Lamés Spannungsellipsoid - Lamé's stress ellipsoid

Das Spannungsellipsoid von Lamé ist eine Alternative zum Mohrschen Kreis zur grafischen Darstellung des Spannungszustandes an einem Punkt . Die Oberfläche des Ellipsoids stellt den Ort der Endpunkte aller Spannungsvektoren dar, die auf alle Ebenen wirken, die durch einen bestimmten Punkt im Kontinuumskörper verlaufen. Mit anderen Worten, die Endpunkte aller Spannungsvektoren an einem bestimmten Punkt des Kontinuumskörpers liegen auf der Spannungsellipsoidfläche, dh dem Radiusvektor vom Mittelpunkt des Ellipsoids, der sich am betrachteten Materialpunkt befindet, zu einem Punkt auf die Oberfläche des Ellipsoids ist gleich dem Spannungsvektor auf einer Ebene, die durch den Punkt geht. In zwei Dimensionen wird die Oberfläche durch eine Ellipse dargestellt .

Sobald die Gleichungen des Ellipsoids bekannt sind, kann die Größe des Spannungsvektors für jede Ebene erhalten werden, die durch diesen Punkt verläuft.

Um die Gleichung des Spannungsellipsoids zu bestimmen, betrachten wir die Koordinatenachsen in Richtung der Hauptachsen, dh in einem Hauptspannungsraum. Somit werden die Koordinaten des Spannungsvektors auf einer Ebene mit normalem Einheitsvektor, der durch einen gegebenen Punkt verläuft, dargestellt durch ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,\!}$${\displaystyle\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}\,\!}$${\displaystyle \mathbf{n}\,\!}$${\displaystyle P\,\!}$

${\displaystyle T_{1}^{(\mathbf{n})}=\sigma_{1}n_{1},\qquad T_{2}^{(\mathbf{n})}=\sigma_{ 2}n_{2},\qquad T_{3}^{(\mathbf{n})}=\sigma_{3}n_{3}\,\!}$

Und da wir wissen, dass dies ein Einheitsvektor ist, haben wir ${\displaystyle \mathbf{n}\,\!}$

${\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}={\frac {T_{1}}{{\sigma_{1}}^{ 2}}}^{2}+{\frac {T_{2}}{{\sigma_{2}}^{2}}}^{2}+{\frac {T_{3}}{{\ Sigma _{3}}^{2}}}^{2}=1\,\!}$

Dies ist die Gleichung eines Ellipsoids, das im Ursprung des Koordinatensystems zentriert ist, wobei die Längen der Halbachsen des Ellipsoids gleich den Größen der Hauptspannungen sind, dh die Achsenabschnitte des Ellipsoids mit den Hauptachsen sind . ${\displaystyle \pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}\,\!}$

• Die erste Spannungsinvariante ist direkt proportional zur Summe der Hauptradien des Ellipsoids.${\displaystyle I_{1}\,\!}$
• Die zweite Spannungsinvariante ist direkt proportional zur Summe der drei Hauptflächen des Ellipsoids. Die drei Hauptbereiche sind die Ellipsen auf jeder Hauptebene.${\displaystyle I_{2}\,\!}$
• Die dritte Spannungsinvariante ist direkt proportional zum Volumen des Ellipsoids.${\displaystyle I_{3}\,\!}$
• Wenn zwei der drei Hauptspannungen numerisch gleich sind, wird das Spannungsellipsoid zu einem Rotationsellipsoid . Somit sind zwei Hauptflächen Ellipsen und die dritte ein Kreis .
• Wenn alle Hauptspannungen gleich sind und das gleiche Vorzeichen haben, wird das Spannungsellipsoid zu einer Kugel und drei beliebige senkrechte Richtungen können als Hauptachsen genommen werden.

Das Spannungsellipsoid allein gibt jedoch nicht die Ebene an, auf die der gegebene Zugvektor wirkt. Nur für den Fall, dass der Spannungsvektor entlang einer der Hauptrichtungen liegt, ist es möglich, die Richtung der Ebene zu kennen, da die Hauptspannungen senkrecht zu ihren Ebenen wirken. Um die Orientierung einer anderen Ebene zu finden, haben wir die Spannungsrichtungsfläche oder die Spannungsdirektorquadrik verwendet, die durch die Gleichung . dargestellt wird

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\sigma_{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma_{2}}}+{ \frac {x_{3}^{2}}{\sigma_{3}}}=1\,\!}$

Die durch einen Radiusvektor des Spannungsellipsoids repräsentierte Spannung wirkt auf eine Ebene, die parallel zur Tangentenebene an die Spannungsrichtfläche im Schnittpunkt mit dem Radiusvektor ausgerichtet ist.

Verweise

Literaturverzeichnis

• Timoschenko, Stephen P. ; James Norman Goodier (1970). Theorie der Elastizität (Dritte Aufl.). McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5.
• Timoschenko, Stephen P. (1983). Geschichte der Festigkeitslehre: mit einer kurzen Darstellung der Geschichte der Elastizitäts- und Strukturtheorie . Dover Bücher über Physik. Dover-Publikationen. ISBN 0-486-61187-6.