Levinsons Ungleichung - Levinson's inequality

In der Mathematik ist Levinsons Ungleichung die folgende Ungleichung aufgrund von Norman Levinson , die positive Zahlen beinhaltet. Sei und sei eine gegebene Funktion mit einer dritten Ableitung im Bereich , und zwar so ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (0,2a)}$

${\ displaystyle f '' '(x) \ geq 0}$

für alle . Angenommen und für . Dann ${\ displaystyle x \ in (0,2a)}$${\ displaystyle 0 <x_ {i} \ leq a}$${\ displaystyle 0 <p_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} f (x_ {i})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}} -f \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} x_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}} \ rechts) \ leq {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} f (2a-x_ {i})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i }}} - f \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} (2a-x_ {i})} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i}}} \ right).}$

Die Ky-Fan-Ungleichung ist der Sonderfall von Levinsons Ungleichung, wo

${\ displaystyle p_ {i} = 1, \ a = {\ frac {1} {2}},}$

und

${\ displaystyle f (x) = \ log x.}$

Verweise

• Scott Lawrence und Daniel Segalman: Eine Verallgemeinerung von zwei Ungleichungen, die Mittel beinhalten , Proceedings of the American Mathematical Society. Band 35 Nr. 1, September 1972.
• Norman Levinson : Verallgemeinerung einer Ungleichung von Ky Fan , Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol 8 (1964), 133–134.