Multiplikation - Multiplication
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Multiplikation (oft durch das bezeichneten Kreuz - Symbol × , von der Mittellinie Punktoperator ⋅ , durch Nebeneinanderstellung oder auf Computer , von einem Sternchen * ) ist eine der vier elementaren mathematischen Operationen von Arithmetik , mit den andere sind zusätzlich , Subtraktion und Division . Das Ergebnis einer Multiplikation wird als Produkt bezeichnet .
Die Multiplikation ganzer Zahlen kann man sich als wiederholte Addition vorstellen ; das heißt, die Multiplikation zweier Zahlen entspricht der Addition von so vielen Kopien einer von ihnen, dem Multiplikand , wie die Menge der anderen, dem Multiplikator . Beide Zahlen können als Faktoren bezeichnet werden .
Zum Beispiel 4 multipliziert mit 3, oft geschrieben als und gesprochen als "3 mal 4", kann berechnet werden, indem 3 Kopien von 4 addiert werden:
Hier sind 3 (der Multiplikator ) und 4 (der Multiplikand ) die Faktoren und 12 ist das Produkt .
Eine der wichtigsten Eigenschaften der Multiplikation ist die Kommutativgesetz , die in diesem Fall besagt , dass das Hinzufügen von 3 Kopien von 4 als Zugabe von 4 Kopien von 3 das gleiche Ergebnis ergibt:
Somit beeinflusst die Bezeichnung von Multiplikator und Multiplikand das Ergebnis der Multiplikation nicht.
Die Multiplikation ganzer Zahlen (einschließlich negativer Zahlen), rationaler Zahlen (Brüche) und reeller Zahlen wird durch eine systematische Verallgemeinerung dieser Grunddefinition definiert.
Multiplikation kann auch als Zählen von Objekten, die in einem Rechteck angeordnet sind (für ganze Zahlen), oder als Ermitteln der Fläche eines Rechtecks, dessen Seiten eine bestimmte Länge haben , visualisiert werden . Die Fläche eines Rechtecks hängt nicht davon ab, welche Seite zuerst gemessen wird – eine Folge der Kommutativeigenschaft.
Das Produkt zweier Messungen ist eine neue Art der Messung. Wenn Sie beispielsweise die Längen der beiden Seiten eines Rechtecks multiplizieren, ergibt sich dessen Fläche. Solche Produkte sind Gegenstand der Dimensionsanalyse .
Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division . Da zum Beispiel 4 multipliziert mit 3 gleich 12 ist, ergibt 12 geteilt durch 3 gleich 4. Tatsächlich ergibt die Multiplikation mit 3, gefolgt von der Division durch 3, die ursprüngliche Zahl. Die Division einer anderen Zahl als 0 durch sich selbst ergibt 1.
Multiplikation ist auch für andere Zahlentypen wie komplexe Zahlen und abstraktere Konstrukte wie Matrizen definiert . Für einige dieser abstrakteren Konstrukte ist die Reihenfolge, in der die Operanden miteinander multipliziert werden, von Bedeutung. Eine Auflistung der vielen verschiedenen Arten von Produkten, die in der Mathematik verwendet werden, finden Sie in Produkt (mathematik) .
Notation und Terminologie
In der Arithmetik wird Multiplikation oft mit dem Vorzeichen „ “ zwischen den Termen geschrieben (dh in Infixnotation ). Zum Beispiel,
- ("zwei mal drei gleich sechs")
Das Zeichen ist in Unicode bei
U+00D7 × MULTIPLICATION SIGN (HTML ×
· ×
) codiert .
Es gibt andere mathematische Notationen für die Multiplikation:
- Die Multiplikation wird auch durch Punktzeichen bezeichnet, normalerweise ein Punkt in mittlerer Position (seltener Punkt ):
- 5 ⋅ 2 oder 5 . 3
- Die in Unicode als U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR kodierte Mittelpunktnotation ist in den Vereinigten Staaten und anderen Ländern, in denen der Punkt als Dezimalpunkt verwendet wird, Standard . Wenn das Punktoperatorzeichen nicht zugänglich ist, wird das Interpunkt (·) verwendet. Im Vereinigten Königreich und in Irland wird Punkt/Punkt für die Multiplikation und der mittlere Punkt für das Dezimalkomma verwendet, obwohl die Verwendung eines Punkts/Punkts für Dezimalpunkt üblich ist. In anderen Ländern, die ein Komma als Dezimalzeichen verwenden, wird entweder der Punkt oder ein mittlerer Punkt zur Multiplikation verwendet.
- In der Algebra wird die Multiplikation mit Variablen oft als Gegenüberstellung geschrieben (zB xy für x mal y oder 5 x für fünf mal x ), auch implizite Multiplikation genannt . Die Notation kann auch für Größen verwendet werden, die von Klammern umgeben sind (zB 5(2) oder (5)(2) für fünf mal zwei). Diese implizite Verwendung der Multiplikation kann zu Mehrdeutigkeiten führen, wenn die verketteten Variablen zufällig mit dem Namen einer anderen Variablen übereinstimmen, wenn ein Variablenname vor einer Klammer mit einem Funktionsnamen verwechselt werden kann oder wenn die Reihenfolge der Operationen richtig bestimmt wird .
- Bei der Vektormultiplikation wird zwischen Kreuz- und Punktsymbolen unterschieden. Das Kreuzsymbol bezeichnet im Allgemeinen das Bilden eines Kreuzprodukts von zwei Vektoren , was als Ergebnis einen Vektor ergibt, während der Punkt das Bilden des Punktprodukts von zwei Vektoren bezeichnet, was zu einem Skalar führt .
In der Computerprogrammierung ist das Sternchen (wie in 5*2
) immer noch die gebräuchlichste Schreibweise. Dies liegt daran, dass die meisten Computer in der Vergangenheit auf kleine Zeichensätze (wie ASCII und EBCDIC ) beschränkt waren, denen ein Multiplikationszeichen (wie ⋅
oder ×
) fehlte , während das Sternchen auf jeder Tastatur erschien. Diese Verwendung stammt aus der Programmiersprache FORTRAN .
Die zu multiplizierenden Zahlen werden allgemein als „ Faktoren “ bezeichnet. Die zu multiplizierende Zahl ist der "Multiplikand", und die Zahl, mit der sie multipliziert wird, ist der "Multiplikator". Normalerweise steht der Multiplikator an erster Stelle und der Multiplikand an zweiter Stelle; manchmal ist jedoch der erste Faktor der Multiplikand und der zweite der Multiplikator. Da das Ergebnis einer Multiplikation auch nicht von der Reihenfolge der Faktoren abhängt, ist die Unterscheidung zwischen "Multiplikand" und "Multiplikator" nur auf einer sehr elementaren Ebene und in einigen Multiplikationsalgorithmen wie der langen Multiplikation sinnvoll . Daher wird der Begriff „Multiplikand“ in manchen Quellen als Synonym für „Faktor“ angesehen. In der Algebra wird eine Zahl, die der Multiplikator einer Variablen oder eines Ausdrucks ist (zB die 3 in 3 xy 2 ), als Koeffizient bezeichnet .
Das Ergebnis einer Multiplikation heißt Produkt . Ein Produkt von ganzen Zahlen ist ein Vielfaches jedes Faktors. 15 ist beispielsweise das Produkt von 3 und 5 und ist sowohl ein Vielfaches von 3 als auch ein Vielfaches von 5.
Berechnung
Die üblichen Methoden zum Multiplizieren von Zahlen mit Bleistift und Papier erfordern eine Multiplikationstabelle von gespeicherten oder konsultierten Produkten kleiner Zahlen (typischerweise zwei beliebige Zahlen von 0 bis 9), jedoch eine Methode, der Bauernmultiplikationsalgorithmus , dies nicht. Das folgende Beispiel veranschaulicht die "lange Multiplikation" (der "Standardalgorithmus", "Klassenmultiplikation"):
23958233 × 5830 ——————————————— 00000000 ( = 23,958,233 × 0) 71874699 ( = 23,958,233 × 30) 191665864 ( = 23,958,233 × 800) + 119791165 ( = 23,958,233 × 5,000) ——————————————— 139676498390 ( = 139,676,498,390 )
Zahlen mit mehr als ein paar Dezimalstellen von Hand zu multiplizieren ist mühsam und fehleranfällig. Gewöhnliche Logarithmen wurden erfunden, um solche Berechnungen zu vereinfachen, da das Addieren von Logarithmen dem Multiplizieren entspricht. Der Rechenschieber ermöglichte es, Zahlen schnell mit einer Genauigkeit von etwa drei Stellen zu multiplizieren. Ab Anfang des 20. Jahrhunderts haben mechanische Rechenmaschinen , wie der Marchant , die Multiplikation von bis zu 10-stelligen Zahlen automatisiert. Moderne elektronische Computer und Taschenrechner haben die Notwendigkeit einer manuellen Multiplikation stark reduziert.
Historische Algorithmen
Methoden der Vermehrung wurden in den Schriften der alten ägyptischen , griechischen , indischen und chinesischen Zivilisationen dokumentiert .
Der Ishango Knochen auf etwa 18.000 bis 20.000 vor Christus datierte, kann bei Kenntnis der Multiplikation im andeuten Altsteinzeit Ära in Zentralafrika , aber das ist spekulativ.
Ägypter
Die ägyptische Methode der Multiplikation von ganzen Zahlen und Brüchen, die im Ahmes Papyrus dokumentiert ist , bestand aus aufeinanderfolgenden Additionen und Verdoppelungen. Um zum Beispiel das Produkt von 13 und 21 zu finden, musste man 21 dreimal verdoppeln, um 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 zu erhalten . Das vollständige Produkt könnte dann gefunden werden, indem die entsprechenden Terme in der Verdopplungssequenz hinzugefügt werden:
- 13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.
Babylonier
Die Babylonier verwendeten ein sexagesimales Positionszahlensystem , analog zum modernen Dezimalsystem . Somit war die babylonische Multiplikation der modernen Dezimalmultiplikation sehr ähnlich. Aufgrund der relativen Schwierigkeit, sich 60 × 60 verschiedene Produkte zu merken , verwendeten babylonische Mathematiker Einmaleins . Diese Tabellen bestanden aus einer Liste der ersten zwanzig Vielfachen einer bestimmten Hauptzahl n : n , 2 n , ..., 20 n ; gefolgt von den Vielfachen von 10 n : 30 n 40 n und 50 n . Um dann irgendein sexagesimales Produkt zu berechnen, sagen wir 53 n , brauchte man nur 50 n und 3 n aus der Tabelle zu addieren .
Chinesisch
Im mathematischen Text Zhoubi Suanjing , datiert vor 300 vor Christus, und die neun Kapitel über die Mathematische Kunst wurden Multiplikation Berechnungen in Worten ausgeschrieben, obwohl der frühe chinesische Mathematiker beschäftigt Rod Kalkül Einbeziehung Stellenwert Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Die Chinesen verwendeten bereits am Ende der Zeit der Warring States eine dezimale Multiplikationstabelle .
Moderne Methoden
Die moderne Multiplikationsmethode basierend auf dem hindu-arabischen Zahlensystem wurde erstmals von Brahmagupta beschrieben . Brahmagupta gab Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Henry Burchard Fine , damals Professor für Mathematik an der Princeton University , schrieb folgendes:
- Die Inder sind nicht nur die Erfinder des Dezimalstellensystems selbst, sondern auch der meisten Prozesse, die bei der elementaren Berechnung des Systems beteiligt sind. Addition und Subtraktion funktionierten ganz so, wie sie heute ausgeführt werden; Vermehrung bewirkten sie auf vielerlei Weise, darunter auch unsere, aber die Teilung taten sie umständlich.
Diese dezimalen arithmetischen Algorithmen mit Stellenwert wurden im frühen 9. Jahrhundert von Al Khwarizmi in die arabischen Länder eingeführt und im 13. Jahrhundert von Fibonacci in der westlichen Welt populär gemacht .
Rastermethode
Die Rastermethode oder die Kastenmethode wird in Grundschulen in England und Wales und in einigen Gebieten der Vereinigten Staaten verwendet, um zu vermitteln, wie die Multiplikation mit mehreren Ziffern funktioniert. Ein Beispiel für die Multiplikation von 34 mit 13 wäre die Anordnung der Zahlen in einem Raster wie:
30 4 10 300 40 3 90 12
und fügen Sie dann die Einträge hinzu.
Computeralgorithmen
Die klassische Methode der Multiplikation zweier n- stelliger Zahlen erfordert n 2- stellige Multiplikationen. Es wurden Multiplikationsalgorithmen entwickelt, die die Rechenzeit bei der Multiplikation großer Zahlen erheblich verkürzen. Auf der diskreten Fourier-Transformation basierende Verfahren reduzieren die Rechenkomplexität auf 0 ( n log n log log n ) . Vor kurzem wurde der Faktor log log n durch eine Funktion ersetzt, die viel langsamer anwächst, obwohl sie immer noch nicht konstant ist (wie zu hoffen ist).
Im März 2019 legten David Harvey und Joris van der Hoeven einen Artikel vor, in dem ein ganzzahliger Multiplikationsalgorithmus mit einer behaupteten Komplexität von Der Algorithmus, der ebenfalls auf der schnellen Fourier-Transformation basiert, vorgestellt wird, wird als asymptotisch optimal angenommen. Der Algorithmus wird als praktisch nicht brauchbar angesehen, da seine Vorteile nur bei der Multiplikation extrem großer Zahlen (mit mehr als 2 1729 12 Bit) zum Tragen kommen.
Produkte von Messungen
Man kann nur Mengen des gleichen Typs sinnvoll addieren oder subtrahieren, aber Mengen unterschiedlichen Typs lassen sich problemlos multiplizieren oder dividieren. Vier Taschen mit je drei Murmeln kann man sich beispielsweise vorstellen als:
- [4 Beutel] × [3 Murmeln pro Beutel] = 12 Murmeln.
Wenn zwei Messungen miteinander multipliziert werden, ist das Produkt von einem Typ abhängig von den Typen der Messungen. Die allgemeine Theorie wird durch Dimensionsanalyse gegeben . Diese Analyse wird routinemäßig in der Physik angewendet, hat aber auch Anwendungen im Finanzbereich und in anderen Anwendungsbereichen.
Ein gängiges Beispiel in der Physik ist die Tatsache, dass die Multiplikation von Geschwindigkeit mit Zeit Distanz ergibt . Zum Beispiel:
- 50 Kilometer pro Stunde × 3 Stunden = 150 Kilometer.
In diesem Fall heben sich die Stundeneinheiten auf und das Produkt hat nur noch Kilometereinheiten.
Andere Beispiele für die Multiplikation mit Einheiten sind:
- 2,5 Meter × 4,5 Meter = 11,25 Quadratmeter
- 11 Meter/Sekunde × 9 Sekunden = 99 Meter
- 4,5 Einwohner pro Haus × 20 Häuser = 90 Einwohner
Produkt einer Folge
Groß-Pi-Notation
Das Produkt einer Folge von Faktoren kann mit dem Produktsymbol geschrieben werden, das sich vom Großbuchstaben (pi) im griechischen Alphabet ableitet (ähnlich wie der Großbuchstabe (Sigma) im Kontext der Summation verwendet wird ). Unicode-Position U+220F ∏ enthält eine Glyphe zur Kennzeichnung eines solchen Produkts, die sich von U+03A0 unterscheidet Π , der Buchstabe. Die Bedeutung dieser Notation ist gegeben durch:
das ist
Der tiefgestellte Index gibt das Symbol für eine gebundene Variable ( in diesem Fall i ), die als "Multiplikationsindex" bezeichnet wird, zusammen mit seiner unteren Schranke ( 1 ), während der hochgestellte Index (hier 4 ) seine obere Schranke angibt. Die untere und obere Grenze sind Ausdrücke, die ganze Zahlen bezeichnen. Die Faktoren des Produkts werden erhalten, indem der Ausdruck nach dem Produktoperator verwendet wird, wobei aufeinanderfolgende ganzzahlige Werte für den Multiplikationsindex eingesetzt werden, beginnend bei der unteren Grenze und inkrementiert um 1 bis (einschließlich) der oberen Grenze. Zum Beispiel:
Allgemeiner ist die Notation definiert als
wobei m und n ganze Zahlen oder Ausdrücke sind, die zu ganzen Zahlen ausgewertet werden. Im Fall m = n ist der Wert des Produkts der gleiche wie der des einzelnen Faktors x m ; falls m > n ist , ist das Produkt ein leeres Produkt mit dem Wert 1 – unabhängig vom Ausdruck für die Faktoren.
Eigenschaften der Großbuchstaben-Pi-Notation
Per Definition,
Sind alle Faktoren identisch, entspricht ein Produkt von n Faktoren einer Potenzierung :
Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation implizieren
wenn a eine nichtnegative ganze Zahl ist oder wenn alle positive reelle Zahlen sind , und
wenn alle nichtnegative ganze Zahlen sind oder wenn x eine positive reelle Zahl ist.
Unendliche Produkte
Man kann auch Produkte unendlich vieler Terme betrachten; diese werden als unendliche Produkte bezeichnet . Notationell besteht dies darin, n oben durch das Infinity-Symbol ∞ zu ersetzen . Das Produkt einer solchen unendlichen Folge ist definiert als der Grenzwert des Produkts der ersten n Terme, da n unbegrenzt wächst. Das ist,
Auf ähnliche Weise kann man m durch negativ unendlich ersetzen und definieren:
sofern beide Grenzen existieren.
Eigenschaften
Für die reellen und komplexen Zahlen, zu denen beispielsweise natürliche Zahlen , ganze Zahlen und Brüche gehören , hat die Multiplikation bestimmte Eigenschaften:
- Kommutativgesetz
- Die Reihenfolge, in der zwei Zahlen multipliziert werden, spielt keine Rolle:
- Assoziatives Eigentum
- Ausdrücke, die ausschließlich Multiplikation oder Addition beinhalten, sind invariant in Bezug auf die Reihenfolge der Operationen :
- Verteilungseigenschaft
- Gilt bezüglich Multiplikation über Addition. Diese Identität ist von größter Bedeutung bei der Vereinfachung algebraischer Ausdrücke:
- Identitätselement
- Die multiplikative Identität ist 1; alles, was mit 1 multipliziert wird, ist sich selbst. Dieses Merkmal von 1 wird als Identitätseigenschaft bezeichnet :
- Eigenschaft von 0
- Jede mit 0 multiplizierte Zahl ist 0. Dies wird als Nulleigenschaft der Multiplikation bezeichnet:
- Negation
- -1 mal eine beliebige Zahl ist gleich der additiven Umkehrung dieser Zahl.
- wo
- –1 mal –1 ist 1.
- Inverses Element
- Jede Zahl x , außer 0 , hat eine multiplikative Inverse , ist , so dass .
- bestellen Konservierung
- Die Multiplikation mit einer positiven Zahl behält die Reihenfolge bei :
- Für a > 0 , wenn b > c dann ab > ac .
- Multiplikation mit einer negativen Zahl kehrt die Reihenfolge um:
- Für a < 0 , wenn b > c dann ab < ac .
- Die komplexen Zahlen haben keine Ordnung.
Andere mathematische Systeme, die eine Multiplikationsoperation beinhalten, haben möglicherweise nicht alle diese Eigenschaften. Zum Beispiel ist Multiplikation für Matrizen und Quaternionen im Allgemeinen nicht kommutativ .
Axiome
In dem Buch Arithmetices principia, nova methodo exposita hat Giuseppe Peano Axiome für die Arithmetik basierend auf seinen Axiomen für natürliche Zahlen vorgeschlagen. Die Peano-Arithmetik hat zwei Axiome für die Multiplikation:
Hier repräsentiert S ( y ) den Nachfolger von y oder die natürliche Zahl, die auf y folgt . Aus diesen und den anderen Axiomen der Peano-Arithmetik einschließlich der Induktion lassen sich die verschiedenen Eigenschaften wie die Assoziativität beweisen . Zum Beispiel ist S (0), mit 1 bezeichnet, eine multiplikative Identität, weil
Die Axiome für ganze Zahlen definieren sie typischerweise als Äquivalenzklassen von geordneten Paaren natürlicher Zahlen. Das Modell basiert auf der Behandlung von ( x , y ) als äquivalent zu x − y, wenn x und y als ganze Zahlen behandelt werden. Somit sind sowohl (0,1) als auch (1,2) äquivalent zu −1. Das so definierte Multiplikationsaxiom für ganze Zahlen lautet
Die Regel −1 × −1 = 1 lässt sich dann aus
Die Multiplikation wird in ähnlicher Weise auf rationale Zahlen und dann auf reelle Zahlen erweitert .
Multiplikation mit Mengenlehre
Das Produkt von nicht-negativen ganzen Zahlen kann mit der Mengenlehre unter Verwendung von Kardinalzahlen oder den Peano-Axiomen definiert werden . Sehen Sie unten, wie Sie dies auf die Multiplikation beliebiger Ganzzahlen und dann beliebiger rationaler Zahlen erweitern können. Das Produkt reeller Zahlen wird durch Produkte rationaler Zahlen definiert, siehe Konstruktion der reellen Zahlen .
Multiplikation in der Gruppentheorie
Es gibt viele Mengen, die unter der Operation der Multiplikation die Axiome erfüllen, die die Gruppenstruktur definieren . Diese Axiome sind Schließung, Assoziativität und die Einbeziehung eines Identitätselements und Umkehrungen.
Ein einfaches Beispiel ist die Menge der rationalen Zahlen ungleich Null . Hier haben wir Identität 1, im Gegensatz zu Gruppen unter Addition, bei denen die Identität typischerweise 0 ist. Beachten Sie, dass wir bei den rationalen Zahlen null ausschließen müssen, da es bei der Multiplikation keine Umkehrung gibt: Es gibt keine rationale Zahl, die mit . multipliziert werden kann null ergibt 1. In diesem Beispiel haben wir eine abelsche Gruppe , aber das ist nicht immer der Fall.
Um dies zu sehen, betrachten wir die Menge der invertierbaren quadratischen Matrizen einer gegebenen Dimension über einem gegebenen Feld . Hier ist es einfach, Schließung, Assoziativität und Einbeziehung von Identität (der Identitätsmatrix ) und Inversen zu überprüfen . Die Matrixmultiplikation ist jedoch nicht kommutativ, was zeigt, dass diese Gruppe nicht abelsch ist.
Eine weitere bemerkenswerte Tatsache ist, dass die ganzen Zahlen bei der Multiplikation keine Gruppe sind – selbst wenn wir Null ausschließen. Dies ist leicht daran zu erkennen, dass für alle Elemente außer 1 und −1 keine Inverse existiert.
Multiplikation in der Gruppentheorie wird typischerweise entweder durch einen Punkt oder durch Nebeneinanderstellung (das Weglassen eines Operationssymbols zwischen Elementen) notiert. Das Multiplizieren von Element a mit Element b könnte also als a b oder ab notiert werden . Bei Bezug auf eine Gruppe über die Anzeige von Set und Operation wird der Punkt verwendet. Unser erstes Beispiel könnte beispielsweise durch gekennzeichnet sein .
Multiplikation verschiedener Arten von Zahlen
Zahlen können zählen (3 Äpfel), bestellen (der dritte Apfel) oder messen (3,5 Fuß hoch); Da sich die Geschichte der Mathematik vom Zählen mit den Fingern zur Modellierung der Quantenmechanik entwickelt hat, wurde die Multiplikation auf kompliziertere und abstraktere Zahlenarten und auf Dinge verallgemeinert, die keine Zahlen sind (wie Matrizen ) oder nicht wie Zahlen aussehen ( wie Quaternionen ).
- Ganzzahlen
- ist die Summe von N Kopien von M, wenn N und M positive ganze Zahlen sind. Dies ergibt die Anzahl der Dinge in einem Array N breit und M hoch. Die Verallgemeinerung auf negative Zahlen kann erfolgen durch
- und
- Für rationale und reelle Zahlen gelten die gleichen Vorzeichenregeln.
- Rationale Zahlen
- Die Verallgemeinerung auf Brüche erfolgt durch Multiplikation der Zähler bzw. Nenner: . Dies gibt den Flächeninhalt eines Rechtecks hoch und breit und entspricht der Anzahl der Dinge in einem Array, wenn die rationalen Zahlen zufällig ganze Zahlen sind.
- Reale Nummern
- Reelle Zahlen und ihre Produkte lassen sich durch Folgen rationaler Zahlen definieren .
- Komplexe Zahlen
- Komplexe Zahlen unter Berücksichtigung und als geordnete Paare von reellen Zahlen und das Produkt ist . Dies ist das gleiche wie für reelle Zahlen, , wenn die Imaginärteile und Null sind.
- Gleichwertig, bezeichnet als , haben wir
- Weitere Verallgemeinerungen
- Siehe Multiplikation in der Gruppentheorie oben und Multiplikative Gruppe , die zum Beispiel Matrixmultiplikation beinhaltet. Ein sehr allgemeines und abstraktes Konzept der Multiplikation ist die "multiplikativ bezeichnete" (zweite) binäre Operation in einem Ring . Ein Beispiel für einen Ring, der keinem der obigen Zahlensysteme entspricht, ist ein Polynomring (Sie können Polynome addieren und multiplizieren, aber Polynome sind keine Zahlen im üblichen Sinne.)
- Aufteilung
- Oft ist die Division, , dasselbe wie die Multiplikation mit einer Umkehrung, . Die Multiplikation für einige Arten von "Zahlen" kann eine entsprechende Division ohne Umkehrung haben; in einem ganzzahligen Bereich darf x keine Inverse " " haben, kann aber definiert werden. In einem Teilungsring gibt es Inverse, können aber in nichtkommutativen Ringen mehrdeutig sein, da sie nicht mit identisch sein müssen .
Potenzierung
Wenn die Multiplikation wiederholt wird, wird die resultierende Operation als Exponentiation bezeichnet . Zum Beispiel ist das Produkt von drei Faktoren von zwei (2 × 2 × 2) „zwei hochgestellt“ und wird mit 2 3 bezeichnet , einer Zwei mit einer hochgestellten Drei. In diesem Beispiel ist die Zahl zwei die Basis und drei ist der Exponent . Im Allgemeinen gibt der Exponent (oder hochgestellt) an, wie oft die Basis im Ausdruck vorkommt, sodass der Ausdruck
gibt an, dass n Kopien der Basis a miteinander zu multiplizieren sind. Diese Notation kann verwendet werden , wenn die Multiplikation bekannt ist , sein Leistungs assoziativ .
Siehe auch
- Dimensionsanalyse
-
Multiplikationsalgorithmus
- Karatsuba-Algorithmus , für große Zahlen
- Toom-Cook-Multiplikation , für sehr große Zahlen
- Schönhage-Strassen-Algorithmus , für große Zahlen
- Multiplikationstabelle
- Binärmultiplikator , wie Computer multiplizieren
- Multiplikativ invers , reziprok
- Fakultät
- Genaille-Lucas-Herrscher
- Napiers Knochen
- Bauernvermehrung
- Produkt (Mathematik) , für Verallgemeinerungen
- Rechenschieber
Anmerkungen
Verweise
- Boyer, Carl B. (überarbeitet von Merzbach, Uta C. ) (1991). Geschichte der Mathematik . John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.CS1-Wartung: mehrere Namen: Autorenliste ( Link )