Numerische Apertur - Numerical aperture

Die numerische Apertur in Bezug auf einen Punkt P hängt vom Halbwinkel θ ₁ des maximalen Lichtkegels, der in die Linse eintreten oder aus ihr austreten kann, und vom Umgebungsindex der Brechung ab. Als ein Bleistift von Licht durch eine flache Ebene von Glas geht, um seine Halbwinkeländerungen & thgr; ₂ . Aufgrund des Snellschen Gesetzes bleibt die numerische Apertur gleich:
${\ displaystyle {\ text {NA}} = n_ {1} \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \ sin \ theta _ {2}.}$

In der Optik ist die numerische Apertur ( NA ) eines optischen Systems eine dimensionslose Zahl , die den Winkelbereich charakterisiert, über den das System Licht aufnehmen oder emittieren kann. Durch die Einbeziehung des Brechungsindex in seine Definition hat NA die Eigenschaft, dass er für einen Strahl beim Übergang von einem Material zum anderen konstant ist, sofern an der Grenzfläche keine Brechkraft vorhanden ist . Die genaue Definition des Begriffs variiert geringfügig zwischen verschiedenen Bereichen der Optik. Die numerische Apertur wird üblicherweise in der Mikroskopie verwendet , um den Akzeptanzkegel eines Objektivs (und damit seine Lichtsammelfähigkeit und -auflösung ) zu beschreiben, und in der Faseroptik , in der der Winkelbereich beschrieben wird, innerhalb dessen Licht auf die Faser einfällt entlang übertragen werden.

Allgemeine Optik

Einfaches Strahlendiagramm mit typischen Haupt- und Randstrahlen

In den meisten Bereichen der Optik und insbesondere in der Mikroskopie wird die numerische Apertur eines optischen Systems wie einer Objektivlinse durch definiert

${\ displaystyle \ mathrm {NA} = n \ sin \ theta,}$

wobei n ist der Brechungsindex des Mediums , in dem die Linse arbeitet (1,00 für Luft , 1,33 für reines Wasser und typischerweise 1,52 für Sionsöl ; siehe auch Liste des Brechungsindizes ) und θ ist der maximale Halbwinkel von der Lichtkegel, der in die Linse eintreten oder aus ihr austreten kann. Im Allgemeinen ist dies der Winkel des realen Randstrahls im System. Da der Brechungsindex enthalten ist, ist die NA eines Strahlenbleistifts eine Invariante, wenn ein Strahlenbleistift durch eine flache Oberfläche von einem Material zum anderen gelangt. Dies kann leicht gezeigt werden, indem das Snellsche Gesetz neu angeordnet wird, um festzustellen, dass n sin & thgr ; über eine Grenzfläche konstant ist.

In Luft ist die Winkelapertur der Linse ungefähr doppelt so groß wie dieser Wert (innerhalb der paraxialen Näherung ). Die NA wird im Allgemeinen in Bezug auf ein bestimmtes Objekt oder einen bestimmten Bildpunkt gemessen und ändert sich, wenn dieser Punkt bewegt wird. In der Mikroskopie bezieht sich NA im Allgemeinen auf den Objektraum NA, sofern nicht anders angegeben.

In der Mikroskopie ist NA wichtig, da es das Auflösungsvermögen einer Linse anzeigt . Die Größe des feinsten Details, das aufgelöst werden kann (die Auflösung ), ist proportional zu λ /. 2NA wobei λ die Wellenlänge des Lichts ist. Ein Objektiv mit einer größeren numerischen Apertur kann feinere Details sichtbar machen als ein Objektiv mit einer kleineren numerischen Apertur. Unter der Annahme einer qualitativ hochwertigen ( beugungsbegrenzten ) Optik sammeln Linsen mit größeren numerischen Aperturen mehr Licht und liefern im Allgemeinen ein helleres Bild, aber eine geringere Schärfentiefe .

Die numerische Apertur wird verwendet, um die "Grubengröße" in optischen Plattenformaten zu definieren.

Durch Erhöhen der Vergrößerung und der numerischen Apertur des Objektivs wird der Arbeitsabstand verringert, dh der Abstand zwischen Frontlinse und Probe.

Numerische Apertur gegen Blendenzahl

Numerische Apertur einer dünnen Linse

Die numerische Apertur wird in der Fotografie normalerweise nicht verwendet . Stattdessen wird die Winkelapertur einer Linse (oder eines Abbildungsspiegels) durch die Blendenzahl ( f / oder N ) ausgedrückt , die als Verhältnis der Brennweite f zum Durchmesser der Eintrittspupille D definiert ist :

${\ displaystyle N = {\ frac {f} {D}}.}$

Dieses Verhältnis hängt mit der numerischen Apertur des Bildraums zusammen, wenn die Linse auf unendlich fokussiert ist. Basierend auf dem Diagramm auf der rechten Seite beträgt die numerische Apertur des Objektivs im Bildraum:

${\ displaystyle {\ text {NA}} _ {\ text {i}} = n \ sin \ theta = n \ sin \ left [\ arctan \ left ({\ frac {D} {2f}} \ right) \ rechts] \ approx n {\ frac {D} {2f}},}$

also N ≈ 1 /. 2NA _i unter der Annahme einer normalen Verwendung in Luft ( n = 1 ).

Die Annäherung gilt, wenn die numerische Apertur klein ist, aber es stellt sich heraus, dass für gut korrigierte optische Systeme wie Kameraobjektive eine detailliertere Analyse zeigt, dass N fast genau gleich ist 1 /. 2NA _i auch bei großen numerischen Aperturen. Wie Rudolf Kingslake erklärt: "Es ist ein häufiger Fehler anzunehmen, dass das Verhältnis [ D. /. 2 f ] ist tatsächlich gleich tan θ und nicht sin θ ... Die Tangente wäre natürlich korrekt, wenn die Hauptebenen wirklich eben wären. Die vollständige Theorie des Abbe-Sinus-Zustands zeigt jedoch, dass, wenn eine Linse hinsichtlich Koma und sphärischer Aberration korrigiert wird , wie es alle guten fotografischen Objektive sein müssen, die zweite Hauptebene ein Teil einer Kugel mit dem Radius f wird , der um den Brennpunkt zentriert ist. " In diesem Sinne ist die herkömmliche Definition und Darstellung der Blendenzahl für dünne Linsen irreführend, und die Definition in Bezug auf die numerische Apertur kann sinnvoller sein.

Arbeitende (effektive) f- Nummer

Die f- Zahl beschreibt die Lichtsammelfähigkeit der Linse in dem Fall, in dem die Randstrahlen auf der Objektseite parallel zur Achse der Linse sind. Dieser Fall tritt häufig in der Fotografie auf, wo Objekte, die fotografiert werden, oft weit von der Kamera entfernt sind. Wenn das Objekt jedoch nicht von der Linse entfernt ist, wird das Bild nicht mehr in der Brennebene der Linse erzeugt , und die f- Zahl beschreibt die Lichtsammelfähigkeit der Linse oder die bildseitige numerische Apertur nicht mehr genau. In diesem Fall bezieht sich die numerische Apertur auf das, was manchmal als " arbeitende f- Nummer " oder "effektive f- Nummer" bezeichnet wird.

Die Arbeits- f- Nummer wird definiert, indem die obige Beziehung unter Berücksichtigung der Vergrößerung von Objekt zu Bild geändert wird:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 {\ text {NA}} _ {\ text {i}}} = N _ {\ text {w}} = \ left (1 - {\ frac {m} { P}} \ right) N,}$

wobei N _w die Arbeits- f- Zahl ist, m die Vergrößerung der Linse für ein Objekt in einem bestimmten Abstand ist, P die Pupillenvergrößerung ist und die NA wie zuvor als Winkel des Randstrahls definiert ist. Die Vergrößerung ist hier typischerweise negativ, und die Pupillenvergrößerung wird am häufigsten als 1 angenommen - wie Allen R. Greenleaf erklärt: "Die Beleuchtungsstärke ändert sich umgekehrt als das Quadrat des Abstands zwischen der Austrittspupille der Linse und der Position der Platte oder Film. Da die Position der Austrittspupille dem Benutzer eines Objektivs normalerweise unbekannt ist, wird stattdessen die hintere konjugierte Brennweite verwendet; der resultierende theoretische Fehler, der so eingeführt wird, ist bei den meisten Arten von fotografischen Objektiven unbedeutend. "

In der Fotografie wird der Faktor manchmal als 1 + m geschrieben , wobei m den absoluten Wert der Vergrößerung darstellt; In beiden Fällen beträgt der Korrekturfaktor 1 oder mehr. Die beiden Gleichungen in der obigen Gleichung werden jeweils von verschiedenen Autoren als Definition der Arbeits- f- Zahl verwendet, wie die zitierten Quellen veranschaulichen. Sie sind nicht unbedingt beide genau, werden aber oft so behandelt, als ob sie es wären.

Umgekehrt wird die objektseitige numerische Apertur über die Vergrößerung mit der f- Zahl in Beziehung gesetzt (bei einem entfernten Objekt gegen Null tendierend):

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 {\ text {NA}} _ {\ text {o}}} = {\ frac {mP} {mP}} N.}$

Laserphysik

In der Laserphysik ist die numerische Apertur etwas anders definiert. Laserstrahlen breiten sich aus, während sie sich ausbreiten, aber langsam. Weit entfernt vom engsten Teil des Strahls ist die Streuung ungefähr linear mit der Entfernung - der Laserstrahl bildet im "Fernfeld" einen Lichtkegel. Die Beziehung, die zum Definieren der NA des Laserstrahls verwendet wird, ist dieselbe wie die, die für ein optisches System verwendet wird.

${\ displaystyle {\ text {NA}} = n \ sin \ theta,}$

aber θ ist anders definiert. Laserstrahlen haben normalerweise keine scharfen Kanten wie der Lichtkegel, der durch die Apertur einer Linse tritt. Stattdessen fällt die Bestrahlungsstärke allmählich von der Mitte des Strahls ab. Es ist sehr üblich, dass der Strahl ein Gaußsches Profil hat. Laser Physiker wählen typischerweise machen θ die Divergenz des Strahls: der Fernfeld - Winkel zwischen der Strahlachse und dem Abstand von der Achse , bei der die Bestrahlungsstärke abfällt e ^-2 facht die Bestrahlungsstärke auf der Achse. Die NA eines Gaußschen Laserstrahls wird dann durch auf seine minimale Punktgröße ("Strahlentaille") bezogen

${\ displaystyle {\ text {NA}} \ simeq {\ frac {\ lambda _ {0}} {\ pi w_ {0}}},}$

Dabei ist λ ₀ die Vakuumwellenlänge des Lichts und 2 w ₀ der Durchmesser des Strahls an seiner engsten Stelle, gemessen zwischen den Bestrahlungspunkten e ⁻² ("Volle Breite bei e ⁻² Maximum der Intensität"). Dies bedeutet, dass sich ein Laserstrahl, der auf einen kleinen Punkt fokussiert ist, schnell ausbreitet, wenn er sich vom Fokus entfernt, während ein Laserstrahl mit großem Durchmesser über eine sehr große Entfernung ungefähr gleich groß bleiben kann. Siehe auch: Gaußsche Strahlbreite .

Glasfaseroptik

Eine Multimodefaser mit Index n ₁ und Ummantelung mit Index n ₂ .

Eine optische Multimodefaser breitet nur Licht aus, das innerhalb eines bestimmten Winkelbereichs, der als Akzeptanzkegel der Faser bekannt ist, in die Faser eintritt . Der Halbwinkel dieses Kegels ist der genannte Akzeptanzwinkel , θ _max . Für Stufenindex- Multimode-Fasern in einem gegebenen Medium wird der Akzeptanzwinkel nur durch die Brechungsindizes des Kerns, des Mantels und des Mediums bestimmt:

${\ displaystyle n \ sin \ theta _ {\ max} = {\ sqrt {n _ {\ text {core}} ^ {2} -n _ {\ text {clad}} ^ {2}}},}$

wobei n der Brechungsindex des Mediums um die Faser ist, n _Kern der Brechungsindex des Faserkerns ist und n _plattiert der Brechungsindex des Mantels ist . Während der Kern Licht in höheren Winkeln aufnimmt, werden diese Strahlen nicht vollständig von der Grenzfläche zwischen Kern und Mantel reflektiert und daher nicht auf das andere Ende der Faser übertragen. Die Ableitung dieser Formel ist unten angegeben.

Wenn ein Lichtstrahl einfällt , aus einem Medium von Brechungsindex n auf den Kern des Index n _Kern bei dem maximalen Akzeptanzwinkel, Snell-Gesetz an der Mittelkern - Schnittstelle gibt

${\ displaystyle n \ sin \ theta _ {\ max} = n _ {\ text {core}} \ sin \ theta _ {r}. \}$

Aus der Geometrie der obigen Abbildung haben wir:

${\ displaystyle \ sin \ theta _ {r} = \ sin \ left ({90 ^ {\ circ}} - \ theta _ {c} \ right) = \ cos \ theta _ {c}}$

wo

${\ displaystyle \ theta _ {c} = \ arcsin {\ frac {n _ {\ text {clad}}} {n _ {\ text {core}}}}$

ist der kritische Winkel für die Totalreflexion .

Setzt man cos θ _c für sin θ _r in Snell-Gesetz erhalten wir:

${\ displaystyle {\ frac {n} {n _ {\ text {core}}} \ sin \ theta _ {\ max} = \ cos \ theta _ {c}.}$

Durch Quadrieren beider Seiten

${\ displaystyle {\ frac {n ^ {2}} {n _ {\ text {core}} ^ {2}}} \ sin ^ {2} \ theta _ {\ max} = \ cos ^ {2} \ theta _ {c} = 1- \ sin ^ {2} \ theta _ {c} = 1 - {\ frac {n _ {\ text {clad}} ^ {2}} {n _ {\ text {core}} ^ { 2}}}.}$

Beim Lösen finden wir die oben angegebene Formel:

${\ displaystyle n \ sin \ theta _ {\ max} = {\ sqrt {n _ {\ text {core}} ^ {2} -n _ {\ text {clad}} ^ {2}}},}$

Dies hat die gleiche Form wie die numerische Apertur (NA) in anderen optischen Systemen, so dass es üblich geworden ist , die NA eines beliebigen Fasertyps zu definieren

${\ displaystyle \ mathrm {NA} = {\ sqrt {n _ {\ text {core}} ^ {2} -n _ {\ text {clad}} ^ {2}}},}$

wobei n _Kern der Brechungsindex entlang der Mittelachse der Faser ist. Beachten Sie, dass bei Verwendung dieser Definition die Verbindung zwischen der NA und dem Akzeptanzwinkel der Faser nur eine Annäherung darstellt. Insbesondere geben Hersteller häufig "NA" für Einmodenfasern basierend auf dieser Formel an, obwohl der Akzeptanzwinkel für Einmodenfasern sehr unterschiedlich ist und nicht allein aus den Brechungsindizes bestimmt werden kann.

Die Anzahl der gebundenen Moden , das Modenvolumen , hängt mit der normalisierten Frequenz und damit mit der NA zusammen.

In Multimode-Fasern wird manchmal der Begriff numerische Gleichgewichtsapertur verwendet. Dies bezieht sich auf die numerische Apertur in Bezug auf den extremen Austrittswinkel eines Strahls, der aus einer Faser austritt, in der eine Gleichgewichtsmodenverteilung hergestellt wurde.

Siehe auch

• f- Nummer
• Starten Sie die numerische Blende
• Geführte ray , Glasfaser Kontext
• Akzeptanzwinkel (Solarkonzentrator) , weiterer Kontext

Verweise

•  Dieser Artikel enthält  gemeinfreies Material aus dem Dokument der General Services Administration : "Federal Standard 1037C" . (zur Unterstützung von MIL-STD-188 )

Externe Links

• "Mikroskopziele: Numerische Apertur und Auflösung" von Mortimer Abramowitz und Michael W. Davidson, Molekulare Ausdrücke: Primer für optische Mikroskopie (Website), Florida State University , 22. April 2004.
• "Grundlegende Konzepte und Formeln in der Mikroskopie: Numerische Apertur" von Michael W. Davidson, Nikon MicroscopyU (Website).
• "Numerische Apertur" , Encyclopedia of Laser Physics and Technology (Website).
• "Numerische Apertur und Auflösung" , UCLA Brain Research Institute, Mikroskopie-Kernanlagen (Website), 2007.