Gittermultiplikation - Lattice multiplication

Lattice Multiplikation , auch bekannt als die italienische Methode , chinesische Methode , chinesische Gitter , gelosia Multiplikation , Sieb Multiplikation , shabakh , diagonal oder Plätze Venedigs , ist eine Methode der Multiplikation , der eine verwendetes Gitters zu multiplizieren zwei mehrstelligen Zahlen. Er ist mathematisch identisch mit dem häufiger verwendeten langen Multiplikationsalgorithmus , unterteilt den Prozess jedoch in kleinere Schritte, die für einige Praktiker einfacher zu verwenden sind.

Die Methode war bereits im Mittelalter entstanden und wird seit Jahrhunderten in vielen verschiedenen Kulturen verwendet. Es wird auch heute noch in bestimmten Lehrplänen gelehrt.

Methode

Ein Raster wird erstellt und jede Zelle wird diagonal geteilt. Die beiden Multiplikanden des zu berechnenden Produkts werden entlang der oberen bzw. rechten Seite des Gitters geschrieben, mit einer Ziffer pro Spalte über dem oberen Rand für den ersten Multiplikanden (die Zahl von links nach rechts geschrieben) und einer Ziffer pro Zeile nach unten die rechte Seite für den zweiten Multiplikanden (die von oben nach unten geschriebene Zahl). Dann wird jede Zelle des Gitters mit dem Produkt ihrer Spalten- und Zeilenziffer ausgefüllt.

Betrachten Sie als Beispiel die Multiplikation von 58 mit 213. Nachdem Sie die Multiplikanden auf die Seiten geschrieben haben, betrachten Sie jede Zelle, beginnend mit der oberen linken Zelle. In diesem Fall ist die Spaltenziffer 5 und die Zeilenziffer 2. Schreiben Sie ihr Produkt 10 in die Zelle, wobei die Ziffer 1 über der Diagonale und die Ziffer 0 unter der Diagonale liegt (siehe Bild für Schritt 1).

Wenn dem einfachen Produkt eine Ziffer an der Zehnerstelle fehlt, fülle einfach die Zehnerstelle mit einer 0 aus.

Schritt 1

Nachdem alle Zellen auf diese Weise gefüllt sind, werden die Ziffern in jeder Diagonale aufsummiert, wobei von der unteren rechten Diagonale nach oben links gearbeitet wird. Jede Diagonalsumme wird dort geschrieben, wo die Diagonale endet. Enthält die Summe mehr als eine Ziffer, wird der Wert der Zehnerstelle in die nächste Diagonale übertragen (siehe Schritt 2).

Schritt 2

Die Zahlen werden links und unten im Raster ausgefüllt, und die Antwort sind die Zahlen, die unten (links) und quer (unten) abgelesen werden. Im gezeigten Beispiel ergibt die Multiplikation von 58 mit 213 12354.

Schritt 3

Fragen 1. 322×435

2.12×322

Multiplikation von Dezimalbrüchen

Die Gittertechnik kann auch verwendet werden, um Dezimalbrüche zu multiplizieren . Um beispielsweise 5,8 mit 2,13 zu multiplizieren, ist der Vorgang derselbe wie beim Multiplizieren von 58 mit 213, wie im vorherigen Abschnitt beschrieben. Um die Position des Dezimalpunkts in der endgültigen Antwort zu ermitteln, kann man in 5.8 eine vertikale Linie vom Dezimalpunkt und in 2.13 eine horizontale Linie vom Dezimalpunkt ziehen. (Siehe Bild zu Schritt 4.) Die Rasterdiagonale durch den Schnittpunkt dieser beiden Linien bestimmt dann die Position des Dezimalpunkts im Ergebnis. Im gezeigten Beispiel ergibt die Multiplikation von 5,8 und 2,13 12,354.

Schritt 4

Geschichte

Die Gittermultiplikation wurde historisch in vielen verschiedenen Kulturen verwendet. Es ist nicht bekannt, wo sie zuerst entstanden ist und ob sie sich unabhängig in mehr als einer Region der Welt entwickelt hat. Die früheste aufgezeichnete Verwendung der Gittermultiplikation:

  • in der arabischen Mathematik wurde von Ibn al-Banna' al-Marrakushi in seinem Talkhīṣ a'māl al-ḥisāb im Maghreb im späten 13.
  • in der europäischen Mathematik wurde von dem unbekannten Autor einer lateinischen Abhandlung in England, Tractatus de minutis philosophicis et vulgaribus , c. 1300
  • in chinesischer Mathematik wurde von Wu Jing in seinem Jiuzhang suanfa bilei daquan , 1450 fertiggestellt.

Der Mathematiker und Pädagoge David Eugene Smith behauptete, dass die Gittermultiplikation aus dem Nahen Osten nach Italien gebracht wurde. Dies wird durch die Feststellung verstärkt, dass der arabische Begriff für die Methode, Shabakh , dieselbe Bedeutung hat wie der italienische Begriff für die Methode, Gelosia , nämlich das Metallgitter oder Gitter (Gitter) für ein Fenster.

Es wird manchmal fälschlicherweise behauptet, dass die Gittermultiplikation von Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (Baghdad, um 825) oder von Fibonacci in seinem Liber Abaci (Italien, 1202, 1228) beschrieben wurde. Tatsächlich wurde jedoch von keinem dieser beiden Autoren eine Anwendung der Gittermultiplikation gefunden. In Kapitel 3 seines Liber Abaci , Fibonacci ist eine verwandte Technik der Multiplikation beschreiben , was er bezeichnet quadrilatero in forma scacherii ( „Rechteck in Form eines Schachbretts“). Bei dieser Technik werden die quadratischen Zellen nicht diagonal unterteilt; nur die niedrigstwertige Ziffer wird in jede Zelle geschrieben, während jede höherwertige Ziffer an anderer Stelle gespeichert oder aufgezeichnet und dann "getragen" werden muss, um der nächsten Zelle hinzugefügt zu werden. Dies steht im Gegensatz zur Gittermultiplikation, deren Besonderheit darin besteht, dass jede Zelle des Rechtecks ​​ihren eigenen korrekten Platz für die Übertragsziffer hat; dies impliziert auch, dass die Zellen in jeder gewünschten Reihenfolge gefüllt werden können. Swetz vergleicht und kontrastiert die Multiplikation mit Gelosia (Gitter), mit Scacherii (Schachbrett) und anderen Tableau-Methoden.

Andere bemerkenswerte historische Verwendungen der Gittermultiplikation sind:

  • Jamshid al-kashi ‚s MIFTAH al-Hisab (Samarqand, 1427), in denen die Bezugszeichen verwendet werden sexagesimal (Basis 60) und das Gitter gedreht wird , 45 Grad zu einer‚Diamant‘-Orientierung
  • die Arte dell'Abbaco , ein anonymer Text, der 1478 im venezianischen Dialekt veröffentlicht wurde und oft als Treviso-Arithmetik bezeichnet wird, weil er in Treviso gedruckt wurde, gerade landeinwärts von Venedig, Italien
  • Luca Pacioli ‚s Summa de arithmetica (Venedig, 1494)
  • der indische Astronom Gaṇeśa Kommentar Bhāskara II ‚s Lilavati (16. Jahrhundert).

Ableitungen

Ableitungen dieser Methode erschienen auch in den Werken Umdet-ul Hisab aus dem 16. Jahrhundert des osmanisch-bosnischen Universalgelehrten Matrakçı Nasuh . Matrakçı Nasuhs dreieckige Version der Multiplikationstechnik ist im Beispiel mit 155 x 525 auf der rechten Seite zu sehen und im Beispiel mit 236 x 175 auf der linken Abbildung erklärt.

Matraki2.jpg

Das gleiche von Matrakçı Nasuh beschriebene Prinzip lag der späteren Entwicklung der Rechenstäbe zugrunde, die als Napiers Knochen (Schottland, 1617) und Genaille-Lucas-Herrscher (Frankreich, Ende des 19. Jahrhunderts) bekannt sind.

Ableitung

Siehe auch

Verweise

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