Methode der Erschöpfung - Method of exhaustion

Die Methode der Erschöpfung ( lateinisch : methodus erschöpftibus ; französisch : méthode des anciens ) ist eine Methode, die Fläche einer Form zu bestimmen, indem eine Folge von Polygonen in sie geschrieben wird, deren Flächen auf die Fläche der umgebenden Form konvergieren . Wenn die Folge richtig konstruiert ist, wird der Flächenunterschied zwischen dem n- ten Polygon und der umschließenden Form willkürlich klein, wenn n groß wird. Da dieser Unterschied willkürlich klein wird, werden die möglichen Werte für die Fläche der Form systematisch durch die unteren Grenzflächen, die nacheinander von den Folgegliedern festgelegt werden, "ausgeschöpft".

Die Methode der Erschöpfung erforderte typischerweise eine Form des Widerspruchsbeweises , die als reductio ad absurdum bekannt ist . Dies läuft darauf hinaus, eine Fläche einer Region zu finden, indem sie zuerst mit der Fläche einer zweiten Region verglichen wird (die „ausgeschöpft“ werden kann, so dass ihre Fläche der wahren Fläche beliebig nahe kommt). Der Beweis beinhaltet die Annahme, dass die wahre Fläche größer als die zweite Fläche ist, und dann zu beweisen, dass diese Behauptung falsch ist, und dann davon auszugehen, dass sie kleiner als die zweite Fläche ist, und auch zu beweisen, dass diese Behauptung falsch ist.

Geschichte

Gregor von Saint Vincent

Die Idee entstand im späten 5. Jahrhundert v. Chr. mit Antiphon , obwohl nicht ganz klar ist, wie gut er sie verstand. Die Theorie wurde einige Jahrzehnte später von Eudoxus von Knidos rigoros gemacht , der sie zur Berechnung von Flächen und Volumina verwendete. Es wurde später in China von Liu Hui im 3. Jahrhundert n. Chr. neu erfunden , um die Fläche eines Kreises zu finden. Die erste Verwendung des Begriffs erfolgte 1647 durch Gregor von St. Vincent im Opus geometrisch quadraturae circuli et sectionum .

Die Methode der Erschöpfung gilt als Vorläufer der Methoden der Infinitesimalrechnung . Die Entwicklung der analytischen Geometrie und der rigorosen Integralrechnung im 17.-19. Jahrhundert hat die Methode der Erschöpfung subsumiert, so dass sie nicht mehr explizit zur Lösung von Problemen verwendet wird. Ein wichtiger alternativer Ansatz war das Prinzip von Cavalieri , das auch als Methode der Unteilbaren bezeichnet wird, die sich schließlich zum Infinitesimal- Kalkül von Roberval , Torricelli , Wallis , Leibniz und anderen entwickelte.

Euklid

Euklid benutzte die Methode der Erschöpfung, um die folgenden sechs Sätze im 12. Buch seiner Elemente zu beweisen .

Satz 2 : Die Fläche von Kreisen ist proportional zum Quadrat ihrer Durchmesser.

Satz 5 : Die Volumina zweier gleich hoher Tetraeder sind proportional zu den Flächen ihrer dreieckigen Grundflächen.

Satz 10 : Das Volumen eines Kegels ist ein Drittel des Volumens des entsprechenden Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Satz 11 : Das Volumen eines Kegels (oder Zylinders) gleicher Höhe ist proportional zur Grundfläche.

Satz 12: Das Volumen eines Kegels (oder Zylinders), der einem anderen ähnlich ist, ist proportional zur Kubik des Verhältnisses der Durchmesser der Basen.

Satz 18 : Das Volumen einer Kugel ist proportional zur Kubik ihres Durchmessers.

Archimedes

Archimedes benutzte die Erschöpfungsmethode, um die Fläche innerhalb eines Kreises zu berechnen

Archimedes verwendete die Methode der Erschöpfung, um die Fläche innerhalb eines Kreises zu berechnen, indem er den Kreis mit einem Polygon mit einer größeren Fläche und einer größeren Anzahl von Seiten füllte . Der Quotient aus der Fläche dieses Polygons geteilt durch das Quadrat des Kreisradius kann beliebig nahe an π gemacht werden, wenn die Anzahl der Polygonseiten groß wird, was beweist, dass die Fläche innerhalb des Kreises mit dem Radius r πr 2 ist , wobei π definiert ist als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser (C/d).

Er lieferte auch die Grenzen 3 +  10 / 71  <  π  < 3 +  10 / 70 (was einen Bereich von 1 / 497 ergibt ), indem er den Umfang des Kreises mit dem Umfang der eingeschriebenen und umschriebenen 96-seitigen regelmäßigen Polygone vergleicht.

Andere Ergebnisse, die er mit der Methode der Erschöpfung erzielte, waren enthalten

  • Die durch den Schnittpunkt einer Linie und einer Parabel begrenzte Fläche beträgt 4/3 der des Dreiecks mit gleicher Basis und Höhe;
  • Die Fläche einer Ellipse ist proportional zu einem Rechteck mit Seiten gleich seiner Haupt- und Nebenachse;
  • Das Volumen einer Kugel ist viermal so groß wie das eines Kegels mit einer Grundfläche des gleichen Radius und der Höhe dieses Radius;
  • Das Volumen eines Zylinders mit einer Höhe gleich seinem Durchmesser beträgt 3/2 des einer Kugel gleichen Durchmessers;
  • Die durch eine Spiraldrehung und eine Linie begrenzte Fläche beträgt 1/3 des Kreises mit einem Radius gleich der Länge des Liniensegments;
  • Die Anwendung der Erschöpfungsmethode führte auch zur erfolgreichen Auswertung einer unendlichen geometrischen Reihe (erstmals).

Siehe auch

Verweise