Mittlere Anomalie - Mean anomaly

Ausgeräumte Fläche pro Zeiteinheit   durch ein Objekt auf einer elliptischen Bahn und  durch ein imaginäres Objekt auf einer Kreisbahn (mit gleicher Umlaufzeit). Beide überstreichen gleiche Flächen in gleichen Zeiten, aber die Schwenkgeschwindigkeit variiert für die elliptische Bahn und ist für die kreisförmige Bahn konstant. Gezeigt werden mittlere Anomalie und wahre Anomalie für zwei Zeiteinheiten. (Beachten Sie, dass der visuellen Einfachheit halber eine nicht überlappende Kreisbahn dargestellt ist, daher wird diese Kreisbahn mit derselben Umlaufperiode bei dieser elliptischen Umlaufbahn nicht maßstabsgetreu dargestellt: Damit der Maßstab für die beiden Umlaufbahnen gleicher Periode stimmt, sind diese Umlaufbahnen muss sich kreuzen.)

In der Himmelsmechanik ist die mittlere Anomalie der Bruchteil einer elliptischen Bahnperiode , der verstrichen ist, seit der umlaufende Körper die Periapsie passiert hat , ausgedrückt als Winkel, der zur Berechnung der Position dieses Körpers im klassischen Zweikörperproblem verwendet werden kann . Es ist der Winkelabstand vom Perizentrum, den ein fiktiver Körper hätte, wenn er sich auf einer Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit in der gleichen Umlaufzeit wie der tatsächliche Körper auf seiner elliptischen Bahn bewegen würde .

Definition

Definiere T als die Zeit, die ein bestimmter Körper benötigt, um eine Umlaufbahn zu vollenden. In der Zeit T , die Radiusvektor Sweeps OUT2 π Radian oder 360º. Die durchschnittliche Sweep-Rate n ist dann

die als mittlere Winkelbewegung des Körpers bezeichnet wird, mit Abmessungen von Bogenmaß pro Zeiteinheit oder Grad pro Zeiteinheit.

Definiere τ als den Zeitpunkt, zu dem sich der Körper im Perizentrum befindet. Aus den obigen Definitionen kann eine neue Größe M , die mittlere Anomalie , definiert werden

was einen Winkelabstand vom Perizentrum zu einem beliebigen Zeitpunkt t angibt . mit Maßen von Bogenmaß oder Grad.

Weil die Steigerungsrate, n , ist ein konstanter Mittelwert, die mittlere Anomalie steigt gleichmäßig (linear) von 0 bis 2 π Radianten bzw. 0 ° bis 360 ° während jeder Umlaufbahn. Sie ist gleich 0 , wenn der Körper an der Perizentrum ist, π Radiant (180º) an dem apocenter und 2 π Radians (360 °) nach einer vollständigen Umdrehung. Wenn die mittlere Anomalie zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt ist, kann sie zu jedem späteren (oder früheren) Zeitpunkt durch einfaches Addieren (oder Subtrahieren) von n⋅δt berechnet werden, wobei δt die kleine Zeitdifferenz darstellt.

Die mittlere Anomalie misst keinen Winkel zwischen physischen Objekten. Es ist einfach ein bequemes einheitliches Maß dafür, wie weit sich ein Körper seit dem Perizentrum um seine Umlaufbahn bewegt hat. Die mittlere Anomalie ist einer von drei Winkelparametern (historisch als "Anomalien" bekannt), die eine Position entlang einer Umlaufbahn definieren, die anderen beiden sind die exzentrische Anomalie und die wahre Anomalie .

Formeln

Die mittlere Anomalie M kann aus der exzentrischen Anomalie E und der Exzentrizität e mit der Kepler-Gleichung berechnet werden :

Mittlere Anomalie wird auch häufig als

wobei M 0 die mittlere Anomalie in der Epoche ist und t 0 die Epoche ist , eine Referenzzeit, auf die sich die Orbitalelemente beziehen, die mit τ , der Zeit des perizentrischen Durchgangs , zusammenfallen kann oder nicht . Die klassische Methode zum Ermitteln der Position eines Objekts auf einer elliptischen Umlaufbahn aus einem Satz von Umlaufbahnelementen besteht darin, die mittlere Anomalie anhand dieser Gleichung zu berechnen und dann die Kepler-Gleichung für die exzentrische Anomalie aufzulösen.

Definieren Sie ϖ als den Längengrad des Perizentrums , den Winkelabstand des Perizentrums von einer Referenzrichtung. Definieren Sie als den mittleren Längengrad , den Winkelabstand des Körpers von derselben Bezugsrichtung, vorausgesetzt, er bewegt sich mit einer gleichmäßigen Winkelbewegung wie bei der mittleren Anomalie. Somit ist die mittlere Anomalie auch

Die mittlere Winkelbewegung kann auch ausgedrückt werden,

wobei μ ein Gravitationsparameter ist, der mit den Massen der Objekte variiert, und a die große Halbachse der Umlaufbahn ist. Die mittlere Anomalie kann dann erweitert werden,

und hier stellt die mittlere Anomalie eine gleichmäßige Winkelbewegung auf einem Kreis mit Radius a dar  .

Die mittlere Anomalie kann als Reihenentwicklung der Exzentrizität e und der wahren Anomalie f ausgedrückt werden  ,

mit

Eine ähnliche Formel gibt die wahre Anomalie direkt in Bezug auf die mittlere Anomalie an:

Eine allgemeine Formulierung der obigen Gleichung kann als Gleichung des Zentrums geschrieben werden  :

Siehe auch

Verweise

Externe Links