Newton-Cartan-Theorie - Newton–Cartan theory

Die Newton-Cartan-Theorie (oder geometrisierte Newtonsche Gravitation ) ist eine geometrische Neuformulierung sowie eine Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitation, die zuerst von Élie Cartan und Kurt Friedrichs eingeführt und später von Dautcourt, Dixon, Dombrowski und Horneffer, Ehlers, Havas, entwickelt wurde. Künzle, Lottermoser, Trautman und andere. In dieser Neuformulierung, die strukturellen Ähnlichkeiten zwischen Newtons Theorie und Albert Einstein ‚s allgemeiner Relativitätstheorie sind leicht zu erkennen, und es wird von Cartansche und Friedrichs geben einer strengen Formulierung der Art , in der Newtonsche Schwerkraft gesehen werden kann , verwendet worden , wie eine spezifische Grenze der allgemeinen Relativitätstheorie und von Jürgen Ehlers , um diese Entsprechung auf spezifische Lösungen der allgemeinen Relativitätstheorie auszudehnen .

Klassische Raumzeiten

In der Newton-Cartan-Theorie beginnt man mit einer glatten vierdimensionalen Mannigfaltigkeit und definiert zwei (entartete) Metriken. Eine zeitliche Metrik mit Signatur , mit der Vektoren zeitliche Längen zugewiesen werden, und eine räumliche Metrik mit Signatur . Man verlangt auch, dass diese beiden Metriken eine Transversalitätsbedingung (oder "Orthogonalitätsbedingung") erfüllen . Man definiert also eine klassische Raumzeit als geordnetes Vierfach , wobei und wie beschrieben ein metrikkompatibler kovarianter Ableitungsoperator ist; und die Metriken erfüllen die Orthogonalitätsbedingung. Man könnte sagen, dass eine klassische Raumzeit das Analogon einer relativistischen Raumzeit ist , in der sich eine glatte Lorentzsche Metrik auf der Mannigfaltigkeit befindet . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle t_ {ab}}$${\ displaystyle (1,0,0,0)}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle h ^ {ab}}$${\ displaystyle (0,1,1,1)}$${\ displaystyle h ^ {ab} t_ {bc} = 0}$${\ displaystyle (M, t_ {ab}, h ^ {ab}, \ nabla)}$${\ displaystyle t_ {ab}}$${\ displaystyle h ^ {ab}}$${\ displaystyle \ nabla}$ ${\ displaystyle (M, g_ {ab})}$${\ displaystyle g_ {ab}}$${\ displaystyle M}$

Geometrische Formulierung der Poissonschen Gleichung

In Newtons Gravitationstheorie lautet die Poissonsche Gleichung

${\ displaystyle \ Delta U = 4 \ pi G \ rho \,}$

Wo ist das Gravitationspotential, ist die Gravitationskonstante und ist die Massendichte. Das Prinzip der schwachen Äquivalenz motiviert eine geometrische Version der Bewegungsgleichung für ein Punktteilchen im Potential ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle m_ {t} \, {\ ddot {\ vec {x}}} = - m_ {g} {\ vec {\ nabla}} U}$

wo ist die Trägheitsmasse und die Gravitationsmasse. Da nach dem Prinzip der schwachen Äquivalenz die entsprechende Bewegungsgleichung ${\ displaystyle m_ {t}}$${\ displaystyle m_ {g}}$${\ displaystyle m_ {t} = m_ {g}}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {x}}} = - {\ vec {\ nabla}} U}$

enthält keinen Hinweis mehr auf die Masse des Partikels. Nach der Idee, dass die Lösung der Gleichung dann eine Eigenschaft der Raumkrümmung ist, wird eine Verbindung so konstruiert, dass die geodätische Gleichung entsteht

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} = 0}$

repräsentiert die Bewegungsgleichung eines Punktteilchens im Potential . Die resultierende Verbindung ist ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} = \ gamma ^ {\ lambda \ rho} U _ {, \ rho} \ Psi _ {\ mu} \ Psi _ {\ nu}}$

mit und ( ). Die Verbindung wurde in einem Trägheitssystem aufgebaut, kann jedoch in jedem Trägheitssystem als gültig gezeigt werden, indem die Invarianz von und unter Galilei-Transformationen gezeigt wird. Der Riemannsche Krümmungstensor in Trägheitssystemkoordinaten dieser Verbindung ist dann gegeben durch ${\ displaystyle \ Psi _ {\ mu} = \ delta _ {\ mu} ^ {0}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ nu} = \ delta _ {A} ^ {\ mu} \ delta _ {B} ^ {\ nu} \ delta ^ {AB}}$${\ displaystyle A, B = 1,2,3}$${\ displaystyle \ Psi _ {\ mu}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle R _ {\ kappa \ mu \ nu} ^ {\ lambda} = 2 \ gamma ^ {\ lambda \ sigma} U _ {, \ sigma [\ mu} \ Psi _ {\ nu]} \ Psi _ {\ kappa}}$

wobei die Klammern die antisymmetrische Kombination des Tensors bedeuten . Der Ricci-Tensor ist gegeben durch ${\ displaystyle A _ {[\ mu \ nu]} = {\ frac {1} {2!}} [A _ {\ mu \ nu} -A _ {\ nu \ mu}]}$${\ displaystyle A _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle R _ {\ kappa \ nu} = \ Delta U \ Psi _ {\ kappa} \ Psi _ {\ nu} \,}$

Dies führt zu einer folgenden geometrischen Formulierung der Poisson-Gleichung

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 4 \ pi G \ rho \ Psi _ {\ mu} \ Psi _ {\ nu}}$

Genauer gesagt, wenn die römischen Indizes i und j über den Raumkoordinaten 1, 2, 3 liegen, ist die Verbindung gegeben durch

${\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {i} = U _ {, i}}$

der Riemannsche Krümmungstensor von

${\ displaystyle R_ {0j0} ^ {i} = - R_ {00j} ^ {i} = U _ {, ij}}$

und der Ricci-Tensor und der Ricci-Skalar von

${\ displaystyle R = R_ {00} = \ Delta U}$

wobei alle nicht aufgelisteten Komponenten gleich Null sind.

Beachten Sie, dass für diese Formulierung keine Einführung des Konzepts einer Metrik erforderlich ist: Die Verbindung allein liefert alle physischen Informationen.

Bargmann-Lift

Es wurde gezeigt, dass die vierdimensionale Newton-Cartan-Gravitationstheorie als Kaluza-Klein-Reduktion der fünfdimensionalen Einstein-Schwerkraft entlang einer nullartigen Richtung umformuliert werden kann . Dieses Anheben wird als nützlich für nicht relativistische holographische Modelle angesehen.

Verweise

Literaturverzeichnis

• Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325, doi : 10.24033 / asens.751
• Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1, doi : 10.24033 /asens.753
• Cartan, Élie (1955), Œuvres complètes , III / 1, Gauthier-Villars, S. 659, 799
• Renn, Jürgen; Schemmel, Matthias, Hrsg. (2007), The Genesis of General Relativity , 4 , Springer, S. 1107–1129 (Englische Übersetzung von Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. # 40 Papier)
• Kapitel 1 von Ehlers, Jürgen (1973), "Überblick über die allgemeine Relativitätstheorie", in Israel, Werner (Hrsg.), Relativitätstheorie, Astrophysik und Kosmologie , D. Reidel, S. 1–125, ISBN   90-277-0369-8