Nortons Kuppel - Norton's dome
Nortons Kuppel ist ein Gedankenexperiment , das ein nicht deterministisches System innerhalb der Grenzen der Newtonschen Mechanik aufweist . Es wurde 2003 von John D. Norton entwickelt . Es ist ein besonderer Grenzfall einer allgemeineren Klasse von Beispielen aus dem Jahr 1997 aufgrund von Sanjay Bhat und Dennis Bernstein. Das Kuppelproblem des Norton kann als Problem in der Physik, Mathematik oder Philosophie angesehen werden.
Beschreibung
Das Modell besteht aus einem idealisierten Teilchen, das anfänglich bewegungslos an der Spitze einer durch die Gleichung beschriebenen idealisierten radialsymmetrischen reibungsfreien Kuppel sitzt
wobei h die vertikale Verschiebung von der Oberseite der Kuppel zu einem Punkt auf der Kuppel ist, r der geodätische Abstand von der Spitze der Kuppel zu diesem Punkt ist (mit anderen Worten, eine Radialkoordinate r ist auf der Oberfläche "eingeschrieben"), g ist die Erdbeschleunigung und b ist eine Proportionalitätskonstante.
Von dem zweiten Newtonschen Gesetz ist die Tangens - Komponente der Beschleunigung auf einer Punktmasse reibungsfrei auf der Oberfläche ruht .
Lösungen zu den Bewegungsgleichungen
Norton zeigt, dass es für diese Gleichung zwei Klassen mathematischer Lösungen gibt. Im ersten Fall bleibt das Partikel für immer an der Spitze der Kuppel sitzen. Im zweiten Fall sitzt das Partikel eine Weile an der Spitze der Kuppel und beginnt dann nach einer beliebigen Zeitspanne, die Kuppel in einer beliebigen Richtung nach unten zu rutschen. Die scheinbaren Paradox in diesem zweiten Fall ist , dass diese ohne erkennbaren Grund auftreten scheinen und ohne Radialkraft, die auf sie von einem anderen Unternehmen ausgeübt, scheinbar im Widerspruch sowohl auf physische Intuition und normale intuitive Konzepte von Ursache und Wirkung , aber den Bewegung stimmt immer noch völlig mit der Mathematik der Newtonschen Bewegungsgesetze überein .
Um zu sehen, dass all diese Bewegungsgleichungen physikalisch mögliche Lösungen sind, ist es hilfreich, die Zeitumkehrbarkeit der Newtonschen Mechanik zu verwenden. Es ist möglich, einen Ball so über die Kuppel zu rollen, dass er in endlicher Zeit und ohne Energie den Scheitelpunkt erreicht und dort anhält. Durch Zeitumkehr ist es eine gültige Lösung, wenn der Ball eine Weile oben ruht und dann in eine beliebige Richtung nach unten rollt. Das gleiche Argument, das für die üblichen Arten von Kuppeln (z. B. eine Halbkugel) gilt, schlägt jedoch fehl, da ein Ball, der mit genau der richtigen Energie gestartet wurde, um die Spitze zu erreichen und dort zu bleiben, tatsächlich unendlich viel Zeit in Anspruch nehmen würde.
Vorsätze zum Paradoxon
Während viele Kritikpunkte an Nortons Gedankenexperiment geäußert wurden, wie beispielsweise eine Verletzung des Prinzips der Lipschitz-Kontinuität (die Kraft, die in Newtons zweitem Gesetz erscheint, ist keine Lipschitz-kontinuierliche Funktion der Teilchenbahn - dies ermöglicht die Umgehung des Lokalen Eindeutigkeitssatz für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen) oder unter Verstoß gegen die Prinzipien der physikalischen Symmetrie oder dass er auf andere Weise "unphysisch" ist, gibt es unter seinen Kritikern keinen Konsens darüber, warum sie ihn für ungültig halten.
Unbestimmte Derivate
Eine einfache Kritik am Gedankenexperiment lautet jedoch wie folgt:
Das gesamte Argument hängt vom Verhalten des Partikels an dem Punkt ab , an dem es eine Geschwindigkeit von Null hat. Die traditionelle Newtonsche Mechanik würde sagen, dass die Position des Teilchens infinitesimal wäre
- ,
für einige kurze Zeit , aber da die zweite Ableitung der Oberfläche zu diesem Zeitpunkt nicht existiert, ist die Kraft unbestimmt. Es ist daher völlig sinnvoll, dass auch die infinitesimale Bewegung des Objekts unbestimmt ist.
