Liste wichtiger Veröffentlichungen in der Mathematik - List of important publications in mathematics

Eines der ältesten erhaltenen Fragmente von Euklids Elementen , gefunden bei Oxyrhynchus und datiert auf ca. 100 n. Chr. Das Diagramm begleitet Buch II, Proposition 5.

Dies ist eine nach Fachgebieten geordnete Liste wichtiger Veröffentlichungen in der Mathematik .

Einige Gründe, warum eine bestimmte Veröffentlichung als wichtig angesehen werden könnte:

  • Themenersteller – Eine Veröffentlichung, die ein neues Thema erstellt hat
  • Durchbruch – Eine Veröffentlichung, die wissenschaftliche Erkenntnisse maßgeblich verändert hat
  • Einfluss – Eine Veröffentlichung, die die Welt maßgeblich beeinflusst oder den Mathematikunterricht massiv beeinflusst hat.

Zu den veröffentlichten Zusammenstellungen wichtiger Veröffentlichungen in der Mathematik gehören Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 von Ivor Grattan-Guinness und A Source Book in Mathematics von David Eugene Smith .

Algebra

Gleichungstheorie

Baudhayana Sulba Sutra

Vermutlich um das 8. Jahrhundert v. Chr. geschrieben, ist dies einer der ältesten mathematischen Texte. Es legte die Grundlagen der indischen Mathematik und war einflussreich in Südasien und den umliegenden Regionen und vielleicht sogar in Griechenland . Obwohl dies in erster Linie ein geometrischer Text war, enthielt er auch einige wichtige algebraische Entwicklungen, darunter die früheste Liste algebraisch entdeckter pythagoräischer Tripel, geometrische Lösungen linearer Gleichungen, die früheste Verwendung quadratischer Gleichungen der Formen ax 2 = c und ax 2 + bx = c und ganzzahlige Lösungen simultaner diophantischer Gleichungen mit bis zu vier Unbekannten.

Die neun Kapitel über die mathematische Kunst

Enthält die früheste Beschreibung der Gaußschen Elimination zum Lösen von linearen Gleichungssystemen, es enthält auch eine Methode zum Finden von Quadratwurzeln und Kubikwurzeln.

Haidao Suanjing

Enthält die Anwendung rechtwinkliger Dreiecke zur Vermessung der Tiefe oder Höhe entfernter Objekte.

Sunzi Suanjing

  • Sunzi (5. Jahrhundert n. Chr.)

Enthält die früheste Beschreibung des chinesischen Restsatzes .

Aryabhatiya

Aryabhata führte die Methode ein, die als "Modus Indorum" oder die Methode der Indianer bekannt ist, die heute unsere Algebra ist. Diese Algebra kam zusammen mit dem hinduistischen Zahlensystem nach Arabien und wanderte dann nach Europa aus. Der Text enthält 33 Verse über Mensuration (kṣetra vyāvahāra), arithmetische und geometrische Progressionen, Gnomon / Schatten (shanku-chhAyA), einfache, quadratische, simultane und unbestimmte Gleichungen. Es gab auch den modernen Standardalgorithmus zum Lösen von diophantischen Gleichungen erster Ordnung.

Jigu Suanjing

Jigu Suanjing (626 n. Chr.)

Dieses Buch des Mathematikers Wang Xiaotong aus der Tang-Dynastie enthält die weltweit früheste Gleichung dritter Ordnung.

Brāhmasphuṭasiddhānta

Enthält Regeln zum Manipulieren von negativen und positiven Zahlen, Regeln zum Umgang mit der Zahl Null, eine Methode zum Berechnen von Quadratwurzeln und allgemeine Methoden zum Lösen linearer und einiger quadratischer Gleichungen, Lösung der Pell-Gleichung.

Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala

Das erste Buch über die systematischen algebraischen Lösungen linearer und quadratischer Gleichungen des persischen Gelehrten Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī . Das Buch gilt als Grundlage der modernen Algebra und der islamischen Mathematik . Das Wort "Algebra" selbst leitet sich vom al-Jabr im Titel des Buches ab.

Līlāvatī , Siddhānta Shiromani und Bijaganita

Eine der wichtigsten Abhandlungen zur Mathematik von Bhāskara II liefert die Lösung für unbestimmte Gleichungen 1. und 2. Ordnung.

Yigu yanduan

  • Liu Yi (12. Jahrhundert)

Enthält die früheste Erfindung der Polynomgleichung 4. Ordnung.

Mathematische Abhandlung in neun Abschnitten

Dieses Buch aus dem 13. Jahrhundert enthält die früheste vollständige Lösung von Horners Methode zur Lösung von Polynomgleichungen höherer Ordnung (bis 10. Ordnung) aus dem 19. Jahrhundert . Es enthält auch eine vollständige Lösung des chinesischen Restsatzes , der mehrere Jahrhunderte älter ist als Euler und Gauß .

Ceyuan Haijing

Enthält die Anwendung von Polynomgleichungen höherer Ordnung bei der Lösung komplexer Geometrieprobleme.

Jadespiegel der vier Unbekannten

Enthält die Methode zum Aufstellen eines Systems von Polynomgleichungen höherer Ordnung mit bis zu vier Unbekannten.

Ars Magna

Auch bekannt als The Great Art , lieferte die ersten veröffentlichten Methoden zum Lösen von kubischen und quartischen Gleichungen (aufgrund von Scipione del Ferro , Niccolò Fontana Tartaglia und Lodovico Ferrari ) und zeigte die ersten veröffentlichten Berechnungen mit nicht-reellen komplexen Zahlen .

Vollständige Anleitung zur Algebra

Eulers Lehrbuch zur elementaren Algebra, auch bekannt als Elemente der Algebra , ist eines der ersten, das die Algebra in der modernen Form darlegt, die wir heute kennen würden. Der erste Band beschäftigt sich mit bestimmten Gleichungen, während der zweite Teil sich mit diophantischen Gleichungen beschäftigt . Der letzte Abschnitt enthält einen Beweis von Fermats letztem Satz für den Fall n  = 3, der einige gültige Annahmen bezüglich Q ( √ −3 ) macht, die Euler nicht bewiesen hat.

Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse

Gauss' Doktorarbeit, die einen (damals) weithin akzeptierten, aber unvollständigen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra enthielt .

Abstrakte Algebra

Gruppentheorie

Reflexions sur la résolution algébrique des équations

Der Titel bedeutet "Reflexionen über die algebraischen Lösungen von Gleichungen". Die vorausschauende Beobachtung, dass die Wurzeln der Lagrange-Resolventen einer Polynomgleichung mit Permutationen der Wurzeln der ursprünglichen Gleichung verbunden sind, legte eine allgemeinere Grundlage für eine frühere Ad-hoc-Analyse und trug dazu bei, die spätere Entwicklung der Theorie zu motivieren von Permutationsgruppen , Gruppentheorie und Galois-Theorie . Die Lagrange-Resolve führte auch die diskrete Fourier-Transformation der Ordnung 3 ein.

Artikel Publiés par Galois dans les Annales de Mathématiques

  • Journal de Mathematiques pures et Appliquées, II (1846)

Posthume Veröffentlichung der mathematischen Manuskripte von Évariste Galois von Joseph Liouville . Enthalten sind Galois' Schriften Mémoire sur les Conditions de résolubilité des équations par radicaux und Des équations primitives qui sont solutions par radicaux .

Traité des Substitutionen et des équations algébriques

Online-Version: Online-Version

Traité des Substitutions et des équations algébriques (Abhandlung über Substitutionen und algebraische Gleichungen). Das erste Buch über Gruppentheorie, das eine damals umfassende Studie über Permutationsgruppen und die Galois-Theorie bietet. In diesem Buch führte Jordan den Begriff einer einfachen Gruppe und des Epimorphismus (den er l'isomorphisme mériédrique nannte ) ein, bewies einen Teil des Jordan-Hölder-Theorems und diskutierte Matrixgruppen über endlichen Körpern sowie die Jordan-Normalform .

Theorie der Transformationsgruppen

Publikationsdaten: 3 Bände, BG Teubner, Verlagsgesellschaft, mbH, Leipzig, 1888–1893. Band 1 , Band 2 , Band 3 .

Das erste umfassende Werk über Transformationsgruppen , das als Grundlage für die moderne Theorie der Lügengruppen dient .

Lösbarkeit von Gruppen ungerader Ordnung

Beschreibung: Lieferte einen vollständigen Beweis der Lösbarkeit endlicher Gruppen ungerader Ordnung und begründete damit die seit langem bestehende Burnside-Vermutung, dass alle endlichen nicht-abelschen einfachen Gruppen gerader Ordnung sind. Viele der ursprünglichen Techniken, die in dieser Arbeit verwendet wurden, wurden bei der späteren Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen verwendet .

Homologische Algebra

Homologische Algebra

Vorausgesetzt die erste vollständig ausgearbeitete Behandlung der abstrakten homologischen Algebra, die zuvor unterschiedliche Präsentationen von Homologie und Kohomologie für assoziative Algebren , Lie-Algebren und Gruppen in einer einzigen Theorie vereint .

" Sur Quelques Points d'Algèbre Homologique "

Oft als "Tôhoku-Papier" bezeichnet, revolutionierte es die homologische Algebra, indem es abelsche Kategorien einführte und einen allgemeinen Rahmen für Cartans und Eilenbergs Begriff der abgeleiteten Funktoren bereitstellte .

Algebraische Geometrie

Theorie der Abelschen Funktionen

Publikationsdaten: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik

Entwickelte das Konzept der Riemannschen Flächen und ihrer topologischen Eigenschaften über Riemanns Dissertation von 1851 hinaus, bewies einen Indexsatz für die Gattung (die ursprüngliche Formulierung der Riemann-Hurwitz-Formel ), bewies die Riemannsche Ungleichung für die Dimension des Raums meromorpher Funktionen mit vorgeschriebenen Pole (die ursprüngliche Formulierung des Riemann-Roch-Theorems ), diskutierten birationale Transformationen einer gegebenen Kurve und die Dimension des entsprechenden Modulraums inäquivalenter Kurven einer gegebenen Gattung und lösten allgemeinere Inversionsprobleme als die von Abel und Jacobi untersuchten . André Weil schrieb einmal, dass diese Arbeit „ eines der großartigsten Werke der Mathematik ist, die jemals geschrieben wurden; es gibt kein einziges Wort darin, das nicht von Bedeutung wäre. “

Faisceaux Algébriques Cohérents

Publikationsdaten: Annals of Mathematics , 1955

FAC , wie es gewöhnlich genannt wird, war grundlegend für die Verwendung von Garben in der algebraischen Geometrie und ging über den Fall komplexer Mannigfaltigkeiten hinaus . Serre führte in dieser Arbeit die ech-Kohomologie von Garben ein und revolutionierte trotz einiger technischer Mängel die Formulierungen der algebraischen Geometrie. Zum Beispiel erlaubt die lange exakte Sequenz in der Garbenkohomologie zu zeigen, dass einige surjektive Karten von Garben surjektive Karten auf Schnitten induzieren; Dies sind insbesondere die Karten, deren Kern (als Garbe) eine verschwindende erste Kohomologiegruppe hat. Die Dimension eines Vektorraums von Abschnitten einer kohärenten Garbe ist in der projektiven Geometrie endlich, und solche Dimensionen umfassen viele diskrete Invarianten von Varietäten, zum Beispiel Hodge-Zahlen . Während die von Grothendieck abgeleitete Funktor- Kohomologie aus technischen Gründen die Čech-Kohomologie ersetzt hat, werden tatsächliche Berechnungen, wie etwa der Kohomologie des projektiven Raums, normalerweise mit Čech-Techniken durchgeführt, und aus diesem Grund bleibt Serres Aufsatz wichtig.

Géométrie Algébrique und Géométrie Analytique

In der Mathematik , die algebraische Geometrie und analytische Geometrie sind eng verwandte Themen, wo analytische Geometrie die Theorie ist komplexer Verteilern und die allgemeineren analytischen Räume lokal durch das Verschwinden von definierten analytischen Funktionen von mehreren komplexen Variablen . Eine (mathematische) Theorie der Beziehung zwischen den beiden wurde Anfang der 1950er Jahre aufgestellt, um die Grundlagen der algebraischen Geometrie zu legen und beispielsweise Techniken aus der Hodge-Theorie einzubeziehen . ( Anmerkung: Während die analytische Geometrie als Verwendung kartesischer Koordinaten in gewissem Sinne auch in den Anwendungsbereich der algebraischen Geometrie fällt, ist dies nicht das Thema, das in diesem Artikel diskutiert wird.) Das wichtigste Papier, das die Theorie festigt, war Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique von Serre , jetzt normalerweise als GAGA bezeichnet . Ein Ergebnis im GAGA-Stil würde nun jedes Vergleichstheorem bedeuten, das den Übergang zwischen einer Kategorie von Objekten aus der algebraischen Geometrie und ihren Morphismen und einer wohldefinierten Unterkategorie von analytischen Geometrieobjekten und holomorphen Abbildungen ermöglicht.

Le théorème de Riemann–Roch, d'Après A. Grothendieck

Borel und Serres Darstellung von Grothendiecks Version des Riemann-Roch-Theorems , die veröffentlicht wurde, nachdem Grothendieck klar gemacht hatte, dass er nicht daran interessiert war, sein eigenes Ergebnis aufzuschreiben. Grothen neu interpretiert beide Seiten der Formel , dass Hirzebruch 1953 bewiesen , im Rahmen der morphisms zwischen Sorten in einer Verallgemeinerung führt. In seinem Beweis betrat Grothendieck mit seinem Konzept der Grothendieck-Gruppen Neuland , das zur Entwicklung der K-Theorie führte .

léments de géométrie algébrique

Mit Unterstützung von Jean Dieudonné verfasst , stellt Grothendieck seine Überarbeitung der Grundlagen der algebraischen Geometrie vor. Es ist das wichtigste Grundlagenwerk der modernen algebraischen Geometrie. Der Ansatz in EGA, wie diese Bücher genannt werden, hat das Feld verändert und zu monumentalen Fortschritten geführt.

Séminaire de géométrie algébrique

Diese Seminarnotizen zu Grothendiecks Überarbeitung der Grundlagen der algebraischen Geometrie berichten über die Arbeit am IHÉS ab den 1960er Jahren. SGA 1 stammt aus den Seminaren von 1960–1961, das letzte der Reihe, SGA 7, von 1967 bis 1969. Im Gegensatz zu EGA, die Grundlagen schaffen soll, beschreibt SGA die laufende Forschung, wie sie sich in Grothendiecks Seminar entfaltete; Daher ist es ziemlich schwer zu lesen, da viele der elementareren und grundlegenderen Ergebnisse in die EGA verbannt wurden. Eines der wichtigsten Ergebnisse, die auf den Ergebnissen in SGA aufbauen, ist Pierre Delignes Beweis der letzten der offenen Weil-Vermutungen in den frühen 1970er Jahren. Andere Autoren, die an einem oder mehreren Bänden von SGA mitgearbeitet haben, sind Michel Raynaud , Michael Artin , Jean-Pierre Serre , Jean-Louis Verdier , Pierre Deligne und Nicholas Katz .

Zahlentheorie

Brāhmasphuṭasiddhānta

Brahmaguptas Brāhmasphuṭasiddhānta ist das erste Buch, das Null als Zahl erwähnt, daher gilt Brahmagupta als das erste, das das Konzept der Null formuliert. Auch das heutige System der vier Grundoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) nach dem hindu-arabischen Zahlensystem taucht erstmals in Brahmasphutasiddhanta auf. Es war auch einer der ersten Texte, der konkrete Ideen zu positiven und negativen Zahlen lieferte.

De Fractionibus Continuis Dissertation

Dieses Papier wurde erstmals 1737 vorgestellt und lieferte die erste umfassende Darstellung der Eigenschaften von Kettenbrüchen . Es enthält auch den ersten Beweis dafür, dass die Zahl e irrational ist.

Recherches d'Arithmétique

Entwickelte eine allgemeine Theorie binärer quadratischer Formen , um das allgemeine Problem zu lösen, wann eine ganze Zahl durch die Form darstellbar ist . Dazu gehörte eine Reduktionstheorie für binäre quadratische Formen, in der er bewies, dass jede Form einer bestimmten kanonisch gewählten reduzierten Form entspricht.

Disquisitiones Arithmeticae

Die Disquisitiones Arithmeticae ist ein tiefgründiges und meisterhaftes Buch über die Zahlentheorie, geschrieben vom deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauss und erstmals 1801 veröffentlicht, als Gauss 24 Jahre alt war. In diesem Buch fasst Gauss Ergebnisse der Zahlentheorie zusammen, die von Mathematikern wie Fermat , Euler , Lagrange und Legendre und fügt selbst viele wichtige neue Ergebnisse hinzu. Unter seinen Beiträgen war der erste vollständige bekannte Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik , die ersten beiden veröffentlichten Beweise des Gesetzes der quadratischen Reziprozität , eine eingehende Untersuchung binärer quadratischer Formen , die über Lagranges Arbeit in Recherches d'Arithmétique hinausgeht, ein erster Auftritt von Gauss Summen , Zyklotomie und die Theorie der konstruierbaren Polygone mit einer besonderen Anwendung auf die Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks . Bemerkenswert ist, dass Gauss in Abschnitt V, Artikel 303 der Disquisitiones, seine Berechnungen der Klassenzahlen von imaginären quadratischen Zahlenkörpern zusammenfasst und tatsächlich alle imaginären quadratischen Zahlenfelder der Klassennummern 1, 2 und 3 (bestätigt 1986) als er gefunden hat hatte gemutmaßt . In Abschnitt VII, Artikel 358, bewies Gauß, was als erster nicht-trivialer Fall der Riemannschen Hypothese für Kurven über endlichen Körpern interpretiert werden kann (das Hasse-Weil-Theorem ).

"Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren Erste Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält"

Pionierarbeit in der analytischen Zahlentheorie , die Dirichlet-Zeichen und ihre L-Funktionen einführte , um den Satz von Dirichlet über arithmetische Progressionen zu etablieren . In späteren Veröffentlichungen verwendete Dirichlet diese Werkzeuge, um unter anderem die Klassenzahl für quadratische Formen zu bestimmen.

" Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse "

"Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (oder "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude") ist ein wegweisendes 8-seitiges Papier von Bernhard Riemann, das in der Novemberausgabe 1859 der Monatsberichte der Berliner Akademie veröffentlicht wurde . Obwohl es das einzige von ihm jemals veröffentlichte Papier zur Zahlentheorie ist, enthält es Ideen, die Dutzende von Forschern vom Ende des 19. Jahrhunderts bis heute beeinflusst haben. Das Papier besteht hauptsächlich aus Definitionen, heuristischen Argumenten, Beweisskizzen und der Anwendung leistungsfähiger analytischer Methoden; all dies sind zu wesentlichen Konzepten und Werkzeugen der modernen analytischen Zahlentheorie geworden . Es enthält auch die berühmte Riemannsche Hypothese , eines der wichtigsten offenen Probleme der Mathematik.

Vorlesungen über Zahlentheorie

Vorlesungen über Zahlentheorie ( Vorlesungen über Zahlentheorie ) ist ein Lehrbuch der Zahlentheorie durch schriftliche deutschen Mathematiker PG Lejeune Dirichlet und R. Dedekind und in 1863. Die veröffentlichten Vorlesungen kann als zwischen der klassischen Zahlentheorie von Wasserscheidensehen Fermat , Jacobi und Gauß und die moderne Zahlentheorie von Dedekind, Riemann und Hilbert . Dirichlet erkennt das Konzept der Gruppe , das für die moderne Algebra von zentraler Bedeutung ist,nicht explizit an, aber viele seiner Beweise zeigen ein implizites Verständnis der Gruppentheorie.

Zahlbericht

Viele der Entwicklungen der algebraischen Zahlentheorie des 19. Jahrhunderts wurden vereinheitlicht und zugänglich gemacht. Obwohl von André Weil (der feststellte, dass " mehr als die Hälfte seines berühmten Zahlberichts kaum mehr als eine Darstellung von Kummers zahlentheoretischer Arbeit mit unwesentlichen Verbesserungen ist ") und Emmy Noether kritisiert wurde , war er nach seiner Veröffentlichung viele Jahre lang sehr einflussreich .

Fourier-Analyse in Zahlenkörpern und Heckes Zeta-Funktionen

Im Allgemeinen einfach als Tates Dissertation bezeichnet , ist Tates Princeton- Doktorarbeit unter Emil Artin eine Überarbeitung von Erich Heckes Theorie der Zeta- und L-Funktionen im Sinne der Fourier-Analyse an den Adeles . Die Einführung dieser Methoden in die Zahlentheorie ermöglichte es, die Ergebnisse von Hecke auf allgemeinere L-Funktionen, wie sie sich aus automorphen Formen ergeben, zu formulieren .

" Automorphe Formen auf GL(2) "

Diese Veröffentlichung liefert Beweise für Langlands' Vermutungen, indem sie die klassische Theorie der modularen Formen und ihrer L-Funktionen durch die Einführung der Darstellungstheorie überarbeitet und erweitert .

"La Vermutung de Weil. I."

Bewies die Riemann-Hypothese für Varietäten über endlichen Feldern, wodurch die letzte der offenen Weil-Vermutungen geklärt wurde .

"Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern"

Faltings beweist in dieser Arbeit eine Sammlung wichtiger Ergebnisse, von denen das berühmteste der erste Beweis der Mordell-Vermutung ist (eine Vermutung aus dem Jahr 1922). Andere in dieser Arbeit bewiesene Theoreme umfassen eine Instanz der Tate-Vermutung (die die Homomorphismen zwischen zwei abelschen Varietäten über einen Zahlenkörper mit den Homomorphismen zwischen ihren Tate-Modulen in Beziehung setzt ) und einige Endlichkeitsergebnisse bezüglich abelscher Varietäten über Zahlenkörpern mit bestimmten Eigenschaften.

"Modulare elliptische Kurven und Fermats letzter Satz"

Dieser Artikel fährt fort, einen Spezialfall der Shimura-Taniyama-Vermutung durch das Studium der Deformationstheorie von Galois-Darstellungen zu beweisen . Dies wiederum impliziert den berühmten letzten Satz von Fermat . Die Beweismethode zur Identifizierung eines Deformationsrings mit einer Hecke-Algebra (jetzt als R=T- Theorem bezeichnet) zum Beweis von Modularitäts-Lifting-Theoremen war eine einflussreiche Entwicklung in der algebraischen Zahlentheorie.

Die Geometrie und Kohomologie einiger einfacher Shimura-Sorten

Harris und Taylor liefern den ersten Beweis der lokalen Langlands-Vermutung für GL( n ) . Als Teil des Beweises führt diese Monographie auch eine eingehende Untersuchung der Geometrie und Kohomologie bestimmter Shimura-Varietäten bei Primzahlen schlechter Reduktion durch.

"Le lemme Fondamental pour les Algèbres de Lie"

Ngô Bảo Châu erwies sich als seit langem ungelöstes Problem im klassischen Langlands-Programm, das Methoden des Geometric Langlands-Programms verwendet.

Analyse

Einführung in Analysin infinitorum

Der bedeutende Mathematikhistoriker Carl Boyer hat Eulers Introductio in analysin infinitorum einst als das größte moderne Lehrbuch der Mathematik bezeichnet. Dieses in zwei Bänden veröffentlichte Buch hat es mehr als jedem anderen Werk geschafft, die Analysis als einen Hauptzweig der Mathematik zu etablieren, mit einem Schwerpunkt und Ansatz, der sich von denen in Geometrie und Algebra unterscheidet. Bemerkenswerterweise identifizierte Euler in seinem Buch Funktionen und nicht Kurven als den zentralen Fokus. Logarithmisch, exponentielle, trigonometrische und transzendente Funktionen bedeckt waren, waren wie Expansionen in Teilfraktionen, Auswertungen von ζ (2k) für k eine positive ganze Zahl zwischen 1 und 13, unendliche Reihe und unendliche Produktformeln, weiterhin Fraktionen und Partitionen von ganzen Zahlen. In dieser Arbeit bewies Euler, dass jede rationale Zahl als endlicher Kettenbruch geschrieben werden kann, dass der Kettenbruch einer irrationalen Zahl unendlich ist, und leitete Kettenbruchentwicklungen für e und her . Dieses Werk enthält auch eine Aussage der Eulerschen Formel und eine Aussage des fünfeckigen Zahlensatzes , die er früher entdeckt hatte und für die er 1751 einen Beweis veröffentlichen würde.

Infinitesimalrechnung

Yuktibh

1530 in Indien geschrieben , war dies der erste Calculus-Text der Welt. "Diese Arbeit legte den Grundstein für ein vollständiges System von Fluxionen" und diente als Zusammenfassung der Errungenschaften der Kerala-Schule in Kalkül, Trigonometrie und mathematischer Analyse , von denen die meisten früher vom Mathematiker Madhava aus dem 14. Jahrhundert entdeckt wurden . Es ist möglich, dass dieser Text die spätere Entwicklung der Infinitesimalrechnung in Europa beeinflusst hat. Einige seiner wichtigen Entwicklungen in der Infinitesimalrechnung sind: die Grundideen der Differentiation und Integration , die Ableitung , Differentialgleichungen , Term-für-Term-Integration, numerische Integration mittels unendlicher Reihen, die Beziehung zwischen der Fläche einer Kurve und ihrem Integral und die Mittelwertsatz .

Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illi calculi genus

Leibniz' erste Veröffentlichung zur Differentialrechnung, die die mittlerweile bekannte Notation für Differentiale sowie Regeln zur Berechnung der Ableitungen von Potenzen, Produkten und Quotienten enthält.

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

Die Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ( lateinisch : "mathematische Prinzipien der Naturphilosophie", oft Principia oder kurz Principia Mathematica ) ist ein dreibändiges Werk von Isaac Newton, das am 5. Juli 1687 veröffentlicht wurde. Es enthält vielleicht das einflussreichste wissenschaftliche Buch, das jemals veröffentlicht wurde die Aussage der Newtonschen Bewegungsgesetze, die die Grundlage der klassischen Mechanik sowie seines universellen Gravitationsgesetzes bilden , und leitet die Keplerschen Gesetze für die Bewegung der Planeten ab (die zuerst empirisch gewonnen wurden). Hier wurde die Praxis geboren, die heute so üblich ist, dass wir sie mit der Wissenschaft identifizieren, die Natur zu erklären, indem sie mathematische Axiome postuliert und demonstriert, dass ihre Schlussfolgerung beobachtbare Phänomene sind. Bei der Formulierung seiner physikalischen Theorien verwendete Newton frei seine unveröffentlichten Arbeiten über die Infinitesimalrechnung. Als er Principia zur Veröffentlichung einreichte, entschied sich Newton jedoch, die Mehrheit seiner Beweise als geometrische Argumente umzuformulieren.

Institutiones calculi differentis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum

Institutiones calculi differentis

Eulers Lehrbuch zur Differentialrechnung wurde in zwei Büchern veröffentlicht und präsentierte das Thema im Hinblick auf den Funktionsbegriff, den er 1748 in seiner Introductio in analysin infinitorum eingeführt hatte . Diese Arbeit beginnt mit einer Untersuchung des Kalküls endlicher Differenzen und untersucht gründlich, wie sich Differentiation unter Substitutionen verhält. Ebenfalls enthalten ist eine systematische Untersuchung der Bernoulli-Polynome und der Bernoulli-Zahlen (mit der entsprechenden Benennung), eine Demonstration, wie die Bernoulli-Zahlen mit den Koeffizienten in der Euler-Maclaurin-Formel und den Werten von ζ(2n) zusammenhängen, eine weitere Studie der Eulerschen Konstanten (einschließlich ihres Zusammenhangs mit der Gammafunktion ) und eine Anwendung von Partialbrüchen zur Differenzierung.

Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe

Die 1853 verfasste Arbeit von Riemann über trigonometrische Reihen wurde posthum veröffentlicht. Darin erweiterte er Cauchys Definition des Integrals um die des Riemann-Integrals und ermöglichte die Integration einiger Funktionen mit dichten Teilmengen von Diskontinuitäten auf einem Intervall (was er an einem Beispiel demonstrierte). Er stellte auch den Riemannschen Reihensatz auf , bewies das Riemann-Lebesgue-Lemma für den Fall beschränkter Riemann-integrierbarer Funktionen und entwickelte das Riemann-Lokalisierungsprinzip.

Intégrale, Longueur, Aire

Lebesgues Dissertation , die seine bisherigen Forschungen zu seiner Entwicklung der Maßtheorie und des Lebesgue-Integrals zusammenfasst und erweitert .

Komplexe Analyse

Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse

  • Bernhard Riemann (1851)

Die Dissertation von Riemann führte den Begriff einer Riemann-Fläche , konforme Abbildung , einfache Konnektivität, die Riemann-Kugel , die Laurent-Reihenentwicklung für Funktionen mit Polen und Verzweigungspunkten und das Riemann-Abbildungstheorem ein .

Funktionsanalyse

Théorie des opérations linéaires

  • Stefan Banach (1932; ursprünglich erschienen 1931 in polnischer Sprache unter dem Titel Teorja operacyj .)
  • Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Theorie der linearen Operationen ] (PDF) . Monografie Matematyczne (auf Französisch). 1 . Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901 . Archiviert vom Original (PDF) am 11. Januar 2014 . Abgerufen am 11. Juli 2020 .

Die erste mathematische Monographie zum Thema lineare metrische Räume , die das abstrakte Studium der Funktionsanalyse einer breiteren mathematischen Gemeinschaft zugänglich macht. Das Buch führte die Ideen eines normierten Raums und die Vorstellung eines sogenannten B- Raums , eines vollständig normierten Raums, ein. Die B- Räume werden heute Banach-Räume genannt und sind eines der grundlegenden Studienobjekte in allen Bereichen der modernen mathematischen Analysis. Banach gab auch Beweise für Versionen des offenen Abbildungssatzes , des geschlossenen Graphensatzes und des Hahn-Banach-Satzes .

Produkte Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires

Grothendiecks Dissertation führte den Begriff eines Kernraums , Tensorprodukte von lokal konvexen topologischen Vektorräumen und den Beginn von Grothendiecks Arbeit über Tensorprodukte von Banachräumen ein.

Alexander Grothendieck hat auch ein Lehrbuch über topologische Vektorräume geschrieben :

Sur sures espaces vectoriels topologiques

Fourier-Analyse

Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides

Einführung der Fourier-Analyse , insbesondere der Fourier-Reihe . Der Schlüsselbeitrag bestand darin, nicht einfach trigonometrische Reihen zu verwenden , sondern alle Funktionen durch trigonometrische Reihen zu modellieren :

Die Multiplikation beider Seiten mit und die anschließende Integration von bis ergibt:

Als Fourier 1807 seine Arbeit vorlegte, kam das Komitee (zu dem unter anderem Lagrange , Laplace , Malus und Legendre gehörten) zu dem Schluss: ...die Art und Weise, wie der Autor zu diesen Gleichungen gelangt, ist nicht frei von Schwierigkeiten und [...] seine Analyse, sie zu integrieren, lässt in Bezug auf Allgemeinheit und sogar Strenge noch zu wünschen übrig . Die strenge Festlegung der Fourier-Reihe, die im Detail über ein Jahrhundert dauerte, führte direkt zu einer Reihe von Entwicklungen in der Analyse, insbesondere zur rigorosen Aussage des Integrals über das Dirichlet-Integral und später das Lebesgue-Integral .

Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arrayaire entre des limites données

In seiner Habilitationsschrift über Fourier-Reihen charakterisierte Riemann diese Arbeit von Dirichlet als „ die erste profunde Arbeit zum Thema “. Diese Arbeit lieferte den ersten strengen Beweis der Konvergenz von Fourier-Reihen unter ziemlich allgemeinen Bedingungen (stückweise Stetigkeit und Monotonie) durch die Betrachtung von Partialsummen, die Dirichlet in ein bestimmtes Dirichlet-Integral mit dem heutigen Dirichlet-Kern transformierte . Diese Arbeit führte die nirgendwo stetige Dirichlet-Funktion und eine frühe Version des Riemann-Lebesgue-Lemmas ein .

Über Konvergenz und Wachstum von Partialsummen von Fourierreihen

Hat Lusins ​​Vermutung aufgegeben, dass die Fourier-Entwicklung jeder Funktion fast überall konvergiert .

Geometrie

Siehe auch: Liste der Bücher in Computergeometrie und Liste der Bücher über Polyeder

Baudhayana Sulba Sutra

Um das 8. Jahrhundert v. Chr. geschrieben, ist dies einer der ältesten geometrischen Texte. Es legte die Grundlagen der indischen Mathematik und war einflussreich in Südasien und den umliegenden Regionen und vielleicht sogar in Griechenland . Zu den wichtigen geometrischen Entdeckungen in diesem Text gehören: die früheste Liste der algebraisch entdeckten pythagoräischen Tripel, die früheste Aussage des Satzes des Pythagoras, geometrische Lösungen linearer Gleichungen, mehrere Näherungen von π , die erste Verwendung irrationaler Zahlen und eine genaue Berechnung der Quadratwurzel von 2 , auf bemerkenswerte fünf Dezimalstellen genau. Obwohl dies in erster Linie ein geometrischer Text war, enthielt er auch einige wichtige algebraische Entwicklungen, darunter die früheste Verwendung quadratischer Gleichungen der Formen ax 2 = c und ax 2 + bx = c sowie ganzzahlige Lösungen simultaner diophantischer Gleichungen mit bis zu vier Unbekannten .

Euklids Elemente

Veröffentlichungsdaten: c. 300 v. Chr.

Online-Version: Interaktive Java-Version

Dies wird oft nicht nur als das wichtigste Werk in der Geometrie, sondern als eines der wichtigsten Werke in der Mathematik angesehen. Es enthält viele wichtige Ergebnisse der ebenen und festen Geometrie , der Algebra (Bücher II und V) und der Zahlentheorie (Buch VII, VIII und IX). Mehr als jedes spezifische Ergebnis in der Veröffentlichung scheint die wichtigste Errungenschaft dieser Veröffentlichung die Förderung eines axiomatischen Ansatzes als Mittel zum Nachweis von Ergebnissen zu sein. Euklids Elemente gelten als das erfolgreichste und einflussreichste Lehrbuch, das je geschrieben wurde.

Die neun Kapitel über die mathematische Kunst

  • Unbekannter Autor

Dies war ein chinesisches Mathematikbuch , hauptsächlich geometrisch, das während der Han-Dynastie , vielleicht schon 200 v. Chr. , verfasst wurde . Es blieb über tausend Jahre lang das wichtigste Lehrbuch in China und Ostasien , ähnlich der Position von Euklids Elementen in Europa. Zu seinen Inhalten: Lineare Probleme, die nach dem später im Westen bekannten Prinzip der Falschpositionsregel gelöst werden . Probleme mit mehreren Unbekannten, gelöst durch ein Prinzip ähnlich der Gaußschen Elimination . Probleme mit dem im Westen als Satz des Pythagoras bekannten Prinzip . Die früheste Lösung einer Matrix unter Verwendung einer Methode, die der modernen Methode entspricht.

Die Kegelschnitte

Die Kegelschnitte wurden von Apollonius von Perge, einem griechischen Mathematiker, geschrieben. Seine innovative Methodik und Terminologie, insbesondere auf dem Gebiet der Kegelschnitte , beeinflusste viele spätere Gelehrte, darunter Ptolemäus , Francesco Maurolico , Isaac Newton und René Descartes . Es war Apollonius, der der Ellipse , der Parabel und der Hyperbel die Namen gab, unter denen wir sie kennen.

Surya Siddhanta

  • Unbekannt (400 n. Chr.)

Enthält die Wurzeln der modernen Trigonometrie. Es beschreibt die Theorien, Prinzipien und Methoden der Archäo-Astronomie der alten Hindus. Dieses Siddhanta soll das Wissen sein, das der Sonnengott einem Asura namens Maya gab. Es verwendet zum ersten Mal Sinus (jya), Kosinus (kojya oder "senkrechter Sinus") und inversen Sinus (otkram jya) und enthält auch die früheste Verwendung von Tangens und Sekante. Spätere indische Mathematiker wie Aryabhata nahmen Bezug auf diesen Text, während spätere arabische und lateinische Übersetzungen in Europa und im Nahen Osten sehr einflussreich waren.

Aryabhatiya

Dies war ein sehr einflussreicher Text während des Goldenen Zeitalters der Mathematik in Indien. Der Text war sehr prägnant und wurde daher von späteren Mathematikern in Kommentaren ausgearbeitet. Es leistete bedeutende Beiträge zur Geometrie und Astronomie, einschließlich der Einführung von Sinus/Cosinus, der Bestimmung des ungefähren Wertes von pi und der genauen Berechnung des Erdumfangs.

La Géométrie

La Géométrie wurde veröffentlicht im Jahr 1637 und geschrieben von René Descartes . Das Buch war einflussreich bei der Entwicklung des kartesischen Koordinatensystems und diskutierte speziell die Darstellung von Punkten einer Ebene durch reelle Zahlen ; und die Darstellung von Kurven über Gleichungen .

Grundlagen der Geometrie

Online-Version: Englisch

Publikationsdaten: Hilbert, David (1899). Grundlagen der Geometrie . Teubner-Verlag Leipzig. ISBN 978-1-4020-2777-2.

Hilberts Axiomatisierung der Geometrie, deren Haupteinfluss in seiner bahnbrechenden Herangehensweise an metamathematische Fragen lag, einschließlich der Verwendung von Modellen zum Nachweis der Axiomenunabhängigkeit und der Bedeutung der Feststellung der Konsistenz und Vollständigkeit eines axiomatischen Systems.

Regelmäßige Polytope

Regular Polytopes ist eine umfassende Übersicht über die Geometrie regelmäßiger Polytope , die Verallgemeinerung regelmäßiger Vielecke und regelmäßiger Polyeder auf höhere Dimensionen. Ausgehend von einem Essay mit dem Titel Dimensional Analogy aus dem Jahr 1923 brauchte Coxeter 24 Jahre, um die erste Ausgabe des Buches abzuschließen. Das ursprünglich 1947 geschriebene Buch wurde 1963 und 1973 aktualisiert und neu aufgelegt.

Differentialgeometrie

Recherches sur la courbure des surface

Publikationsdaten: Mémoires de l'académie des sciences de Berlin 16 (1760) S. 119–143; veröffentlicht 1767. ( Volltext und englische Übersetzung im Dartmouth Euler Archiv erhältlich.)

Begründete die Theorie der Flächen und führte die Idee der Hauptkrümmungen ein und legte damit den Grundstein für spätere Entwicklungen in der Differentialgeometrie von Flächen .

Disquisitiones generales circa superficies curvas

Publikationsdaten: "Disquisitiones generales circa superficies curvas" , Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. No. VI (1827), S. 99–146; " General Investigations of Curved Surfaces " (veröffentlicht 1965) Raven Press, New York, übersetzt von AMHiltebeitel und JCMorehead.

Bahnbrechende Arbeit in der Differentialgeometrie , die den Begriff der Gaußschen Krümmung und das berühmte Theorema Egregium von Gauß einführt .

Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen

  • Bernhard Riemann (1854)

Publikationsdaten: "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen" , Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , Bd. 13, 1867. Englische Übersetzung

Riemanns berühmter Habiltationsvortrag, in dem er die Begriffe Mannigfaltigkeit , Riemannsche Metrik und Krümmungstensor einführte .

Leçons sur la théorie génerale des surface et les applications géométriques du calcul infinitésimal

Publikationsdaten: Darboux, Gaston (1887,1889,1896) (1890). Leçons sur la théorie génerale des Oberflächen . Gauthier-Villars. Band I , Band II , Band III , Band IV

Leçons sur la théorie génerale des surface et les applications géométriques du calcul infinitésimal (über die Allgemeine Theorie der Oberflächen und die geometrischen Anwendungen der Infinitesimalrechnung). Eine Abhandlung, die praktisch jeden Aspekt der Differentialgeometrie von Oberflächen des 19. Jahrhunderts abdeckt .

Topologie

Analysesituation

Beschreibung: Poincarés Analysis Situs und seine Compléments à l'Analysis Situs legten die allgemeinen Grundlagen für die algebraische Topologie . In diesen Papieren führte Poincaré die Begriffe Homologie und Fundamentalgruppe ein , lieferte eine frühe Formulierung der Poincaré-Dualität , gab die Euler-Poincaré-Charakteristik für Kettenkomplexe und erwähnte mehrere wichtige Vermutungen, darunter die Poincaré-Vermutung .

L'anneau d'homologie d'une représentation , Struktur de l'anneau d'homologie d'une représentation

Diese beiden Comptes Rendus- Notizen von Leray aus dem Jahr 1946 führten die neuartigen Konzepte der Garben , der Garben- Kohomologie und der Spektralsequenzen ein , die er während seiner Gefangenschaft als Kriegsgefangener entwickelt hatte. Lerays Ankündigungen und Anträge (veröffentlicht in anderen Comptes Rendus-Notizen von 1946) erregten sofort die Aufmerksamkeit anderer Mathematiker. Nachfolgende Klärung, Entwicklung und Verallgemeinerung durch Henri Cartan , Jean-Louis Koszul , Armand Borel , Jean-Pierre Serre und Leray selbst ermöglichten es, diese Konzepte zu verstehen und auf viele andere Bereiche der Mathematik anzuwenden. Dieudonné würde später schreiben, dass diese von Leray geschaffenen Begriffe „ zweifellos auf dem gleichen Niveau in der Geschichte der Mathematik stehen wie die von Poincaré und Brouwer erfundenen Methoden “.

Quelques propriétés globales des variétés differentiables

In dieser Arbeit bewies Thom das Thom-Transversalitätstheorem, führte die Begriffe des orientierten und unorientierten Kobordismus ein und zeigte, dass Kobordismusgruppen als Homotopiegruppen bestimmter Thom-Räume berechnet werden können . Thom charakterisierte den unorientierten Kobordismus-Ring vollständig und erzielte starke Ergebnisse für mehrere Probleme, einschließlich des Steenrod-Problems über die Realisierung von Zyklen.

Kategorientheorie

"Allgemeine Theorie der natürlichen Äquivalenzen"

Der erste Artikel zur Kategorientheorie. Mac Lane schrieb später in Categories for the Working Mathematician, dass er und Eilenberg Kategorien einführten, um Funktoren einzuführen, und sie führten Funktoren ein, um natürliche Äquivalenzen einzuführen. Vor dieser Arbeit wurde "natürlich" in einer informellen und ungenauen Weise verwendet, um Konstruktionen zu bezeichnen, die ohne Entscheidungen getroffen werden konnten. Danach hatte "natürlich" eine genaue Bedeutung, die in den unterschiedlichsten Kontexten vorkam und mächtige und wichtige Konsequenzen hatte.

Kategorien für den arbeitenden Mathematiker

Saunders Mac Lane, einer der Begründer der Kategorientheorie, schrieb diese Darstellung, um Kategorien an die Massen zu bringen. Mac Lane stellt die wichtigen Konzepte in den Vordergrund, die die Kategorientheorie nützlich machen, wie zum Beispiel adjungierte Funktoren und universelle Eigenschaften .

Theorie des höheren Topos

Dieses Buch verfolgt zwei Ziele: eine allgemeine Einführung in die Theorie höherer Kategorien (unter Verwendung des Formalismus der "Quasikategorien" oder "schwacher Kan-Komplexe") und die Anwendung dieser Theorie auf das Studium höherer Versionen von Grothendieck-Topoi. Einige Anwendungen zur klassischen Topologie sind enthalten. (siehe ArXiv.)

Mengenlehre

"Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen"

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Enthält den ersten Beweis, dass die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar ist; enthält auch einen Beweis dafür, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist. (Siehe den ersten Artikel zur Mengenlehre von Georg Cantor .)

Grundzüge der Mengenlehre

1914 erstmals veröffentlicht, war dies die erste umfassende Einführung in die Mengenlehre. Neben der systematischen Behandlung bekannter Ergebnisse der Mengenlehre enthält das Buch auch Kapitel zur Maßtheorie und Topologie, die damals noch als Bestandteil der Mengenlehre galten. Hier präsentiert und entwickelt Hausdorff höchst originelles Material, das später die Grundlage für diese Bereiche werden sollte.

"Die Konsistenz des Auswahlaxioms und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese mit den Axiomen der Mengenlehre"

Gödel beweist die Ergebnisse des Titels. Dabei wird auch die Klasse L der konstruierbaren Mengen eingeführt , die einen großen Einfluss auf die Entwicklung der axiomatischen Mengentheorie hat.

„Die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese“

Cohens bahnbrechende Arbeit bewies die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese und des Auswahlaxioms in Bezug auf die Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie . Um dies zu beweisen, führte Cohen das Konzept des Forcens ein, das zu vielen anderen wichtigen Ergebnissen in der axiomatischen Mengenlehre führte.

Logik

Die Gesetze des Denkens

The Laws of Thought wurde 1854 veröffentlicht und war das erste Buch, das eine mathematische Grundlage für die Logik lieferte. Ihr Ziel war eine vollständige Neudarstellung und Erweiterung der Logik des Aristoteles in der Sprache der Mathematik. Booles Arbeit begründete die Disziplin der algebraischen Logik und wurde später für Claude Shannon von zentraler Bedeutung für die Entwicklung der digitalen Logik.

Begriffsschrift

Der 1879 veröffentlichte Titel Begriffsschrift wird normalerweise mit Konzeptschrift oder Konzeptnotation übersetzt ; der vollständige Titel der es als „Buch identifiziert eine Formel Sprache , nach dem Vorbild der von Arithmetik , des reinen Denkens “. Freges Motivation zur Entwicklung seines formalen logischen Systems war dem Wunsch von Leibniz nach einem Calculus ratiocinator ähnlich . Frege definiert einen logischen Kalkül, um seine Forschungen zu den Grundlagen der Mathematik zu unterstützen . Begriffsschrift ist sowohl der Name des Buches als auch der darin definierte Kalkül. Es war wohl die bedeutendste Veröffentlichung in der Logik seit Aristoteles .

Formelio Mathematico

Das 1895 erstmals veröffentlichte Formulario mathematico war das erste mathematische Buch, das vollständig in einer formalisierten Sprache geschrieben wurde . Es enthielt eine Beschreibung der mathematischen Logik und viele wichtige Theoreme in anderen Zweigen der Mathematik. Viele der im Buch eingeführten Notationen sind heute allgemein gebräuchlich.

Principia Mathematica

Die Principia Mathematica ist ein dreibändiges Werk über die Grundlagen der Mathematik , geschrieben von Bertrand Russell und Alfred North Whitehead und veröffentlicht in den Jahren 1910-1913. Es ist ein Versuch, alle mathematischen Wahrheiten aus einem wohldefinierten Satz von Axiomen und Inferenzregeln in der symbolischen Logik abzuleiten . Es blieb die Frage, ob aus den Axiomen der Principia ein Widerspruch abgeleitet werden kann und ob es eine mathematische Aussage gibt, die im System weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Diese Fragen wurden auf überraschende Weise durch Gödels Unvollständigkeitssatz von 1931 geklärt .

Auf Ordinalzahlen basierende logische Systeme

"Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I"

( Über formal unentscheidbare Aussagen der Principia Mathematica und verwandter Systeme )

Online-Version: Online-Version

In der mathematischen Logik sind Gödels Unvollständigkeitssätze zwei berühmte Sätze, die 1931 von Kurt Gödel bewiesen wurden . Der erste Unvollständigkeitssatz besagt:

Für jedes formale System, das (1) -konsistent ( omega-konsistent ) ist, (2) es einen rekursiv definierbaren Satz von Axiomen und Ableitungsregeln hat und (3) jede rekursive Relation natürlicher Zahlen in ihm definierbar ist, es gibt eine Formel des Systems, die nach der beabsichtigten Interpretation des Systems eine Wahrheit über die natürlichen Zahlen ausdrückt und dennoch kein Satz des Systems ist.

Kombinatorik

"Auf Mengen von ganzen Zahlen, die keine k Elemente in arithmetischer Folge enthalten"

Stellte eine Vermutung von Paul Erdős und Pál Turán (jetzt bekannt als Satz von Szemerédi ) auf, dass, wenn eine Folge von natürlichen Zahlen eine positive obere Dichte hat, sie beliebig lange arithmetische Progressionen enthält. Szemerédis Lösung wurde als "Meisterwerk der Kombinatorik" beschrieben und führte neue Ideen und Werkzeuge in das Feld ein, einschließlich einer schwachen Form des Szemerédi-Regelmäßigkeitslemmas .

Graphentheorie

Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis

Eulers Lösung des Königsberger Brückenproblems in Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis ( Die Lösung eines Problems der Ortsgeometrie ) gilt als erster Satz der Graphentheorie .

"Über die Evolution von Zufallsgraphen"

Bietet eine detaillierte Diskussion von spärlichen Zufallsgraphen , einschließlich der Verteilung von Komponenten, des Auftretens kleiner Teilgraphen und Phasenübergänge.

"Netzwerkflüsse und allgemeine Übereinstimmungen"

Präsentiert den Ford-Fulkerson-Algorithmus zur Lösung des Maximum-Flow-Problems , zusammen mit vielen Ideen zu strömungsbasierten Modellen.

Rechnerische Komplexitätstheorie

Siehe Liste wichtiger Veröffentlichungen in der theoretischen Informatik .

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Siehe Liste wichtiger Veröffentlichungen in der Statistik .

Spieltheorie

"Zur Theorie der Gesellschaftsspiele"

Geht weit über Émile Borels anfängliche Untersuchungen zur strategischen Zwei-Personen-Spieltheorie hinaus, indem er den Minimax-Satz für Zwei-Personen-Nullsummenspiele bewiesen hat .

Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten

Dieses Buch führte zur Untersuchung der modernen Spieltheorie als einem bedeutenden Zweig der Mathematik. Diese Arbeit enthielt die Methode zum Finden optimaler Lösungen für Zwei-Personen-Nullsummenspiele.

"Gleichgewichtspunkte in N-Personen-Spielen"

Nash-Gleichgewicht

Über Zahlen und Spiele

Das Buch besteht aus zwei {0,1|}-Teilen. Der nullte Teil handelt von Zahlen, der erste Teil von Spielen – sowohl die Werte von Spielen als auch einige reale Spiele, die gespielt werden können, wie Nim , Hackenbush , Col und Snort unter den vielen beschriebenen.

Gewinnmöglichkeiten für Ihre mathematischen Spiele

Ein Kompendium mit Informationen über mathematische Spiele . Es wurde erstmals 1982 in zwei Bänden veröffentlicht, von denen sich einer auf die kombinatorische Spieltheorie und surreale Zahlen konzentriert und der andere auf eine Reihe spezifischer Spiele konzentriert.

Fraktale

Wie lang ist die Küste von Großbritannien? Statistische Selbstähnlichkeit und fraktionierte Dimension

Eine Diskussion von selbstähnlichen Kurven mit Bruchdimensionen zwischen 1 und 2. Diese Kurven sind Beispiele für Fraktale, obwohl Mandelbrot diesen Begriff in der Arbeit nicht verwendet, da er ihn erst 1975 prägte. Zeigt Mandelbrots frühes Denken über Fraktale, und ist ein Beispiel für die Verknüpfung mathematischer Objekte mit natürlichen Formen, die ein Thema vieler seiner späteren Arbeiten war.

Numerische Analyse

Optimierung

Methode der Flussmittel

Method of Fluxions war ein Buch von Isaac Newton . Das Buch wurde 1671 fertiggestellt und 1736 veröffentlicht. In diesem Buch beschreibt Newton eine Methode (die Newton-Raphson-Methode ) zum Finden der reellen Nullstellen einer Funktion .

Essai d'une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies

Wichtige frühe Arbeiten zur Variationsrechnung , die auf einigen von Lagranges früheren Untersuchungen sowie denen von Euler aufbauen . Enthält Untersuchungen zur minimalen Oberflächenbestimmung sowie zum ersten Auftreten von Lagrange-Multiplikatoren .

"Математические методы организации и планирования производства"

  • Leonid Kantorowitsch (1939) "[Die mathematische Methode der Produktionsplanung und -organisation]" (auf Russisch).

Kantorowitsch verfasste die erste Arbeit zur Produktionsplanung, die Lineare Programme als Modell verwendete. Für diese Arbeit erhielt er 1975 den Nobelpreis.

"Zerlegungsprinzip für lineare Programme"

Dantzigs gilt als der Vater der linearen Programmierung in der westlichen Welt. Er erfand unabhängig den Simplex-Algorithmus . Dantzig und Wolfe arbeiteten an Dekompositionsalgorithmen für groß angelegte lineare Programme in der Fabrik- und Produktionsplanung.

"Wie gut ist der Simplex-Algorithmus?"

  • Victor Klee und George J. Minty
  • Klee, Viktor ; Minty, George J. (1972). "Wie gut ist der Simplex-Algorithmus?". In Shisha, Oved (Hrsg.). Inequalities III (Proceedings of the Third Symposium on Inequalities an der University of California, Los Angeles, Kalifornien, 1.-9. September 1969, gewidmet dem Andenken an Theodore S. Motzkin) . New York-London: Akademische Presse. S. 159–175. HERR  0332165 .

Klee und Minty gaben ein Beispiel, das zeigt, dass der Simplex-Algorithmus exponentiell viele Schritte benötigen kann, um ein lineares Programm zu lösen .

"Полиномиальный алгоритм в линейном программировании"

Khachiyans Arbeit über die Ellipsoidmethode. Dies war der erste polynomielle Zeitalgorithmus für die lineare Programmierung.

Frühe Handschriften

Dies sind Veröffentlichungen, die für einen Mathematiker heutzutage nicht unbedingt relevant sind, aber dennoch wichtige Veröffentlichungen in der Geschichte der Mathematik sind .

Moskauer mathematischer Papyrus

Dies ist eine der frühesten mathematischen Abhandlungen, die heute noch erhalten ist.

Rhind Mathematischer Papyrus

Einer der ältesten mathematischen Texte aus der zweiten Zwischenzeit des alten Ägypten . Es wurde von dem Schreiber Ahmes (eigentlich Ahmose ) von einem älteren Papyrus des Mittleren Reiches kopiert . Es legte die Grundlagen der ägyptischen Mathematik und beeinflusste später die griechische und hellenistische Mathematik . Neben der Beschreibung, wie man eine Annäherung an π erhält, die nur um weniger als ein Prozent verfehlt, beschreibt es einen der frühesten Versuche zur Quadratur des Kreises und liefert damit überzeugende Beweise gegen die Theorie, dass die Ägypter ihre Pyramiden absichtlich gebaut haben, um verankern Sie den Wert von π in den Proportionen. Auch wenn es eine starke Übertreibung wäre, zu behaupten, dass der Papyrus auch nur rudimentäre Versuche einer analytischen Geometrie darstellt, bediente sich Ahmes einer Art Analogon des Kotangens .

Archimedes Palimpsest

Obwohl die einzigen mathematischen Werkzeuge zur Verfügung seines Autors waren , was wir vielleicht jetzt Gymnasial betrachten Geometrie , nutzte er diese Methoden mit seltener Brillanz, explizit mit infinitesimals Probleme zu lösen , die nun durch Integralrechnung behandelt werden würde. Zu diesen Problemen gehörten der Schwerpunkt einer festen Halbkugel, der Schwerpunkt eines Kegelstumpfes eines kreisförmigen Paraboloids und der Bereich einer Region, die von einer Parabel und einer ihrer Sekanten begrenzt wird. Ausführliche Details der verwendeten Methode finden Sie unter Archimedes' Verwendung von Infinitesimals .

Der Sandrechner

Online-Version: Online-Version

Das erste bekannte (europäische) System der Nummernbenennung , das über die Bedürfnisse des täglichen Lebens hinaus erweitert werden kann.

Lehrbücher

Abstrakte Algebra

" Dummit and Foote ist nach Jacobsons Basic Algebra zum modernen dominanten Lehrbuch der abstrakten Algebra geworden.

Zusammenfassung der reinen Mathematik

Enthält über 6000 mathematische Theoreme, die von George Shoobridge Carr zusammengestellt wurden, um seine Schüler für die Cambridge Mathematical Tripos-Prüfungen zu schulen. Ausführlich von Ramanujan studiert . (erste Hälfte hier)

léments de mathématique

Eines der einflussreichsten Bücher der französischen mathematischen Literatur. Es führt einige der heute üblichen Notationen und Definitionen ein (zum Beispiel das Symbol ∅ oder der Begriff bijektiv). Gekennzeichnet durch ein extremes Maß an Strenge, Formalismus und Allgemeingültigkeit (bis hin zu heftiger Kritik), begann seine Veröffentlichung 1939 und ist bis heute unvollendet.

Arithmetik: oder, The Grounde of Arts

Es wurde 1542 geschrieben und war das erste wirklich populäre Rechenbuch in englischer Sprache.

Cockers Arithmetik

Lehrbuch der Arithmetik, das 1678 von John Hawkins herausgegeben wurde, der behauptete, Manuskripte von Edward Cocker, der 1676 gestorben war, herausgegeben zu haben. Dieses einflussreiche Mathematik-Lehrbuch wurde über 150 Jahre lang verwendet, um in Schulen im Vereinigten Königreich Arithmetik zu lehren.

Der Schulmeisterassistent als Kompendium der praktischen und theoretischen Arithmetik

Ein frühes und beliebtes englisches Arithmetik-Lehrbuch, das im 18. Jahrhundert in Amerika veröffentlicht wurde . Das Buch reichte von den einführenden Themen bis zum Fortgeschrittenen in fünf Abschnitten.

Geometrie

Publikationsdaten: 1892

Das am weitesten verbreitete und einflussreichste Lehrbuch der russischen Mathematik. (Siehe Kisseljow-Seite.)

Ein Kurs in reiner Mathematik

Ein klassisches Lehrbuch zur Einführung in die mathematische Analyse , geschrieben von GH Hardy . Es wurde erstmals 1908 veröffentlicht und durchlief viele Auflagen. Es sollte dazu beitragen, den Mathematikunterricht im Vereinigten Königreich zu reformieren, insbesondere an der University of Cambridge und in Schulen, die Schüler auf das Mathematikstudium in Cambridge vorbereiten. Als solches richtete es sich direkt an Studierende der „Stipendienstufe“ – die besten 10 bis 20 % nach Fähigkeiten. Das Buch enthält viele schwierige Probleme. Der Inhalt umfasst einführende Analysis und die Theorie der unendlichen Reihen .

Moderne Algebra

Das erste einführende Lehrbuch (Graduiertenstufe), das den abstrakten Zugang zur Algebra von Emil Artin und Emmy Noether erläutert. 1931 erstmals in deutscher Sprache im Springer Verlag erschienen. Eine spätere englische Übersetzung wurde 1949 von der Frederick Ungar Publishing Company veröffentlicht .

Algebra

Ein definitiver Einführungstext für die abstrakte Algebra mit einem kategorientheoretischen Ansatz. Sowohl eine rigorose Einführung von den ersten Prinzipien als auch ein einigermaßen umfassender Überblick über das Gebiet.

Infinitesimalrechnung, Bd. 1

Algebraische Geometrie

Der erste umfassende Einführungstext (Absolventenniveau) in die algebraische Geometrie, der die Sprache der Schemata und der Kohomologie verwendet. Es wurde 1977 veröffentlicht, es fehlen Aspekte der Schemasprache, die heute als zentral gelten, wie der Funktor der Punkte .

Naive Mengenlehre

Eine jahrzehntelange Einführung in die nicht sehr naive Mengenlehre. Es wird immer noch von vielen als die beste Einführung in die Mengenlehre für Anfänger angesehen. Während der Titel sagt, dass es naiv ist, was normalerweise ohne Axiome bedeutet, führt das Buch alle Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie ein und gibt korrekte und strenge Definitionen für grundlegende Objekte. Was es von einem "echten" axiomatischen Mengenlehrbuch unterscheidet, ist sein Charakter: Es gibt keine langatmigen Diskussionen über axiomatische Minutien, und es gibt so gut wie nichts über Themen wie große Kardinäle . Stattdessen zielt es darauf ab, für jemanden verständlich zu sein, der noch nie zuvor über Mengenlehre nachgedacht hat, und ist damit erfolgreich.

Kardinal- und Ordnungszahlen

Das nec plus ultra Nachschlagewerk für grundlegende Fakten über Kardinal- und Ordnungszahlen. Wenn Sie eine Frage zur Kardinalität von Mengen haben, die in der alltäglichen Mathematik vorkommen, sollten Sie zuerst in diesem Buch suchen, das erstmals in den frühen 1950er Jahren veröffentlicht wurde, aber auf den Vorträgen des Autors zu diesem Thema in den letzten 40 Jahren basiert.

Mengentheorie: Eine Einführung in Unabhängigkeitsbeweise

Dieses Buch ist nicht wirklich für Anfänger geeignet, aber für Studenten im Aufbaustudium mit minimaler Erfahrung in Mengenlehre und formaler Logik ist es ein wertvolles Werkzeug für den Selbstunterricht, insbesondere in Bezug auf das Erzwingen . Es ist viel leichter zu lesen als ein echtes Nachschlagewerk wie Jech, Mengenlehre . Es mag das beste Lehrbuch sein, um das Forcieren zu lernen, obwohl es den Nachteil hat, dass die Darstellung des Forcings etwas auf der früheren Darstellung von Martins Axiom beruht.

Topologie

Dieser Text, der erstmals um 1935 veröffentlicht wurde, war ein bahnbrechendes "Nachschlage"-Lehrbuch in der Topologie, das bereits viele moderne Konzepte aus der mengentheoretischen Topologie, der homologischen Algebra und der Homotopietheorie enthält.

Allgemeine Topologie

Erstmals 1955 veröffentlicht, für viele Jahre das einzige einführende Lehrbuch für Hochschulabsolventen in den USA, das die Grundlagen der Punktmengen im Gegensatz zur algebraischen Topologie lehrt. Zuvor war das Material, das in vielen Bereichen für ein weiterführendes Studium unerlässlich ist, nur in Bruchstücken aus Texten zu anderen Themen oder Zeitschriftenartikeln verfügbar.

Topologie aus differenzierbarer Sicht

Dieses kurze Buch führt die wichtigsten Konzepte der differentiellen Topologie in Milnors klarem und prägnantem Stil ein. Obwohl das Buch nicht sehr viel behandelt, werden seine Themen auf eine Weise erklärt, die alle Details beleuchtet.

Zahlentheorie, Ein Ansatz durch die Geschichte von Hammurapi bis Legendre

Eine historische Studie zur Zahlentheorie, geschrieben von einem der größten Forscher des 20. Jahrhunderts auf diesem Gebiet. Das Buch umfasst etwa sechsunddreißig Jahrhunderte arithmetischer Arbeit, aber der größte Teil ist einem detaillierten Studium und einer ausführlichen Darstellung der Werke von Fermat, Euler, Lagrange und Legendre gewidmet. Der Autor möchte den Leser in die Werkstatt seiner Untertanen mitnehmen, um ihre Erfolge und Misserfolge zu teilen. Eine seltene Gelegenheit, die historische Entwicklung eines Themas durch den Verstand eines seiner größten Praktiker zu sehen.

Eine Einführung in die Zahlentheorie

Eine Einführung in die Zahlentheorie wurde erstmals 1938 veröffentlicht und ist immer noch im Druck, wobei die letzte Ausgabe die 6. (2008) ist. Es ist wahrscheinlich, dass fast jeder ernsthafte Student und Forscher der Zahlentheorie dieses Buch konsultiert hat und es wahrscheinlich in seinem Bücherregal hat. Es sollte kein Lehrbuch sein, sondern ist eher eine Einführung in eine Vielzahl unterschiedlicher Gebiete der Zahlentheorie, die nun mit ziemlicher Sicherheit in separaten Bänden behandelt werden würden. Der Schreibstil gilt seit langem als vorbildlich, und die Herangehensweise gibt Einblicke in eine Vielzahl von Bereichen, ohne viel mehr als gute Kenntnisse in Algebra, Analysis und komplexen Zahlen zu erfordern.

Grundlagen der Differentialgeometrie

Hodge-Theorie und komplexe algebraische Geometrie I

Hodge-Theorie und komplexe algebraische Geometrie II

Beliebte Schriften

Gödel, Escher, Bach

Gödel, Escher, Bach : an Eternal Golden Braid ist ein mit dem Pulitzer-Preis ausgezeichnetes Buch, das erstmals 1979 von Basic Books veröffentlicht wurde. Es ist ein Buch darüber, wie sich die schöpferischen Leistungen des Logikers Kurt Gödel, des Künstlers MC Escher und des Komponisten Johann Sebastian Bach verweben. Wie der Autor feststellt: "Mir wurde klar, dass Gödel und Escher und Bach für mich nur Schatten waren, die von einer zentralen festen Essenz in verschiedene Richtungen geworfen wurden. Ich habe versucht, das zentrale Objekt zu rekonstruieren und kam zu diesem Buch."

Die Welt der Mathematik

Die Welt der Mathematik wurde speziell entwickelt, um Mathematik für Unerfahrene zugänglicher zu machen. Es umfasst nichttechnische Essays zu jedem Aspekt des riesigen Themas, darunter Artikel von und über zahlreiche bedeutende Mathematiker sowie Literaten, Ökonomen, Biologen und viele andere bedeutende Denker. Umfasst Werke von Archimedes, Galileo, Descartes, Newton, Gregor Mendel, Edmund Halley, Jonathan Swift, John Maynard Keynes, Henri Poincaré, Lewis Carroll, George Boole, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, John von Neumann und vielen anderen. Darüber hinaus geht jedem Aufsatz oder jeder Gruppe von Aufsätzen ein informativer Kommentar des angesehenen Gelehrten James R. Newman voran, der ihre Bedeutung und ihren Kontext in der Geschichte und Entwicklung der Mathematik erläutert. Ursprünglich 1956 veröffentlicht, enthält es nicht viele der spannenden Entdeckungen der späteren Jahre des 20. Jahrhunderts, ist aber als allgemeiner historischer Überblick über wichtige Themen und Anwendungen unerreicht.

Verweise