n -äre Gruppe - n-ary group

In der Mathematik und insbesondere der universellen Algebra ist der Begriff einer n- ären Gruppe (auch n- Gruppe oder multiäre Gruppe genannt ) eine Verallgemeinerung des Begriffs einer Gruppe auf eine Menge G mit einer n- ären Operation anstelle einer binären Operation. Mit einer n- ären Operation ist jede Abbildung f gemeint : G ⁿ → G von der n- ten kartesischen Potenz von G auf G . Die Axiome für eine n- äre Gruppe sind so definiert, dass sie sich im Fall n = 2 auf die einer Gruppe reduzieren . Die frühesten Arbeiten an diesen Bauwerken wurden 1904 von Kasner und 1928 von Dörnte durchgeführt; die erste systematische Darstellung (so genannter) polyadischer Gruppen wurde 1940 von Emil Leon Post in einem berühmten 143-seitigen Aufsatz in den Transactions of the American Mathematical Society gegeben .

Axiome

Assoziativität

Das am einfachsten zu verallgemeinernde Axiom ist das Assoziativgesetz. Die ternäre Assoziativität ist die polynomielle Identität ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , dh die Gleichheit der drei möglichen Klammern der Zeichenkette abcde, in der drei beliebige aufeinanderfolgende Symbole eingeklammert sind. (Hier versteht sich, dass die Gleichungen für beliebige Wahlen der Elemente a,b,c,d,e in G gelten .) Im Allgemeinen ist n- äre Assoziativität die Gleichheit der n möglichen Klammern einer Zeichenkette bestehend aus n + ( n − 1) = 2 n − 1 verschiedene Symbole mit n aufeinanderfolgenden Symbolen in Klammern. Eine Menge G, die unter einer assoziativen n- ären Operation abgeschlossen ist, heißt n- äre Halbgruppe. Eine Menge G, die unter einer (nicht unbedingt assoziativen) n- ären Operation abgeschlossen ist, heißt n- äres Gruppoid .

Umkehrungen / einzigartige Lösungen

Das inverse Axiom wird wie folgt verallgemeinert: Bei binären Operationen bedeutet die Existenz einer Inversen, dass ax = b eine eindeutige Lösung für x hat , und ebenso hat xa = b eine eindeutige Lösung. Im ternären Fall verallgemeinern wir dies auf abx = c , axb = c und xab = c mit jeweils eindeutigen Lösungen, und der n- äre Fall folgt einem ähnlichen Existenzmuster eindeutiger Lösungen und wir erhalten eine n- äre Quasigruppe.

Definition der n-ären Gruppe

Eine n- äre Gruppe ist eine n- äre Halbgruppe, die auch eine n- äre Quasigruppe ist.

Identität / neutrale Elemente

Im 2-ären Fall, dh für eine gewöhnliche Gruppe, ist die Existenz eines Identitätselements eine Folge der Assoziativität und inversen Axiome, jedoch kann es in n-ären Gruppen für n ≥ 3 null, ein oder viele Identitätselemente geben .

Ein n- äres Gruppoid ( G ,  f ) mit f = ( x ₁ ◦ x ₂ ◦ ⋯ ◦ x _n ) , wobei ( G , ◦) eine Gruppe ist, heißt reduzierbar oder abgeleitet von der Gruppe ( G , ◦). 1928 veröffentlichte Dörnte die ersten Hauptergebnisse: Ein n- äres Gruppoid, das reduzierbar ist, ist eine n- äre Gruppe, jedoch gibt es für alle n  > 2 n- äre Gruppen, die nicht reduzierbar sind. In einigen n- ären Gruppen existiert ein Element e (genannt n- äre Identität oder neutrales Element), so dass jede Kette von n- Elementen, die aus allen e 's besteht, mit Ausnahme einer Stelle, auf das Element an dieser Stelle abgebildet wird . ZB in einer quaternären Gruppe mit der Identität e ist eeae  =  a für jedes a .

Eine n- äre Gruppe, die ein neutrales Element enthält, ist reduzierbar. Somit enthält eine n- äre Gruppe, die nicht reduzierbar ist, solche Elemente nicht. Es gibt n- äre Gruppen mit mehr als einem neutralen Element. Wenn die Menge aller neutralen Elemente einer n- ären Gruppe nicht leer ist, bildet sie eine n- äre Untergruppe.

Einige Autoren schließen eine Identität in die Definition einer n- ären Gruppe ein, aber wie oben erwähnt, sind solche n- ären Operationen nur wiederholte binäre Operationen. Gruppen mit intrinsisch n- ären Operationen haben kein Identitätselement.

Schwächere Axiome

Die Axiome der Assoziativität und eindeutigen Lösungen in der Definition einer n- ären Gruppe sind stärker als sie sein müssen. Unter der Annahme n- ärer Assoziativität genügt es, die Existenz der Lösung von Gleichungen mit der Unbekannten am Anfang oder Ende des Strings oder an einer anderen Stelle als den Enden zu postulieren; zB im 6- stelligen Fall xabcde = f und abcdex = f oder ein Ausdruck wie abxcde = f . Dann kann bewiesen werden, dass die Gleichung an jeder Stelle des Strings eine eindeutige Lösung für x hat . Das Assoziativitätsaxiom kann auch in abgeschwächter Form angegeben werden.

Beispiel

Das Folgende ist ein Beispiel für eine ternäre Gruppe mit drei Elementen, eine von vier solchen Gruppen

${\displaystyle {\begin{matrix}aaa=a&aab=b&aac=c&aba=c&abb=a&abc=b&aca=b&acb=c&acc=a\\baa=b&bab=c&bac=a&bba=a&bbb=b&bbc=c&bca=c&cccb=a&b \caa=c&cab=a&cac=b&cba=b&cbb=c&cbc=a&cca=a&ccb=b&ccc=c\end{matrix}}}$

(n,m)-Gruppe

Das Konzept einer n-ären Gruppe kann weiter verallgemeinert werden auf das einer (n,m)-Gruppe , auch bekannt als vektorwertige Gruppe , die eine Menge G mit einer Abbildung f ist : G ⁿ → G ^m wobei n > n m , unterliegt ähnlichen Axiomen wie für eine n-äre Gruppe, außer dass das Ergebnis der Abbildung ein Wort ist, das aus m Buchstaben anstelle eines einzelnen Buchstabens besteht. Eine (n,1)-Gruppe ist also eine n-äre Gruppe. (n,m)-Gruppen wurden 1983 von G Ĉupona eingeführt.

Siehe auch

• Universelle Algebra

Verweise

Weiterlesen

• SA Rusakov: Einige Anwendungen der n-ären Gruppentheorie, (Russisch), Belaruskaya navuka, Minsk 1998.