Satz von Liouville (Hamiltonisch) - Liouville's theorem (Hamiltonian)

In der Physik ist der Satz von Liouville , benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Liouville , ein Schlüsselsatz der klassischen statistischen und Hamiltonschen Mechanik . Sie behauptet, dass die Phasenraum- Verteilungsfunktion entlang der Trajektorien des Systems konstant ist, d. h. dass die Dichte der Systempunkte in der Nähe eines gegebenen Systempunkts, der durch den Phasenraum wandert, mit der Zeit konstant ist. Diese zeitunabhängige Dichte ist in der statistischen Mechanik als klassische A-priori-Wahrscheinlichkeit bekannt .

Es gibt verwandte mathematische Ergebnisse in der symplektischen Topologie und der ergodischen Theorie ; Systeme, die dem Satz von Liouville gehorchen, sind Beispiele für inkompressible dynamische Systeme .

Es gibt Erweiterungen des Satzes von Liouville auf stochastische Systeme.

Liouville-Gleichungen

Entwicklung eines Ensembles klassischer Systeme im Phasenraum (oben). Jedes System besteht aus einem massiven Teilchen in einem eindimensionalen Potentialtopf (rote Kurve, untere Abbildung). Während die Bewegung eines einzelnen Ensemblemitglieds durch die Hamilton-Gleichungen gegeben ist , beschreiben die Liouville-Gleichungen den Fluss der gesamten Verteilung. Die Bewegung ist analog zu einem Farbstoff in einer inkompressiblen Flüssigkeit.

Die Liouville Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Phasenraumverteilungsfunktion . Obwohl die Gleichung normalerweise als "Liouville-Gleichung" bezeichnet wird, erkannte Josiah Willard Gibbs als erster die Bedeutung dieser Gleichung als grundlegende Gleichung der statistischen Mechanik. Sie wird als Liouville-Gleichung bezeichnet, weil ihre Ableitung für nicht-kanonische Systeme eine Identität verwendet, die erstmals 1838 von Liouville abgeleitet wurde. Betrachten Sie ein Hamiltonsches dynamisches System mit kanonischen Koordinaten und konjugierten Impulsen , wobei . Dann bestimmt die Phasenraumverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im infinitesimalen Phasenraumvolumen befindet . Die Liouville-Gleichung regelt die zeitliche Entwicklung :

Zeitableitungen sind durch Punkte gekennzeichnet und werden gemäß den Hamilton-Gleichungen für das System ausgewertet . Diese Gleichung demonstriert die Erhaltung der Dichte im Phasenraum (wie Gibbs den Satz nannte). Der Satz von Liouville besagt, dass

Die Verteilungsfunktion ist entlang jeder Trajektorie im Phasenraum konstant.

Ein Beweis des Satzes von Liouville verwendet den n- dimensionalen Divergenzsatz . Dieser Beweis basiert auf der Tatsache, dass die Evolution von einer n- dimensionalen Version der Kontinuitätsgleichung gehorcht :

Das heißt, das 3-Tupel ist ein Erhaltungsstrom . Beachten Sie, dass der Unterschied zwischen dieser und der Liouville-Gleichung die Terme sind

wo ist der Hamilton-Operator, und Hamilton-Gleichungen sowie die Erhaltung des Hamilton-Operators entlang der Strömung wurden verwendet. Betrachtet man die Bewegung durch den Phasenraum als einen 'Fluidstrom' von Systempunkten, folgt aus der Kontinuitätsgleichung der Satz, dass die konvektive Ableitung der Dichte, , Null ist, indem man feststellt, dass das 'Geschwindigkeitsfeld' im Phasenraum Nulldivergenz (die aus Hamiltons Beziehungen folgt).

Eine andere Veranschaulichung ist die Trajektorie einer Punktwolke durch den Phasenraum zu betrachten. Es ist einfach zu zeigen, dass die Wolke, wenn sie sich in einer Koordinate ausdehnt – sagen wir – in die entsprechende Richtung schrumpft, so dass das Produkt konstant bleibt.

Andere Formulierungen

Giftklammer

Der obige Satz wird oft in Form der Poisson-Klammer wie folgt formuliert :

oder in Bezug auf den linearen Liouville-Operator oder Liouvillian ,

wie

Ergodische Theorie

In der ergodischen Theorie und in dynamischen Systemen gibt es , motiviert durch die bisherigen physikalischen Überlegungen, ein entsprechendes Ergebnis, das auch als Satz von Liouville bezeichnet wird. In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine glatte Mannigfaltigkeit , die natürlicherweise mit einem glatten Maß ausgestattet ist (lokal ist dieses Maß das 6 n- dimensionale Lebesgue-Maß ). Der Satz besagt, dass dieses glatte Maß unter dem Hamiltonschen Fluss invariant ist . Allgemeiner kann man die notwendige und hinreichende Bedingung beschreiben, unter der ein glattes Maß unter einer Strömung invariant ist. Der Hamilton-Fall wird dann ein Korollar.

Symplektische Geometrie

Wir können den Satz von Liouville auch in Bezug auf die symplektische Geometrie formulieren . Für ein gegebenes System können wir den Phasenraum eines bestimmten Hamilton-Operators als Mannigfaltigkeit betrachten, die mit einer symplektischen 2-Form ausgestattet ist

Die Volumenform unserer Mannigfaltigkeit ist die obere äußere Potenz der symplektischen 2-Form und ist nur eine weitere Darstellung des oben beschriebenen Maßes auf dem Phasenraum.

Auf unserer symplektischen Mannigfaltigkeit im Phasenraum können wir ein Hamiltonsches Vektorfeld definieren, das durch eine Funktion erzeugt wird als

Insbesondere wenn die erzeugende Funktion der Hamilton-Operator selbst ist , erhalten wir

wobei wir Hamiltons Bewegungsgleichungen und die Definition der Kettenregel verwendet haben.

In diesem Formalismus besagt der Satz von Liouville, dass die Lie-Ableitung der Volumenform entlang der von erzeugten Strömung null ist . Das heißt, für eine 2n-dimensionale symplektische Mannigfaltigkeit

Tatsächlich bleibt die symplektische Struktur selbst erhalten, nicht nur ihre höchste äußere Kraft. Das heißt, der Satz von Liouville gibt auch

Quanten-Liouville-Gleichung

Das Analogon der Liouville-Gleichung in der Quantenmechanik beschreibt die zeitliche Entwicklung eines gemischten Zustands . Die kanonische Quantisierung liefert eine quantenmechanische Version dieses Theorems, die Von-Neumann-Gleichung . Dieses Verfahren, das häufig verwendet wird, um Quantenanaloga klassischer Systeme zu entwickeln, beinhaltet die Beschreibung eines klassischen Systems unter Verwendung der Hamiltonschen Mechanik. Klassische Variablen werden dann als Quantenoperatoren neu interpretiert, während Poisson-Klammern durch Kommutatoren ersetzt werden . In diesem Fall lautet die resultierende Gleichung

wobei ρ die Dichtematrix ist .

Auf den Erwartungswert einer Observablen angewendet, ergibt sich die entsprechende Gleichung durch den Satz von Ehrenfest und hat die Form

wo ist ein beobachtbares. Beachten Sie die Vorzeichendifferenz, die aus der Annahme folgt, dass der Operator stationär und der Zustand zeitabhängig ist.

In der Phasenraumformulierung der Quantenmechanik führt das Ersetzen der Moyal-Klammern durch Poisson-Klammern im Phasenraumanalog der von-Neumann-Gleichung zu einer Kompressibilität des Wahrscheinlichkeitsfluids und damit zu einer Verletzung der Inkompressibilität des Liouville-Theorems. Dies führt dann zu begleitenden Schwierigkeiten bei der Definition sinnvoller Quantentrajektorien.

Beispiele

SHO-Phasenraumvolumen

Die zeitliche Entwicklung des Phasenraums für den einfachen harmonischen Oszillator (SHO). Hier haben wir die Region getroffen und berücksichtigen diese .

Betrachten Sie ein Partikelsystem in drei Dimensionen und konzentrieren Sie sich nur auf die Entwicklung von Partikeln. Innerhalb des Phasenraums nehmen diese Teilchen ein infinitesimales Volumen ein, das gegeben ist durch

Wir wollen über die Zeit hinweg gleich bleiben, damit das entlang der Trajektorien des Systems konstant ist. Wenn wir unseren Teilchen erlauben, sich in einem infinitesimalen Zeitschritt zu entwickeln , sehen wir, dass sich die Position jedes Teilchenphasenraums wie folgt ändert:

wo und bezeichnen und sind, und wir haben nur gehalten Begriffe linear . Wenn wir dies auf unseren infinitesimalen Hyperwürfel ausdehnen , ändern sich die Seitenlängen wie

Um das neue infinitesimale Phasenraumvolumen zu finden , benötigen wir das Produkt der obigen Größen. Zur Erstbestellung erhalten wir folgendes.

Bisher haben wir noch keine Angaben zu unserem System gemacht. Spezialisieren wir uns nun auf den Fall von -dimensionalen isotropen harmonischen Oszillatoren. Das heißt, jedes Teilchen in unserem Ensemble kann wie ein einfacher harmonischer Oszillator behandelt werden . Der Hamilton-Operator für dieses System ist gegeben durch

Durch die Verwendung der Hamilton-Gleichungen mit dem obigen Hamilton-Operator finden wir, dass der Term in Klammern oben identisch Null ist, was zu

Daraus können wir das infinitesimale Volumen des Phasenraums ermitteln.

Somit haben wir letztendlich gefunden, dass das infinitesimale Phasenraumvolumen unverändert ist, was

demonstrieren, dass der Satz von Liouville für dieses System gilt.

Es bleibt die Frage, wie sich das Phasenraumvolumen tatsächlich in der Zeit entwickelt. Oben haben wir gezeigt, dass das Gesamtvolumen erhalten bleibt, haben aber nichts darüber gesagt, wie es aussieht. Für ein einzelnes Teilchen können wir sehen, dass seine Flugbahn im Phasenraum durch die Ellipse der Konstante gegeben ist . Explizit kann man die Hamilton-Gleichungen für das System lösen und finden and

wo und die Anfangsposition und der Impuls des Teilchens bezeichnen. Bei einem System aus mehreren Teilchen hat jedes eine Phasenraum-Trajektorie, die eine Ellipse entsprechend der Energie des Teilchens zeichnet. Die Frequenz, mit der die Ellipse verfolgt wird, wird durch den Hamilton-Operator unabhängig von Energieunterschieden angegeben. Als Ergebnis dreht sich ein Bereich des Phasenraums einfach um den Punkt mit einer Frequenz abhängig von . Dies ist in der Animation oben zu sehen.

Gedämpfter harmonischer Oszillator

Die Entwicklung des Phasenraumvolumens für den gedämpften harmonischen Oszillator. Es werden die gleichen Parameterwerte wie im SHO-Fall verwendet, mit .

Eine der grundlegenden Annahmen des Satzes von Liouville ist, dass das System der Energieerhaltung gehorcht. Im Zusammenhang mit dem Phasenraum ist dies also auf Phasenraumflächen konstanter Energie konstant . Brechen wir diese Forderung, indem wir ein System betrachten, in dem die Energie nicht erhalten ist, so stellen wir fest, dass auch diese nicht konstant ist.

Betrachten wir als Beispiel dafür wieder das System von Teilchen jeweils in einem -dimensionalen isotropen harmonischen Potential, dessen Hamilton-Operator im vorherigen Beispiel angegeben ist. Diesmal fügen wir die Bedingung hinzu, dass jedes Teilchen eine Reibungskraft erfährt. Da dies eine nicht-konservative Kraft ist , müssen wir die Hamilton-Gleichungen erweitern als

wobei eine positive Konstante ist, die den Betrag der Reibung bestimmt. Nach einem sehr ähnlichen Verfahren wie im Fall des ungedämpften harmonischen Oszillators kommen wir wieder zu

Setzen wir unsere modifizierten Hamilton-Gleichungen ein, finden wir

Wenn wir unser neues infinitesimales Phasenraumvolumen berechnen und nur die erste Ordnung beibehalten, erhalten wir das folgende Ergebnis.

Wir haben festgestellt, dass das infinitesimale Phasenraumvolumen nicht mehr konstant ist und somit die Phasenraumdichte nicht erhalten bleibt. Wie aus der Gleichung ersichtlich ist, gehen wir mit zunehmender Zeit davon aus, dass unser Phasenraumvolumen auf Null sinkt, da die Reibung auf das System einwirkt.

Was die zeitliche Entwicklung des Phasenraumvolumens angeht, so haben wir immer noch die konstante Rotation wie im ungedämpften Fall. Die Dämpfung führt jedoch zu einer stetigen Abnahme der Radien jeder Ellipse. Wieder können wir nach den Trajektorien explizit unter Verwendung der Hamilton-Gleichungen auflösen, wobei wir darauf achten, die oben modifizierten zu verwenden. Wir vermieten aus Bequemlichkeitsgründen

wobei die Werte und die Anfangsposition und den Impuls des Teilchens bezeichnen. Wenn sich das System entwickelt, wird sich das gesamte Phasenraumvolumen spiralförmig zum Ursprung hin drehen. Dies ist in der obigen Abbildung zu sehen.

Bemerkungen

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

Externe Links