Der Vier-Quadrat-Satz von Lagrange - Lagrange's four-square theorem

Es genügt, den Satz für jede ungerade Primzahl p zu beweisen . Dies folgt unmittelbar aus der Vier-Quadrat-Identität von Euler (und aus der Tatsache, dass der Satz für die Zahlen 1 und 2 gilt).

Die Reste von a ² modulo p sind für jedes a zwischen 0 und ( p  − 1)/2 (einschließlich) verschieden. Um dies zu sehen, nehmen Sie sich ein und definieren c als eine ² mod p . a ist eine Wurzel des Polynoms x ²  −  c über dem Körper Z/ p Z . Also ist p  −  a (was sich von a unterscheidet ). In einem Körper K hat jedes Polynom vom Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen ( Satz von Lagrange (Zahlentheorie) ), also gibt es kein anderes a mit dieser Eigenschaft, insbesondere nicht unter 0 bis ( p  − 1)/2 .

In ähnlicher Weise sind für b ganzzahlige Werte zwischen 0 und ( p  − 1)/2 (einschließlich) verschieden, die − b ²  − 1 sind verschieden. Nach dem Schubladenprinzip gibt es in diesem Bereich a und b , für die a ² und − b ²  − 1 modulo p kongruent sind , also für

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}=np.}$

Nun sei m die kleinste positive ganze Zahl, so dass mp die Summe von vier Quadraten ist, x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² (wir haben gerade gezeigt, dass es ein m (nämlich n ) mit dieser Eigenschaft gibt , also gibt es mindestens ein m und es ist kleiner als p ). Wir zeigen durch Widerspruch, dass m gleich 1 ist: Angenommen, dies ist nicht der Fall, beweisen wir die Existenz einer positiven ganzen Zahl r kleiner als m , für die rp auch die Summe von vier Quadraten ist (dies ist im Geiste der Methode des unendlichen Abstiegs von Fermat).

Zu diesem Zweck betrachten wir für jedes x _i das y _i, das in derselben Restklasse modulo m und zwischen (– m  + 1)/2 und m /2 (eventuell eingeschlossen) liegt. Daraus folgt, dass y ₁ ²  +  y ₂ ²  +  y ₃ ²  +  y ₄ ²  =  mr für eine streng positive ganze Zahl r kleiner als  m ist .

Schließlich zeigt ein weiterer Appell an die Vier-Quadrat-Identität von Euler, dass mpmr  =  z ₁ ²  +  z ₂ ²  +  z ₃ ²  +  z ₄ ² . Aber die Tatsache, dass jedes x _i kongruent zu seinem entsprechenden y _{i ist,} impliziert, dass alle z _i durch m teilbar sind . In der Tat,

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}&=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4} &\equiv x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}&=mp\equiv 0&{\pmod {m} },\\z_{2}&=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}y_{4}-x_{4}y_{3}&\äquiv x_{ 1}x_{2}-x_{2}x_{1}+x_{3}x_{4}-x_{4}x_{3}&=0&{\pmod {m}},\\z_{3} &=x_{1}y_{3}-x_{2}y_{4}-x_{3}y_{1}+x_{4}y_{2}&\equiv x_{1}x_{3}-x_ {2}x_{4}-x_{3}x_{1}+x_{4}x_{2}&=0&{\pmod {m}},\\z_{4}&=x_{1}y_{ 4}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{1}&\equiv x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}- x_{3}x_{2}-x_{4}x_{1}&=0&{\pmod {m}}.\end{cases}}}$

Daraus folgt , dass für w _i = z _i / m , w ₁ ²  +  w ₂ ²  +  w ₃ ²  +  W ₄ ²  =  rp , und dies ist in Widerspruch mit der Minimalität von  m .

Im obigen Abstieg müssen wir sowohl den Fall y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m /2 (was r = m und keinen Abstieg ergeben würde) ausschließen, als auch den Fall y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (was eher r = 0 als streng positiv ergeben würde). Für beide Fälle kann man überprüfen, dass mp = x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² ein Vielfaches von m ^{2 wäre} , was der Tatsache widerspricht, dass p eine Primzahl größer als m ist .

Die Hurwitz-Quaternionen bestehen aus allen Quaternionen mit ganzzahligen Komponenten und allen Quaternionen mit halbzahligen Komponenten. Diese beiden Sets können zu einer einzigen Formel kombiniert werden

${\displaystyle \alpha ={\frac{1}{2}}E_{0}(1+\mathbf{i} +\mathbf{j} +\mathbf{k})+E_{1}\mathbf{i } +E_{2}\mathbf{j} +E_{3}\mathbf{k} =a_{0}+a_{1}\mathbf{i} +a_{2}\mathbf{j} +a_{3 }\mathbf{k}}$

wo sind ganze Zahlen. Somit sind die Quaternion-Komponenten entweder alle ganzen oder alle halben ganzen Zahlen, je nachdem, ob gerade oder ungerade. Die Menge der Hurwitz-Quaternionen bildet einen Ring ; das heißt, die Summe oder das Produkt von zwei beliebigen Hurwitz-Quaternionen ist ebenfalls eine Hurwitz-Quaternion. ${\displaystyle E_{0},E_{1},E_{2},E_{3}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}}$${\displaystyle E_{0}}$

Die (arithmetische oder Feld-)Norm einer rationalen Quaternion ist die nichtnegative rationale Zahl${\displaystyle\mathrm{N} (\alpha)}$${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha )=\alpha {\bar {\alpha}}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2} +a_{3}^{2}}$

wo ist das Konjugierte von . Beachten Sie, dass die Norm einer Hurwitz-Quaternion immer eine ganze Zahl ist. (Wenn die Koeffizienten halbe ganze Zahlen sind, dann haben ihre Quadrate die Form , und die Summe dieser vier Zahlen ist eine ganze Zahl.) ${\displaystyle {\bar {\alpha}}=a_{0}-a_{1}\mathbf {i} -a_{2}\mathbf {j} -a_{3}\mathbf {k} }$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+n:n\in\mathbb{Z}}$

Da die Quaternionenmultiplikation assoziativ ist und reelle Zahlen mit anderen Quaternionen kommutieren, ist die Norm eines Produkts von Quaternionen gleich dem Produkt der Normen:

${\displaystyle \mathrm {N} (\alpha\beta)=\alpha\beta ({\overline {\alpha\beta}})=\alpha\beta {\bar {\beta}}{\bar {\alpha }}=\alpha\mathrm{N} (\beta){\bar{\alpha}}=\alpha{\bar{\alpha}}\mathrm{N} (\beta)=\mathrm{N} (\ Alpha)\mathrm{N} (\beta).}$

Für alle , . Daraus folgt leicht, dass genau dann eine Einheit im Ring der Hurwitz-Quaternionen ist . ${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle \alpha^{-1}={\bar{\alpha}}\mathrm {N} (\alpha)^{-1}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle\mathrm{N} (\alpha)=1}$

Der Beweis des Hauptsatzes beginnt mit der Reduktion auf den Fall der Primzahlen. Die Vier-Quadrat-Identität von Euler impliziert, dass, wenn der Vier-Quadrat-Satz von Langrange für zwei Zahlen gilt, er auch für das Produkt der beiden Zahlen gilt. Da jede natürliche Zahl in Primzahlen zerlegt werden kann, genügt es, den Satz für Primzahlen zu beweisen. Es gilt für . Um dies für eine ungerade Primzahl p zu zeigen , stellen Sie sie als Quaternion dar und nehmen Sie vorerst an (wie wir später zeigen werden), dass sie keine Hurwitz- Irreduzible ist ; das heißt, es kann in zwei nicht-einheitliche Hurwitz-Quaternionen zerlegt werden ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}}$${\displaystyle (p,0,0,0)}$

${\displaystyle p=\alpha\beta.}$

Die Normen von sind ganze Zahlen, so dass ${\displaystyle p,\alpha,\beta}$

${\displaystyle \mathrm{N}(p)=p^{2}=\mathrm{N} (\alpha\beta)=\mathrm{N} (\alpha)\mathrm{N} (\beta)}$

und . Dies zeigt, dass beide und gleich p sind (da sie ganze Zahlen sind) und p die Summe von vier Quadraten ist ${\displaystyle \mathrm{N} (\alpha),\mathrm{N} (\beta)>1}$${\displaystyle\mathrm{N} (\alpha)}$${\displaystyle \mathrm{N} (\beta)}$

${\displaystyle p=\mathrm {N} (\alpha )=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2} .}$

Wenn der ausgewählte Koeffizient halbzahlige Koeffizienten hat, kann er durch eine andere Hurwitz-Quaternion ersetzt werden. Wählen Sie so, dass gerade ganzzahlige Koeffizienten vorhanden sind. Dann ${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle \omega =(\pm 1\pm \mathbf {i} \pm \mathbf {j} \pm \mathbf {k} )/2}$${\displaystyle\gamma\equiv\omega+\alpha}$

${\displaystyle p=({\bar{\gamma}}-{\bar{\omega}})\omega {\bar{\omega}}(\gamma -\omega )=({\bar{\gamma} }\omega -1)({\bar{\omega}}\gamma -1).}$

Da hat gerade ganzzahlige Koeffizienten, hat ganzzahlige Koeffizienten und kann anstelle des Originals verwendet werden , um p als Summe von vier Quadraten darzustellen . ${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle ({\bar{\omega}}\gamma -1)}$${\displaystyle\alpha}$

Um zu zeigen, dass p keine Hurwitz-Irrwitzibel ist, bewies Lagrange , dass jede ungerade Primzahl p mindestens eine Zahl der Form teilt , wobei l und m ganze Zahlen sind. Dies kann wie folgt gesehen werden: da p eine Primzahl ist, kann für ganze Zahlen nur gelten, wenn . Somit enthält die Menge von Quadraten verschiedene Reste modulo p . Ebenso enthält Rückstände. Da es insgesamt nur p Reste und gibt , müssen sich die Mengen X und Y schneiden. ${\displaystyle u=1+l^{2}+m^{2}}$${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {p}}}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a\equiv \pm b{\pmod {p}}}$${\displaystyle X=\{0^{2},1^{2},\dots ,((p-1)/2)^{2}\}}$${\displaystyle (p+1)/2}$${\displaystyle Y=\{-(1+x):x\in X\}}$${\displaystyle (p+1)/2}$${\displaystyle |X|+|Y|=p+1>p}$

Die Zahl u kann in Hurwitz-Quaternionen faktorisiert werden:

${\displaystyle 1+l^{2}+m^{2}=(1+l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} - m\;\mathbf{j}).}$

Die Norm auf Hurwitz-Quaternionen erfüllt eine Form der euklidischen Eigenschaft: Für jede Quaternion mit rationalen Koeffizienten können wir eine Hurwitz-Quaternion so wählen , dass wir zuerst so dass wählen und dann so dass für . Dann erhalten wir ${\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} }$${\displaystyle \beta =b_{0}+b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathrm{N} (\alpha -\beta)<1}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle |a_{0}-b_{0}|\leq 1/4}$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3}}$${\displaystyle |a_{i}-b_{i}|\leq 1/2}$${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} (\alpha -\beta )&=(a_{0}-b_{0})^{2}+(a_{1}-b_{1}) ^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}\\&\leq \left({\frac {1} {4}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^ {2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {13}{16}}<1.\end{aligned}}}$

Daraus folgt, dass es für jede Hurwitz-Quaternion mit eine Hurwitz-Quaternion gibt, so dass ${\displaystyle\alpha,\beta}$${\displaystyle \alpha \neq 0}$${\displaystyle\gamma}$

${\displaystyle \mathrm{N} (\beta -\alpha\gamma)<\mathrm{N} (\alpha).}$

Der Ring H von Hurwitz-Quaternionen ist nicht kommutativ, daher ist er kein tatsächlicher euklidischer Bereich, und er hat keine eindeutige Faktorisierung im üblichen Sinne. Dennoch bedeutet die Eigenschaft oben , dass jedes Recht ideal ist Haupt . Somit gibt es eine Hurwitz-Quaternion mit ${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle \alpha H=pH+(1-l\;\mathbf{i}-m\;\mathbf{j})H.}$

Insbesondere für einige Hurwitz-Quaternion . Wäre eine Einheit, wäre das ein Vielfaches von p , dies ist jedoch unmöglich, da es keine Hurwitz-Quaternion für ist . In ähnlicher Weise hätten wir , wenn es eine Einheit wäre, ${\displaystyle p=\alpha\beta}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle 1-l\;\mathbf{i}-m\;\mathbf{j}}$${\displaystyle 1/pl/p\;\mathbf{i} -m/p\;\mathbf{j}}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle\alpha}$

${\displaystyle (1+l\;\mathbf{i}+m\;\mathbf{j})H=(1+l\;\mathbf{i}+m\;\mathbf{j} )pH+(1 +l\;\mathbf {i} +m\;\mathbf {j} )(1-l\;\mathbf {i} -m\;\mathbf {j} )H\subseteq pH}$

so teilt sich p , was wiederum der Tatsache widerspricht, dass es sich nicht um eine Hurwitz-Quaternion handelt. Somit ist p nicht wie behauptet Hurwitz irreduzibel. ${\displaystyle 1+l\;\mathbf{i}+m\;\mathbf{j}}$${\displaystyle 1/pl/p\;\mathbf{i} -m/p\;\mathbf{j}}$