Lineare Kombination - Linear combination

In der Mathematik ist eine Linearkombination ein Ausdruck, der aus einer Menge von Termen konstruiert wird, indem jeder Term mit einer Konstanten multipliziert und die Ergebnisse addiert werden (zB wäre eine Linearkombination von x und y jeder Ausdruck der Form ax + by , wobei a und b sind Konstanten). Das Konzept der Linearkombinationen ist von zentraler Bedeutung für die lineare Algebra und verwandte Gebiete der Mathematik. Der größte Teil dieses Artikels befasst sich mit Linearkombinationen im Kontext eines Vektorraums über einem Körper , mit einigen Verallgemeinerungen am Ende des Artikels.

Definition

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K . Wie üblich nennen wir Elemente von V Vektoren und Elemente von K Skalaren . Wenn v 1 , ..., V n sind Vektoren und a 1 , ..., a n Skalare sind, dann ist die lineare Kombination dieser Vektoren , die mit diesen Skalare als Koeffizienten ist

Bei der Verwendung des Begriffs "Linearkombination" gibt es einige Unklarheiten, ob er sich auf den Ausdruck oder seinen Wert bezieht. In den meisten Fällen wird der Wert betont, wie in der Aussage "die Menge aller Linearkombinationen von v 1 ,..., v n bildet immer einen Unterraum". Man könnte aber auch sagen "zwei verschiedene Linearkombinationen können den gleichen Wert haben", in diesem Fall bezieht sich der Verweis auf den Ausdruck. Der feine Unterschied zwischen diesen Verwendungen ist die Essenz des Begriffs der linearen Abhängigkeit : Eine Familie F von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn irgendeine Linearkombination der Vektoren in F (als Wert) eindeutig so ist (als Ausdruck). In jedem Fall, auch wenn sie als Ausdrücke betrachtet, alles Dinge , über eine lineare Kombination der Koeffizient jedes ist v i ; triviale Modifikationen wie das Permutieren der Terme oder das Hinzufügen von Termen mit dem Koeffizienten Null erzeugen keine eindeutigen Linearkombinationen.

In einer gegebenen Situation können K und V explizit angegeben werden oder aus dem Kontext offensichtlich sein. In diesem Fall spricht man oft von einer Linearkombination der Vektoren v 1 ,..., v n , wobei die Koeffizienten nicht spezifiziert sind (außer dass sie zu K gehören müssen ). Oder, wenn S eine Teilmenge von V ist , können wir von einer Linearkombination von Vektoren in S sprechen , wobei sowohl die Koeffizienten als auch die Vektoren nicht spezifiziert sind, außer dass die Vektoren zur Menge S gehören müssen (und die Koeffizienten müssen zu K . gehören ). Schließlich können wir einfach von einer Linearkombination sprechen , bei der nichts angegeben ist (außer dass die Vektoren zu V gehören und die Koeffizienten zu K gehören müssen ); in diesem Fall bezieht man sich wahrscheinlich auf den Ausdruck, da jeder Vektor in V sicherlich der Wert einer Linearkombination ist.

Beachten Sie, dass eine Linearkombination per Definition nur endlich viele Vektoren umfasst (außer wie unten in Verallgemeinerungen beschrieben ). Jedoch kann die Menge S , aus der die Vektoren entnommen werden (wenn einer erwähnt wird), immer noch unendlich sein ; jede einzelne Linearkombination enthält nur endlich viele Vektoren. Außerdem gibt es keinen Grund dafür, dass n nicht null sein kann ; in diesem Fall erklären wir per Konvention, dass das Ergebnis der Linearkombination der Nullvektor in V ist .

Beispiele und Gegenbeispiele

Euklidische Vektoren

Sei der Körper K die Menge R der reellen Zahlen und der Vektorraum V der euklidische Raum R 3 . Betrachten Sie die Vektoren e 1 = (1,0,0) , e 2 = (0,1,0) und e 3 = (0,0,1) . Dann ist jeder Vektor in R 3 eine Linearkombination von e 1 , e 2 und  e 3 .

Um zu sehen, dass dies so ist, nehmen Sie einen beliebigen Vektor ( a 1 , a 2 , a 3 ) in R 3 und schreiben Sie:

Funktionen

Lassen K der Satz sein C aller komplexen Zahlen , und lassen V der Satz C C ( R ) alle stetigen Funktionen aus der durchgezogenen Linie R zu der komplexen Ebene C . Betrachten Sie die Vektoren (Funktionen) f und g definiert durch f ( t ) := e it und g ( t ) := e it . (Hier ist e die Basis des natürlichen Logarithmus , ungefähr 2,71828..., und i ist die imaginäre Einheit , eine Quadratwurzel von −1.) Einige Linearkombinationen von f und g  sind:

Andererseits ist die konstante Funktion 3 keine Linearkombination von f und g . Um dies zu sehen, nehmen wir an, dass 3 als Linearkombination von e it und e it geschrieben werden könnte . Dies bedeutet , dass es würde komplexe Skalare existieren ein und b , so dass ae es + sein - es = 3 für alle reellen Zahlen t . Die Einstellung von t = 0 und t = Setting ergibt die Gleichungen a + b = 3 und a + b = −3 , und das kann offensichtlich nicht passieren. Siehe Eulers Identität .

Polynome

Lassen K sein , R , C , oder alle Felder, und lassen V der Satz sein P alle Polynome mit Koeffizienten aus dem Feld entnommen K . Betrachten Sie die Vektoren (Polynome) p 1  := 1, p 2  := x + 1 und p 3  := x 2 + x + 1 .

Ist das Polynom x 2  − 1 eine Linearkombination von p 1 , p 2 und p 3 ? Um das herauszufinden, betrachten Sie eine beliebige Linearkombination dieser Vektoren und versuchen Sie zu sehen, wann sie dem gewünschten Vektor x 2  − 1 entspricht. Wenn wir beliebige Koeffizienten a 1 , a 2 und a 3 auswählen, wollen wir

Multipliziert man die Polynome heraus, bedeutet dies

und sammeln wie Potenzen von x , wir erhalten

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind, also können wir folgern

Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich leicht lösen. Erstens sagt die erste Gleichung einfach, dass a 3 gleich 1 ist. Wenn wir das wissen, können wir die zweite Gleichung nach a 2 auflösen , was zu −1 führt. Schließlich sagt uns die letzte Gleichung, dass a 1 auch −1 ist. Daher ist die einzige Möglichkeit, eine Linearkombination zu erhalten, mit diesen Koeffizienten. Tatsächlich,

so x 2  - 1 ist eine Linearkombination von p 1 , p 2 und  p 3 .

Was ist andererseits mit dem Polynom x 3  − 1? Wenn wir versuchen, diesen Vektor zu einer Linearkombination von p 1 , p 2 und p 3 zu machen , dann erhalten wir nach dem gleichen Prozess wie zuvor die Gleichung

Wenn wir jedoch in diesem Fall die entsprechenden Koeffizienten gleich setzen,  lautet die Gleichung für x 3

was immer falsch ist. Daher gibt es dafür keine Möglichkeit, und x 3  − 1 ist keine Linearkombination von p 1 , p 2 und  p 3 .

Die lineare Spanne

Nehmen Sie einen beliebigen Körper K , einen beliebigen Vektorraum V und seien v 1 ,..., v n Vektoren (in V ). Es ist interessant, die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren zu betrachten. Diese Menge wird die lineare Spanne (oder einfach Spanne ) der Vektoren genannt, sagen wir S = { v 1 , ..., v n }. Wir schreiben die Spanne von S als span( S ) oder sp( S ):

Lineare Unabhängigkeit

Für einige Vektorenmengen v 1 ,..., v n kann ein einzelner Vektor auf zwei verschiedene Arten als Linearkombination davon geschrieben werden:

Entsprechend ist durch Subtraktion dieser ( ) eine nicht-triviale Kombination Null:

Ist dies möglich, so heißen v 1 ,..., v n linear abhängig ; andernfalls sind sie linear unabhängig . In ähnlicher Weise können wir von einer linearen Abhängigkeit oder Unabhängigkeit einer beliebigen Menge S von Vektoren sprechen .

Wenn S linear unabhängig und die Spanne ist S gleich V , dann S ist eine Basis für V .

Affine, konische und konvexe Kombinationen

Durch Einschränkung der in Linearkombinationen verwendeten Koeffizienten kann man die verwandten Konzepte der affinen Kombination , der konischen Kombination und der konvexen Kombination sowie die zugehörigen Begriffe der unter diesen Operationen abgeschlossenen Mengen definieren.

Art der Kombination Einschränkungen bei Koeffizienten Name des Sets Modellraum
Lineare Kombination keine Einschränkungen Vektorunterraum
Affine Kombination Affiner Unterraum Affine Hyperebene
Konische Kombination Konvexer Kegel Quadrant , Oktant oder Orthant
Konvexe Kombination und Konvexe Menge Simplex

Da dies eingeschränktere Operationen sind, werden mehr Teilmengen unter ihnen abgeschlossen, sodass affine Teilmengen, konvexe Kegel und konvexe Mengen Verallgemeinerungen von Vektorunterräumen sind: Ein Vektorunterraum ist auch ein affiner Unterraum, ein konvexer Kegel und eine konvexe Menge, aber eine konvexe Menge muss kein Vektorunterraum, kein affiner oder ein konvexer Kegel sein.

Diese Konzepte entstehen oft, wenn man bestimmte Linearkombinationen von Objekten annehmen kann, aber keine: zum Beispiel sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter konvexer Kombination abgeschlossen (sie bilden eine konvexe Menge), aber nicht konische oder affine Kombinationen (oder linear) und positive Maße sind unter konischer Kombination abgeschlossen, aber nicht affin oder linear – daher definiert man vorzeichenbehaftete Maße als linearen Abschluss.

Lineare und affine Kombinationen können über jedem Körper (oder Ring) definiert werden, aber konische und konvexe Kombinationen erfordern einen Begriff von "positiv" und können daher nur über einen geordneten Körper (oder geordneten Ring ) definiert werden, im Allgemeinen die reellen Zahlen.

Lässt man nur skalare Multiplikation zu, nicht Addition, erhält man einen (nicht unbedingt konvexen) Kegel ; man beschränkt die Definition oft darauf, nur die Multiplikation mit positiven Skalaren zuzulassen.

Alle diese Konzepte werden normalerweise als Teilmengen eines Umgebungsvektorraums definiert (mit Ausnahme von affinen Räumen, die auch als "Vektorräume, die den Ursprung vergessen" betrachtet werden, anstatt unabhängig axiomatisiert zu werden.

Operierte Theorie

Abstrakter kann man in der Sprache der Operandentheorie Vektorräume als Algebren über der Operanden betrachten (die unendliche direkte Summe , also sind nur endlich viele Terme ungleich Null; dies entspricht nur der Bildung endlicher Summen), die Linearkombinationen parametrisiert : der Vektor entspricht zB der Linearkombination . In ähnlicher Weise kann man affine Kombinationen, konische Kombinationen und konvexe Kombinationen als den Unteroperaden entsprechend betrachten, bei denen die Summe der Terme 1 ist, die Terme alle nicht negativ sind, oder beide. Grafisch sind dies die unendliche affine Hyperebene, der unendliche Hyperoktant und der unendliche Simplex. Dies formalisiert, was mit Sein oder dem Standardsimplex als Modellräume gemeint ist, und solche Beobachtungen wie, dass jedes beschränkte konvexe Polytop das Bild eines Simplex ist. Hier entsprechen Unteroperaden eingeschränkteren Operationen und damit allgemeineren Theorien.

Aus dieser Sicht können wir uns Linearkombinationen als die allgemeinste Art von Operation auf einem Vektorraum vorstellen – zu sagen, dass ein Vektorraum eine Algebra über der Operanden von Linearkombinationen ist, ist genau die Aussage, dass alle möglichen algebraischen Operationen in einem Vektor Raum sind Linearkombinationen.

Die Grundoperationen Addition und Skalarmultiplikation, zusammen mit der Existenz einer additiven Identität und additiven Inversen, können nicht komplizierter kombiniert werden als die generische Linearkombination: Die Grundoperationen sind ein erzeugender Satz für die Operanden aller Linearkombinationen.

Letztendlich liegt diese Tatsache im Zentrum der Nützlichkeit von Linearkombinationen beim Studium von Vektorräumen.

Verallgemeinerungen

Wenn V ein topologischer Vektorraum ist , dann gibt es möglicherweise eine Möglichkeit, bestimmte unendliche Linearkombinationen unter Verwendung der Topologie von V zu verstehen . Zum Beispiel könnten wir von einem 1 gegen 1  + einem 2 gegen 2  + einem 3 gegen 3  + ⋯ sprechen , das ewig andauert. Solche unendlichen Linearkombinationen sind nicht immer sinnvoll; wir nennen sie konvergent, wenn sie es tun. Das Zulassen von mehr Linearkombinationen in diesem Fall kann auch zu einem anderen Konzept von Spannweite, linearer Unabhängigkeit und Basis führen. Die Artikel zu den verschiedenen Varianten topologischer Vektorräume gehen darauf genauer ein.

Ist K ein kommutativer Ring statt ein Körper, dann verallgemeinert sich alles, was oben über Linearkombinationen gesagt wurde, unverändert auf diesen Fall. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir solche Räume V- Module anstelle von Vektorräumen nennen. Wenn K ein nichtkommutativer Ring ist, dann verallgemeinert das Konzept immer noch, mit einer Einschränkung: Da Module über nichtkommutativen Ringen in linken und rechten Versionen vorkommen, können unsere Linearkombinationen auch in einer dieser Versionen vorliegen, was auch immer für das gegebene Modul geeignet ist. Dies ist einfach eine Frage der Skalarmultiplikation auf der richtigen Seite.

Eine kompliziertere Wendung ergibt sich, wenn V ein Bimodul über zwei Ringe ist, K L und K R . In diesem Fall sieht die allgemeinste Linearkombination wie folgt aus

wobei a 1 ,..., a n zu K L gehören , b 1 ,..., b n zu K R gehören und v 1 ,…, v n zu V gehören .

Anwendung

Eine wichtige Anwendung von Linearkombinationen sind Wellenfunktionen in der Quantenmechanik .

Siehe auch

Zitate

Verweise

Lehrbuch

  • Axler, Sheldon Jay (2015). Lineare Algebra rechts gemacht (3. Aufl.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Eine (kurze) Einführung in die Lineare Algebra . Amerikanische Mathematische Gesellschaft . ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Lay, David C.; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016). Lineare Algebra und ihre Anwendungen (5. Aufl.). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
  • Seltsam, Gilbert (2016). Einführung in die Lineare Algebra (5. Aufl.). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Netz

Externe Links