Linie (Geometrie) - Line (geometry)

Die roten und blauen Linien in diesem Diagramm haben die gleiche Steigung (Gradient) ; Die roten und grüne Linien haben den gleichen y-Achsenabschnitt (überquert die y-Achse an der gleichen Stelle).

Eine Darstellung eines Liniensegments .

Geometrie
Eine Kugel auf eine Ebene projizieren
Umriss Geschichte
Geäst Euklidisch Nichteuklidische Elliptisch Sphärisch Hyperbolisch Nicht-archimedische Geometrie Projektiv Affin Synthetik Analytisch Algebraisch Arithmetik Diophantine Differential Riemannisch Symplektisch Diskretes Differential Komplex Endlich Diskret/Kombinatorisch Digital Konvex Computer Fraktale Vorfall
Konzepte Merkmale Abmessungen Lineal- und Zirkelkonstruktionen Winkel Kurve Diagonale Orthogonalität ( senkrecht ) Parallel Scheitel Kongruenz Ähnlichkeit Symmetrie
Nulldimensional Punkt
Eindimensional Leitung Segment Strahl Länge
Zweidimensional Ebene Bereich Polygon Dreieck Höhe Hypotenuse Satz des Pythagoras Parallelogramm Quadrat Rechteck Rhombus Rhomboid Viereck Trapezoid Drachen Kreis Durchmesser Umfang Bereich
Dreidimensional Volumen Würfel Quader Zylinder Pyramide Kugel
Vier- / andersdimensional Tesserakt Hypersphäre
Geometer
namentlich Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euklid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobatschewski Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Liste der Geometer
nach Zeitraum BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euklid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700 – 1900 Gauss Lobatschewski Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Heutige Tag Atiyah Gromov
v T e

In der Geometrie wurde der Begriff der Linie oder geraden Linie von alten Mathematikern eingeführt, um gerade Objekte (dh ohne Krümmung ) mit vernachlässigbarer Breite und Tiefe darzustellen . Linien sind eine Idealisierung solcher Objekte, die oft in Form von zwei Punkten (zB ) beschrieben oder mit einem einzigen Buchstaben bezeichnet werden (zB ). ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$${\displaystyle \ell}$

Bis ins 17. Jahrhundert wurden Linien definiert als die „[...] erste Art der Quantität, die nur eine Dimension hat, nämlich die Länge, ohne jede Breite und Tiefe, und nichts anderes ist als der Fluss oder der Verlauf des Punktes, der [ ...] wird von seiner imaginären Bewegung einen Rest in der Länge hinterlassen, frei von jeder Breite. [...] Die Gerade ist diejenige, die sich zwischen ihren Spitzen gleichermaßen erstreckt."

Euklid bezeichnete eine Linie als „breitenlose Länge“, die „in Bezug auf die Punkte gleich auf sich liegt“; er führte mehrere Postulate als Grund unbeweisbar Eigenschaften , von denen ihm alle Geometrie konstruiert, die jetzt genannt wird , die euklidische Geometrie zu vermeiden Verwechslungen mit anderen Geometrien , die seit dem Ende des 19. Jahrhunderts eingeführt wurden (wie nicht-euklidische , projektive und affine Geometrie ).

In der modernen Mathematik ist der Begriff einer Linie angesichts der Vielzahl von Geometrien eng mit der Beschreibung der Geometrie verbunden. In der analytischen Geometrie wird eine Linie in der Ebene beispielsweise oft als die Menge von Punkten definiert, deren Koordinaten eine gegebene lineare Gleichung erfüllen , aber in einer abstrakteren Umgebung wie der Einfallsgeometrie kann eine Linie ein unabhängiges Objekt sein, das sich von unterscheidet die Menge der Punkte, die darauf liegen.

Wenn eine Geometrie durch eine Menge von Axiomen beschrieben wird , bleibt der Begriff einer Linie normalerweise undefiniert (ein sogenanntes primitives Objekt). Die Eigenschaften von Linien werden dann durch die Axiome bestimmt, die sich auf sie beziehen. Ein Vorteil dieses Ansatzes ist die Flexibilität, die er den Benutzern der Geometrie bietet. So kann in der Differentialgeometrie eine Linie als Geodäte (kürzester Weg zwischen Punkten) interpretiert werden , während in einigen projektiven Geometrien eine Linie ein zweidimensionaler Vektorraum ist (alle Linearkombinationen zweier unabhängiger Vektoren). Diese Flexibilität geht auch über die Mathematik hinaus und erlaubt beispielsweise Physikern, sich den Weg eines Lichtstrahls als Linie vorzustellen.

Definitionen versus Beschreibungen

Alle Definitionen sind letztlich zirkulärer Natur, da sie von Begriffen abhängen, die selbst Definitionen haben müssen, eine Abhängigkeit, die nicht unbegrenzt fortgesetzt werden kann, ohne zum Ausgangspunkt zurückzukehren. Um diesen Teufelskreis zu vermeiden, müssen bestimmte Konzepte als primitive Konzepte betrachtet werden; Begriffe ohne Definition. In der Geometrie wird der Linienbegriff häufig als primitiv aufgefasst. In Situationen, in denen eine Linie ein definiertes Konzept ist, wie in der Koordinatengeometrie , werden einige andere grundlegende Ideen als Primitive angesehen. Wenn das Linienkonzept primitiv ist, werden das Verhalten und die Eigenschaften von Linien von den Axiomen bestimmt, die sie erfüllen müssen.

Bei einer nicht-axiomatischen oder vereinfachten axiomatischen Behandlung der Geometrie kann der Begriff eines primitiven Begriffs zu abstrakt sein, um behandelt zu werden. Unter diesen Umständen ist es möglich, eine Beschreibung oder ein mentales Bild eines primitiven Begriffs bereitzustellen , um eine Grundlage für den Aufbau des Begriffs zu schaffen, der formal auf den (nicht genannten) Axiomen basieren würde. Beschreibungen dieser Art können von einigen Autoren als Definitionen in diesem informellen Präsentationsstil bezeichnet werden. Dies sind keine wahren Definitionen und können nicht in formalen Beweisen von Aussagen verwendet werden. Die "Definition" der Linie in Euklids Elementen fällt in diese Kategorie. Selbst wenn eine bestimmte Geometrie in Betracht gezogen wird (z. B. euklidische Geometrie ), gibt es unter den Autoren keine allgemein akzeptierte Übereinstimmung darüber, was eine informelle Beschreibung einer Linie sein soll, wenn das Thema nicht formal behandelt wird.

In der euklidischen Geometrie

Als die Geometrie zum ersten Mal von Euklid in den Elementen formalisiert wurde , definierte er eine allgemeine Linie (gerade oder gekrümmt) als "breitlose Länge", wobei eine gerade Linie eine Linie ist, "die gleichmäßig mit den Punkten auf sich selbst liegt". Diese Definitionen dienen wenig Zweck, da sie Begriffe verwenden, die nicht selbst definiert sind. Tatsächlich hat Euklid selbst diese Definitionen in dieser Arbeit nicht verwendet und sie wahrscheinlich nur aufgenommen, um dem Leser klar zu machen, was diskutiert wurde. In der modernen Geometrie wird eine Linie einfach als undefiniertes Objekt mit durch Axiome gegebenen Eigenschaften angesehen , wird aber manchmal als eine Menge von Punkten definiert, die einer linearen Beziehung gehorchen, wenn ein anderes grundlegendes Konzept undefiniert bleibt.

In einer axiomatischen Formulierung der euklidischen Geometrie, wie der von Hilbert (Euklids ursprüngliche Axiome enthielten verschiedene Fehler, die von modernen Mathematikern korrigiert wurden), wird einer Linie nachgesagt, dass sie bestimmte Eigenschaften hat, die sie mit anderen Linien und Punkten in Beziehung setzen . Beispielsweise gibt es für zwei unterschiedliche Punkte eine eindeutige Linie, die sie enthält, und zwei unterschiedliche Linien schneiden sich in höchstens einem Punkt. In zwei Dimensionen (dh der euklidischen Ebene ) werden zwei Geraden, die sich nicht schneiden, als parallel bezeichnet . In höheren Dimensionen sind zwei Linien, die sich nicht schneiden, parallel, wenn sie in einer Ebene enthalten sind , oder schräg, wenn dies nicht der Fall ist.

Jede Ansammlung endlich vieler Linien unterteilt die Ebene in konvexe Polygone (möglicherweise unbeschränkt); diese Partition wird als Anordnung von Linien bezeichnet .

In kartesischen Koordinaten

Linien in einer kartesischen Ebene oder allgemeiner in affinen Koordinaten werden durch lineare Gleichungen charakterisiert . Genauer gesagt ist jede Linie (einschließlich vertikaler Linien) die Menge aller Punkte, deren Koordinaten ( x , y ) eine lineare Gleichung erfüllen ; das ist, ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},}$

wobei a , b und c feste reelle Zahlen (genannt Koeffizienten ) sind, so dass a und b nicht beide Null sind. In dieser Form entsprechen vertikale Linien Gleichungen mit b = 0.

Man kann weiterhin entweder c = 1 oder c = 0 annehmen , indem man alles durch c dividiert, wenn es nicht null ist.

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die Gleichung einer Geraden zu schreiben, die alle durch algebraische Manipulation in eine andere umgewandelt werden können. Das obige Formular wird manchmal als Standardformular bezeichnet . Setzt man den konstanten Term links ein, wird die Gleichung

${\displaystyle ax+by-c=0,}$

und dies wird manchmal die allgemeine Form der Gleichung genannt. Diese Terminologie wird jedoch nicht allgemein akzeptiert, und viele Autoren unterscheiden diese beiden Formen nicht.

Diese Formulare (siehe Lineare Gleichung für andere Formulare) werden im Allgemeinen nach der Art der Informationen (Daten) über die Zeile benannt, die zum Aufschreiben des Formulars benötigt werden. Einige der wichtigen Daten einer Linie sind ihre Steigung, x-Achsenabschnitt , bekannte Punkte auf der Linie und y-Achsenabschnitt.

Die Gleichung der Linie, die durch zwei verschiedene Punkte verläuft und kann geschrieben werden als ${\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0})}$.

Wenn x ₀ ≠ x ₁ , kann diese Gleichung umgeschrieben werden als

${\displaystyle y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}}$

oder

${\displaystyle y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{ 0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\,.}$

Parametrische Gleichungen

Parametrische Gleichungen werden auch verwendet, um Linien zu spezifizieren, insbesondere in solchen in drei Dimensionen oder mehr, da Linien in mehr als zwei Dimensionen nicht durch eine einzige lineare Gleichung beschrieben werden können.

In drei Dimensionen werden Linien häufig durch parametrische Gleichungen beschrieben:

${\displaystyle x=x_{0}+at}$

${\displaystyle y=y_{0}+bt}$

${\displaystyle z=z_{0}+ct}$

wo:

x , y und z sind alle Funktionen der unabhängigen Variablen t, die über die reellen Zahlen reicht.

( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) ist ein beliebiger Punkt auf der Linie.

a , b und c an die Neigung der Linie verbunden sind, so dass die Richtung Vektor ( a , b , c ) ist an die Leitung parallel.

Parametrische Gleichungen für Linien in höheren Dimensionen sind insofern ähnlich, als sie auf der Angabe eines Punktes auf der Linie und eines Richtungsvektors basieren.

Zur Anmerkung, Linien in drei Dimensionen können auch als simultane Lösungen zweier linearer Gleichungen beschrieben werden

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0}$

so dass und nicht proportional sind (die Beziehungen implizieren ). Dies folgt, da in drei Dimensionen eine einzelne lineare Gleichung typischerweise eine Ebene beschreibt und eine Linie das ist, was zwei verschiedenen sich schneidenden Ebenen gemeinsam ist. ${\displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1})}$${\displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2})}$${\displaystyle a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}}$${\displaystyle t=0}$

Steigungsschnittform

In zwei Dimensionen wird die Gleichung für nicht-vertikale Geraden oft in der Steigungsabschnittsform angegeben :

${\displaystyle y=mx+b}$

wo:

m ist die Steigung oder Steigung der Linie.

b ist der y-Achsenabschnitt der Geraden.

x ist die unabhängige Variable der Funktion y = f ( x ).

Die Steigung der Geraden durch Punkte und , wenn , ist gegeben durch und die Gleichung dieser Geraden kann geschrieben werden . ${\displaystyle A(x_{a},y_{a})}$${\displaystyle B(x_{b},y_{b})}$${\displaystyle x_{a}\neq x_{b}}$${\displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})}$${\displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}}$

Normalform

Die Normalform (auch die angerufene Hesse - Normalform , nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse ) ist, auf der Basis das normale Segment für eine gegebene Linie, die definiert ist , das Liniensegment von dem zu ziehenden Ursprung senkrecht zu der Linie. Dieses Segment verbindet den Ursprung mit dem dem Ursprung am nächsten liegenden Punkt auf der Linie. Die Normalform der Gleichung einer Geraden in der Ebene ist gegeben durch:

${\displaystyle x\cos\varphi +y\sin\varphi -p=0,}$

wobei der Neigungswinkel des Normalsegments (der orientierte Winkel vom Einheitsvektor der x- Achse zu diesem Segment) und p die (positive) Länge des Normalsegments ist. Die Normalform kann aus der Standardform abgeleitet werden, indem alle Koeffizienten durch geteilt werden ${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle ax+by=c}$

${\displaystyle {\frac {c}{|c|}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Im Gegensatz zu den Steigungs-Achsen- und Achsenabschnittsformen kann diese Form jede beliebige Linie darstellen, erfordert aber auch die Angabe von nur zwei endlichen Parametern und p . Wenn p > 0 , dann ist modulo 2 π eindeutig definiert . Wenn die Linie andererseits durch den Ursprung verläuft ( c = p = 0 ), lässt man c /| c | Term, um und zu berechnen , und daraus folgt, dass nur modulo π definiert ist . ${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle\varphi}$${\displaystyle \sin\varphi}$${\displaystyle \cos\varphi}$${\displaystyle\varphi}$

In Polarkoordinaten

In einer kartesischen Ebene sind Polarkoordinaten ( r , θ ) mit kartesischen Koordinaten durch die Gleichungen

${\displaystyle x=r\cos\theta ,\quad y=r\sin\theta.}$

In Polarkoordinaten kann die Gleichung einer Linie, die nicht durch den Ursprung verläuft – der Punkt mit den Koordinaten (0, 0) – geschrieben werden

${\displaystyle r={\frac{p}{\cos(\theta -\varphi)}},}$

mit r > 0 und Dabei ist p die (positive) Länge des Liniensegments senkrecht zur Linie und begrenzt durch den Ursprung und die Linie, und ist der (orientierte) Winkel von der x- Achse zu diesem Segment. ${\displaystyle \varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.}$${\displaystyle\varphi}$

Es kann nützlich sein, die Gleichung durch den Winkel zwischen der x- Achse und der Linie auszudrücken. In diesem Fall wird die Gleichung ${\displaystyle \alpha =\varphi +\pi/2}$

${\displaystyle r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha)}},}$

mit r > 0 und${\displaystyle 0<\theta <\alpha +\pi .}$

Diese Gleichungen können aus der abgeleitet werden Normalform der Geradengleichung durch Setzen und dann Aufbringen der Winkeldifferenz Identität für Sinus- oder Cosinus. ${\displaystyle x=r\cos\theta ,}$${\displaystyle y=r\sin\theta ,}$

Diese Gleichungen lassen sich auch geometrisch beweisen, indem man rechtwinklige Dreiecksdefinitionen von Sinus und Cosinus auf das rechtwinklige Dreieck anwendet , das einen Punkt der Geraden und den Ursprung als Eckpunkte und die Gerade und ihre Senkrechte durch den Ursprung als Seiten hat.

Die vorherigen Formen gelten nicht für eine Linie, die durch den Ursprung geht, aber es kann eine einfachere Formel geschrieben werden: Die Polarkoordinaten der Punkte einer Linie, die durch den Ursprung verläuft und einen Winkel von mit der x -Achse bildet, sind die Paare wie das ${\displaystyle (r,\theta)}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle (r,\theta)}$

${\displaystyle r\geq 0,\qquad {\text{und}}\quad\theta =\alpha\quad {\text{or}}\quad\theta =\alpha +\pi.}$

Als Vektorgleichung

Die Vektorgleichung der Linie durch die Punkte A und B ist gegeben durch (wobei λ ein Skalar ist ). ${\displaystyle \mathbf{r} =\mathbf{OA} +\lambda\,\mathbf{AB}}$

Wenn a der Vektor OA und b der Vektor OB ist , kann die Geradengleichung geschrieben werden: . ${\displaystyle\mathbf{r} =\mathbf{a} +\lambda (\mathbf{b} -\mathbf{a})}$

Ein Strahl, der im Punkt A beginnt, wird durch die Begrenzung von λ beschrieben. Ein Strahl wird erhalten, wenn λ ≥ 0 ist, und der entgegengesetzte Strahl kommt von λ ≤ 0.

In höheren Dimensionen

In einem dreidimensionalen Raum , eine erste Gleichung Grad in dem Variablen x , y und z definiert eine Ebene, so dass zwei solche Gleichungen, vorausgesetzt , die Flugzeuge verursachen sie nicht parallel sind, definiert eine Linie , die der Schnittpunkt der Ebenen ist. Allgemeiner definieren im n- dimensionalen Raum n – 1 Gleichungen ersten Grades in den n Koordinatenvariablen unter geeigneten Bedingungen eine Linie.

In allgemeinerer euklidischen Raum , R ⁿ (und analog in jedem anderen affinen Raum ), die Linie L durch zwei verschiedene Punkte verläuft ein und b (die als Vektoren) ist die Teilmenge

${\displaystyle L=\{(1-t)\,a+t\,b\mid t\in\mathbb{R}\}}$

Die Richtung der Linie ist von a ( t = 0) nach b ( t = 1), also in Richtung des Vektors b  −  a . Unterschiedliche Auswahlen von a und b können dieselbe Linie ergeben.

Kollineare Punkte

Drei Punkte heißen kollinear, wenn sie auf derselben Geraden liegen. Drei Punkte bestimmen normalerweise eine Ebene , aber bei drei kollinearen Punkten passiert dies nicht .

In affinen Koordinaten sind im n- dimensionalen Raum die Punkte X = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), Y = ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) und Z = ( z ₁ , z ₂ , ..., z _n ) sind kollinear, wenn die Matrix

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2 }&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}}$

einen Rang kleiner als 3 hat. Insbesondere für drei Punkte in der Ebene ( n = 2) ist die obige Matrix quadratisch und die Punkte sind genau dann kollinear, wenn ihre Determinante null ist.

Äquivalent für drei Punkte in einer Ebene sind die Punkte genau dann kollinear, wenn die Steigung zwischen einem Punktpaar gleich der Steigung zwischen jedem anderen Punktpaar ist (in diesem Fall entspricht die Steigung zwischen dem verbleibenden Punktpaar den anderen Steigungen). . Durch Erweiterung sind k Punkte in einer Ebene genau dann kollinear, wenn ( k –1) Punktepaare die gleichen paarweisen Steigung haben.

In der euklidischen Geometrie kann der euklidische Abstand d ( a , b ) zwischen zwei Punkten a und b verwendet werden, um die Kollinearität zwischen drei Punkten auszudrücken durch:

Die Punkte a , b und c sind genau dann kollinear, wenn d ( x , a ) = d ( c , a ) und d ( x , b ) = d ( c , b ) x = c impliziert .

Es gibt jedoch andere Distanzbegriffe (wie die Manhattan-Distanz ), für die diese Eigenschaft nicht zutrifft.

Bei Geometrien, bei denen das Konzept einer Linie ein primitiver Begriff ist , wie dies bei einigen synthetischen Geometrien der Fall sein kann , werden andere Verfahren zur Bestimmung der Kollinearität benötigt.

Arten von Leitungen

In gewisser Weise sind alle Linien in der euklidischen Geometrie gleich, da man sie ohne Koordinaten nicht voneinander unterscheiden kann. Linien können jedoch in Bezug auf andere Objekte in der Geometrie eine besondere Rolle spielen und entsprechend dieser Beziehung in Typen unterteilt werden. In Bezug auf einen Kegelschnitt (ein Kreis , eine Ellipse , eine Parabel oder eine Hyperbel ) können Linien beispielsweise sein:

• Tangentiallinien , die den Kegelschnitt an einem einzigen Punkt berühren;
• Sekantenlinien , die den Kegelschnitt an zwei Punkten schneiden und durch sein Inneres gehen;
• äußere Linien, die den Kegelschnitt an keinem Punkt der euklidischen Ebene treffen; oder
• eine Leitlinie , deren Abstand von einem Punkt hilft festzustellen, ob der Punkt auf dem Kegelschnitt liegt.

Im Zusammenhang mit der Bestimmung des Parallelismus in der euklidischen Geometrie ist eine Transversale eine Linie, die zwei andere Linien schneidet, die parallel zueinander sein können oder nicht.

Für allgemeinere algebraische Kurven könnten Linien auch sein:

• i -Sekantenlinien, die die Kurve in i Punkten treffen, die ohne Multiplizität gezählt wurden, oder
• Asymptoten , denen sich eine Kurve beliebig nah nähert, ohne sie zu berühren.

Für Dreiecke gilt:

• die Euler-Linie ,
• die Simson-Linien und
• zentrale Linien .

Bei einem konvexen Viereck mit höchstens zwei parallelen Seiten ist die Newton-Linie die Linie, die die Mittelpunkte der beiden Diagonalen verbindet .

Für ein Sechseck mit Ecken, die auf einem Kegelschnitt liegen, haben wir die Pascal-Linie und im Sonderfall, dass der Kegelschnitt ein Linienpaar ist, die Pappus-Linie .

Parallele Linien sind Linien in derselben Ebene, die sich niemals kreuzen. Sich schneidende Linien haben einen gemeinsamen Punkt. Zufällige Linien fallen zusammen – jeder Punkt, der auf einer von ihnen liegt, ist auch auf der anderen.

Senkrechte Linien sind Linien, die sich im rechten Winkel schneiden .

Im dreidimensionalen Raum sind Schräglinien Linien , die nicht in derselben Ebene liegen und sich daher nicht schneiden.

In projektiver Geometrie

In vielen Modellen der projektiven Geometrie entspricht die Darstellung einer Linie selten dem Begriff der "geraden Kurve", wie er in der euklidischen Geometrie visualisiert wird. In der elliptischen Geometrie sehen wir ein typisches Beispiel dafür. In der sphärischen Darstellung der elliptischen Geometrie werden Linien durch Großkreise einer Kugel mit diametral gegenüberliegenden Punkten dargestellt. In einem anderen Modell der elliptischen Geometrie werden Linien durch euklidische Ebenen dargestellt, die durch den Ursprung gehen. Obwohl diese Darstellungen visuell unterschiedlich sind, erfüllen sie alle Eigenschaften (z. B. zwei Punkte, die eine eindeutige Linie bestimmen), die sie zu geeigneten Darstellungen für Linien in dieser Geometrie machen.

Erweiterungen

Strahl

Gegeben eine Gerade und ein beliebiger Punkt A darauf, können wir A als eine Zerlegung dieser Geraden in zwei Teile betrachten. Jeder dieser Teile heißt Strahl und der Punkt A heißt sein Anfangspunkt . Es ist auch als Halblinie bekannt , ein eindimensionaler Halbraum . Der Punkt A wird als Mitglied des Strahls betrachtet. Intuitiv besteht ein Strahl aus den Punkten auf einer Geraden, die durch A geht und sich, beginnend bei A , nur in einer Richtung entlang der Geraden unbegrenzt fortbewegt. Um dieses Konzept eines Strahls in Beweisen zu verwenden, ist jedoch eine genauere Definition erforderlich.

Bei bestimmten Punkten A und B bestimmen sie einen eindeutigen Strahl mit Anfangspunkt A . Da zwei Punkte eine eindeutige Linie definieren, besteht dieser Strahl aus allen Punkten zwischen A und B (einschließlich A und B ) und allen Punkten C auf der Linie durch A und B, so dass B zwischen A und C liegt . Dies wird manchmal auch als Menge aller Punkte C ausgedrückt, so dass A nicht zwischen B und C liegt . Ein Punkt D auf der Linie bestimmt durch A und B , aber nicht in dem Strahl mit Anfangspunkt A bestimmt durch B , wird einen anderen Strahl mit Anfangspunkt bestimmt A . In Bezug auf den AB- Strahl wird der AD- Strahl als Gegenstrahl bezeichnet .

Wir würden also sagen, dass zwei verschiedene Punkte A und B eine Gerade definieren und eine Zerlegung dieser Geraden in die disjunkte Vereinigung eines offenen Segments ( A ,  B ) und zweier Strahlen BC und AD (der Punkt D ist nicht gezeichnet im Diagramm, befindet sich aber links von A auf der Linie AB ). Dies sind keine entgegengesetzten Strahlen, da sie unterschiedliche Anfangspunkte haben.

In der euklidischen Geometrie bilden zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Endpunkt einen Winkel .

Die Definition eines Strahls hängt von dem Begriff der Zwischenheit für Punkte auf einer Linie ab. Daraus folgt, dass Strahlen nur für Geometrien existieren, für die dieser Begriff existiert, typischerweise euklidische Geometrie oder affine Geometrie über einem geordneten Feld . Auf der anderen Seite existieren Strahlen weder in der projektiven Geometrie noch in einer Geometrie über einem ungeordneten Körper, wie die komplexen Zahlen oder irgendein endlicher Körper .

Liniensegment

Ein Liniensegment ist ein Teil einer Linie, der von zwei unterschiedlichen Endpunkten begrenzt wird und jeden Punkt auf der Linie zwischen ihren Endpunkten enthält. Je nachdem, wie das Liniensegment definiert ist, kann einer der beiden Endpunkte Teil des Liniensegments sein oder nicht. Zwei oder mehr Liniensegmente können einige der gleichen Beziehungen wie Linien aufweisen, z. B. parallel, sich schneiden oder schief sein, aber im Gegensatz zu Linien können sie keine dieser Beziehungen sein, wenn sie koplanar sind und sich entweder nicht schneiden oder kollinear sind .

Geodäten

Die "Kurzheit" und "Geradheit" einer Linie, interpretiert als die Eigenschaft, dass der Abstand entlang der Linie zwischen zwei beliebigen ihrer Punkte minimiert wird (siehe Dreiecksungleichung ), kann verallgemeinert werden und führt zum Konzept der Geodäten in metrischen Räumen .

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

• Coxeter, HSM (1969), Einführung in die Geometrie (2. Aufl.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Faber, Richard L. (1983), Grundlagen der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Pedoe, Dan (1988), Geometrie: Ein umfassender Kurs , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie Jr., CR (1964), Grundlagen der Geometrie , New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

Externe Links

• "Linie (Kurve)" , Enzyklopädie der Mathematik , EMS Press , 2001 [1994]
• Gleichungen der Geraden bei Cut-the-Knot