}}$

Dabei ist der Standortparameter und der Skalierungsparameter . Die kumulative Verteilungsfunktion ist ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle F(x;\mu,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu)}}}\right)=2-2 \Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu)}}}\right)}$

wobei die komplementäre Fehlerfunktion und die Laplace-Funktion (CDF der Standardnormalverteilung) ist. Der Verschiebungsparameter bewirkt, dass die Kurve um einen Betrag nach rechts verschoben wird und die Unterstützung auf das Intervall [ , ] geändert wird. Wie alle stabilen Verteilungen hat die Levy-Verteilung eine Standardform f(x;0,1) mit der folgenden Eigenschaft: ${\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle\mu}$${\displaystyle\infty}$

${\displaystyle f(x;\mu,c)dx=f(y;0,1)dy\,}$

wobei y definiert ist als

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}$

Die charakteristische Funktion der Lévy-Verteilung ist gegeben durch

${\displaystyle \varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$

Beachten Sie, dass die charakteristische Funktion auch in der gleichen Form wie für die stabile Verteilung mit und geschrieben werden kann : ${\displaystyle \alpha =1/2}$${\displaystyle \beta=1}$

${\displaystyle \varphi(t;\mu,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~{\textrm {Zeichen}}(t))}. }$

Angenommen , das n- te Moment der unverschobenen Lévy-Verteilung ist formal definiert durch: ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi}}}\int _{0}^{\infty} {\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}$

die für alle divergiert, sodass die ganzzahligen Momente der Lévy-Verteilung nicht existieren (nur einige Bruchmomente). ${\displaystyle n\geq 0.5}$

Die momenterzeugende Funktion wäre formal definiert durch:

${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi}}}\int _{0}^{\ infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}$

dies divergiert jedoch für ein Intervall um Null herum und ist daher nicht definiert, so dass die momenterzeugende Funktion nicht per se definiert ist . ${\displaystyle t>0}$

Wie alle stabilen Verteilungen mit Ausnahme der Normalverteilung zeigt der Flügel der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ein starkes Schwanzverhalten, das gemäß einem Potenzgesetz abfällt:

${\displaystyle f(x;\mu,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi}}}{\frac {1}{x^{3/2}}}}$   wie   ${\displaystyle x\to \infty ,}$

was zeigt, dass Lévy nicht nur dickschwänzig, sondern auch dickschwänzig ist . Dies wird im folgenden Diagramm veranschaulicht, in dem die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen für verschiedene Werte von c und in einem log-log-Plot aufgetragen sind . ${\displaystyle \mu =0}$

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Lévy-Verteilung auf einem Log-Log-Plot

Die Standard-Lévy-Verteilung erfüllt die Bedingung, stabil zu sein

${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha}X}$,

wo sind unabhängige Standard-Lévy-Variablen mit . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots,X_{n},X}$${\displaystyle \alpha =1/2}$

Verwandte Distributionen

• Wenn dann${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Abgabe}}(\mu,c)}$${\displaystyle kX+b\,\sim\,{\textrm {Abgabe}}(k\mu +b,kc)}$
• Wenn dann ( inverse Gammaverteilung ) Hier ist die Lévy-Verteilung ein Spezialfall einer Pearson-Typ-V-Verteilung${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Abgabe}}(0,c)}$${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$
  
• Wenn ( Normalverteilung ) dann${\displaystyle \,Y\,\sim\,{\textrm {Normal}}(\mu,\sigma)}$${\displaystyle {(Y-\mu)}^{-2}\,\sim\,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma^{2})}$
• Wenn dann${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Normal}}(\mu,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma}}})}$${\displaystyle {(X-\mu)}^{-2}\,\sim\,{\textrm {Levy}}(0,\sigma)}$
• Wenn dann ( Stabile Verteilung )${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Abgabe}}(\mu,c)}$${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Stabil}}(1/2,1,c,\mu)}$
• Wenn dann ( Skalierte-inverse-Chi-Quadrat-Verteilung )${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Abgabe}}(0,c)}$${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)}$
• Wenn dann ( Gefaltete Normalverteilung )${\displaystyle X\,\sim\,{\textrm {Abgabe}}(\mu,c)}$${\displaystyle {(X-\mu)}^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim \,{\textrm {FoldedNormal}}(0,1/{\sqrt {c}})}$

Stichprobengenerierung

Zufällige Stichproben aus der Lévy-Verteilung können durch inverse Transformations-Sampling erzeugt werden . Gegeben eine zufällige Variable U, die aus der Gleichverteilung auf dem Einheitsintervall (0, 1] gezogen wurde, ist die Variable X gegeben durch

${\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi^{-1}(1-U))^{2}}}+\mu}$

ist Lévy-verteilt mit Lage und Maßstab . Hier ist die kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung . ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Phi (x)}$

Anwendungen

• Die Häufigkeit geomagnetischer Umkehrungen scheint einer Lévy-Verteilung zu folgen
• Der Zeitpunkt des Auftreffens eines einzelnen Punktes im Abstand vom Startpunkt durch die Brownsche Bewegung hat die Lévy-Verteilung mit . (Für eine Brownsche Bewegung mit Drift kann diese Zeit einer inversen Gaußschen Verteilung folgen , die die Lévy-Verteilung als Grenze hat.)${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle c=\alpha^{2}}$
• Die Weglänge eines Photons in einem trüben Medium folgt der Lévy-Verteilung.
• Ein Cauchy-Prozess kann als Brownsche Bewegung definiert werden , die einem Prozess untergeordnet ist , der mit einer Lévy-Verteilung verbunden ist.

Fußnoten

Anmerkungen

Verweise

• "Informationen zu stabilen Verteilungen" . Abgerufen am 5. September 2021 .- John P. Nolans Einführung in stabile Verteilungen, einige Artikel über stabile Gesetze und ein kostenloses Programm zur Berechnung von stabilen Dichten, kumulativen Verteilungsfunktionen, Quantilen, Schätzparametern usw. Siehe insbesondere Eine Einführung in stabile Verteilungen, Kapitel 1

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Lévy Distribution" . MathWorld .