Lambertsches Kosinusgesetz - Lambert's cosine law

In der Optik , Lambertsches Gesetz besagt , dass die Strahlungsintensität bzw. Lichtstärke von einem idealen beobachtet diffus reflektierende Oberfläche oder ideal diffuser Heizkörper ist direkt proportional zu dem Cosinus des Winkels θ zwischen der Richtung des einfallenden Lichts und der Oberfläche normal; I = I ₀ cos( θ ) . Das Gesetz ist auch als Cosinus-Emissionsgesetz oder Lambert-Emissionsgesetz bekannt . Es ist nach Johann Heinrich Lambert aus seiner 1760 veröffentlichten Photometria benannt .

Eine Fläche, die dem Lambertschen Gesetz gehorcht, heißt Lambertsch und weist eine Lambertsche Reflexion auf . Eine solche Oberfläche hat aus jedem Blickwinkel die gleiche Strahlkraft . Dies bedeutet zum Beispiel, dass es für das menschliche Auge die gleiche scheinbare Helligkeit (oder Leuchtdichte ) hat. Es hat die gleiche Strahldichte, weil, obwohl die emittierte Leistung von einem gegebenen Flächenelement um den Kosinus des Abstrahlwinkels reduziert wird, der Raumwinkel, der von der für den Betrachter sichtbaren Oberfläche begrenzt wird, um den gleichen Betrag reduziert wird. Da das Verhältnis zwischen Leistung und Raumwinkel konstant ist, bleibt die Strahldichte (Leistung pro Raumwinkeleinheit pro projizierter Quellfläche) gleich.

Lambertsche Streuer und Strahler

Wenn ein Flächenelement aufgrund der Beleuchtung durch eine externe Quelle strahlt, ist die Bestrahlungsstärke (Energie oder Photonen/Zeit/Fläche), die auf diesem Flächenelement auftrifft, proportional zum Kosinus des Winkels zwischen der Beleuchtungsquelle und der Normalen. Ein Lambertscher Streuer streut dieses Licht dann nach dem gleichen Kosinusgesetz wie ein Lambertscher Strahler. Dies bedeutet, dass die Strahldichte der Oberfläche zwar vom Winkel der Normalen zur Lichtquelle abhängt, aber nicht vom Winkel der Normalen zum Betrachter. Wenn der Mond beispielsweise ein Lambertscher Streuer wäre, würde man erwarten, dass seine gestreute Helligkeit aufgrund des größeren Winkels, in dem Sonnenlicht auf die Oberfläche trifft, zum Terminator hin merklich abnimmt . Die Tatsache, dass sie nicht kleiner wird, zeigt, dass der Mond kein Lambertscher Streuer ist und tatsächlich dazu neigt, mehr Licht in die schiefen Winkel zu streuen als ein Lambertscher Streuer.

Die Emission eines Lambertschen Strahlers hängt nicht von der Menge der einfallenden Strahlung ab, sondern von der Strahlung, die vom emittierenden Körper selbst stammt. Wäre die Sonne beispielsweise ein Lambertscher Strahler, würde man erwarten, dass über die gesamte Sonnenscheibe eine konstante Helligkeit zu sehen ist. Die Tatsache, dass die Sonne im sichtbaren Bereich eine Randverdunkelung aufweist, zeigt, dass es sich nicht um einen Lambertschen Strahler handelt. Ein schwarzer Körper ist ein Beispiel für einen Lambertschen Strahler.

Details des gleichen Helligkeitseffekts

Abbildung 1: Emissionsrate (Photonen/s) in normaler und außernormaler Richtung. Die Anzahl der Photonen/s, die in einen beliebigen Keil geleitet werden, ist proportional zur Fläche des Keils.

Abbildung 2: Beobachtete Intensität (Photonen/(s·m ² ·sr)) für einen normalen und einen nicht normalen Beobachter; dA ₀ ist die Fläche der Beobachtungsöffnung und dΩ ist der Raumwinkel, den die Öffnung aus der Sicht des emittierenden Flächenelements einschließt .

Die Situation für eine Lambertsche Oberfläche (emittierend oder streuend) ist in den Abbildungen 1 und 2 dargestellt. Aus Gründen der konzeptionellen Klarheit werden wir eher in Photonen als in Energie oder Lichtenergie denken . Die Keile im Kreis stellen jeweils einen gleichen Winkel dΩ einer willkürlich gewählten Größe dar, und für eine Lambertsche Fläche ist die Anzahl der pro Sekunde in jeden Keil emittierten Photonen proportional zur Fläche des Keils.

Die Länge jedes Keils ist das Produkt aus dem Durchmesser des Kreises und cos ( θ ). Die maximale Photonenemissionsrate pro Raumwinkeleinheit verläuft entlang der Normalen und nimmt für θ = 90° auf Null ab . Mathematisch ausgedrückt beträgt die Strahldichte entlang der Normalen I Photonen/(s·m ² ·sr) und die Anzahl der Photonen pro Sekunde, die in den vertikalen Keil emittiert werden, ist I dΩ dA . Die Anzahl der Photonen pro Sekunde in den Keil mit einem Winkel emittiert wird & theta; ist I cos ( θ ) d & ohgr; dA .

Abbildung 2 stellt dar, was ein Beobachter sieht. Der Beobachter direkt über dem Flächenelement sieht die Szene durch eine Öffnung der Fläche dA ₀ und das Flächenelement dA wird einen (festen) Winkel von dΩ ₀einschließen , der ein Teil des gesamten Blickwinkels des Beobachters von ist die Szene. Da die Keilgröße dΩ willkürlich gewählt wurde, können wir der Einfachheit halber ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass sie mit dem Raumwinkel übereinstimmt, der von der Apertur eingeschlossen wird, wenn sie vom Ort des emittierenden Flächenelements dA aus "betrachtet" wird. Somit nimmt der normale Beobachter dann die oben abgeleitete Emission von I dΩ dA Photonen pro Sekunde auf und misst eine Strahlung von

I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega_{0}\,dA_{0}}}

Photonen/(s·m ² ·sr).

Der Beobachter im Winkel θ zur Normalen sieht die Szene durch die gleiche Öffnung der Fläche dA ₀ (entspricht immer noch einem dΩ- Keil) und aus diesem schrägen Blickwinkel wird das Flächenelement dA verkürzt und wird einen (festen) Winkel von dΩ . einschließen ₀ cos ( θ ). Dieser Beobachter nimmt I cos( θ ) dΩ dA Photonen pro Sekunde auf und misst somit eine Strahlung von

I_{0}={\frac {I\cos(\theta)\,d\Omega \,dA}{d\Omega_{0}\,\cos(\theta)\,dA_{0} }}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega_{0}\,dA_{0}}}

Photonen/(s·m ² ·sr),

das ist das gleiche wie der normale Beobachter.

Bezug von Spitzenlichtstärke und Lichtstrom

Im Allgemeinen variiert die Lichtstärke eines Punktes auf einer Oberfläche je nach Richtung; für eine Lambertsche Fläche ist diese Verteilung durch das Kosinusgesetz definiert, mit Spitzenlichtstärke in der Normalenrichtung. Wenn also die Lambertsche Annahme gilt, können wir berechnen den Gesamtlichtstrom , von der Spitzenleuchtstärke , durch die Kosinusgesetz integrierenden: $F_{tot}$ $I_{max}$

F_{tot}=\int\limits_{0}^{2\pi}\,\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos(\theta)I_{max}\ ,\sin(\theta )\,\operatorname {d} \theta \,\operatorname {d} \phi

=2\pi\cdot I_{max}\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos(\theta)\sin(\theta)\,\operatorname {d} \theta

=2\pi\cdot I_{max}\int\limits_{0}^{\pi/2}{\frac {\sin(2\theta)}{2}}\,\operatorname {d } \theta

und so

F_{tot}=\pi\,\mathrm{sr}\cdot I_{max}

wo ist die Determinante der Jacobi-Matrix für die Einheitskugel , und das ist der Lichtstrom pro Steradiant . In ähnlicher Weise entspricht die Spitzenintensität dem gesamten abgestrahlten Lichtstrom. Bei Lambertschen Oberflächen bezieht sich derselbe Faktor von Leuchtdichte auf Lichtemission , Strahlungsintensität auf Strahlungsfluss und Strahlungsdichte auf Strahlungsemission . Radiant und Steradiant sind natürlich dimensionslos und daher sind "rad" und "sr" nur der Übersichtlichkeit halber enthalten. $\sin(\theta)$ $I_{max}$ $1/(\pi\,\mathrm{sr})$ $\pi\,\mathrm {sr}$

Beispiel: Eine Fläche mit einer Leuchtdichte von beispielsweise 100 cd/m ² (= 100 nits, typischer PC-Monitor) hat, wenn es sich um einen perfekten Lambert-Strahler handelt, eine Leuchtdichte von 100*π lm/m ² . Bei einer Fläche von 0,1 m ² (~19"-Monitor) würde die gesamte abgegebene Lichtmenge bzw. der Lichtstrom somit 31,4 lm betragen.

Siehe auch

Verweise

^ RCA Electro-Optics Handbook, S.18 ff
^ Moderne optische Technik, Warren J. Smith, McGraw-Hill, p. 228, 256
^ Pedrotti & Pedrotti (1993). Einführung in die Optik . Lehrlingssaal . ISBN 0135015456.
^ Lambert, Johann Heinrich (1760). Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae . Eberhard Klett.
^ Incropera und DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer , 5. Aufl., S.710.

[RCAEOH-1] RCA Electro-Optics Handbook, S.18 ff

[SmithW-2] Moderne optische Technik, Warren J. Smith, McGraw-Hill, p. 228, 256

[3] Pedrotti & Pedrotti (1993). Einführung in die Optik . Lehrlingssaal . ISBN 0135015456.

[4] Lambert, Johann Heinrich (1760). Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae . Eberhard Klett.

[5] Incropera und DeWitt, Fundamentals of Heat and Mass Transfer , 5. Aufl., S.710.

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