Prinzip der minimalen Gesamtenergie - Minimum total potential energy principle

Das Prinzip der minimalen Gesamtenergie ist ein grundlegendes Konzept, das in Physik und Technik verwendet wird . Es schreibt vor, dass sich eine Struktur oder ein Körper bei niedrigen Temperaturen in eine Position verformen oder verschieben muss, die (lokal) die gesamte potentielle Energie minimiert , wobei die verlorene potentielle Energie in kinetische Energie (insbesondere Wärme) umgewandelt wird.

Einige Beispiele

• Ein freies Proton und ein freies Elektron neigen dazu, sich zu verbinden, um den niedrigsten Energiezustand (den Grundzustand ) eines Wasserstoffatoms zu bilden , die stabilste Konfiguration . Dies liegt daran, dass die Energie dieses Zustands 13,6 Elektronenvolt (eV) niedriger ist als wenn die beiden Teilchen durch einen unendlichen Abstand voneinander getrennt sind . Die Dissipation in diesem System nimmt die Form von spontaner Emission von elektromagnetischer Strahlung , die die Erhöhungen Entropie der Umgebung.
• Ein rollender Ball endet stationär am Fuße eines Hügels, dem Punkt minimaler potentieller Energie. Der Grund hierfür ist , dass , wie es nach unten unter dem Einfluß der Walzen Schwerkraft , Reibung durch seine Bewegung überträgt Energie in Form von Wärme der erzeugten Umgebung mit einer damit verbundenen Zunahme der Entropie.
• Ein Protein faltet sich in den Zustand der niedrigsten potentiellen Energie . In diesem Fall erfolgt die Dissipation in Form einer Schwingung von Atomen innerhalb oder neben dem Protein.

Strukturmechanik

Die gesamte potentielle Energie ist die Summe der im deformierten Körper gespeicherten elastischen Dehnungsenergie U und der potentiellen Energie V , die den ausgeübten Kräften zugeordnet ist: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} = \ mathbf {U} + \ mathbf {V}}$

( 1 )

Diese Energie befindet sich an einer stationären Position, wenn eine infinitesimale Abweichung von dieser Position keine Änderung der Energie beinhaltet:

${\ displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ Pi}} = \ delta (\ mathbf {U} + \ mathbf {V}) = 0}$

( 2 )

Das Prinzip der minimalen potentiellen Gesamtenergie kann als Sonderfall des virtuellen Arbeitsprinzips für elastische Systeme abgeleitet werden, die konservativen Kräften ausgesetzt sind .

Die Gleichheit zwischen externer und interner virtueller Arbeit (aufgrund virtueller Verschiebungen) ist:

${\ displaystyle \ int _ {S_ {t}} \ delta \ \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {T} dS + \ int _ {V} \ delta \ \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {f} dV = \ int _ {V} \ delta {\ boldsymbol {\ epsilon}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} dV}$

( 3 )

wo

${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ = Vektor der Verschiebungen

${\ displaystyle \ mathbf {T}}$ = Vektor der verteilten Kräfte, die auf den Teil der Oberfläche wirken ${\ displaystyle S_ {t}}$

${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ = Vektor der Körperkräfte

Im speziellen Fall von elastischen Körpern kann die rechte Seite von ( 3 ) als Änderung der elastischen Verformungsenergie U aufgrund infinitesimaler Variationen realer Verschiebungen angesehen werden. Zusätzlich wird , wenn die äußeren Kräfte sind konservative Kräfte , die linke Seite von ( 3 ) kann als die Änderung in der gesehen werden potentielle Energie Funktion V der Kräfte. Die Funktion V ist definiert als: ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {U}}$

${\ displaystyle \ mathbf {V} = - \ int _ {S_ {t}} \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {T} dS- \ int _ {V} \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {f} dV}$

wobei das Minuszeichen einen Verlust an potentieller Energie impliziert, wenn die Kraft in ihre Richtung verschoben wird. Mit diesen beiden Nebenbedingungen wird ( 3 ):

${\ displaystyle - \ delta \ \ mathbf {V} = \ delta \ \ mathbf {U}}$

Dies führt wie gewünscht zu ( 2 ). Die Variationsform von ( 2 ) wird häufig als Grundlage für die Entwicklung der Finite-Elemente-Methode in der Strukturmechanik verwendet .

Verweise