Gitter-Boltzmann-Methoden - Lattice Boltzmann methods

Lattice - Boltzmann - Verfahren (LBM) , entsteht aus der FHP-Modell (LGA) Methode (Hardy- Pomeau -Pazzis und Frisch - Hasslacher - Pomeau - Modelle), ist eine Klasse von computational fluid dynamics (CFD) Methoden zur Strömungssimulation . Anstatt die Navier-Stokes-Gleichungen zu lösendirekt wird eine Fluiddichte auf einem Gitter mit Strömungs- und Kollisions-(Relaxations-)Prozessen simuliert. Die Methode ist vielseitig, da das Modellfluid einfach dazu gebracht werden kann, ein allgemeines Fluidverhalten wie Dampf/Flüssigkeits-Koexistenz nachzuahmen, und so können Fluidsysteme wie Flüssigkeitströpfchen simuliert werden. Auch Flüssigkeiten in komplexen Umgebungen wie porösen Medien können einfach simuliert werden, während andere CFD-Methoden bei komplexen Grenzen schwer zu handhaben sind.

Medien abspielen

Computersimulation in zwei Dimensionen mit der Lattice-Boltzmann-Methode eines Tröpfchens, das gedehnt wird und sich zu seiner kreisförmigen Gleichgewichtsform entspannt

Algorithmus

LBM ist eine relativ neue Simulationstechnik für komplexe Fluidsysteme und hat das Interesse von Forschern der Computerphysik geweckt. Im Gegensatz zu den traditionellen CFD-Methoden, die die Erhaltungsgleichungen makroskopischer Eigenschaften (dh Masse, Impuls und Energie) numerisch lösen, modelliert LBM das Fluid, das aus fiktiven Teilchen besteht, und diese Teilchen führen aufeinanderfolgende Ausbreitungs- und Kollisionsprozesse über ein diskretes Gitter durch. Aufgrund seiner partikulären Natur und lokalen Dynamik hat LBM gegenüber anderen herkömmlichen CFD-Methoden mehrere Vorteile, insbesondere im Umgang mit komplexen Grenzen, der Einbeziehung mikroskopischer Wechselwirkungen und der Parallelisierung des Algorithmus. Eine andere Interpretation der Gitter-Boltzmann-Gleichung ist die einer geschwindigkeitsdiskreten Boltzmann-Gleichung . Die numerischen Lösungsverfahren des Systems partieller Differentialgleichungen führen dann zu einer diskreten Abbildung, die als Ausbreitung und Kollision fiktiver Teilchen interpretiert werden kann.

Schema der D2Q9-Gittervektoren für 2D-Gitter Boltzmann

In einem Algorithmus gibt es Kollisions- und Streaming-Schritte. Diese entwickeln die Dichte der Flüssigkeit , für den Ort und die Zeit. Da sich die Flüssigkeit auf einem Gitter befindet, weist die Dichte eine Anzahl von Komponenten auf, die der Anzahl der Gittervektoren entspricht, die mit jedem Gitterpunkt verbunden sind. Als Beispiel werden hier die Gittervektoren für ein einfaches Gitter gezeigt, das in Simulationen in zwei Dimensionen verwendet wird. Dieses Gitter wird normalerweise als D2Q9 bezeichnet, für zwei Dimensionen und neun Vektoren: vier Vektoren entlang Nord, Ost, Süd und West, plus vier Vektoren zu den Ecken eines Einheitsquadrats, plus einen Vektor mit beiden Komponenten Null. Dann zB Vektor , dh er zeigt genau nach Süden und hat somit keine Komponente sondern eine Komponente von . Eine der neun Komponenten der Gesamtdichte am zentralen Gitterpunkt ist also der Teil der Flüssigkeit am Punkt , der sich mit einer Geschwindigkeit in Gittereinheiten von eins genau nach Süden bewegt. ${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f_{i},i=0,\ldots,a}$${\displaystyle {\vec {e}}_{4}=(0,-1)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle f_{4}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

Dann sind die Schritte, die die Flüssigkeit im Laufe der Zeit entwickeln:

Der Kollisionsschritt

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t+\delta_{t})=f_{i}({\vec{x}},t)+{\frac {f_{i}^ {eq}({\vec {x}},t)-f_{i}({\vec {x}},t)}{\tau_{f}}}\,\!}$

Dies ist das Bhatnagar Gross and Krook (BGK)-Modell für die Relaxation zum Gleichgewicht durch Kollisionen zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit. ist die Gleichgewichtsdichte entlang der Richtung i bei der dortigen Stromdichte. Das Modell geht davon aus, dass sich die Flüssigkeit über eine charakteristische Zeitskala lokal bis zum Gleichgewicht entspannt . Diese Zeitskala bestimmt die kinematische Viskosität , je größer sie ist, desto größer ist die kinematische Viskosität.${\displaystyle f_{i}^{eq}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle \tau_{f}}$

Der Streaming-Schritt

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i},t+\delta_{t})=f_{i}({\vec {x}}, T)\,\!}$

Da die Fluiddichte per Definition zum Zeitpunkt , also mit einer Geschwindigkeit von pro Zeitschritt, bewegt wird, ist sie beim nächsten Zeitschritt zum Punkt gelaufen .${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$${\displaystyle t+\delta_{t}}$${\displaystyle {\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}}$

Vorteile

• Der LBM wurde von Grund auf für den effizienten Betrieb auf massiv parallelen Architekturen entwickelt , die von kostengünstigen eingebetteten FPGAs und DSPs bis hin zu GPUs und heterogenen Clustern und Supercomputern (selbst mit einem langsamen Verbindungsnetzwerk) reichen . Es ermöglicht komplexe Physik und ausgeklügelte Algorithmen. Effizienz führt zu einer qualitativ neuen Erkenntnisebene, da sie es ermöglicht, Probleme zu lösen, die bisher nicht (oder nur mit unzureichender Genauigkeit) angegangen werden konnten.
• Die Methode stammt aus einer molekularen Beschreibung einer Flüssigkeit und kann physikalische Begriffe direkt einbeziehen, die aus dem Wissen um die Wechselwirkung zwischen Molekülen stammen. Damit ist es ein unverzichtbares Instrument in der Grundlagenforschung, da es den Zyklus zwischen der Ausarbeitung einer Theorie und der Formulierung eines entsprechenden numerischen Modells kurz hält.
• Automatisierte Datenvorverarbeitung und Gittergenerierung in einer Zeit, die nur einen kleinen Bruchteil der Gesamtsimulation ausmacht.
• Parallele Datenanalyse, Nachbearbeitung und Auswertung.
• Vollständig aufgelöste Mehrphasenströmung mit kleinen Tröpfchen und Blasen.
• Vollständig aufgelöste Strömung durch komplexe Geometrien und poröse Medien.
• Komplexe, gekoppelte Strömung mit Wärmeübertragung und chemischen Reaktionen.

Einschränkungen

Trotz der zunehmenden Popularität von LBM bei der Simulation komplexer Fluidsysteme weist dieser neuartige Ansatz einige Einschränkungen auf. Gegenwärtig sind Strömungen mit hoher Machzahl in der Aerodynamik für LBM immer noch schwierig, und ein konsistentes thermohydrodynamisches Schema fehlt. Wie bei Navier-Stokes-basierter CFD wurden jedoch LBM-Methoden erfolgreich mit thermischen spezifischen Lösungen gekoppelt, um Simulationsfähigkeiten für die Wärmeübertragung (Feststoff-basierte Leitung, Konvektion und Strahlung) zu ermöglichen. Bei Mehrphasen-/Mehrkomponentenmodellen ist die Grenzflächendicke normalerweise groß und das Dichteverhältnis über die Grenzfläche ist im Vergleich zu realen Flüssigkeiten klein. Kürzlich wurde dieses Problem von Yuan und Schaefer gelöst, die die Modelle von Shan und Chen, Swift und He, Chen und Zhang verbesserten. Durch einfache Änderung der Zustandsgleichung konnten sie Dichteverhältnisse von 1000:1 erreichen . Es wurde vorgeschlagen, die Galilesche Transformation anzuwenden, um die Beschränkung der Modellierung von Hochgeschwindigkeitsströmungen zu überwinden. Dennoch haben die breiten Anwendungen und schnellen Fortschritte dieser Methode in den letzten zwanzig Jahren ihr Potenzial in der Computerphysik, einschließlich der Mikrofluidik, bewiesen: LBM zeigt vielversprechende Ergebnisse im Bereich von Flüssen mit hoher Knudsen-Zahl .

Entwicklung aus der LGA-Methode

LBM entstand aus der Methode der Gittergasautomaten (LGA), die als vereinfachtes fiktives Moleküldynamikmodell betrachtet werden kann, in dem Raum, Zeit und Teilchengeschwindigkeiten alle diskret sind. Zum Beispiel ist im 2-dimensionalen FHP-Modell jeder Gitterknoten mit seinen Nachbarn durch 6 Gittergeschwindigkeiten auf einem Dreiecksgitter verbunden; an einem Gitterknoten kann es entweder 0 oder 1 Teilchen geben, die sich mit einer gegebenen Gittergeschwindigkeit bewegen. Nach einem Zeitintervall bewegt sich jedes Partikel in seiner Richtung zum benachbarten Knoten; Dieser Vorgang wird als Ausbreitungs- oder Streaming-Schritt bezeichnet. Wenn mehr als ein Teilchen aus verschiedenen Richtungen am selben Knoten ankommt, kollidieren sie und ändern ihre Geschwindigkeiten gemäß einer Reihe von Kollisionsregeln. Streaming- und Kollisionsschritte wechseln sich ab. Geeignete Kollisionsregeln sollten Teilchenanzahl (Masse), Impuls und Energie vor und nach der Kollision erhalten. LGA leiden an mehreren angeborenen Defekten für die Verwendung in hydrodynamischen Simulationen: Fehlen der Galilei-Invarianz für schnelle Strömungen, statistisches Rauschen und schlechte Reynolds-Zahl- Skalierung mit der Gittergröße. LGA sind jedoch gut geeignet, um die Reichweite von Reaktionsdiffusions- und Molekulardynamikmodellen zu vereinfachen und zu erweitern .

Die Hauptmotivation für den Übergang von LGA zu LBM war der Wunsch, das statistische Rauschen zu entfernen, indem die Boolesche Teilchenzahl in Gitterrichtung durch ihren Gesamtmittelwert, die sogenannte Dichteverteilungsfunktion, ersetzt wird. Begleitend zu dieser Ersetzung wird die diskrete Kollisionsregel auch durch eine kontinuierliche Funktion, den Kollisionsoperator, ersetzt. Bei der LBM-Entwicklung besteht eine wichtige Vereinfachung darin, den Kollisionsoperator mit dem Bhatnagar-Gross-Krook (BGK)-Relaxationsterm zu approximieren . Dieses Gitter-BGK (LBGK)-Modell macht Simulationen effizienter und ermöglicht eine Flexibilität der Transportkoeffizienten. Andererseits hat sich gezeigt, dass das LBM-Schema auch als spezielle diskretisierte Form der kontinuierlichen Boltzmann-Gleichung angesehen werden kann. Aus der Chapman-Enskog-Theorie kann man die maßgebenden Stetigkeits- und Navier-Stokes-Gleichungen aus dem LBM-Algorithmus wiederherstellen.

Gitter und die D n Q m- Klassifikation

Gitter-Boltzmann-Modelle können an einer Reihe verschiedener Gitter, sowohl kubisch als auch dreieckig, und mit oder ohne Restpartikel in der diskreten Verteilungsfunktion betrieben werden.

Eine beliebte Methode, die verschiedenen Verfahren nach Gitter zu klassifizieren, ist das D n Q m -Schema. Dabei steht „D n “ für „ n Dimensionen“, während „Q m “ für „ m Geschwindigkeiten“ steht. D3Q15 ist beispielsweise ein dreidimensionales Gitter-Boltzmann-Modell auf einem kubischen Gitter mit vorhandenen Restpartikeln. Jeder Knoten hat eine Kristallform und kann Partikel an 15 Knoten abgeben: jeden der 6 benachbarten Knoten, die sich eine Oberfläche teilen, die 8 benachbarten Knoten, die sich eine Ecke teilen, und sich selbst. (Das D3Q15-Modell enthält keine Partikel, die sich zu den 12 benachbarten Knoten bewegen, die eine Kante teilen; das Hinzufügen dieser würde ein "D3Q27"-Modell erstellen.)

Reale Größen wie Raum und Zeit müssen vor der Simulation in Gittereinheiten umgerechnet werden. Dimensionslose Größen wie die Reynolds-Zahl bleiben gleich.

Umrechnung von Gittereinheiten

In den meisten Lattice - Boltzmann - Simulationen ist die Grundeinheit für den Gitterabstand, so dass , wenn der Bereich der Länge aufweist Gittereinheiten entlang ihrer gesamten Länge, wird die Raumeinheit einfach definiert . Geschwindigkeiten in Gitter-Boltzmann-Simulationen werden typischerweise als Schallgeschwindigkeit angegeben. Die diskrete Zeiteinheit kann daher als angegeben werden , wobei der Nenner die physikalische Schallgeschwindigkeit ist. ${\displaystyle \delta_{x}\,\!}$${\displaystyle L\,\!}$${\displaystyle N\,\!}$${\displaystyle \delta_{x}=L/N\,\!}$${\displaystyle \delta_{t}={\frac {\delta_{x}}{C_{s}}}\,\!}$${\displaystyle C_{s}}$

Bei kleinräumigen Strömungen (wie in der Mechanik poröser Medien ) kann das Arbeiten mit der wahren Schallgeschwindigkeit zu inakzeptabel kurzen Zeitschritten führen. Es ist daher üblich, die Machzahl des Gitters auf etwas viel größer als die reale Machzahl zu erhöhen und dies durch ebenfalls eine Erhöhung der Viskosität zu kompensieren , um die Reynoldszahl zu erhalten .

Simulation von Gemischen

Die Simulation von Mehrphasen-/Mehrkomponentenströmungen war wegen der beweglichen und verformbaren Grenzflächen schon immer eine Herausforderung für konventionelle CFD . Grundsätzlich entstehen die Grenzflächen zwischen verschiedenen Phasen (Flüssigkeit und Dampf) oder Komponenten (zB Öl und Wasser) aus den spezifischen Wechselwirkungen zwischen Fluidmolekülen. Daher ist es schwierig, solche mikroskopischen Wechselwirkungen in die makroskopische Navier-Stokes-Gleichung zu implementieren. In LBM bietet die Partikelkinetik jedoch eine relativ einfache und konsistente Möglichkeit, die zugrunde liegenden mikroskopischen Wechselwirkungen durch Modifizieren des Kollisionsoperators zu berücksichtigen. Mehrere LBM-Mehrphasen-/Mehrkomponenten-Modelle wurden entwickelt. Hier werden Phasentrennungen automatisch aus der Partikeldynamik generiert und es ist keine spezielle Behandlung zur Manipulation der Grenzflächen wie bei herkömmlichen CFD-Methoden erforderlich. Erfolgreiche Anwendungen von Mehrphasen-/Mehrkomponenten-LBM-Modellen finden sich in verschiedenen komplexen Fluidsystemen, einschließlich Grenzflächeninstabilität, Blasen- / Tröpfchendynamik , Benetzung fester Oberflächen, Grenzflächenschlupf und elektrohydrodynamischer Tröpfchenverformung.

Kürzlich wurde ein Gitter-Boltzmann-Modell zur Simulation der Verbrennung von Gasgemischen vorgeschlagen, das in der Lage ist, signifikante Dichtevariationen bei niedrigen Mach-Zahlen zu berücksichtigen.

In diesem Zusammenhang ist anzumerken, dass die Simulation reaktiver Gasgemische, da LBM mit einem größeren Satz von Feldern (im Vergleich zu konventionellem CFD) befasst ist, einige zusätzliche Herausforderungen in Bezug auf den Speicherbedarf hinsichtlich großer detaillierter Verbrennungsmechanismen mit sich bringt sind besorgt. Diese Probleme können jedoch durch den Rückgriff auf systematische Modellreduktionstechniken angegangen werden.

Thermische Gitter-Boltzmann-Methode

Derzeit (2009) fällt ein thermisches Gitter-Boltzmann-Verfahren (TLBM) in eine von drei Kategorien: den Multi-Speed-Ansatz, den passiven Skalar-Ansatz und die thermische Energieverteilung.

Ableitung der Navier-Stokes-Gleichung aus diskretem LBE

Beginnend mit der diskreten Gitter-Boltzmann-Gleichung (wegen des verwendeten Kollisionsoperators auch als LBGK-Gleichung bezeichnet). Wir führen zunächst eine Taylor-Reihenentwicklung 2. Ordnung um die linke Seite der LBE durch. Dies wird einer einfacheren Taylor-Entwicklung erster Ordnung vorgezogen, da die diskrete LBE nicht wiederhergestellt werden kann. Bei der Taylor-Reihenentwicklung 2. Ordnung heben sich der Term der Nullableitung und der erste Term auf der rechten Seite auf, so dass nur die ersten und zweiten Ableitungsterme der Taylor-Entwicklung und der Kollisionsoperator übrig bleiben:

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta_{t},t+\delta_{t})=f_{i}({\ vec {x}},t)+{\frac {\delta_{t}}{\tau_{f}}}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

Schreiben Sie der Einfachheit halber als . Die leicht vereinfachte Taylor-Reihenentwicklung sieht dann wie folgt aus, wobei ":" das Doppelpunktprodukt zwischen Dyaden ist: ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla f_{i}+\left({\frac {1} {2}}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}+{\vec {e}}_{i}\cdot \ nabla {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial t^{ 2}}}\right)={\frac{1}{\tau}}(f_{i}^{eq}-f_{i}).}$

Durch Erweiterung der Teilchenverteilungsfunktion in Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtskomponenten und Verwendung der Chapman-Enskog-Entwicklung, wobei die Knudsen-Zahl ist, kann die Taylor-expandierte LBE in verschiedene Größenordnungen für die Knudsen-Zahl zerlegt werden, um die richtige Kontinuumsgleichungen: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle f_{i}=f_{i}^{\text{eq}}+Kf_{i}^{\text{neq}},}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{neq}}=f_{i}^{(1)}+Kf_{i}^{(2)}+O(K^{2}).}$

Die Gleichgewichts- und Nichtgleichgewichtsverteilungen erfüllen die folgenden Beziehungen zu ihren makroskopischen Variablen (diese werden später verwendet, sobald die Partikelverteilungen in der "richtigen Form" sind, um von der Partikel- auf die makroskopische Ebene zu skalieren):

${\displaystyle \rho =\sum_{i}f_{i}^{\text{eq}},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}}=\sum _{i}f_{i}^{\text{eq}}{\vec {e}}_{i},}$

${\displaystyle 0=\sum_{i}f_{i}^{(k)}\qquad {\text{for}}k=1,2,}$

${\displaystyle 0=\sum_{i}f_{i}^{(k)}{\vec {e}}_{i}.}$

Die Chapman-Enskog-Erweiterung lautet dann:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=K{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}+K^{2}{\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\qquad {\text{für }}t_{2}({\text{diffusive Zeitskala}})\ll t_{1}({\text{konvektive Zeitskala}}), }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}=K{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}.}$

Durch Einsetzen des erweiterten Gleichgewichts und des Nichtgleichgewichts in die Taylor-Entwicklung und Aufteilung in verschiedene Ordnungen von , werden die Kontinuumsgleichungen nahezu abgeleitet. ${\displaystyle K}$

Zur Bestellung : ${\displaystyle K^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_ {i}^{\text{eq}}=-{\frac {f_{i}^{(1)}}{\tau }}.}$

Zur Bestellung : ${\displaystyle K^{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}}+{\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{ \partial t_{2}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla f_{i}^{(1)}+{\frac {1}{2}}{\vec {e}} _{i}{\vec {e}}_{i}:\nabla \nabla f_{i}^{\text{eq}}+{\vec {e}}_{i}\cdot \nabla {\ frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{1}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f_{i }^{\text{eq}}}{\partial t_{1}^{2}}}=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau }}.}$

Dann kann die zweite Gleichung mit etwas Algebra und die erste Gleichung wie folgt vereinfacht werden:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}^{\text{eq}}}{\partial t_{2}}}}+\left(1-{\frac {1}{2\tau}}\ rechts)\left[{\frac {\partial f_{i}^{(1)}}{\partial t_{1}}}+{\vec {e}}_{i}\nabla _{1}f_ {i}^{(1)}\right]=-{\frac {f_{i}^{(2)}}{\tau}}.}$

Unter Anwendung der Beziehungen zwischen den Teilchenverteilungsfunktionen und den makroskopischen Eigenschaften von oben erhält man die Masse- und Impulsgleichungen:

${\displaystyle {\frac {\partial\rho }{\partial t}}+\nabla\cdot\rho {\vec {u}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial\rho {\vec {u}}}{\partial t}}+\nabla\cdot\Pi =0.}$

Der Impulsflusstensor hat dann folgende Form: ${\displaystyle\Pi}$

${\displaystyle \Pi_{xy}=\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}\left[f_{i}^{eq}+ \left(1-{\frac{1}{2\tau}}\right)f_{i}^{(1)}\right],}$

wobei die Kurzform für das Quadrat der Summe aller Komponenten von (dh ) ist und die Gleichgewichtsteilchenverteilung zweiter Ordnung vergleichbar mit der Navier-Stokes-Gleichung ist: ${\displaystyle {\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$${\displaystyle \textstyle \left(\sum_{x}{\vec {e}}_{ix}\right)^{2}=\sum_{x}\sum_{y}{\vec {e }}_{ix}{\vec {e}}_{iy}}$

${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}=\omega_{i}\rho \left(1+{\frac {{\vec {e}}_{i}{\vec {u} }}{c_{s}^{2}}}+{\frac {({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c_{s}^{ 4}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2c_{s}^{2}}}\right).}$

Die Gleichgewichtsverteilung gilt nur für kleine Geschwindigkeiten oder kleine Machzahlen . Das Zurücksetzen der Gleichgewichtsverteilung in den Flusstensor führt zu:

${\displaystyle \Pi_{xy}^{(0)}=\sum _{i}{\vec {e}}_{ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{ eq}=p\delta_{xy}+\rho u_{x}u_{y},}$

${\displaystyle \Pi_{xy}^{(1)}=\left(1-{\frac{1}{2\tau}}\right)\sum _{i}{\vec {e}}_ {ix}{\vec {e}}_{iy}f_{i}^{(1)}=\nu \left(\nabla_{x}\left(\rho {\vec {u}}_{ y}\right)+\nabla_{y}\left(\rho {\vec {u}}_{x}\right)\right).}$

Schließlich wird die Navier-Stokes-Gleichung unter der Annahme wiederhergestellt, dass die Dichtevariation klein ist:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\vec {u}}_{x}}{\partial t}}+\nabla_{y}\cdot {\vec {u}}_{ x}{\vec {u}}_{y}\right)=-\nabla_{x}p+\nu \nabla_{y}\cdot \left(\nabla_{x}\left(\rho { \vec{u}}_{y}\right)+\nabla_{y}\left(\rho {\vec{u}}_{x}\right)\right).}$

Diese Ableitung folgt der Arbeit von Chen und Doolen.

Mathematische Gleichungen für Simulationen

Die kontinuierliche Boltzmann-Gleichung ist eine Evolutionsgleichung für eine Einzelteilchen-Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion und die interne Energiedichteverteilungsfunktion (He et al.) sind jeweils: ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$

${\displaystyle \partial_{t}f+({\vec{e}}\cdot \nabla )f+F\partial_{v}f=\Omega(f),}$

${\displaystyle \partial_{t}g+({\vec{e}}\cdot\nabla)g+G\partial_{v}f=\Omega(g),}$

wo steht im Zusammenhang mit by ${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)}$

${\displaystyle g({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t)={\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^ {2}}{2}}f({\vec {x}},{\vec {e}}_{i},t),}$

${\displaystyle F}$ist eine externe Kraft, ist ein Kollisionsintegral und ( in der Literatur auch mit gekennzeichnet ) ist die mikroskopische Geschwindigkeit. Die externe Kraft hängt mit der externen Temperaturkraft durch die folgende Beziehung zusammen. Ein typischer Test für das eigene Modell ist die Rayleigh-Bénard-Konvektion für . ${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle {\vec {e}}}$${\displaystyle {\vec {\xi}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle F={\frac {{\vec {G}}\cdot ({\vec {e}}-{\vec {u}})}{RT}}f^{\text{eq}}, }$

${\displaystyle {\vec {G}}=\beta g_{0}(T-T_{avg}){\vec {k}}.}$

Makroskopische Variablen wie Dichte , Geschwindigkeit und Temperatur können als Momente der Dichteverteilungsfunktion berechnet werden: ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \rho =\int f\,d{\vec {e}},}$

${\displaystyle \rho {\vec {u}}=\int {\vec {e}}f\,d{\vec {e}},}$

${\displaystyle {\frac {\rho DRT}{2}}=\rho \epsilon =\int g\,d{\vec {e}}.}$

Die Gitter-Boltzmann-Methode diskretisiert diese Gleichung, indem sie den Raum auf ein Gitter und den Geschwindigkeitsraum auf einen diskreten Satz mikroskopischer Geschwindigkeiten (dh ) begrenzt. Die mikroskopischen Geschwindigkeiten in D2Q9, D3Q15 und D3Q19 werden beispielsweise wie folgt angegeben: ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=({\vec {e}}_{ix},{\vec {e}}_{iy})}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0)&i=0\\(1,0),(0,1),(-1, 0),(0,-1)&i=1,2,3,4\\(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1)&i=5 ,6,7,8\\\Ende{Fälle}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\ pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,. ..,13,14\\\End{Fälle}}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{i}=c\times {\begin{cases}(0,0,0)&i=0\\(\pm 1,0,0),(0,\ pm 1,0),(0,0,\pm 1)&i=1,2,...,5,6\\(\pm 1,\pm 1,0),(\pm 1,0,\ pm 1),(0,\pm 1,\pm 1)&i=7,8,...,17,18\\\end{cases}}}$

Die einphasige diskretisierte Boltzmann-Gleichung für Massendichte und innere Energiedichte lautet:

${\displaystyle f_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta_{t},t+\delta_{t})-f_{i}({\ vec {x}},t)+F_{i}=\Omega(f),}$

${\displaystyle g_{i}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta_{t},t+\delta_{t})-g_{i}({\ vec {x}},t)+G_{i}=\Omega(g).}$

Der Kollisionsoperator wird oft durch einen BGK-Kollisionsoperator unter der Bedingung angenähert, dass er auch die Erhaltungssätze erfüllt:

${\displaystyle \Omega(f)={\frac{1}{\tau_{f}}}(f_{i}^{\text{eq}}-f_{i}),}$

${\displaystyle \Omega(g)={\frac {1}{\tau_{g}}}(g_{i}^{\text{eq}}-g_{i}).}$

Im Kollisionsoperator ist die diskrete Gleichgewichtsverteilungsfunktion der Teilchenwahrscheinlichkeit . In D2Q9 und D3Q19 wird dies unten für einen inkompressiblen Fluss in kontinuierlicher und diskreter Form gezeigt, wobei D , R und T die Dimension, die universelle Gaskonstante bzw. die absolute Temperatur sind. Die partielle Ableitung für die kontinuierliche bis diskrete Form erfolgt durch eine einfache Ableitung auf Genauigkeit zweiter Ordnung. ${\displaystyle f_{i}^{\text{eq}}}$

${\displaystyle f^{\text{eq}}={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e} }-{\vec {u}})^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}})^{2}}{2RT }}}e^{{\frac {{\vec {e}}{\vec {u}}}{RT}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2RT}} }}$

${\displaystyle ={\frac {\rho }{(2\pi RT)^{D/2}}}e^{-{\frac {({\vec {e}})^{2}}{2RT }}}\left(1+{\frac {{\vec {e}}{\vec {u}}}{RT}}}+{\frac {({\vec {e}}{\vec {u} })^{2}}{2(RT)^{2}}}-{\frac {{\vec {u}}^{2}}{2RT}}+...\right)}$

Die Vermietung liefert das Endergebnis: ${\displaystyle c={\sqrt {3RT}}}$

${\displaystyle f_{i}^{eq}=\omega_{i}\rho\left(1+{\frac {3{\vec {e}}_{i}{\vec {u}}}{ c^{2}}}+{\frac {9({\vec {e}}_{i}{\vec {u}})^{2}}{2c^{4}}}-{\frac {3({\vec {u}})^{2}}{2c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle g^{eq}={\frac {\rho ({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2(2\pi RT)^{D/2 }}}e^{-{\frac {({\vec {e}}-{\vec {u}})^{2}}{2RT}}}}$

${\displaystyle \omega_{i}={\begin{cases}4/9&i=0\\1/9&i=1,2,3,4\\1/36&i=5,6,7,8\\\ Ende{Fälle}}}$

${\displaystyle \omega_{i}={\begin{cases}1/3&i=0\\1/18&i=1,2,...,5,6\\1/36&i=7,8,.. .,17,18\\\Ende{Fälle}}}$

Da bereits viel an einem Einkomponentenstrom gearbeitet wurde, wird das folgende TLBM diskutiert. Das Mehrkomponenten-/Mehrphasen-TLBM ist auch faszinierender und nützlicher als nur eine Komponente. Um dem aktuellen Stand der Forschung zu entsprechen, definieren Sie die Menge aller Komponenten des Systems (dh Wände aus porösen Medien, mehrere Flüssigkeiten/Gase usw.) mit Elementen . ${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle \sigma_{j}}$

${\displaystyle f_{i}^{\sigma}({\vec {x}}+{\vec {e}}_{i}\delta_{t},t+\delta_{t})-f_{ i}^{\sigma}({\vec{x}},t)+F_{i}={\frac {1}{\tau_{f}^{\sigma}}}(f_{i}^ {\sigma,eq}(\rho^{\sigma},v^{\sigma})-f_{i}^{\sigma})}$

Der Relaxationsparameter , , hängt mit der kinematischen Viskosität , , durch die folgende Beziehung zusammen: ${\displaystyle \tau_{f}^{\sigma_{j}}\,\!}$${\displaystyle \nu_{f}^{\sigma_{j}}\,\!}$

${\displaystyle \nu_{f}^{\sigma_{j}}=(\tau_{f}^{\sigma_{j}}-0.5)c_{s}^{2}\delta_{ T}.}$

Die Momente der geben die lokalen Erhaltungsgrößen an. Die Dichte ist gegeben durch ${\displaystyle f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho =\sum_{\sigma}\sum_{i}f_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho \epsilon =\sum _{i}g_{i}\,\!}$

${\displaystyle \rho^{\sigma}=\sum_{i}f_{i}^{\sigma}\,\!}$

und die gewichtete mittlere Geschwindigkeit, , und der lokale Impuls sind gegeben durch ${\displaystyle {\vec {u'}}\,\!}$

${\displaystyle {\vec {u'}}=\left(\sum_{\sigma }{\frac {\rho^{\sigma }{\vec {u^{\sigma}}}}{\tau_ {f}^{\sigma}}}\right)/\left(\sum_{\sigma }{\frac {\rho^{\sigma}}{\tau_{f}^{\sigma}}} \rechts)}$

${\displaystyle \rho^{\sigma }{\vec {u^{\sigma}}}=\sum _{i}f_{i}^{\sigma }{\vec {e}}_{i}. }$

${\displaystyle v^{\sigma}={\vec {u'}}+{\frac {\tau_{f}^{\sigma}}{\rho^{\sigma}}}{\vec {F }}^{\sigma}}$

In der obigen Gleichung für die Gleichgewichtsgeschwindigkeit ist der Term die Wechselwirkungskraft zwischen einer Komponente und den anderen Komponenten. Es ist immer noch Gegenstand vieler Diskussionen, da es sich typischerweise um einen Abstimmungsparameter handelt, der bestimmt, wie Fluid-Fluid, Fluid-Gas usw. wechselwirken. Franket al. Listen Sie aktuelle Modelle für diesen Kraftbegriff auf. Die am häufigsten verwendeten Ableitungen sind das chromodynamische Modell von Gunstensen, Swifts auf freier Energie basierender Ansatz sowohl für Flüssigkeits-/Dampfsysteme als auch für binäre Flüssigkeiten, das auf intermolekulare Interaktionen basierende Modell von He, der Inamuro-Ansatz und der Lee- und Lin-Ansatz. ${\displaystyle v^{\sigma}\,\!}$${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma}\,\!}$

Das Folgende ist die allgemeine Beschreibung für, wie sie von mehreren Autoren gegeben wurde. ${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma}\,\!}$

${\displaystyle {\vec {F}}^{\sigma}=-\psi^{\sigma}({\vec{x}})\sum _{\sigma_{j}}H^{\sigma\ Sigma _{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')\sum _{i}\psi ^{\sigma_{j}}({\vec {x}}+ {\vec {e}}_{i}){\vec {e}}_{i}\,\!}$

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})\,\!}$ist die effektive Masse und ist die Greensche Funktion, die die interpartikuläre Wechselwirkung mit dem Nachbarort darstellt. Befriedigend und wo steht für abstoßende Kräfte. Für D2Q9 und D3Q19 führt dies zu ${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')\,\!}$${\displaystyle {\vec {x}}'\,\!}$${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')=H({\vec {x}}',{\vec {x}})\,\!}$${\displaystyle H({\vec {x}},{\vec {x}}')>0\,\!}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma_{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j }}&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|\leq c\\0&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}' \right|>c\\\end{Fälle}}}$

${\displaystyle H^{\sigma \sigma_{j}}({\vec {x}},{\vec {x}}')={\begin{cases}h^{\sigma \sigma _{j }}&\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|=c\\h^{\sigma \sigma_{j}}/2&\left|{\vec { x}}-{\vec {x}}'\right|={\sqrt {2c}}\\0&{\text{sonst}}\\\end{cases}}}$

Die von Shan und Chen vorgeschlagene effektive Masse verwendet die folgende effektive Masse für ein Einkomponenten-Mehrphasensystem . Die Zustandsgleichung ist auch unter der Bedingung einer einzelnen Komponente und mehrphasig gegeben.

${\displaystyle \psi ({\vec {x}})=\psi (\rho^{\sigma})=\rho_{0}^{\sigma}\left[1-e^{(-\rho ^{\sigma}/\rho_{0}^{\sigma})}\right]\,\!}$

${\displaystyle p=c_{s}^{2}\rho +c_{0}h[\psi ({\vec {x}})]^{2}\,\!}$

Bisher scheint es, dass und freie Konstanten zum Abstimmen sind, aber sobald sie in die Zustandsgleichung (EOS) des Systems eingefügt sind, müssen sie die thermodynamischen Beziehungen am kritischen Punkt erfüllen, sodass und . Für die EOS ist 3.0 für D2Q9 und D3Q19, während es 10.0 für D3Q15 entspricht. ${\displaystyle \rho_{0}^{\sigma}\,\!}$${\displaystyle h^{\sigma \sigma_{j}}\,\!}$${\displaystyle (\partial P/\partial{\rho})_{T}=(\partial^{2}P/\partial{\rho^{2}})_{T}=0\,\! }$${\displaystyle p=p_{c}\,\!}$${\displaystyle c_{0}\,\!}$

Später wurde von Yuan und Schaefer gezeigt, dass die effektive Massendichte geändert werden muss, um die Mehrphasenströmung genauer zu simulieren. Sie verglichen Shan und Chen (SC), Carnahan-Starling (C-S), van der Waals (vdW), Redlich-Kwong (R-K), Redlich-Kwong Soave (RKS) und Peng-Robinson (P- R) EOS. Ihre Ergebnisse zeigten, dass das SC EOS unzureichend war und dass C–S-, P–R-, R–K- und RKS-EOS bei der Modellierung der Mehrphasenströmung einer einzelnen Komponente genauer sind.

Für die beliebten isothermen Lattice-Boltzmann-Methoden sind dies die einzigen Erhaltungsgrößen. Auch thermische Modelle sparen Energie und haben daher eine zusätzliche Erhaltungsgröße:

${\displaystyle \rho \theta +\rho uu=\sum _{i}f_{i}{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{i}.}$

Anwendungen

In den letzten Jahren hat sich das LBM als leistungsfähiges Werkzeug zur Lösung von Problemen auf unterschiedlichen Längen- und Zeitskalen erwiesen. Einige der Anwendungen von LBM umfassen:

• Poröse Medienströme
• Biomedizinische Flüsse
• Geowissenschaften (Bodenfiltration).
• Energiewissenschaften (Brennstoffzellen).

Externe Links

• LBM-Methode
• Entropische Gitter-Boltzmann-Methode (ELBM)
• dsfd.org: Website der jährlichen DSFD-Konferenzreihe (1986 - heute), auf der Fortschritte in Theorie und Anwendung der Gitter-Boltzmann-Methode diskutiert werden
• Website der jährlichen ICMMES-Konferenz zu Gitter-Boltzmann-Methoden und ihren Anwendungen

Weiterlesen

• Deutsch, Andreas; Sabine Dormann (2004). Zelluläre Automatenmodellierung der biologischen Musterbildung . Birkhäuser Verlag . ISBN 978-0-8176-4281-5.
• Succi, Sauro (2001). Die Gitter-Boltzmann-Gleichung für Fluiddynamik und darüber hinaus . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-850398-9.
• Wolf-Gladrow, Dieter (2000). Zelluläre Gittergas-Automaten und Gitter-Boltzmann-Modelle . Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-66973-9.
• Sukop, Michael C.; Daniel T. Thorne, Jr. (2007). Lattice Boltzmann Modeling: Eine Einführung für Geowissenschaftler und Ingenieure . Springer . ISBN 978-3-540-27981-5.
• Jian Guo Zhou (2004). Gitter-Boltzmann-Methoden für flache Wasserströmungen . Springer . ISBN 978-3-540-40746-1.
• He, X., Chen, S., Doolen, G. (1998). Ein neues thermisches Modell für die Gitter-Boltzmann-Methode im inkompressiblen Grenzfall . Akademische Presse .CS1-Wartung: mehrere Namen: Autorenliste ( Link )
• Guo, ZL; Shu, C (2013). Gitter-Boltzmann-Methode und ihre Anwendungen im Ingenieurwesen . Weltwissenschaftliche Veröffentlichung .
• Huang, H.; MC Sukop; XY. Lu (2015). Mehrphasengitter-Boltzmann-Methoden: Theorie und Anwendung . Wiley-Blackwell . ISBN 978-1-118-97133-8.
• Krüger, T.; Kusumaatmaja, H.; Kuzmin, A.; Shardt, O.; Silva, G.; Viggen, EM (2017). Die Lattice-Boltzmann-Methode: Prinzipien und Praxis . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-44647-9.

Anmerkungen