Larmor-Formel - Larmor formula

Eine Yagi-Uda-Antenne . Radiowellen können von einer Antenne abgestrahlt werden, indem Elektronen in der Antenne beschleunigt werden. Dies ist ein kohärenter Prozess, daher ist die abgestrahlte Gesamtleistung proportional zum Quadrat der Anzahl der Elektronen, die sich beschleunigen.

In der Elektrodynamik , die Larmor Formel wird verwendet , um die Gesamt zu berechnen Leistung von einer nichtrelativistischer Punktladung abgestrahlt , wie es beschleunigt. Es wurde erstmals 1897 von JJ Larmor im Kontext der Wellentheorie des Lichts abgeleitet .

Wenn ein geladenes Teilchen (wie ein Elektron , ein Proton oder ein Ion ) beschleunigt wird, strahlt es Energie in Form von elektromagnetischen Wellen ab . Für Geschwindigkeiten, die relativ zur Lichtgeschwindigkeit klein sind , wird die abgestrahlte Gesamtleistung durch die Larmor-Formel angegeben:

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}c}}\left({\frac {\dot {v}}{c} }\right)^{2}={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}c^{3}}}={\ frac {q^{2}a^{2}}{6\pi\varepsilon_{0}c^{3}}}{\mbox{ (SI-Einheiten)}}}$

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ (cgs-Einheiten)}}}$

wo oder ist die richtige Beschleunigung, ist die Ladung und ist die Lichtgeschwindigkeit. Eine relativistische Verallgemeinerung ist durch die Liénard-Wiechert-Potentiale gegeben . ${\displaystyle {\dot {v}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$${\displaystyle c}$

In beiden Einheitensystemen kann die von einem einzelnen Elektron abgestrahlte Leistung als klassischer Elektronenradius und Elektronenmasse ausgedrückt werden als:

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}}$

Eine Folgerung ist, dass ein Elektron, das wie im Bohr-Modell um einen Kern kreist , Energie verlieren, in den Kern fallen und das Atom kollabieren sollte. Dieses Rätsel wurde erst mit der Einführung der Quantentheorie gelöst .

Ableitung

Ableitung 1: Mathematischer Ansatz (mit CGS-Einheiten)

Wir müssen zuerst die Form der elektrischen und magnetischen Felder finden. Die Felder können geschrieben werden (für eine vollständigere Herleitung siehe Liénard-Wiechert-Potenzial )

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta}}}{\gamma ^{2}(1 -{\boldsymbol {\beta}}\cdot\mathbf{n}^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}} \left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta}})\times {\dot {\boldsymbol {\beta}}}]}{(1 -{\boldsymbol {\beta}}\cdot\mathbf{n})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}$

und

${\displaystyle \mathbf{B} =\mathbf{n} \times \mathbf{E},}$

Dabei ist die Geschwindigkeit der Ladung dividiert durch , die Beschleunigung der Ladung dividiert durch c , ein Einheitsvektor in die Richtung, der Betrag von , der Ort der Ladung und . Die Terme rechts werden zum verzögerten Zeitpunkt ausgewertet . ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta}}}}$${\displaystyle\mathbf{n}}$${\displaystyle \mathbf{r} -\mathbf{r} _{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf{r} -\mathbf{r} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$${\displaystyle \gamma =(1-\beta^{2})^{-1/2}}$ ${\displaystyle t_{\text{r}}=tR/c}$

Die rechte Seite ist die Summe der elektrischen Felder, die mit der Geschwindigkeit und der Beschleunigung des geladenen Teilchens verbunden sind. Das Geschwindigkeitsfeld hängt nur während das Beschleunigungsfeld hängt von sowohl und und die Winkelbeziehung zwischen den beiden. Da das Geschwindigkeitsfeld proportional zu ist , fällt es mit der Entfernung sehr schnell ab. Andererseits ist das Beschleunigungsfeld proportional zu , was bedeutet, dass es mit der Entfernung viel langsamer abfällt. Aus diesem Grund ist das Beschleunigungsfeld repräsentativ für das Strahlungsfeld und dafür verantwortlich, den größten Teil der Energie von der Ladung abzutransportieren. ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta}}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta}}}}$${\displaystyle 1/R^{2}}$${\displaystyle 1/R}$

Wir können das finden Energiefluss durch die Berechnung der Dichte des Strahlungsfeldes Poyntingvektors :

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi}}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}}, }$

wobei die Indizes 'a' betonen, dass wir nur das Beschleunigungsfeld verwenden. Einsetzen in die Beziehung zwischen den magnetischen und elektrischen Feldern unter der Annahme, dass das Teilchen zur Zeit augenblicklich ruht und vereinfachend ergibt ${\displaystyle t_{\text{r}}}$

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\ Punkt {\boldsymbol {\beta}}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .}$

Wenn wir den Winkel zwischen der Beschleunigung und dem Beobachtungsvektor gleich lassen , und wir die Beschleunigung einführen , dann strahlte die Leistung pro Einheit Raumwinkel ist ${\displaystyle\theta}$${\displaystyle \mathbf{a} ={\dot {\boldsymbol {\beta}}}c}$

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega}}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin^{2}(\theta)\,a ^{2}}{c^{2}}}.}$

Die abgestrahlte Gesamtleistung wird durch Integration dieser Größe über alle Raumwinkel (also über und ) ermittelt. Das gibt ${\displaystyle\theta}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}},}$

das ist das Larmor-Ergebnis für eine nichtrelativistische beschleunigte Ladung. Sie setzt die vom Teilchen abgestrahlte Leistung in Beziehung zu seiner Beschleunigung. Es zeigt deutlich, dass die Strahlung umso größer ist, je schneller die Ladung beschleunigt wird. Wir würden dies erwarten, da das Strahlungsfeld von der Beschleunigung abhängig ist.

Ableitung 2: Edward M. Purcell-Ansatz

Die vollständige Ableitung finden Sie hier.

Hier ist eine Erklärung, die zum Verständnis der obigen Seite beitragen kann.

Dieser Ansatz basiert auf der endlichen Lichtgeschwindigkeit. Eine Ladung, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, hat ein radiales elektrisches Feld (im Abstand von der Ladung), das immer von der zukünftigen Position der Ladung ausgeht, und es gibt keine tangentiale Komponente des elektrischen Felds . Diese zukünftige Position ist vollständig deterministisch, solange die Geschwindigkeit konstant ist. Wenn sich die Geschwindigkeit der Ladung ändert (sagen wir, sie springt während einer kurzen Zeit zurück), "springt" die zukünftige Position, so dass von diesem Moment an und weiter das radiale elektrische Feld von einer neuen Position aus entsteht. Angesichts der Tatsache, dass das elektrische Feld kontinuierlich sein muss, tritt eine von Null verschiedene Tangentialkomponente des elektrischen Felds auf, die wie folgt abnimmt (im Gegensatz zur radialen Komponente, die wie abnimmt ). ${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle (E_{t}=0)}$${\displaystyle E_{r}}$${\displaystyle E_{t}}$${\displaystyle 1/R}$${\displaystyle 1/R^{2}}$

Daher ist bei großen Entfernungen von der Ladung die radiale Komponente relativ zur tangentialen Komponente vernachlässigbar, und außerdem können Felder, die sich ähnlich verhalten, nicht strahlen, weil sich der ihnen zugeordnete Poynting-Vektor wie verhält . ${\displaystyle 1/R^{2}}$${\displaystyle 1/R^{4}}$

Die Tangentialkomponente ergibt sich (SI-Einheiten):

${\displaystyle E_{t}={{ea\sin(\theta)} \over {4\pi\varepsilon_{0}c^{2}R}}.}$

Und die Larmour Formel zu erhalten, muss man alle Winkel integrieren über, in großer Entfernung von der Ladung, der Poyntingvektors zugeordnet , das ist: ${\displaystyle R}$${\displaystyle E_{t}}$

${\displaystyle \mathbf{S} ={E_{t}^{2} \over \mu_{0}c}\mathbf {\hat{r}} ={{e^{2}a^{2} \sin^{2}(\theta)} \over {16\pi^{2}\varepsilon_{0}c^{3}R^{2}}}\mathbf {\hat{r}}}$

Geben (SI-Einheiten)

${\displaystyle P={{e^{2}a^{2}} \over {6\pi\varepsilon_{0}c^{3}}}.}$

Dies ist mathematisch äquivalent zu:

${\displaystyle P={{\mu_{0}e^{2}a^{2}} \over {6\pi c}}.}$

Da stellen wir das oben im Artikel zitierte Ergebnis wieder her, nämlich ${\displaystyle c^{2}=1/\mu_{0}\varepsilon_{0}}$

${\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^ {2}a^{2}}{6\pi\varepsilon_{0}c^{3}}}.}$

Relativistische Verallgemeinerung

Kovariante Form

Die nichtrelativistische Larmor-Formel wird in Bezug auf den Impuls p geschrieben (in CGS-Einheiten)

${\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}|{\dot {\mathbf {p}}} |^{2}.}$

Die Potenz P kann als Lorentz-invariant gezeigt werden . Jede relativistische Verallgemeinerung der Larmor-Formel muss daher P auf eine andere Lorentz-invariante Größe beziehen . Die Menge in der nichtrelativistischer Formel auftretende legt nahe , dass die relativistischen richtige Formel sollte die Lorentz skalare umfassen , indem das innere Produkt der gefundenen Vier Beschleunigung eine ^μ = dp ^μ / d τ mit mir selbst [hier p ^μ = (γ mc , γ m v ) ist der Viererimpuls ]. Die korrekte relativistische Verallgemeinerung der Larmor-Formel lautet (in CGS-Einheiten) ${\displaystyle |{\dot {\mathbf {p}}}|^{2}}$

Es kann gezeigt werden, dass dieses innere Produkt gegeben ist durch

${\displaystyle {\frac {dp_{\mu}}{d\tau}}{\frac {dp^{\mu}}{d\tau}}=\beta^{2}\left({\frac { dp}{d\tau}}\right)^{2}-\left({\frac {d{\mathbf{p}}}{d\tau}}\right)^{2},}$

und so im Grenzfall β ≪ 1 reduziert sie sich auf , wodurch der nichtrelativistische Fall reproduziert wird. ${\displaystyle -|{\dot {\mathbf {p}}}|^{2}}$

Nicht kovariante Form

Das obige innere Produkt kann auch in Form von β und seiner zeitlichen Ableitung geschrieben werden. Dann lautet die relativistische Verallgemeinerung der Larmor-Formel (in CGS-Einheiten)

Dies ist das Liénard-Ergebnis, das erstmals 1898 erhalten wurde. Das bedeutet, dass die vom Teilchen emittierte Strahlung wahrscheinlich vernachlässigbar ist , wenn der Lorentz-Faktor sehr nahe bei eins liegt (dh ). Wenn die Strahlung jedoch wächst, versucht das Teilchen, seine Energie in Form von EM-Wellen zu verlieren. Auch wenn Beschleunigung und Geschwindigkeit orthogonal sind, wird die Leistung um einen Faktor von reduziert , dh der Faktor wird zu . Je schneller die Bewegung wird, desto stärker wird diese Reduzierung. ${\displaystyle \gamma^{6}}$ ${\textstyle \gamma=1/{\sqrt {1-\beta^{2}}}}$${\displaystyle \beta\ll 1}$${\displaystyle \beta \rightarrow 1}$${\displaystyle \gamma^{6}}$${\displaystyle 1-\beta^{2}=1/\gamma^{2}}$${\displaystyle \gamma^{6}}$${\displaystyle \gamma^{4}}$

Wir können das Ergebnis von Liénard verwenden, um vorherzusagen, welche Art von Strahlungsverlusten bei verschiedenen Bewegungsarten zu erwarten sind.

Winkelverteilung

Die Winkelverteilung der Strahlungsleistung wird durch eine allgemeine Formel angegeben, die unabhängig davon anwendbar ist, ob das Teilchen relativistisch ist oder nicht. In CGS-Einheiten lautet diese Formel

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega}}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {|\mathbf {\hat{n}} \times [ (\mathbf {\hat{n}} -{\boldsymbol {\beta}})\times {\dot {\boldsymbol {\beta}}}]|^{2}}{(1-\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\beta}})^{5}}},}$

wobei ein Einheitsvektor ist, der vom Teilchen zum Beobachter zeigt. Bei linearer Bewegung (Geschwindigkeit parallel zur Beschleunigung) vereinfacht sich dies zu ${\displaystyle\mathbf{\hat{n}}}$

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega}}={\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi c^{3}}}{\frac {\sin^{ 2}\theta}{(1-\beta\cos\theta)^{5}}},}$

wo ist der Winkel zwischen dem Beobachter und der Bewegung des Teilchens. ${\displaystyle\theta}$

Probleme und Auswirkungen

Strahlungsreaktion

Die Strahlung eines geladenen Teilchens trägt Energie und Impuls. Um die Energie- und Impulserhaltung zu erfüllen, muss das geladene Teilchen zum Zeitpunkt der Emission einen Rückstoß erfahren. Die Strahlung muss eine zusätzliche Kraft auf das geladene Teilchen ausüben. Diese Kraft wird als bekannt Abraham-Lorentz - Kraft in der nichtrelativistischer Grenze und die Abraham-Lorentz-Dirac Kraft in der relativistischen Einstellung.

Atomphysik

Ein klassisches Elektron im Bohrschen Modell, das einen Kern umkreist, erfährt eine Beschleunigung und sollte strahlen. Folglich verliert das Elektron Energie und das Elektron sollte sich schließlich in den Kern spiralförmig drehen. Atome sind nach der klassischen Mechanik folglich instabil. Diese klassische Vorhersage wird durch die Beobachtung stabiler Elektronenbahnen verletzt. Das Problem wird mit einer quantenmechanischen Beschreibung der Atomphysik gelöst , die zunächst durch das Bohr-Modell bereitgestellt wurde. Klassische Lösungen zur Stabilität von Elektronenorbitalen können unter strahlungsfreien Bedingungen und in Übereinstimmung mit bekannten physikalischen Gesetzen gezeigt werden.

Siehe auch

• Atomtheorie
• Zyklotronstrahlung
• Gleichung für elektromagnetische Wellen
• Maxwell-Gleichungen in gekrümmter Raumzeit
• Strahlungsreaktion
• Wellengleichung
• Wheeler-Feynman-Absorbertheorie

Anmerkungen

Verweise

• J. Larmor, "Über eine dynamische Theorie des elektrischen und leuchtenden Mediums", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) S. 205–300 (Dritter und letzter in einer Reihe von Artikeln mit demselben Namen).
• Jackson, John D. (1998). Klassische Elektrodynamik (3. Aufl.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X. (Abschnitt 14.2ff)
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Feynman Vorlesungen über Gravitation . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5.