Lokale Ebenheit - Local flatness

In der Topologie , einem Zweig der Mathematik , ist lokale Ebenheit eine Eigenschaft einer Untermannigfaltigkeit in einer topologischen Mannigfaltigkeit größerer Dimension . In der Kategorie der topologischen Mannigfaltigkeiten spielen lokal flache Untermannigfaltigkeiten eine ähnliche Rolle wie eingebettete Untermannigfaltigkeiten in der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten . Die lokale Ebenheit und die Topologie von Gratnetzwerken sind von Bedeutung bei der Untersuchung von zerknitterten Strukturen mit Bedeutung in der Materialverarbeitung und im Maschinenbau .

Angenommen, eine d- dimensionale Mannigfaltigkeit N ist in eine n- dimensionale Mannigfaltigkeit M eingebettet (wobei d < n ). Wenn wir sagen , N ist lokal flach in x , wenn es eine Nachbarschaft von x , so dass das topologische Paar ist homöomorph zu dem Paar , mit einer Standard Einbeziehung als Teilraum . Das heißt, es gibt einen Homöomorphismus , bei dem das Bild von mit übereinstimmt . ${\displaystyle x\in N,}$${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle (U,U\cap N)}$${\displaystyle (\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{d})}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle U\to\mathbb{R}^{n}}$${\displaystyle U\cap N}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{d}}$

Die obige Definition geht davon aus, dass x kein Grenzpunkt von M ist , falls M eine Grenze hat . Wenn x ein Punkt auf der Grenze von M ist, wird die Definition wie folgt modifiziert. Wir sagen , dass N ist lokal flach an einem Grenzpunkt x von M , wenn es eine Nachbarschaft von x , so daß das topologische Paar mit dem Paar homeomorphic ist , in dem ein Standard Halbraum und ist als Standardunterraum von seiner Grenze eingeschlossen. Genauer gesagt können wir und einstellen . ${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle (U,U\cap N)}$${\displaystyle (\mathbb{R}_{+}^{n},\mathbb{R}^{d})}$${\displaystyle \mathbb{R} _{+}^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb{R}_{+}^{n}=\{y\in\mathbb{R}^{n}\colon y_{n}\geq 0\}}$${\displaystyle\mathbb{R}^{d}=\{y\in\mathbb{R}^{n}\colon y_{d+1}=\cdots=y_{n}=0\}}$

Wir nennen N lokal flach in M, wenn N an jedem Punkt lokal flach ist. Ähnlich wird eine Karte genannt wird lokal flach , selbst wenn es nicht eine Einbettung ist, wenn jedes x in N eine Nachbarschaft hat U , dessen Bild lokal flach in M . ${\displaystyle \chi \colon N\to M}$${\displaystyle \chi (U)}$

Die lokale Ebenheit einer Einbettung impliziert starke Eigenschaften, die nicht von allen Einbettungen geteilt werden. Brown (1962) bewies, dass N mit Kragen versehen ist , wenn d = n − 1 ist; das heißt, es hat eine Umgebung, die zu N × [0,1] homöomorph ist, wobei N selbst N × 1/2 entspricht (wenn N im Inneren von M liegt ) oder N × 0 (wenn N im Rand von liegt M ).

Siehe auch

• Euklidischer Raum
• Ordentliche Unterverteiler

Verweise

• Brown, Morton (1962), Lokal flache Einbettungen topologischer Mannigfaltigkeiten. Annals of Mathematics , Zweite Reihe, Bd. 75 (1962), S. 331–341.
• Mazur, Barry. Über Einbettungen von Kugeln. Bulletin der American Mathematical Society , Bd. 65 (1959), Nr. 2, S. 59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034 .