n - Körperproblem - n-body problem

In der Physik ist das n- Körper-Problem das Problem der Vorhersage der einzelnen Bewegungen einer Gruppe von Himmelsobjekten, die gravitativ miteinander interagieren . Die Lösung dieses Problems wurde durch den Wunsch motiviert, die Bewegungen von Sonne , Mond , Planeten und sichtbaren Sternen zu verstehen . Im 20. Jahrhundert wurde das Verständnis der Dynamik von Kugelsternhaufen- Sternsystemen zu einem wichtigen n- Körper-Problem. Das n- Körper-Problem in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist aufgrund zusätzlicher Faktoren wie Zeit- und Raumverzerrungen erheblich schwieriger zu lösen.

Das klassische physikalische Problem kann informell wie folgt formuliert werden:

Sagen Sie anhand der quasi-stationären Bahneigenschaften (Momentanposition, Geschwindigkeit und Zeit) einer Gruppe von Himmelskörpern ihre interaktiven Kräfte voraus; und folglich ihre wahren Bahnbewegungen für alle zukünftigen Zeiten vorhersagen.

Das Zweikörperproblem ist vollständig gelöst und wird weiter unten diskutiert, ebenso wie das berühmte eingeschränkte Dreikörperproblem .

Geschichte

Da er drei Bahnpositionen der Umlaufbahn eines Planeten kennt – Positionen, die Sir Isaac Newton vom Astronomen John Flamsteed erhalten hat – konnte Newton eine Gleichung durch einfache analytische Geometrie aufstellen, um die Bewegung eines Planeten vorherzusagen; dh um seine Bahneigenschaften anzugeben: Position, Bahndurchmesser, Periode und Bahngeschwindigkeit. Dabei stellten er und andere innerhalb weniger Jahre fest, dass diese Bewegungsgleichungen manche Bahnen nicht richtig oder sogar sehr gut vorhersagen. Newton erkannte, dass dies daran lag, dass die wechselwirkenden Gravitationskräfte zwischen allen Planeten alle ihre Umlaufbahnen beeinflussten.

Die obige Entdeckung trifft den Kern der Sache, was genau das n- Körper-Problem physikalisch ist: Wie Newton erkannte, reicht es nicht aus, nur die Anfangsposition und -geschwindigkeit oder auch drei Bahnpositionen anzugeben, um die eines Planeten zu bestimmen wahrer Orbit: Auch die wechselwirkenden Gravitationskräfte müssen bekannt sein . So kam das Bewusstsein und der Aufstieg des n- Körper-"Problems" im frühen 17. Jahrhundert. Diese gravitativen Anziehungskräfte entsprechen zwar Newtons Bewegungsgesetzen und seinem Gesetz der universellen Gravitation , aber die vielen multiplen ( n- Körper) Wechselwirkungen haben historisch jede exakte Lösung unhandlich gemacht. Ironischerweise führte diese Übereinstimmung zu einem falschen Ansatz.

Nach Newtons Zeit wurde das n- Körper-Problem historisch nicht korrekt angegeben, da es keinen Bezug zu diesen wechselwirkenden Gravitationskräften enthielt . Newton sagt es nicht direkt, sondern impliziert in seinen Principia, dass das n- Körper-Problem wegen dieser wechselwirkenden Gravitationskräfte unlösbar ist. Newton sagte in seiner Principia, Absatz 21:

Daher findet sich die Anziehungskraft in beiden Körpern. Die Sonne zieht Jupiter und die anderen Planeten an, Jupiter zieht seine Satelliten an und in ähnlicher Weise wirken die Satelliten aufeinander ein. Und obwohl die Aktionen eines jeden Planetenpaares auf den anderen voneinander unterschieden werden können und als zwei Aktionen angesehen werden können, durch die jeder den anderen anzieht, sind sie jedoch, da sie zwischen denselben, zwei Körpern liegen, nicht zwei, sondern eine einfache Operation zwischen zwei Termini. Zwei Körper können durch die Kontraktion eines Seils zwischen ihnen angezogen werden. Die Ursache der Handlung ist zweifach, nämlich die Disposition jedes der beiden Körper; die Wirkung ist ebenfalls zweifach, sofern sie auf zwei Körper wirkt; aber insofern es zwischen zwei Körpern ist, ist es eins und eins ...

Newton schloss über sein drittes Bewegungsgesetz, dass "nach diesem Gesetz alle Körper einander anziehen müssen". Diese letzte Aussage, die die Existenz interaktiver Gravitationskräfte impliziert, ist der Schlüssel.

Wie unten gezeigt, entspricht das Problem auch den nicht-Newtonschen ersten und zweiten Prinzipien von Jean Le Rond D'Alembert und dem nichtlinearen n- Körper-Problemalgorithmus, wobei letzterer eine geschlossene Lösung zur Berechnung dieser interaktiven Kräfte ermöglicht.

Das Problem, die allgemeine Lösung des n- Körper-Problems zu finden, wurde als sehr wichtig und herausfordernd angesehen. Tatsächlich setzte König Oscar II. von Schweden Ende des 19. Jahrhunderts , beraten von Gösta Mittag-Leffler , einen Preis für jeden ein, der die Lösung des Problems finden konnte. Die Ankündigung war ganz konkret:

Versuchen Sie bei einem System beliebig vieler Massenpunkte, die sich nach dem Newtonschen Gesetz anziehen, unter der Annahme, dass niemals zwei Punkte kollidieren, eine Darstellung der Koordinaten jedes Punktes als Reihe in einer Variablen zu finden, die eine bekannte Funktion der Zeit ist und für alle deren Werte die Reihe gleichförmig konvergiert .

Falls das Problem nicht gelöst werden konnte, würde dann jeder andere wichtige Beitrag zur klassischen Mechanik als preiswürdig angesehen. Der Preis wurde Poincaré verliehen , obwohl er das ursprüngliche Problem nicht löste. (Die erste Version seines Beitrags enthielt sogar einen schwerwiegenden Fehler). Die schließlich gedruckte Version enthielt viele wichtige Ideen, die zur Entwicklung der Chaostheorie führten . Das ursprünglich gestellte Problem wurde schließlich von Karl Fritiof Sundman für n = 3 gelöst .

Allgemeine Formulierung

Das n- Körper-Problem betrachtet n Punktmassen m i , i = 1, 2, …, n in einem Inertialsystem im dreidimensionalen Raum 3, die sich unter dem Einfluss gegenseitiger Gravitationsanziehung bewegen. Jede Masse m i hat einen Ortsvektor q i . Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass Masse mal Beschleunigung m i d 2 q i/dt 2gleich der Summe der Kräfte auf die Masse ist. Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass die Gravitationskraft, die auf die Masse m i durch eine einzelne Masse m j ausgeübt wird, gegeben ist durch

wobei G die Gravitationskonstante ist und || q jq i || ist die Größe des Abstands zwischen q i und q j ( Metrik induziert durch die l 2 -Norm ).

Durch Summieren über alle Massen erhält man die n- Körper- Bewegungsgleichungen :

wobei U ist die Eigenpotentialenergie

Den Impuls als p i = m i . definieren d q ich/dt, Hamiltons Bewegungsgleichungen für das n- Körper-Problem werden

wobei die Hamilton-Funktion ist
und T ist die kinetische Energie

Hamiltons Gleichungen zeigen, dass das n- Körper-Problem ein System von 6 n Differentialgleichungen erster Ordnung ist , mit 6 n Anfangsbedingungen als 3 n Anfangspositionskoordinaten und 3 n Anfangsimpulswerten.

Symmetrien im n- Körper-Problem ergeben globale Bewegungsintegrale , die das Problem vereinfachen. Translationssymmetrie des Problems ergibt den Schwerpunkt

Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, so dass C = L 0 t + C 0 , wobei L 0 die Lineargeschwindigkeit und C 0 die Anfangsposition ist. Die Bewegungskonstanten L 0 und C 0 repräsentieren sechs Integrale der Bewegung. Rotationssymmetrie führt dazu, dass der Gesamtdrehimpuls konstant ist
wobei × das Kreuzprodukt ist . Die drei Komponenten des Gesamtdrehimpulses A ergeben drei weitere Konstanten der Bewegung. Die letzte allgemeine Konstante der Bewegung ist durch die Energieerhaltung H gegeben . Daher hat jedes n- Körper-Problem zehn Bewegungsintegrale.

Da T und U sind homogene Funktionen des Grades 2 und -1 haben jeweils die Bewegungsgleichungen einen Skalierungs Invarianz : wenn q i ( t ) eine Lösung ist, so ist λ -2/3 q i ( & lambda; t ) für eine beliebige λ > 0 .

Das Trägheitsmoment eines n -Körpersystems ist gegeben durch

und das Virial ist gegeben durch Q =1/2 di/dt. Dann besagt die Lagrange-Jacobi-Formel , dass

Für Systeme im dynamischen Gleichgewicht ist der Langzeitmittelwert von d 2 ich/dt 2 ist null. Dann ist im Durchschnitt die gesamte kinetische Energie die Hälfte der gesamten potentiellen Energie, T ⟩ =1/2U , ein Beispiel für den Virialsatz für Gravitationssysteme. Wenn M die Gesamtmasse und R eine charakteristische Größe des Systems ist (z. B. der Radius, der die halbe Masse des Systems enthält), dann ist die kritische Zeit für ein System, sich in ein dynamisches Gleichgewicht einzupendeln,

Sonderfälle

Zweikörperproblem

Jede Diskussion planetarischer interaktiver Kräfte hat historisch immer mit dem Zwei-Körper-Problem begonnen . Der Zweck dieses Abschnitts ist es, die wirkliche Komplexität bei der Berechnung von planetarischen Kräften in Beziehung zu setzen. Beachten Sie in diesem Abschnitt auch mehrere Themen, wie Schwerkraft , Schwerpunkt , Keplersche Gesetze usw.; und auch im folgenden Abschnitt ( Dreikörperproblem ) werden auf anderen Wikipedia-Seiten diskutiert. Hier werden diese Themen jedoch aus der Perspektive des n- Körper-Problems diskutiert .

Das Zweikörperproblem ( n = 2 ) wurde von Johann Bernoulli (1667–1748) durch die klassische Theorie (und nicht von Newton) vollständig gelöst, indem er annahm, dass die Hauptpunktmasse feststeht ; dies ist hier skizziert. Betrachten Sie dann die Bewegung von zwei Körpern, sagen wir der Sonne und der Erde, bei feststehender Sonne , dann:

Die Gleichung, die die Bewegung der Masse m 2 relativ zur Masse m 1 beschreibt, wird leicht aus den Unterschieden zwischen diesen beiden Gleichungen erhalten und ergibt nach Aufhebung gemeinsamer Terme:

Woher
  • r = r 2r 1 ist die Vektorposition von m 2 relativ zu m 1 ;
  • α ist die Eulersche Beschleunigungd 2 r/dt 2;
  • η = G ( m 1 + m 2 ) .

Die Gleichung α +η/r 3r = 0 ist die fundamentale Differentialgleichung für das 1734 gelöste Zwei-Körper-Problem von Bernoulli. Beachten Sie, dass für diesen Ansatz zuerst die Kräfte bestimmt werden müssen, dann die Bewegungsgleichung aufgelöst werden. Diese Differentialgleichung hat elliptische oder parabolische oder hyperbolische Lösungen.

Es ist falsch, sich m 1 (die Sonne) bei der Anwendung des Newtonschen Gesetzes der universellen Gravitation als im Raum fixiert vorzustellen, und führt zu falschen Ergebnissen. Der Fixpunkt zweier isolierter gravitativ wechselwirkender Körper ist ihr gegenseitiger Schwerpunkt , und dieses Zweikörperproblem kann exakt gelöst werden, indem man beispielsweise Jacobi-Koordinaten relativ zum Schwerpunkt verwendet.

Dr. Clarence Cleminshaw berechnete die ungefähre Position des Schwerpunkts des Sonnensystems, ein Ergebnis, das hauptsächlich durch die Kombination nur der Massen von Jupiter und Sonne erreicht wurde. Wissenschaftsprogramm in Bezug auf seine Arbeit:

Die Sonne enthält 98 Prozent der Masse des Sonnensystems, wobei die übergeordneten Planeten jenseits des Mars den größten Teil des Rests ausmachen. Im Durchschnitt liegt der Massenschwerpunkt des Sonne-Jupiter-Systems, wenn man die beiden massereichsten Objekte allein betrachtet, 462.000 Meilen vom Sonnenzentrum entfernt, oder etwa 30.000 Meilen über der Sonnenoberfläche! Aber auch andere große Planeten beeinflussen den Massenschwerpunkt des Sonnensystems. 1951 zum Beispiel war der Massenschwerpunkt der Systeme nicht weit vom Sonnenzentrum entfernt, weil Jupiter auf der gegenüberliegenden Seite von Saturn, Uranus und Neptun lag. In den späten 1950er Jahren, als sich alle vier dieser Planeten auf derselben Seite der Sonne befanden, war der Massenschwerpunkt des Systems mehr als 330.000 Meilen von der Sonnenoberfläche entfernt, hat Dr. CH Cleminshaw vom Griffith Observatory in Los Angeles berechnet.

Echte Bewegung im Vergleich zu Keplers scheinbarer Bewegung

Die Sonne wackelt, während sie sich um das galaktische Zentrum dreht und das Sonnensystem und die Erde mit sich zieht. Was der Mathematiker Kepler bei seinen drei berühmten Gleichungen tat, war eine Kurvenanpassung der scheinbaren Bewegungen der Planeten anhand der Daten von Tycho Brahe und nicht eine Kurvenanpassung ihrer wahren Kreisbewegungen um die Sonne (siehe Abbildung). Sowohl Robert Hooke als auch Newton waren sich bewusst, dass Newtons Gesetz der universellen Gravitation nicht für die Kräfte gilt, die mit elliptischen Bahnen verbunden sind. Tatsächlich berücksichtigt Newtons Universalgesetz weder die Umlaufbahn von Merkur, noch das Gravitationsverhalten des Asteroidengürtels oder die Saturnringe . Newton erklärte (in Abschnitt 11 der Principia ), dass der Hauptgrund für das Versäumnis, die Kräfte für elliptische Bahnen vorherzusagen, jedoch darin bestand, dass sein mathematisches Modell auf einen Körper beschränkt war, der auf eine Situation beschränkt war, die in der realen Welt kaum existierte, nämlich die Bewegungen von Körpern, die von einem unbewegten Zentrum angezogen werden. Einige gegenwärtige Lehrbücher der Physik und Astronomie betonen nicht die negative Bedeutung von Newtons Annahme und lehren schließlich, dass sein mathematisches Modell tatsächlich der Realität entspricht. Es versteht sich, dass die obige klassische Zweikörper-Problemlösung eine mathematische Idealisierung ist. Siehe auch Keplers erstes Gesetz der Planetenbewegung .

Drei-Körper-Problem

Dieser Abschnitt bezieht sich auf eine historisch wichtige n- Körper-Problemlösung, nachdem vereinfachende Annahmen getroffen wurden.

In der Vergangenheit war über das n- Körper-Problem für n ≥ 3 nicht viel bekannt . Der Fall n = 3 wurde am meisten untersucht. Viele frühere Versuche, das Dreikörperproblem zu verstehen , waren quantitativ und zielten darauf ab, explizite Lösungen für spezielle Situationen zu finden.

  • 1687 veröffentlichte Isaac Newton in den Principia die ersten Schritte in der Untersuchung des Problems der Bewegungen dreier Körper, die ihrer gegenseitigen Anziehungskraft unterliegen, aber seine Bemühungen führten zu verbalen Beschreibungen und geometrischen Skizzen; siehe insbesondere Buch 1, Proposition 66 und seine Folgerungen (Newton, 1687 und 1999, siehe auch Tisserand, 1894).
  • 1767 Euler gefunden kollineare Bewegungen, in denen drei Körper jegliche Massen proportional entlang einer festen geraden Linie bewegen. Das Eulersche Drei-Körper-Problem ist der Spezialfall, bei dem zwei der Körper im Raum fixiert sind (dies ist nicht zu verwechseln mit dem zirkular eingeschränkten Drei-Körper-Problem , bei dem die beiden massiven Körper eine Kreisbahn beschreiben und nur in ein synodischer Bezugsrahmen).
  • 1772 entdeckte Lagrange zwei Klassen periodischer Lösungen, jede für drei Körper beliebiger Masse. In einer Klasse liegen die Körper auf einer rotierenden Geraden. In der anderen Klasse liegen die Körper an den Ecken eines rotierenden gleichseitigen Dreiecks. In beiden Fällen sind die Pfade der Körper konische Abschnitte. Diese Lösungen führten zur Untersuchung zentraler Konfigurationen , für die = kq für eine Konstante k > 0 ist .
  • Eine umfassende Studie über das System Erde-Mond-Sonne wurde von Charles-Eugène Delaunay durchgeführt , der 1860 und 1867 zwei Bände zu diesem Thema mit jeweils 900 Seiten Länge veröffentlichte. Neben vielen anderen Errungenschaften deutet das Werk bereits auf Chaos hin und demonstriert klar das Problem der sogenannten " kleinen Nenner " in der Störungstheorie .
  • 1917 veröffentlichte Forest Ray Moulton seinen mittlerweile Klassiker An Introduction to Celestial Mechanics (siehe Referenzen) mit seiner Darstellung der eingeschränkten Dreikörper-Problemlösung (siehe Abbildung unten). Nebenbei, siehe Meirovitchs Buch, Seiten 413–414 für seine eingeschränkte Drei-Körper-Problemlösung.
Bewegung von drei Teilchen unter Schwerkraft, die chaotisches Verhalten demonstriert

Moultons Lösung ist möglicherweise einfacher zu visualisieren (und definitiv einfacher zu lösen), wenn man den massereicheren Körper (wie die Sonne ) als stationär im Raum betrachtet und den weniger massereichen Körper (wie Jupiter ) um ihn herum kreist Gleichgewichtspunkte ( Lagrange-Punkte ), die den 60°-Abstand vor und hinter dem weniger massiven Körper fast in seiner Umlaufbahn beibehalten (obwohl in Wirklichkeit keiner der Körper wirklich stationär ist, da sie beide den Massenschwerpunkt des gesamten Systems umkreisen— über den Schwerpunkt). Bei ausreichend kleinem Massenverhältnis der Primärfarben sind diese dreieckigen Gleichgewichtspunkte stabil, so dass (fast) masselose Teilchen um diese Punkte kreisen, wenn sie um die größere Primärwelle (Sonne) kreisen. Die fünf Gleichgewichtspunkte des Kreisproblems werden als Lagrange-Punkte bezeichnet. Siehe Abbildung unten:

Eingeschränktes Drei-Körper-Problem

In der obigen Abbildung des eingeschränkten mathematischen Dreikörperproblems (nach Moulton) befinden sich die Lagrange-Punkte L 4 und L 5 dort, wo sich die Trojanischen Planetoiden aufhielten (siehe Lagrange-Punkt ); m 1 ist die Sonne und m 2 ist Jupiter. L 2 ist ein Punkt innerhalb des Asteroidengürtels. Für dieses Modell muss realisiert werden, dass dieses ganze Sonne-Jupiter-Diagramm um seinen Schwerpunkt rotiert. Die eingeschränkte Drei-Körper-Problemlösung sagte die Trojanischen Planetoiden vorher, bevor sie zum ersten Mal gesehen wurden. Die h- Kreise und geschlossenen Schleifen spiegeln die elektromagnetischen Flüsse wider, die von Sonne und Jupiter ausgehen. Es wird vermutet, dass die beiden h 1 im Gegensatz zu Richard H. Batins Vermutung (siehe Referenzen) Schwerkraftsenken sind, in und wo die Gravitationskräfte null sind, und der Grund, warum die trojanischen Planetoiden dort gefangen sind. Die Gesamtmasse der Planetoiden ist unbekannt.

Das eingeschränkte Dreikörperproblem, das die Masse eines der Körper annimmt , ist vernachlässigbar. Für eine Diskussion des Falles, wo der vernachlässigbare Körper ein Satellit des Körpers geringerer Masse ist, siehe Hill sphere ; für binäre Systeme siehe Roche-Lobe . Spezifische Lösungen für das Drei-Körper-Problem führen zu chaotischen Bewegungen ohne offensichtliche Anzeichen für einen sich wiederholenden Weg.

Das eingeschränkte Problem (sowohl kreisförmig als auch elliptisch) wurde von vielen berühmten Mathematikern und Physikern ausführlich bearbeitet, insbesondere von Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts. Poincarés Arbeit am eingeschränkten Dreikörperproblem war die Grundlage der deterministischen Chaostheorie . Im eingeschränkten Problem gibt es fünf Gleichgewichtspunkte . Drei sind kollinear mit den Massen (im rotierenden Rahmen) und sind instabil. Die verbleibenden zwei befinden sich auf dem dritten Scheitelpunkt beider gleichseitigen Dreiecke, von denen die beiden Körper der erste und der zweite Scheitelpunkt sind.

Vier-Körper-Problem

Inspiriert durch das zirkular eingeschränkte Drei-Körper-Problem kann das Vier-Körper-Problem stark vereinfacht werden, indem man einen kleineren Körper mit einer geringen Masse im Vergleich zu den anderen drei massiven Körpern betrachtet, die wiederum approximiert werden, um Kreisbahnen zu beschreiben. Dies ist als bizirkuläres eingeschränktes Vier-Körper-Problem (auch als bizirkulares Modell bekannt) bekannt und kann in einem NASA-Bericht von Su-Shu Huang bis ins Jahr 1960 zurückverfolgt werden. Diese Formulierung war in der Astrodynamik von großer Bedeutung , hauptsächlich um die Flugbahnen von Raumfahrzeugen im Erde-Mond-System unter Hinzufügung der Anziehungskraft der Sonne zu modellieren. Die frühere Formulierung des bizirkular eingeschränkten Vierkörperproblems kann problematisch sein, wenn andere Systeme als Erde-Mond-Sonne modelliert werden, daher wurde die Formulierung von Negri und Prado verallgemeinert, um den Anwendungsbereich zu erweitern und die Genauigkeit ohne Verlust an Einfachheit zu verbessern.

Planetenproblem

Das Planetenproblem ist das n- Körper-Problem für den Fall, dass eine der Massen viel größer ist als alle anderen. Ein prototypisches Beispiel eines Planeten Problem ist das Sun- Jupiter - Saturn - System, in dem die Masse der Sonne ist etwa 100 - mal größer als die Masse des Jupiter oder Saturn. Eine ungefähre Lösung des Problems besteht darin, es in n − 1 Paare von Stern-Planet- Kepler-Problemen zu zerlegen , wobei die Wechselwirkungen zwischen den Planeten als Störungen behandelt werden. Die perturbative Approximation funktioniert gut, solange es keine Orbitalresonanzen im System gibt, dh keines der Verhältnisse der ungestörten Kepler-Frequenzen eine rationale Zahl ist. Resonanzen treten als kleine Nenner in der Expansion auf.

Die Existenz von Resonanzen und kleinen Nennern führte zu der wichtigen Frage der Stabilität des Planetenproblems: Bleiben Planeten in nahezu kreisförmigen Umlaufbahnen um einen Stern im Laufe der Zeit auf stabilen oder begrenzten Umlaufbahnen? Im Jahr 1963 bewies Vladimir Arnold mit Hilfe der KAM-Theorie eine Art Stabilität des Planetenproblems: Beim Planetenproblem, das auf die Ebene beschränkt ist, existiert ein positives Maß von quasiperiodischen Bahnen. In der KAM-Theorie würden chaotische Planetenbahnen durch quasiperiodische KAM-Tori begrenzt. Arnolds Ergebnis wurde 2004 von Féjoz und Herman zu einem allgemeineren Theorem erweitert.

Zentrale Konfigurationen

Eine zentrale Konfiguration q 1 (0), …, q N (0) ist eine Anfangskonfiguration, bei der alle Teilchen, wenn sie alle mit Nullgeschwindigkeit freigesetzt würden, zum Massenmittelpunkt C kollabieren würden . Eine solche Bewegung wird homothetisch genannt . Zentrale Konfigurationen können auch zu homographischen Bewegungen führen, bei denen sich alle Massen entlang Keplerschen Trajektorien (elliptisch, kreisförmig, parabolisch oder hyperbolisch) bewegen , wobei alle Trajektorien die gleiche Exzentrizität e aufweisen . Für elliptische Trajektorien entspricht e = 1 einer homothetischen Bewegung und e = 0 ergibt eine relative Gleichgewichtsbewegung, bei der die Konfiguration eine Isometrie der Anfangskonfiguration bleibt, als ob die Konfiguration ein starrer Körper wäre. Zentrale Konfigurationen haben eine wichtige Rolle beim Verständnis der gespielt Topologie von invarianten Mannigfaltigkeiten erstellt durch Fixieren der ersten Integrale eines Systems.

n -Körperchoreografie

Lösungen, bei denen sich alle Massen kollisionsfrei auf derselben Kurve bewegen, nennt man Choreographien. Eine Choreographie für n = 3 wurde 1772 von Lagrange entdeckt, bei der drei Körper an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks im rotierenden Rahmen angeordnet sind. Eine Acht Choreographie für n = 3 numerisch durch C. Moore im Jahr 1993 und verallgemeinert und bewiesen durch A. Chenciner und R. Montgomery im Jahr 2000. Seitdem sind viele andere Choreographien wurden gefunden wurde, n ≥ 3 .

Analytische Ansätze

Für jede Lösung des Problems führt nicht nur die Anwendung einer Isometrie oder einer Zeitverschiebung, sondern auch eine Zeitumkehr (anders als bei der Reibung) eine Lösung.

In der physikalischen Literatur über das n- Körper-Problem ( n 3 ) wird manchmal auf die Unmöglichkeit verwiesen , das n- Körper-Problem zu lösen (durch Anwendung des obigen Ansatzes). Allerdings ist bei der Diskussion der 'Unmöglichkeit' einer Lösung Vorsicht geboten, da sich dies nur auf die Methode der ersten Integrale bezieht (vgl. die Sätze von Abel und Galois über die Unmöglichkeit, algebraische Gleichungen ab Grad fünf mittels Formeln zu lösen nur mit Wurzeln).

Leistungsreihenlösung

Eine Möglichkeit, das klassische n- Körper-Problem zu lösen, ist "das n- Körper-Problem der Taylor-Reihe ".

Wir beginnen mit der Definition des Systems der Differentialgleichungen :

Als x i ( t 0 ) undd x i ( t 0 )/dt sind als Anfangsbedingungen gegeben, alle d 2 x ich ( t )/dt 2ist bekannt. Differenzierend 2 x ich ( t )/dt 2 ergibt sich d 3 x i ( t )/dt 3die bei t 0 ebenfalls bekannt ist, und die Taylor-Reihe wird iterativ konstruiert.

Eine verallgemeinerte globale Sundman-Lösung

Um Sundmans Ergebnis für den Fall n > 3 (oder n = 3 und c = 0 ) zu verallgemeinern, muss man sich zwei Hindernissen stellen:

  1. Wie Siegel gezeigt hat, können Kollisionen, an denen mehr als zwei Körper beteiligt sind, analytisch nicht regularisiert werden, daher kann die Regularisierung von Sundman nicht verallgemeinert werden.
  2. Der Aufbau von Singularitäten ist in diesem Fall komplizierter: Es können auch andere Arten von Singularitäten vorkommen (siehe unten ).

Schließlich wurde Sundmans Ergebnis in den 1990er Jahren von Qiudong Wang auf den Fall von n > 3 Körpern verallgemeinert . Da die Struktur der Singularitäten komplizierter ist, musste Wang die Fragen der Singularitäten ganz weglassen. Der zentrale Punkt seines Ansatzes besteht darin, die Gleichungen in geeigneter Weise in ein neues System umzuwandeln, so dass das Existenzintervall für die Lösungen dieses neuen Systems [0,∞) ist .

Singularitäten des n -Körper-Problems

Es kann zwei Arten von Singularitäten des n- Körper-Problems geben:

  • Kollisionen von zwei oder mehr Körpern, für die aber q ( t ) (die Positionen der Körper) endlich bleibt. (In diesem mathematischen Sinne bedeutet eine "Kollision", dass zwei punktförmige Körper identische Positionen im Raum haben.)
  • Singularitäten, bei denen keine Kollision auftritt, aber q ( t ) nicht endlich bleibt. In diesem Szenario divergieren Körper in endlicher Zeit ins Unendliche, während sie gleichzeitig in Richtung Nullabstand tendieren (eine imaginäre Kollision tritt "im Unendlichen" auf).

Letztere werden als Painlevé-Vermutung (keine Kollisionssingularitäten) bezeichnet. Ihre Existenz wurde von Painlevé für n > 3 vermutet (siehe Painlevé-Vermutung ). Beispiele für dieses Verhalten für n = 5 wurden von Xia und ein heuristisches Modell für n = 4 von Gerver konstruiert. Donald G. Saari hat gezeigt, dass für 4 oder weniger Körper der Satz von Anfangsdaten, die zu Singularitäten führen, das Maß Null hat.

Simulation

Während für das klassische (dh nichtrelativistische) Zweikörperproblem und für ausgewählte Konfigurationen mit n > 2 analytische Lösungen zur Verfügung stehen , müssen im Allgemeinen n- Körperprobleme mit numerischen Methoden gelöst bzw. simuliert werden.

Wenige Leichen

Für eine kleine Anzahl von Körpern kann ein n- Körper-Problem mit direkten Methoden , auch Teilchen-Teilchen-Methoden genannt , gelöst werden . Diese Verfahren integrieren numerisch die Differentialgleichungen der Bewegung. Die numerische Integration für dieses Problem kann aus mehreren Gründen eine Herausforderung darstellen. Erstens ist das Gravitationspotential singulär; es geht ins Unendliche, wenn der Abstand zwischen zwei Teilchen gegen Null geht. Das Gravitationspotential kann abgeschwächt werden , um die Singularität in kleinen Abständen zu entfernen:

Zweitens ist das n- Körper-Problem im Allgemeinen für n > 2 chaotisch , was bedeutet, dass selbst kleine Integrationsfehler mit der Zeit exponentiell wachsen können. Drittens kann sich eine Simulation über einen großen Modellzeitraum (zB Millionen von Jahren) erstrecken und numerische Fehler akkumulieren sich mit zunehmender Integrationszeit.

Es gibt eine Reihe von Techniken, um Fehler bei der numerischen Integration zu reduzieren. Lokale Koordinatensysteme werden verwendet, um bei einigen Problemen mit stark unterschiedlichen Maßstäben umzugehen, beispielsweise ein Erde-Mond-Koordinatensystem im Rahmen einer Sonnensystemsimulation. Variationsmethoden und Störungstheorie können ungefähre analytische Trajektorien liefern, auf denen die numerische Integration eine Korrektur sein kann. Die Verwendung eines symplektischen Integrators stellt sicher, dass die Simulation den Hamilton-Gleichungen mit hoher Genauigkeit folgt und insbesondere die Energie erhalten bleibt.

Viele Körper

Direkte Methoden mit numerischer Integration erfordern in der Größenordnung von 1/2n 2 Berechnungen zum Bewerten der potentiellen Energie über alle Teilchenpaare und haben somit eine Zeitkomplexität von O ( n 2 ) . Bei Simulationen mit vielen Partikelnmacht der Faktor O ( n 2 ) groß angelegte Berechnungen besonders zeitaufwendig.

Es wurden eine Reihe von Näherungsverfahren entwickelt, die den Zeitaufwand gegenüber direkten Verfahren reduzieren:

  • Baumcode-Methoden wie eine Barnes-Hut-Simulation sind kollisionsfreie Methoden, die verwendet werden, wenn enge Begegnungen zwischen Paaren nicht wichtig sind und entfernte Teilchenbeiträge nicht mit hoher Genauigkeit berechnet werden müssen. Das Potential einer entfernten Teilchengruppe wird durch eine Multipolentwicklung des Potentials berechnet . Diese Näherung ermöglicht eine Reduzierung der Komplexität auf O ( n log n ) .
  • Schnelle Multipolverfahren machen sich die Tatsache zunutze, dass die multipolexpandierten Kräfte von entfernten Teilchen für nahe beieinander liegende Teilchen ähnlich sind. Es wird behauptet, dass diese weitere Näherung die Komplexität auf O ( n ) reduziert.
  • Partikelnetzverfahren unterteilen den Simulationsraum in ein dreidimensionales Gitter, auf das die Massendichte der Partikel interpoliert wird. Dann wird die Berechnung des Potentials zum Lösen einer Poisson-Gleichung auf dem Gitter, die in O ( n log n ) Zeit unter Verwendung schneller Fourier-Transformationstechniken berechnet werden kann. Durch adaptive Netzverfeinerung oder Mehrgittertechniken kann die Komplexität der Verfahren weiter reduziert werden.
  • P 3 M- und PM-Baum-Methoden sind Hybridmethoden, die die Partikelnetz-Approximation für entfernte Partikel verwenden, aber genauere Methoden für nahe Partikel (innerhalb weniger Rasterintervalle) verwenden. P 3 M steht für Particle-Particle, Particle-Mesh und verwendet direkte Methoden mit abgeschwächten Potentialen im Nahbereich. PM-Baum-Methoden verwenden stattdessen Baumcodes im Nahbereich. Wie bei Partikelnetzmethoden können adaptive Netze die Recheneffizienz erhöhen.
  • Mean-Field- Methoden approximieren das Teilchensystem mit einer zeitabhängigen Boltzmann-Gleichung, die die Massendichte darstellt, die an eine selbstkonsistente Poisson-Gleichung gekoppelt ist, die das Potential darstellt. Es handelt sich um eine Art derNäherung der Hydrodynamik mit
geglätteten Teilchen, die für große Systeme geeignet ist.

Starke Gravitation

In astrophysikalischen Systemen mit starken Gravitationsfeldern, wie denen in der Nähe des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs , müssen n- Körper-Simulationen die Allgemeine Relativitätstheorie berücksichtigen ; solche Simulationen sind die Domäne der numerischen Relativitätstheorie . Die numerische Simulation der Einstein-Feldgleichungen ist äußerst anspruchsvoll und wenn möglich wird ein parametrisierter post-Newtonscher Formalismus (PPN) wie die Einstein-Infeld-Hoffmann-Gleichungen verwendet. Das Zweikörperproblem in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist nur für das Kepler-Problem analytisch lösbar, bei dem eine Masse als viel größer angenommen wird als die andere.

Andere n- Körper-Probleme

Die meisten Arbeiten zum n- Körper-Problem betrafen das Gravitationsproblem. Es gibt jedoch andere Systeme, für die sich n- Körper-Mathematik und Simulationstechniken als nützlich erwiesen haben.

Bei großräumigen elektrostatischen Problemen, wie der Simulation von Proteinen und Zellverbänden in der Strukturbiologie , hat das Coulomb-Potential die gleiche Form wie das Gravitationspotential, außer dass Ladungen positiv oder negativ sein können, was sowohl zu abstoßenden als auch zu anziehenden Kräften führt. Schnelle Coulomb-Löser sind das elektrostatische Gegenstück zu schnellen Multipol-Methodensimulatoren. Diese werden häufig mit periodischen Randbedingungen für die simulierte Region verwendet und Ewald-Summationstechniken werden verwendet, um die Berechnungen zu beschleunigen.

In Statistik und maschinellem Lernen haben einige Modelle Verlustfunktionen ähnlicher Form wie das Gravitationspotential: eine Summe von Kernfunktionen über alle Objektpaare, wobei die Kernfunktion vom Abstand zwischen den Objekten im Parameterraum abhängt. Beispiele für Probleme, die in diese Form passen, sind All-Nearest-Neighbors beim Manifold-Learning , Kernel-Dichte-Schätzung und Kernel-Maschinen . Alternative Optimierungen , die reduzieren O ( n 2 ) Zeit Komplexität O ( n ) wurde, wie entwickelt Dual - Baum - Algorithmen, die Anwendbarkeit auf die Gravitations haben n als auch -body Problem.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

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Externe Links