n -Ellipse - n-ellipse

Beispiele für 3-Ellipsen für drei gegebene Brennpunkte. Der Abstandsverlauf ist nicht linear.

In der Geometrie ist die n- Ellipse eine Verallgemeinerung der Ellipse, die mehr als zwei Brennpunkte erlaubt . n- Ellipsen haben zahlreiche andere Namen, darunter multifokale Ellipse , Polyellipse , Egglipse , k- Ellipse und Tschirnhaus'sche Eikurve (nach Ehrenfried Walther von Tschirnhaus ). Sie wurden erstmals 1846 von James Clerk Maxwell untersucht .

Bei n Brennpunkten ( u _i ,  v _i ) in einer Ebene ist eine n- Ellipse der Ort von Punkten der Ebene, deren Summe der Abstände zu den n Brennpunkten eine Konstante d ist . In Formeln ist dies die Menge

${\displaystyle \left\{(x,y)\in\mathbf{R}^{2}:\sum_{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{ 2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.}$

Die 1-Ellipse ist der Kreis und die 2-Ellipse ist die klassische Ellipse. Beides sind algebraische Kurven vom Grad 2.

Für eine beliebige Anzahl n von Brennpunkten ist die n- Ellipse eine geschlossene , konvexe Kurve . Die Kurve ist glatt, es sei denn, sie geht durch einen Fokus.

Die n- Ellipse ist im Allgemeinen eine Teilmenge der Punkte, die eine bestimmte algebraische Gleichung erfüllen . Wenn n ist ungerade , ist der algebraische Grad der Kurve , während bei n ist auch der Grad ist${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}-{\binom {n}{n/2}}.}$

n- Ellipsen sind Spezialfälle von Spektrahedern .

Siehe auch

• Generalisierter Kegelschnitt

Verweise

Weiterlesen

• PL Kolophonium: „ Über den Bau von Ovalen “
• B. Sturmfels: „ The Geometry of Semidefinite Programming “, S. 9–16.