Orbifold - Orbifold

In den mathematischen Disziplinen Topologie und Geometrie ist eine Orbifold (für "Bahn-Mannigfaltigkeit") eine Verallgemeinerung einer Mannigfaltigkeit . Grob gesagt ist ein Orbifold ein topologischer Raum, der lokal ein endlicher Gruppenquotient eines euklidischen Raums ist.

Definitionen von Orbifold wurden mehrmals angegeben: von Ichirô Satake im Zusammenhang mit automorphen Formen in den 1950er Jahren unter dem Namen V-Mannigfaltig ; von William Thurston im Zusammenhang mit der Geometrie von 3-Mannigfaltigkeiten in den 1970er Jahren, als er nach einer Abstimmung seiner Studenten den Namen Orbifold prägte ; und von André Haefliger in den 1980er Jahren im Kontext von Mikhail Gromovs Programm über CAT(k)-Räume unter dem Namen Orbihedron .

Historisch gesehen sind Orbifolds zuerst als Flächen mit singulären Punkten entstanden, lange bevor sie formal definiert wurden. Eines der ersten klassischen Beispiele entstand in der Theorie der modularen Formen mit der Wirkung der modularen Gruppe auf die obere Halbebene : Eine Version des Riemann-Roch-Theorems gilt, nachdem der Quotient durch die Addition von zwei Orbifold-Scheitelpunkten kompaktiert wurde. In der 3-Mannigfaltigkeitstheorie kann die von Herbert Seifert initiierte Theorie der Seifert- Faserräume in Form von 2-dimensionalen Orbifolds formuliert werden. In der geometrischen Gruppentheorie nach Gromov wurden diskrete Gruppen im Hinblick auf die lokalen Krümmungseigenschaften von Orbiedern und ihren Überdeckungsräumen untersucht. ${\displaystyle \mathrm{SL} (2,\mathbb{Z})}$

In der Stringtheorie hat das Wort "Orbifold" eine etwas andere Bedeutung, die unten im Detail erörtert wird. In der zweidimensionalen konformen Feldtheorie bezieht es sich auf die Theorie, die mit der Fixpunkt-Subalgebra einer Vertex-Algebra unter der Wirkung einer endlichen Gruppe von Automorphismen verbunden ist .

Das Hauptbeispiel für den zugrunde liegenden Raum ist ein Quotientenraum einer Mannigfaltigkeit unter der richtig unstetigen Wirkung einer möglicherweise unendlichen Gruppe von Diffeomorphismen mit endlichen Isotropie-Untergruppen . Dies gilt insbesondere für jede Aktion einer endlichen Gruppe ; somit trägt eine Mannigfaltigkeit mit Rand eine natürliche Orbifold-Struktur, da sie der Quotient ihres Doppelten durch eine Wirkung von ist . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Ein topologischer Raum kann verschiedene Orbifold-Strukturen tragen. Betrachten Sie zum Beispiel die Umlaufbahn O, die einem Quotientenraum der 2-Sphäre entlang einer Drehung um zugeordnet ist ; es ist homöomorph zur 2-Sphäre, aber die natürliche Orbifold-Struktur ist anders. Es ist möglich, die meisten Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten auf Orbifolds zu übertragen, und diese Eigenschaften unterscheiden sich normalerweise von entsprechenden Eigenschaften des zugrunde liegenden Raums. In dem obigen Beispiel wird die Orbifold Fundamentalgruppe von O ist und dessen Orbifold Euler - Charakteristik ist 1. ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Formale Definitionen

Wie eine Mannigfaltigkeit wird ein Orbifold durch lokale Bedingungen spezifiziert; Anstatt jedoch lokal auf offenen Teilmengen von modelliert zu werden , wird ein Orbifold lokal auf Quotienten offener Teilmengen von durch endliche Gruppenaktionen modelliert . Die Struktur eines Orbifolds kodiert nicht nur die des zugrundeliegenden Quotientenraums, der keine Mannigfaltigkeit sein muss, sondern auch die der Isotropie-Untergruppen . ${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$

Ein n- dimensionales Orbifold ist ein topologischer Hausdorff-Raum X , der unterliegende Raum genannt wird , mit einer Überdeckung durch eine Sammlung offener Mengen , die unter endlichem Schnitt abgeschlossen sind. Für jeden gibt es ${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

• eine offene Teilmenge von , invariant unter einer getreuen linearen Aktion einer endlichen Gruppe ;${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma_{i}}$
• eine kontinuierliche Abbildung von auf invariant unter , genannt Orbifold-Diagramm , die einen Homöomorphismus zwischen und definiert .${\displaystyle \varphi_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \Gamma_{i}}$${\displaystyle V_{i}/\Gamma_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$

Die Sammlung von Orbifold-Diagrammen wird Orbifold-Atlas genannt, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• für jede Inklusion U _i U _j gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus f _ij  : Γ _i Γ _j${\displaystyle \subset}$ ${\displaystyle \rightarrow}$
• für jede Inklusion U _i U _j gibt es einen Γ _i  - äquivarianten Homöomorphismus ψ _ij , genannt Klebeabbildung , von V _i auf eine offene Teilmenge von V _j${\displaystyle \subset}$
• die Klebekarten sind mit den Karten kompatibel, dh φ _j · ψ _ij = φ _i
• die Klebeabbildungen sind bis auf die Komposition mit Gruppenelementen eindeutig, dh jede andere mögliche Klebeabbildung von V _i bis V _j hat die Form g · ψ _ij für ein eindeutiges g in Γ _j

Der Orbifold-Atlas definiert die Orbifold-Struktur vollständig: Zwei Orbifold-Atlanten von X ergeben die gleiche Orbifold-Struktur, wenn sie konsistent zu einem größeren Orbifold-Atlas kombiniert werden können. Beachten Sie, dass die Orbifold-Struktur die Isotropie-Untergruppe eines jeden Punktes der Orbifold bis hin zum Isomorphismus bestimmt: Sie kann als Stabilisator des Punktes in jedem Orbifold-Diagramm berechnet werden. Falls U _i U _j U _k , dann gibt es ein eindeutiges Übergangselement g _ijk in Γ _k mit ${\displaystyle \subset}$ ${\displaystyle \subset}$

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Diese Übergangselemente erfüllen

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

sowie die Cocycle-Relation (Assoziativität garantieren)

f _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _ijm · g _jkm .

Allgemeiner gesagt, an eine offene Abdeckung eines Orbifolds durch Orbifold-Karten angehängt, gibt es die kombinatorischen Daten eines sogenannten Gruppenkomplexes (siehe unten).

Genau wie im Fall von Mannigfaltigkeiten können den Klebekarten Differenzierbarkeitsbedingungen auferlegt werden, um eine differenzierbare Orbifalte zu definieren . Es wird ein Riemannsches Orbifold sein, wenn zusätzlich invariante Riemannsche Metriken auf den Orbifold-Diagrammen vorhanden sind und die Klebekarten Isometrien sind .

Definition mit Gruppoiden

Ein Gruppoid besteht aus einer Reihe von Objekten , einer Reihe von Pfeilen und strukturellen Karten einschließlich der Quell- und Zielkarten und anderen Karten, die es ermöglichen, Pfeile zu komponieren und umzukehren. Es wird ein Lie-Gruppoid genannt, wenn beide und glatte Mannigfaltigkeiten sind, alle strukturellen Abbildungen glatt sind und sowohl die Quell- als auch die Zielabbildungen Eintauchungen sind. Sie heißt richtig, wenn die Abbildung eine richtige Abbildung ist. Es heißt étale, wenn sowohl die Quell- als auch die Zielabbildung lokale Diffeomorphismen sind. Ein Orbifold-Gruppoid ist ein richtiges Lie-Gruppoid. ${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle s,t:G_{1}\to G_{0}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle (s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}}$

Zu einem Orbifold-Gruppoid gehört ein darunterliegender Bahnraum . Eine Orbifold-Struktur auf einem topologischen Raum besteht aus einem Orbifold-Gruppoid und einem Homöomorphismus . Auf der anderen Seite kann man bei einem Orbifold mit Atlas ein Orbifold-Gruppoid bauen, das bis zur Morita-Äquivalenz unabhängig von der Wahl des Atlas ist . ${\displaystyle G}$${\displaystyle |G|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |G|\simeq X}$

Der Begriff der Orbifold-Gruppoide ist besonders effektiv, wenn man nicht-effektive Orbifolds und Karten zwischen Orbifolds diskutiert. Zum Beispiel kann eine Karte zwischen Orbifolds durch einen Homomorphismus zwischen Gruppoiden beschrieben werden, der mehr Informationen trägt als die zugrunde liegende kontinuierliche Karte zwischen den zugrunde liegenden topologischen Räumen.

Beispiele

• Jede Mannigfaltigkeit ohne Rand ist trivialerweise eine Orbifalte. Jede der Gruppen Γ _i ist die triviale Gruppe .
• Wenn N eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand ist, kann sein Doppel- M gebildet werden, indem eine Kopie von N und sein Spiegelbild entlang ihres gemeinsamen Randes zusammengeklebt werden. Es gibt eine natürliche Reflexionswirkung von Z ₂ auf die Mannigfaltigkeit M , die den gemeinsamen Rand festlegt; der Quotientenraum kann mit N identifiziert werden , so dass N eine natürliche Orbifold-Struktur hat.
• Ist M eine Riemannsche n- Mannigfaltigkeit mit einer kokompakten eigentlichen isometrischen Wirkung einer diskreten Gruppe Γ, dann hat der Bahnraum X = M /Γ eine natürliche Bahnstruktur: für jedes x in X nehme man ein repräsentatives m in M und eine offene Umgebung V _m von m invariant unter dem Stabilisator Γ _m , äquivalent mit einer Γ _m -Teilmenge von T _m M unter der exponentiellen Abbildung bei m identifiziert ; endlich viele Umgebungen überdecken X und jeder ihrer endlichen Schnittpunkte, falls nicht leer, wird von einem Schnittpunkt der Γ-Übersetzungen g _m · V _m mit der entsprechenden Gruppe g _m Γ g _m ⁻¹ überdeckt . Orbifolds, die auf diese Weise entstehen, werden als entwicklungsfähig oder gut bezeichnet .
• Ein klassischer Satz von Henri Poincaré konstruiert Fuchssche Gruppen als hyperbolische Reflexionsgruppen, die durch Reflexionen an den Kanten eines geodätischen Dreiecks in der hyperbolischen Ebene für die Poincaré-Metrik erzeugt werden . Wenn das Dreieck Winkel π / n _i für positive ganze Zahlen n _{i hat} , ist das Dreieck ein Fundamentalbereich und natürlich eine 2-dimensionale Orbifold. Die entsprechende Gruppe ist ein Beispiel für eine hyperbolische Dreiecksgruppe . Poincaré lieferte auch eine dreidimensionale Version dieses Ergebnisses für Kleinsche Gruppen : In diesem Fall wird die Kleinsche Gruppe Γ durch hyperbolische Reflexionen erzeugt und die Orbifold ist H ³ / Γ.
• Wenn M eine geschlossene 2-Mannigfaltigkeit ist, können neue Orbifold-Strukturen auf M i definiert werden, indem endlich viele disjunkte geschlossene Scheiben von M entfernt und Kopien der Scheiben D / Γ _{i zurückgeklebt werden,} wobei D die geschlossene Einheitsscheibe und Γ _i eine endliche . ist zyklische Rotationsgruppe. Dies verallgemeinert Poincarés Konstruktion.

Orbifold-Fundamentalgruppe

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Orbifold-Fundamentalgruppe zu definieren . Anspruchsvollere Ansätze verwenden Orbifold- Abdeckungsräume oder Klassifikationsräume von Gruppoiden . Der einfachste Ansatz (von Haefliger übernommen und auch Thurston bekannt) erweitert den üblichen Begriff der Schleife, der in der Standarddefinition der Fundamentalgruppe verwendet wird .

Ein Orbifold-Pfad ist ein Pfad im darunterliegenden Raum, der mit einer expliziten stückweisen Anhebung von Pfadsegmenten zu Orbifold-Diagrammen und expliziten Gruppenelementen versehen ist, die Pfade in überlappenden Diagrammen identifizieren; Wenn der zugrunde liegende Pfad eine Schleife ist, wird sie als Orbifold-Schleife bezeichnet . Zwei Orbifold-Pfade werden identifiziert, wenn sie durch Multiplikation mit Gruppenelementen in Orbifold-Diagrammen verbunden sind. Die Orbifold-Fundamentalgruppe ist die Gruppe, die von Homotopieklassen von Orbifold-Schleifen gebildet wird.

Entsteht die Orbifold als Quotient einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit M durch eine echte starre Wirkung einer diskreten Gruppe Γ, so kann die Orbifold-Fundamentalgruppe mit Γ identifiziert werden. Im Allgemeinen ist es eine Erweiterung von Γ um π ₁ M .

Das Orbifold heißt entwicklungsfähig oder gut, wenn es als Quotient durch eine Gruppenhandlung entsteht; sonst heißt es schlecht . Ein universelles überdeckendes Orbifold kann für ein Orbifold in direkter Analogie zur Konstruktion des universellen überdeckenden Raums eines topologischen Raums konstruiert werden, nämlich als Raum von Paaren bestehend aus Punkten der Orbifold und Homotopieklassen von Orbifold-Wegen, die sie mit dem Basispunkt verbinden. Dieser Raum ist natürlich ein Orbifold.

Beachten Sie, dass, wenn ein Orbifold-Diagramm auf einer kontrahierbaren offenen Teilmenge einer Gruppe Γ entspricht, es einen natürlichen lokalen Homomorphismus von Γ in die Orbifold-Fundamentalgruppe gibt.

Tatsächlich sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

• Das Orbifold ist entwicklungsfähig.
• Die Orbifold-Struktur auf dem universellen Abdeckorbifold ist trivial.
• Die lokalen Homomorphismen sind alle injektiv für eine Überdeckung durch kontrahierbare offene Mengen.

Orbispaces

Für Anwendungen in der geometrischen Gruppentheorie ist es aufgrund von Haefliger oft praktisch, eine etwas allgemeinere Vorstellung von Orbifold zu haben. Ein Orbiraum ist für topologische Räume, was ein Orbifold für Mannigfaltigkeiten ist. Ein Orbiraum ist eine topologische Verallgemeinerung des Orbifold-Konzepts. Sie wird definiert, indem man das Modell für die Orbifold-Karten durch einen lokal kompakten Raum mit einer starren Wirkung einer endlichen Gruppe ersetzt, dh einen Raum , für den Punkte mit trivialer Isotropie dicht sind. (Diese Bedingung wird automatisch durch getreue lineare Aktionen erfüllt, da die durch jedes nicht-triviale Gruppenelement fixierten Punkte einen echten linearen Unterraum bilden .) Es ist auch nützlich, metrische Raumstrukturen auf einem Orbiraum zu betrachten, die durch invariante Metriken auf den Orbiraumkarten gegeben sind für die die Klebekarten den Abstand bewahren. In diesem Fall wird jedes orbispace Diagramm der Regel erforderlich , ein zu Länge Raum mit einzigartigen geodesics verbinden zwei beliebige Punkte.

Sei X ein Orbiraum, der mit einer metrischen Raumstruktur ausgestattet ist, für die die Karten Räume mit geodätischer Länge sind. Die vorstehenden Definitionen und Ergebnisse für Orbifolds können verallgemeinert werden, um Definitionen der fundamentalen Gruppe des Orbiraums und des universellen überdeckenden Orbiraums zu geben , mit analogen Kriterien für die Entwickelbarkeit . Die Entfernungsfunktionen auf den Orbispace-Diagrammen können verwendet werden, um die Länge eines Orbispace-Pfades im universellen überdeckenden Orbispace zu definieren. Wenn die Distanzfunktion in jedem Diagramm nicht positiv gekrümmt ist , kann das Argument der Birkhoff-Kurvenverkürzung verwendet werden, um zu beweisen, dass jeder Orbiraumpfad mit festen Endpunkten zu einer eindeutigen Geodäte homotop ist. Wendet man dies auf konstante Pfade in einem Orbispace-Diagramm an, folgt, dass jeder lokale Homomorphismus injektiv ist und daher:

• jeder nicht positiv gekrümmte Orbispace ist entwicklungsfähig (dh gut ).

Komplexe von Gruppen

Jedem Orbifold ist eine zusätzliche kombinatorische Struktur zugeordnet, die durch einen Komplex von Gruppen gegeben ist .

Definition

Ein Komplex von Gruppen ( Y , f , g ) auf einem abstrakten simplizialen Komplex Y ist gegeben durch

• eine endliche Gruppe Γ _σ für jedes Simplex σ von Y
• ein injektiver Homomorphismus f _στ  : Γ _τ Γ _σ immer dann, wenn σ τ${\displaystyle \rightarrow}$${\displaystyle \subset}$
• für jede Inklusion ρ σ τ ein Gruppenelement g _ρστ in Γ _{ρ mit} (Ad g _ρστ )· f _ρτ = f _ρσ · f _στ (hier bezeichnet Ad die adjungierte Aktion durch Konjugation)${\displaystyle \subset}$${\displaystyle \subset}$

Die Gruppenelemente müssen zusätzlich die Kozykelbedingung erfüllen

f _{π ρ} ( g _ρστ ) g _πρτ = g _{π στ} g _{π ρσ}

für jede Kette von Simplizes (Diese Bedingung ist leer, wenn Y die Dimension 2 oder weniger hat.) ${\displaystyle \pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .}$

Jede Wahl von Elementen h _στ in Γ _σ ergibt einen äquivalenten Komplex von Gruppen durch Definition

• f' _στ = (Ad h _στ )· f _στ
• g' _ρστ = h _ρσ · f _ρσ ( h _στ )· g _ρστ · h _ρτ ⁻¹

Ein _{Gruppenkomplex} heißt einfach, wenn überall g _ρστ = 1 ist.

• Ein einfaches induktives Argument zeigt, dass jeder _{Gruppenkomplex} auf einem Simplex einem _{Gruppenkomplex mit} überall g _ρστ = 1 entspricht.

Es ist oft bequemer und konzeptionell ansprechender, zur baryzentrischen Unterteilung von Y überzugehen . Die Eckpunkte dieser Unterteilung entsprechen den Simplizes von Y , so dass jedem Eckpunkt eine Gruppe zugeordnet ist. Die Kanten der baryzentrischen Unterteilung sind natürlich orientiert (entsprechend den Einschlüssen von Simplizes) und jede gerichtete Kante ergibt einen Einschluss von Gruppen. An jedes Dreieck ist ein Übergangselement angehängt, das zur Gruppe von genau einem Eckpunkt gehört; und die Tetraeder, falls vorhanden, geben Kocyclusbeziehungen für die Übergangselemente an. Somit umfasst ein Gruppenkomplex nur das 3-Skelett der baryzentrischen Unterteilung; und nur das 2-Skelett, wenn es einfach ist.

Beispiel

Wenn X eine Orbifold (oder Orbispace) ist, wähle eine Überdeckung durch offene Teilmengen aus den Orbifold-Karten f _i : V _i U _i . Sei Y der abstrakte simpliziale Komplex, der durch den Nerv der Überdeckung gegeben ist : seine Ecken sind die Mengen der Überdeckung und seine n- Simplizien entsprechen nichtleeren Schnittpunkten U _α = U _{i 1} ··· U _{i n} . Zu jedem solchen Simplex gibt es eine zugehörige Gruppe Γ _α und die Homomorphismen f _ij werden zu den Homomorphismen f _στ . Für jedes Tripel ρ σ τ entsprechend Schnittpunkten ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \subset}$${\displaystyle \subset}$

${\displaystyle U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$

es gibt Karten φ _i  : V _i U _i , φ _ij  : V _ij U _i U _j und φ _ijk  : V _ijk U _i U _j U _k und Klebekarten ψ : V _ij V _i , ψ' : V _ijk V _ij and ψ“: V _ijk V _i . ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

Es ist ein einzigartiges Übergangselement g _ρστ in Γ _i , so dass g _ρστ · ψ "= ψ · ψ '. Die erfüllten Beziehungen durch die Übergangselemente eines Orbifold diejenigen , die für einen Komplex von Gruppen bedeutet. Auf dieser Art und Weise eine der Gruppen - Komplexes kann kanonisch zum Nerv einer offenen Abdeckung durch Orbifold (oder orbispace) Diagramme zugeordnet wird. in der Sprache der nicht-kommutativer Garbe Theorie und Gerbes , stellt sich den Komplexes von Gruppen in diesem Fall als eine Garbe von Gruppen an die Abdeckung zugeordnete U _i ; die Daten g _ρστ sind ein 2-Kocyclus in der nicht-kommutativen Garben- Kohomologie und die Daten h _στ ergeben eine 2-Koboundary-Störung.

Randpfadgruppe

Die Kantenpfadgruppe eines Komplexes von Gruppen kann als eine natürliche Verallgemeinerung der Kantenpfadgruppe eines simplizialen Komplexes definiert werden. Nehmen Sie in der baryzentrischen Unterteilung von Y Generatoren e _ij entsprechend den Kanten von i bis j, wobei i j , so dass es eine Injektion ψ _{ij gibt}  : Γ _i Γ _j . Sei Γ die von den e _ij und Γ _k erzeugte Gruppe mit Relationen ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

e _ij ⁻¹ · g · e _ij = ψ _ij ( g )

für g in Γ _i und

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

wenn i j k . ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

Für einen festen Knoten i ₀ ist die Kantenpfadgruppe Γ( i ₀ ) definiert als die Untergruppe von Γ, die von allen Produkten . erzeugt wird

g ₀ · e _{i 0 i 1} · g ₁ · e _{i 1 i 2} · ··· · g _n · e _{i n i 0}

wobei i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ ein Kantenpfad ist, g _k in Γ _{i k liegt} und e _ji = e _ij ⁻¹ falls i j . ${\displaystyle \rightarrow}$

Entwickelbare Komplexe

Eine simpliziale Eigenwirkung einer diskreten Gruppe Γ auf einen simplizialen Komplex X mit endlichem Quotienten heißt regulär, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt (siehe Bredon 1972):

• X lässt einen endlichen Unterkomplex als Fundamentalbereich zu ;
• der Quotient Y = X /Γ hat eine natürliche simpliziale Struktur;
• die Quotienten-Simplizialstruktur auf Bahnrepräsentanten von Knoten ist konsistent;
• wenn ( v ₀ , ..., v _k ) und ( g ₀ · v ₀ , ..., g _k · v _k ) Simplizes sind, dann gilt g · v _i = g _i · v _i für ein g in Γ.

Der Fundamentalbereich und der Quotient Y = X / können in diesem Fall natürlich als Simplizialkomplexe identifiziert werden, die durch die Stabilisatoren der Simplizes im Fundamentalbereich gegeben sind. Ein Komplex von Gruppen Y heißt entwicklungsfähig, wenn er auf diese Weise entsteht.

• Ein Gruppenkomplex ist genau dann entwickelbar, wenn die Homomorphismen von Γ _σ in die Kantenpfadgruppe injektiv sind.
• Ein Gruppenkomplex ist genau dann entwickelbar, wenn zu jedem Simplex σ ein injektiver Homomorphismus θ _σ von Γ _σ in eine feste diskrete Gruppe Γ mit θ _τ · f _στ = θ _{σ existiert} . In diesem Fall ist der Simplizialkomplex X kanonisch definiert: er hat k -Simplizien (σ, xΓ _σ ), wobei σ ein k- Simplex von Y ist und x über Γ / Γ _σ läuft . Die Konsistenz kann dadurch überprüft werden, dass die Beschränkung des Gruppenkomplexes auf ein Simplex äquivalent zu einer mit trivialem Cocyclus g _{ρστ ist} .

Die Wirkung von Γ auf die baryzentrische Unterteilung X ' von X erfüllt immer die folgende Bedingung, schwächer als die Regularität:

• wenn σ und g ·σ Teilsimplices eines Simplex τ sind, sind sie gleich, dh σ = g ·σ

Tatsächlich entsprechen Simplizes in X ' Ketten von Simplizes in X , so dass ein Subsimplices, gegeben durch Subketten von Simplizes, eindeutig durch die Größe der Simplizes in der Subkette bestimmt ist. Wenn eine Aktion diese Bedingung erfüllt, dann fixiert g notwendigerweise alle Ecken von σ. Ein einfaches induktives Argument zeigt, dass eine solche Aktion auf der baryzentrischen Unterteilung regelmäßig wird; bestimmtes

• die Wirkung auf die zweite baryzentrische Unterteilung X " ist regelmäßig;
• Γ ist natürlich isomorph zu der Kantenpfadgruppe, die unter Verwendung von Kantenpfaden und Scheitelstabilisatoren für die baryzentrische Unterteilung des Fundamentalbereichs in X " definiert ist.

Tatsächlich braucht man nicht auf eine dritte baryzentrische Unterteilung überzugehen: Wie Haefliger in der Sprache der Kategorientheorie feststellt , trägt in diesem Fall das 3-Skelett des Fundamentalbereichs von X " bereits alle notwendigen Daten – einschließlich der Übergangselemente für Dreiecke – eine zu Γ isomorphe Kantenpfadgruppe zu definieren.

In zwei Dimensionen ist dies besonders einfach zu beschreiben. Der Fundamentalbereich von X " hat die gleiche Struktur wie die baryzentrische Unterteilung Y ' eines Komplexes von Gruppen Y , nämlich:

• ein endlicher 2-dimensionaler simplizialer Komplex Z ;
• eine Orientierung für alle Kanten i j ;${\displaystyle \rightarrow}$
• wenn i j und j k Kanten sind, dann ist i k eine Kante und ( i , j , k ) ist ein Dreieck;${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$
• endliche Gruppen an Scheitelpunkten, Einschlüsse an Kanten und Übergangselemente, die Kompatibilität beschreiben, an Dreiecke.

Anschließend kann eine Kantenpfadgruppe definiert werden. Eine ähnliche Struktur wird von der baryzentrischen Unterteilung Z ' geerbt und ihre Kantenpfadgruppe ist isomorph zu der von Z .

Orbihedra

Wirkt eine abzählbare diskrete Gruppe mit einer regulären simplizialen Eigenwirkung auf einen simplizialen Komplex , so kann dem Quotienten nicht nur die Struktur eines Gruppenkomplexes, sondern auch die eines Orbiraums gegeben werden. Dies führt allgemeiner zur Definition von "Orbieder", dem simplizialen Analogon eines Orbifolds.

Definition

Sei X ein endlicher simplizialer Komplex mit baryzentrischer Unterteilung X '. Eine Orbiederstruktur besteht aus:

• für jede Ecke i von X ' ein simplizialer Komplex L _i ' ausgestattet mit einer starren simplizialen Wirkung einer endlichen Gruppe Γ _i .
• eine simpliziale Abbildung _i von L _i ' auf die Verbindung L _i von i in X ', die den Quotienten L _i ' / Γ _i mit L _i identifiziert .

Diese Wirkung von Γ _i auf L _i ' erstreckt sich zu einer simplizialen Wirkung auf den simplizialen Kegel C _i über L _i ' (der simplizialen Verbindung von i und L _i '), wodurch das Zentrum i des Kegels fixiert wird . Die Abbildung φ _i erstreckt sich zu einer simplizialen Abbildung von C _i auf den Stern St( i ) von i , die das Zentrum auf i trägt ; somit identifiziert φ _i C _i / Γ _i , den Quotienten des Sterns von i in C _i , mit St( i ) und gibt eine Orbiederkarte bei i an .

• für jede gerichtete Kante i j von X ' ein injektiver Homomorphismus f _ij von _i in Γ _j .${\displaystyle \rightarrow}$
• für jede gerichtete Kante i j eine _i äquivariante simpliziale Klebeabbildung ψ _ij von C _i in C _j .${\displaystyle \rightarrow}$
• die Klebekarten sind mit den Karten kompatibel, dh _j ·ψ _ij = φ _i .
• die Klebeabbildungen sind bis auf die Komposition mit Gruppenelementen eindeutig, dh jede andere mögliche Klebeabbildung von V _i bis V _j hat die Form g ·ψ _ij für ein eindeutiges g in Γ _j .

Wenn i j k , dann gibt es ein eindeutiges Übergangselement g _ijk in Γ _k mit ${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$

g _ijk ·ψ _ik = ψ _jk ·ψ _ij

Diese Übergangselemente erfüllen

(Ad g _ijk )· f _ik = f _jk · f _ij

sowie die Kocycle-Beziehung

ψ _km ( g _ijk ) · g _ikm = g _IJM · g _jkm .

Haupteigenschaften

• Die gruppentheoretischen Daten eines Orbieders ergeben einen Komplex von Gruppen auf X , weil die Ecken i der baryzentrischen Unterteilung X ' den Simplizes in X entsprechen .
• Jeder Komplex von Gruppen auf X ist mit einer im Wesentlichen einzigartigen Orbiederstruktur auf X verbunden . Diese Schlüsseltatsache folgt, indem man feststellt, dass der Stern und die Verbindung einer Ecke i von X ', die einem Simplex σ von X entspricht , natürliche Zerlegungen haben: Der Stern ist isomorph zu dem abstrakten simplizialen Komplex, der durch die Verbindung von σ und der baryzentrischen Unterteilung gegeben ist σ' von σ; und der Link ist isomorph, um den Link von σ in X und den Link des Schwerpunkts von σ in σ' zu verbinden. Beschränkt man den Gruppenkomplex auf die Verknüpfung von σ in X , so kommen alle Gruppen Γ _τ mit injektiven Homomorphismen in Γ _σ . Da die Verknüpfung von i in X ' kanonisch von einem simplizialen Komplex bedeckt ist, auf den Γ _σ einwirkt, definiert dies eine Orbiederstruktur auf X .
• Die Orbieder-Fundamentalgruppe ist (tautologisch) nur die Randpfadgruppe des zugehörigen Gruppenkomplexes.
• Jedes Orbieder ist natürlich auch ein Orbiraum: Tatsächlich lassen sich in der geometrischen Realisierung des simplizialen Komplexes Orbispace-Karten über das Innere von Sternen definieren.
• Die Orbieder-Fundamentalgruppe kann natürlich mit der Orbiraum-Fundamentalgruppe des zugehörigen Orbiraums identifiziert werden. Dies folgt durch Anwendung des simplizialen Approximationssatzes auf Segmente einer Bahnraumbahn, die in einer Bahnraumkarte liegen: Es ist eine einfache Variante des klassischen Beweises, dass die Fundamentalgruppe eines Polyeders mit ihrer Kantenbahngruppe identifiziert werden kann .
• Der Orbiraum, der einem Orbieder zugeordnet ist, hat eine kanonische metrische Struktur , die lokal von der Längenmetrik in der geometrischen Standardrealisierung im euklidischen Raum stammt, mit Knoten, die auf eine orthonormale Basis abgebildet sind. Es werden auch andere metrische Strukturen verwendet, die Längenmetriken beinhalten, die durch Realisieren der Simplizes im hyperbolischen Raum erhalten werden , wobei Simplizes isometrisch entlang gemeinsamer Grenzen identifiziert werden.
• Der einem Orbieder zugeordnete Orbiraum ist genau dann nicht positiv gekrümmt, wenn das Glied in jeder Orbiederkarte einen Umfang größer oder gleich 6 hat, dh jeder geschlossene Kreis in dem Glied eine Länge von mindestens 6 hat Theorie der Hadamard-Räume , hängt nur von dem zugrunde liegenden Gruppenkomplex ab.
• Wenn das universelle überdeckende Orbieder nicht positiv gekrümmt ist, ist die Fundamentalgruppe unendlich und wird durch isomorphe Kopien der Isotropiegruppen erzeugt. Dies folgt aus dem entsprechenden Ergebnis für Orbiräume.

Dreiecke von Gruppen

Historisch gesehen war eine der wichtigsten Anwendungen von Orbifolds in der geometrischen Gruppentheorie auf Dreiecke von Gruppen . Dies ist das einfachste 2-dimensionale Beispiel, das das 1-dimensionale "Intervall von Gruppen" verallgemeinert, das in Serres Vorträgen über Bäume diskutiert wurde , wo amalgamierte freie Produkte im Hinblick auf Wirkungen auf Bäume untersucht werden. Solche Gruppendreiecke entstehen immer dann, wenn eine diskrete Gruppe einfach transitiv auf die Dreiecke im affinen Bruhat-Tits-Gebäude für SL ₃ ( Q _p ) einwirkt ; 1979 entdeckte Mumford das erste Beispiel für p = 2 (siehe unten), um eine algebraische Fläche zu erzeugen, die nicht isomorph zum projektiven Raum ist , aber die gleichen Betti-Zahlen hat . Gruppendreiecke wurden von Gersten und Stallings detailliert ausgearbeitet, während der oben beschriebene allgemeinere Fall von Gruppenkomplexen unabhängig von Haefliger entwickelt wurde. Die zugrundeliegende geometrische Methode zur Analyse endlich präsentierter Gruppen in Bezug auf metrische Räume nicht positiver Krümmung geht auf Gromov zurück. In diesem Zusammenhang entsprechen Gruppendreiecke nicht positiv gekrümmten 2-dimensionalen simplizialen Komplexen mit der regulären Wirkung einer Gruppe, transitiv auf Dreiecken .

Ein Gruppendreieck ist ein einfacher Gruppenkomplex bestehend aus einem Dreieck mit den Ecken A , B , C . Es gibt Gruppen

• Γ _A , Γ _B , Γ _C an jedem Knoten
• Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB für jede Kante
• Γ _ABC für das Dreieck selbst.

Es gibt einen injektiven Homomorphismus von Γ _ABC in alle anderen Gruppen und einer Kantengruppe Γ _XY in Γ _X und Γ _Y . Die drei Möglichkeiten, Γ _ABC in eine Knotengruppe abzubilden, stimmen alle überein. (Oft ist Γ _ABC die triviale Gruppe.) Die euklidische metrische Struktur auf dem entsprechenden Orbiraum ist genau dann nicht positiv gekrümmt, wenn die Verbindung jedes der Knoten in der Orbiederkarte einen Umfang von mindestens 6 hat.

Dieser Umfang an jeder Ecke ist immer gerade und kann, wie von Stallings beobachtet, an einer Ecke A beschrieben werden , etwa als die Länge des kleinsten Wortes im Kern des natürlichen Homomorphismus in Γ _A des amalgamierten freien Produkts über Γ _ABC der Kantengruppen Γ _AB und Γ _AC :

${\displaystyle \Gamma_{AB}\star_{\,\Gamma_{ABC}}\Gamma_{AC}\rightarrow \Gamma_{A}.}$

Das Ergebnis unter Verwendung der euklidischen metrischen Struktur ist nicht optimal. Die Winkel α, β, an den Scheitelpunkten A , B und C wurden von Stallings als 2π geteilt durch den Umfang definiert. Im euklidischen Fall α, β, γ ≤ π/3. Wenn jedoch nur α + β + γ ≤ π gefordert wird, ist es möglich, das Dreieck mit dem entsprechenden geodätischen Dreieck in der hyperbolischen Ebene mit der Poincaré-Metrik (oder der euklidischen Ebene bei Gleichheit) zu identifizieren . Es ist ein klassisches Ergebnis der hyperbolischen Geometrie, dass sich die hyperbolischen Mediane im hyperbolischen Schwerpunkt schneiden, genau wie im bekannten euklidischen Fall. Die baryzentrische Unterteilung und Metrik aus diesem Modell ergeben eine nicht positiv gekrümmte metrische Struktur auf dem entsprechenden Orbispace. Wenn also α+β+γ≤π ist,

• der Orbiraum des Gruppendreiecks ist entwickelbar;
• die entsprechende Kanten-Weg-Gruppe, die auch als Colimit des Gruppendreiecks beschrieben werden kann, ist unendlich;
• die Homomorphismen der Eckengruppen in die Kantenpfadgruppe sind Injektionen.

Mumfords Beispiel

Sei α = durch die Binomialentwicklung von (1 − 8) ^1/2 in Q _{2 gegeben} und setze K = Q ( α ) Q ₂ . Lassen ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$${\displaystyle \subset}$

ζ = exp 2 π i /7

λ = ( α − 1)/2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ / λ *.

Sei E = Q ( ζ ), ein dreidimensionaler Vektorraum über K mit Basis 1, ζ und ζ ² . Definieren Sie K -lineare Operatoren auf E wie folgt:

• σ ist der Generator der Galois-Gruppe von E über K , ein Element der Ordnung 3 gegeben durch σ(ζ) = ζ ²
• τ ist der Operator der Multiplikation mit ζ auf E , ein Element der Ordnung 7
• ρ ist die Bedienungsperson gegeben durch ρ ( ζ ) = 1, ρ ( ζ ² ) = ζ und ρ (1) = μ · ζ ² , so dass ρ ³ skalare Multiplikation mit ist  μ .

Die Elemente ρ , σ und τ erzeugen eine diskrete Untergruppe von GL ₃ ( K ), die richtig auf das affine Bruhat-Tits-Gebäude entsprechend SL ₃ ( Q ₂ ) wirkt . Diese Gruppe wirkt transitiv auf alle Eckpunkte, Kanten und Dreiecke im Gebäude. Lassen

σ ₁ = σ , σ ₂ = ρσρ ^-1 , σ ₃ = ρ ² σρ ^-2 .

Dann

• σ ₁ , & sgr; ₂ und σ ₃ erzeugt eine Untergruppe von Γ SL ₃ ( K ).
• Γ ist die kleinste von σ und τ erzeugte Untergruppe , invariant unter Konjugation durch ρ .
• Γ wirkt einfach transitiv auf die Dreiecke im Gebäude.
• Es gibt ein Dreieck Δ, so dass die Stabilisatoren seiner Kanten die Untergruppen der Ordnung 3 sind, die von den σ _i erzeugt werden .
• Der Stabilisator einer Ecke von Δ ist die Frobenius-Gruppe der Ordnung 21, die durch die beiden Elemente der Ordnung 3 erzeugt wird, die die Kanten stabilisieren, die sich an der Ecke treffen.
• Der Stabilisator von Δ ist trivial.

Die Elemente σ und τ erzeugen den Stabilisator einer Ecke. Die Verbindung dieses Scheitelpunkts kann mit dem sphärischen Aufbau von SL ₃ ( F ₂ ) identifiziert werden und der Stabilisator kann mit der Kollineationsgruppe der Fano-Ebene identifiziert werden, die durch eine 3-zählige Symmetrie σ mit einer Punktfixierung und eine zyklische Permutation τ von . erzeugt wird alle 7 Punkte, die στ = τ ² σ erfüllen . Identifizieren von F ₈ * mit der Fano-Ebene, kann σ als die Einschränkung des Frobenius-Automorphismus σ ( x ) = x ^{2 2} von F ₈ und τ als Multiplikation mit einem beliebigen Element angesehen werden, das nicht im Primkörper F _{2 liegt} , dh an Ordnung 7 Generator der zyklischen multiplikativen Gruppe von F ₈ . Diese Frobenius-Gruppe wirkt einfach transitiv auf die 21 Flaggen in der Fano-Ebene, also Linien mit markierten Punkten. Die Formeln für σ und τ auf E "heben" also die Formeln auf F ₈ .

Mumford erhält auch eine einfach transitive Aktion auf den Ecken des Gebäudes, indem er auf eine Untergruppe von Γ ₁ = < ρ , σ , τ , − I > übergeht. Die Gruppe Γ ₁ behält die Q ( α )-wertige hermitesche Form bei

f ( x , y ) = xy * + σ ( xy *) + σ ² ( xy *)

auf Q (ζ) und kann mit U ₃ (f) GL ₃ ( S ) identifiziert werden, wobei S = Z [ α ,½]. Da S /( α ) = F _{7 ist} , gibt es einen Homomorphismus der Gruppe Γ ₁ in GL ₃ ( F ₇ ). Diese Aktion hinterlässt invariante einen 2-dimensionalen Unterraum in F ₇ ³ und führt daher zu einem Homomorphismus Ψ von Γ ₁ in SL ₂ ( F ₇ ), eine Gruppe der Ordnung 16·3,7. Andererseits ist der Stabilisator einer Ecke eine Untergruppe der Ordnung 21 und Ψ ist auf diese Untergruppe injektiv. Wenn also die Kongruenzuntergruppe Γ ₀ als das inverse Abbild unter Ψ der 2- Sylow-Untergruppe von SL ₂ ( F ₇ ) definiert ist, muss die Wirkung von Γ ₀ auf Knoten einfach transitiv sein. ${\displaystyle \cap }$

Verallgemeinerungen

Andere Beispiele für Dreiecke oder zweidimensionale Gruppenkomplexe können durch Variationen des obigen Beispiels konstruiert werden.

Cartwrightet al. Betrachten Sie Aktionen an Gebäuden, die auf Scheitelpunkten einfach transitiv sind . Jede solche Aktion erzeugt eine Bijektion (oder modifizierte Dualität) zwischen den Punkten x und den Linien x * im Flaggenkomplex einer endlichen projektiven Ebene und einer Sammlung orientierter Dreiecke von Punkten ( x , y , z ), die unter zyklischer Permutation invariant sind, wie dass x auf z * liegt , y auf x * liegt und z auf y * liegt und zwei beliebige Punkte eindeutig den dritten bestimmen. Die erzeugten Gruppen haben Generatoren x , die durch Punkte gekennzeichnet sind, und Beziehungen xyz = 1 für jedes Dreieck. Im Allgemeinen entspricht diese Konstruktion keiner Aktion an einem klassischen affinen Gebäude.

Allgemeiner kodieren ähnliche algebraische Daten, wie Ballmann und Brin gezeigt haben, alle Aktionen, die einfach transitiv auf den Scheiteln eines nicht positiv gekrümmten zweidimensionalen simplizialen Komplexes sind, vorausgesetzt, die Verbindung jedes Scheitels hat einen Umfang von mindestens 6. Diese Daten bestehen aus von:

• einen Erzeugungssatz S , der Inverse enthält, aber nicht die Identität;
• eine Menge von Beziehungen g h k = 1, invariant unter zyklischer Permutation.

Die Elemente g in S bezeichnen die Ecken g · v im Link einer festen Ecke v ; und die Beziehungen entsprechen Kanten ( g ⁻¹ · v , h · v ) in diesem Link. Der Graph mit Ecken S und Kanten ( g , h ) für g ⁻¹ h in S muss einen Umfang von mindestens 6 haben. Der ursprüngliche simpliziale Komplex lässt sich aus Gruppenkomplexen und der zweiten baryzentrischen Unterteilung rekonstruieren.

Weitere Beispiele für nicht-positiv gekrümmte 2-dimensionale Gruppenkomplexe wurden von Swiatkowski konstruiert, basierend auf einfach transitiven Aktionen an orientierten Kanten , die an jedem Dreieck eine 3-zählige Symmetrie induzieren; auch hier ergibt sich der Gruppenkomplex aus der regelmäßigen Einwirkung auf die zweite baryzentrische Unterteilung. Das einfachste Beispiel, das zuvor von Ballmann entdeckt wurde, geht von einer endlichen Gruppe H mit einer symmetrischen Menge von Generatoren S aus , die die Identität nicht enthält, so dass der entsprechende Cayley-Graphen einen Umfang von mindestens 6 hat. Die zugehörige Gruppe wird erzeugt durch H und eine Involution τ unterliegt (τg) ³ = 1 für jedes g in S .

In der Tat, wenn Γ auf diese Weise wirkt und eine Kante ( v , w ) fixiert , gibt es eine Involution τ, die v und w vertauscht . Der Link von v besteht aus Knoten g · w für g in einer symmetrischen Teilmenge S von H = Γ _v , die H erzeugt, wenn der Link zusammenhängend ist. Die Annahme über Dreiecke impliziert, dass

τ·( g · w ) = g ⁻¹ · w

für g in S . Wenn also σ = τ g und u = g ⁻¹ · w , dann

( v ) = w , σ( w ) = u , σ( u ) = w .

Durch einfache Transitivität auf dem Dreieck ( v , w , u ) folgt σ ³ = 1.

Die zweite baryzentrische Unterteilung ergibt einen Komplex von Gruppen, bestehend aus Singletons oder Paaren von baryzentrisch unterteilten Dreiecken, die entlang ihrer großen Seiten verbunden sind: Diese Paare werden durch den Quotientenraum S / ~ indiziert, der durch die Identifizierung von Inversen in S erhalten wird . Die einzelnen oder "gekoppelten" Dreiecke sind wiederum entlang eines gemeinsamen "Rückens" verbunden. Alle Stabilisatoren von Simplizes sind trivial, mit Ausnahme der beiden Eckpunkte an den Enden der Wirbelsäule, mit den Stabilisatoren H und <τ>, und den restlichen Eckpunkten der großen Dreiecke, wobei der Stabilisator durch ein entsprechendes σ erzeugt wird. Drei der kleineren Dreiecke in jedem großen Dreieck enthalten Übergangselemente.

Wenn alle Elemente von S Involutionen sind, muss keines der Dreiecke verdoppelt werden. Wenn H die Diedergruppe D ₇ der Ordnung 14 sei, die durch eine Involution a und ein Element b der Ordnung 7 erzeugt wird, so dass

ab = b ⁻¹ a ,

dann wird H durch die 3 Involutionen a , ab und ab ^{5 erzeugt} . Die Verknüpfung jedes Knotens ist durch den entsprechenden Cayley-Graphen gegeben, also nur der zweiteilige Heawood-Graphen , also genau derselbe wie im affinen Gebäude für SL ₃ ( Q ₂ ). Diese Verbindungsstruktur impliziert, dass der entsprechende simpliziale Komplex notwendigerweise ein euklidisches Gebäude ist . Derzeit scheint jedoch unbekannt zu sein, ob sich eine dieser Aktionsarten auf einem klassischen affinen Gebäude tatsächlich realisieren lässt: Mumfords Gruppe Γ ₁ (Modulo-Skalare) ist nur auf Kanten, nicht auf orientierten Kanten einfach transitiv.

Zweidimensionale Orbifolds

Zweidimensionale Orbifolds haben die folgenden drei Arten von singulären Punkten:

• Ein Grenzpunkt
• Ein elliptischer Punkt oder Gyrationspunkt der Ordnung n , wie der Ursprung von R ² quotiert durch eine zyklische Gruppe der Rotationen der Ordnung n .
• Ein Eckreflektor der Ordnung n : der Ursprung von R ² quotiert durch eine Diedergruppe der Ordnung 2 n .

Ein kompaktes zweidimensionales Orbifold hat eine Euler-Charakteristik, die gegeben ist durch ${\displaystyle\chi}$

${\displaystyle \chi =\chi(X_{0})-\sum_{i}(1-1/n_{i})/2-\sum_{i}(1-1/m_{i}) }$,

wo ist die Euler-Charakteristik der zugrunde liegenden topologischen Mannigfaltigkeit und sind die Ordnungen der Eckreflektoren und sind die Ordnungen der elliptischen Punkte. ${\displaystyle \chi (X_{0})}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

Ein zweidimensionales kompaktes zusammenhängendes Orbifold hat eine hyperbolische Struktur, wenn seine Euler-Charakteristik kleiner als 0 ist, eine euklidische Struktur, wenn es 0 ist, und wenn seine Euler-Charakteristik positiv ist, ist es entweder schlecht oder hat eine elliptische Struktur (ein Orbifold heißt schlecht wenn es keine Mannigfaltigkeit als Überdeckungsraum hat). Mit anderen Worten, sein universeller Hüllenraum hat eine hyperbolische, euklidische oder kugelförmige Struktur.

Die kompakten zweidimensionalen zusammenhängenden Orbifolds, die nicht hyperbolisch sind, sind in der folgenden Tabelle aufgeführt. Die 17 parabolischen Orbifolds sind der Quotient der Ebene durch die 17 Tapetengruppen .

Typ	Euler-Charakteristik	Zugrundeliegende 2-Mannigfaltigkeit	Reihenfolge der elliptischen Punkte	Bestellungen von Eckreflektoren
Schlecht	1 + 1/ n	Kugel	n > 1
Schlecht	1/ m + 1/ n	Kugel	n > m > 1
Schlecht	1/2 + 1/2 n	Scheibe		n > 1
Schlecht	1/2 m + 1/2 n	Scheibe		n > m > 1
Elliptisch	2	Kugel
Elliptisch	2/ nein	Kugel	n , n
Elliptisch	1/ nein	Kugel	2, 2, nein
Elliptisch	1/6	Kugel	2, 3, 3
Elliptisch	1/12	Kugel	2, 3, 4
Elliptisch	1/30	Kugel	2, 3, 5
Elliptisch	1	Rabatt
Elliptisch	1/ nein	Rabatt		n , n
Elliptisch	1/2 keine	Rabatt		2, 2, nein
Elliptisch	1/12	Rabatt		2, 3, 3
Elliptisch	1/24	Rabatt		2, 3, 4
Elliptisch	1/60	Rabatt		2, 3, 5
Elliptisch	1/ nein	Rabatt	n
Elliptisch	1/2 keine	Rabatt	2	n
Elliptisch	1/12	Rabatt	3	2
Elliptisch	1	Projektive Ebene
Elliptisch	1/ nein	Projektive Ebene	n
Parabolisch	0	Kugel	2, 3, 6
Parabolisch	0	Kugel	2, 4, 4
Parabolisch	0	Kugel	3, 3, 3
Parabolisch	0	Kugel	2, 2, 2, 2
Parabolisch	0	Scheibe		2, 3, 6
Parabolisch	0	Scheibe		2, 4, 4
Parabolisch	0	Scheibe		3, 3, 3
Parabolisch	0	Scheibe		2, 2, 2, 2
Parabolisch	0	Scheibe	2	2, 2
Parabolisch	0	Scheibe	3	3
Parabolisch	0	Scheibe	4	2
Parabolisch	0	Scheibe	2, 2
Parabolisch	0	Projektive Ebene	2, 2
Parabolisch	0	Torus
Parabolisch	0	Kleinflasche
Parabolisch	0	Ring
Parabolisch	0	Möbius-Band

3-dimensionale Orbifolds

Eine 3-Mannigfaltigkeit heißt klein, wenn sie geschlossen, irreduzibel ist und keine inkompressiblen Flächen enthält.

Orbifold-Theorem. Sei M eine kleine 3-Mannigfaltigkeit. Sei φ ein nichttrivialer periodischer orientierungserhaltender Diffeomorphismus von M . Dann besitzt M eine φ-invariante hyperbolische oder Seifert-Faserstruktur.

Dieser Satz ist ein Spezialfall von Thurstons Orbifold-Theorem , der 1981 ohne Beweis angekündigt wurde; es ist Teil seiner Geometrisierungsvermutung für 3-Mannigfaltigkeiten . Insbesondere impliziert dies, dass, wenn X eine kompakte, zusammenhängende, orientierbare, irreduzible, atoroidale 3-Orbifold mit nichtleerem singulärem Ort ist, M eine geometrische Struktur (im Sinne von Orbifolds) hat. Ein vollständiger Beweis des Theorems wurde 2005 von Boileau, Leeb & Porti veröffentlicht.

Anwendungen

Orbifolds in der Stringtheorie

In der Stringtheorie hat das Wort "Orbifold" eine etwas neue Bedeutung. Für Mathematiker ist eine Orbifold eine Verallgemeinerung des Begriffs des Verteiler , den das Vorhandensein der Punkte , deren Nachbarschaft ermöglicht diffeomorph einen Quotienten von R ⁿ durch eine endliche Gruppe, dh R ⁿ / Γ . In der Physik beschreibt der Begriff eines Orbifolds normalerweise ein Objekt, das global als Bahnraum M / G geschrieben werden kann, wobei M eine Mannigfaltigkeit (oder eine Theorie) und G eine Gruppe seiner Isometrien (oder Symmetrien) ist – nicht unbedingt alle von ihnen. In der Stringtheorie müssen diese Symmetrien nicht geometrisch interpretiert werden.

Eine auf einem Orbifold definierte Quantenfeldtheorie wird in der Nähe der Fixpunkte von G singulär . Die Stringtheorie erfordert jedoch, dass wir neue Teile des geschlossenen String- Hilbert-Raums hinzufügen – nämlich die verdrillten Sektoren, in denen die auf den geschlossenen Strings definierten Felder bis zu einer Aktion von G periodisch sind . Orbifolding ist daher ein allgemeines Verfahren der Stringtheorie, um aus einer alten Stringtheorie eine neue Stringtheorie abzuleiten, bei der die Elemente von G mit der Identität identifiziert wurden. Ein solches Verfahren verringert die Anzahl der Zustände, da die Zustände unter G invariant sein müssen, erhöht aber auch die Anzahl der Zustände wegen der zusätzlichen verdrillten Sektoren. Das Ergebnis ist normalerweise eine vollkommen glatte, neue Stringtheorie.

D-Brane, die sich auf den Orbifolds ausbreiten, werden bei niedrigen Energien durch Eichtheorien beschrieben, die durch die Köcherdiagramme definiert sind . Offene Strings, die an diesen D-Branes befestigt sind, haben keinen verdrillten Sektor, und so wird die Anzahl der offenen String-Zustände durch das Orbifolding-Verfahren reduziert.

Genauer gesagt, wenn die Orbifold-Gruppe G eine diskrete Untergruppe von Raumzeit-Isometrien ist, dann ist das Ergebnis, wenn sie keinen Fixpunkt hat, normalerweise ein kompakter glatter Raum; der verdrillte Sektor besteht aus geschlossenen Saiten, die um die kompakte Dimension gewickelt sind, die als Wickelzustände bezeichnet werden .

Wenn die Orbifold-Gruppe G eine diskrete Untergruppe von Raumzeit-Isometrien ist und Fixpunkte hat, dann haben diese normalerweise konische Singularitäten , weil R ⁿ / Z _k eine solche Singularität am Fixpunkt von Z _{k hat} . In der Stringtheorie sind Gravitationssingularitäten normalerweise ein Zeichen für zusätzliche Freiheitsgrade, die sich an einem Ort in der Raumzeit befinden. Im Fall des Orbifolds sind diese Freiheitsgrade die verdrillten Zustände, die an den Fixpunkten "steckengeblieben" sind. Wenn die mit diesen verdrehten Zuständen verbundenen Felder einen Vakuumerwartungswert ungleich Null annehmen , wird die Singularität deformiert, dh die Metrik wird geändert und wird an diesem Punkt und um ihn herum regelmäßig. Ein Beispiel für eine resultierende Geometrie ist die Eguchi-Hanson- Raumzeit.

Aus der Sicht von D-Branen in der Nähe der Fixpunkte ist die effektive Theorie der an diesen D-Branen angebrachten offenen Strings eine supersymmetrische Feldtheorie, deren Vakuaraum einen singulären Punkt hat, an dem zusätzliche masselose Grade von Freiheit bestehen. Die Felder, die sich auf den verdrillten Sektor der geschlossenen Saite beziehen, koppeln sich so an die offenen Saiten, dass ein Fayet-Iliopoulos-Term zur supersymmetrischen Feldtheorie Lagrangeian hinzugefügt wird, so dass, wenn ein solches Feld einen Vakuumerwartungswert ungleich Null annimmt , der Fayet -Iliopoulos-Term ist ungleich Null und verformt dadurch die Theorie (dh ändert sie), so dass die Singularität nicht mehr existiert [1] , [2] .

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten

In Superstringtheorie , die Konstruktion realistischer phänomenologische Modelle erfordert Dimensionsreduktion , da die Saiten in einem 10-dimensionalen Raum , während die beobachtete Dimension natürlich propagieren Raumzeit des Universums 4. Formale Beschränkungen für die Theorien dennoch Einschränkungen auf dem Platz kompaktifiziert Raum in denen die extra "versteckten" Variablen leben: Bei der Suche nach realistischen 4-dimensionalen Modellen mit Supersymmetrie muss der verdichtete Hilfsraum eine 6-dimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit sein .

Es gibt eine große Anzahl möglicher Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten (Zehntausende), daher die Verwendung des Begriffs "Landschaft" in der aktuellen Literatur der theoretischen Physik, um die verblüffende Wahl zu beschreiben. Das allgemeine Studium der Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten ist mathematisch komplex und Beispiele waren lange Zeit schwer explizit zu konstruieren. Orbifolds haben sich daher als sehr nützlich erwiesen, da sie automatisch die durch die Supersymmetrie auferlegten Beschränkungen erfüllen. Sie liefern aufgrund ihrer singulären Punkte entartete Beispiele für Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten , aber dies ist aus Sicht der theoretischen Physik völlig akzeptabel. Solche Orbifolds werden "supersymmetrisch" genannt: Sie sind technisch leichter zu studieren als allgemeine Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten. Es ist sehr oft möglich, einer singulären supersymmetrischen Orbifold eine kontinuierliche Familie von nicht singulären Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten zuzuordnen. In 4 Dimensionen lässt sich dies anhand komplexer K3-Flächen veranschaulichen :

• Jede K3-Fläche lässt 16 Zyklen der Dimension 2 zu, die topologisch äquivalent zu üblichen 2-Kugeln sind. Wenn die Oberfläche dieser Kugeln gegen Null tendiert, entwickelt die K3-Oberfläche 16 Singularitäten. Dieser Grenzwert stellt einen Punkt auf der Grenze des Modulraums von K3-Flächen dar und entspricht der Orbifold , die sich aus dem Quotienten des Torus durch die Inversionssymmetrie ergibt.${\displaystyle T^{4}/\mathbb{Z}_{2}\,}$

Das Studium der Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten in der Stringtheorie und der Dualität zwischen verschiedenen Modellen der Stringtheorie (Typ IIA und IIB) führte 1988 zur Idee der Spiegelsymmetrie . Die Rolle von Orbifolds wurde zuerst von Dixon, Harvey, Vafa und aufgezeigt Witten ungefähr zur gleichen Zeit.

Musiktheorie

Über ihre vielfältigen und vielfältigen Anwendungen in Mathematik und Physik hinaus wurden Orbifolds mindestens schon 1985 in der Arbeit von Guerino Mazzola und später von Dmitri Tymoczko und Mitarbeitern ( Tymoczko 2006 ) und ( Callender & Tymoczko 2008 ) auf die Musiktheorie angewendet . Einer der Artikel von Tymoczko war der erste musiktheoretische Artikel, der von der Zeitschrift Science veröffentlicht wurde . Mazzola und Tymoczko haben an Debatten über ihre Theorien teilgenommen, die in einer Reihe von Kommentaren dokumentiert sind, die auf ihren jeweiligen Websites verfügbar sind. harv error: no target: CITEREFCallenderTymoczko2008 ( Hilfe )

Tymoczko modelliert musikalische Akkorde, die aus n Noten bestehen, die nicht unbedingt verschieden sind, als Punkte im Orbifold – den Raum von n ungeordneten Punkten (nicht notwendigerweise verschieden) im Kreis, realisiert als Quotient des n - Torus (der Raum von n geordnete Punkte auf dem Kreis) durch die symmetrische Gruppe (entspricht dem Übergang von einer geordneten Menge zu einer ungeordneten Menge). ${\displaystyle T^{n}/S_{n}}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Musikalisch wird dies wie folgt erklärt:

• Musiktöne hängen von der Frequenz (Tonhöhe) ihres Grundtons ab und werden daher durch die positiven reellen Zahlen R ⁺ parametrisiert .
• Musiktöne, die sich um eine Oktave (eine Frequenzverdopplung) unterscheiden, werden als der gleiche Ton betrachtet – dies entspricht der Logarithmusbasis 2 der Frequenzen (ergibt die reellen Zahlen als ), dann Quotienten durch die ganzen Zahlen (entspricht einer Abweichung um eine Zahl von Oktaven), was einen Kreis ergibt (als ).${\displaystyle \mathbf{R} =\log_{2}\mathbf{R}^{+}}$${\displaystyle S^{1}=\mathbf{R} /\mathbf{Z}}$
• Akkorde entsprechen mehreren Tönen ohne Bezug auf die Reihenfolge – also entsprechen t Noten (mit Reihenfolge) t geordneten Punkten auf dem Kreis oder äquivalent einem einzelnen Punkt auf dem t -Torus und das Weglassen der Reihenfolge entspricht der Quotientenbildung durch Ergeben einer Orbifold.${\displaystyle T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},}$${\displaystyle S_{t},}$

Für Dyaden (zwei Töne) ergibt dies den geschlossenen Möbiusstreifen ; für Triaden (drei Töne) ergibt dies eine Orbifold, die als dreieckiges Prisma beschrieben werden kann, wobei die oberen und unteren Dreiecksflächen mit einer 120°-Drehung (a ⅓-Drehung) gekennzeichnet sind – äquivalent als massiver Torus in 3 Dimensionen mit einem Kreuz -Abschnitt ein gleichseitiges Dreieck und eine solche Drehung.

Das resultierende Orbifold ist natürlich durch wiederholte Töne geschichtet (eigentlich durch ganzzahlige Partitionen von t ) – die offene Menge besteht aus verschiedenen Tönen (die Partition ), während es eine 1-dimensionale singuläre Menge gibt, die aus allen Tönen besteht, die gleich sind (die Partition ), der topologisch ein Kreis ist, und verschiedene Zwischenpartitionen. Es gibt auch einen bemerkenswerten Kreis, der durch das Zentrum der offenen Menge verläuft, die aus gleichmäßig verteilten Punkten besteht. Bei Triaden entsprechen die drei Seitenflächen des Prismas zwei gleichen Tönen und der dritte verschieden (der Teilung ), während die drei Kanten des Prismas der eindimensionalen Singularmenge entsprechen. Die oberen und unteren Flächen sind Teil des offenen Sets und erscheinen nur, weil die Orbifold geschnitten wurde – wenn sie als dreieckiger Torus mit einer Drehung betrachtet werden, verschwinden diese Artefakte. ${\displaystyle t=1+1+\cdots+1}$${\displaystyle t=t}$${\displaystyle 3=2+1}$

Tymoczko argumentiert, dass Akkorde nahe der Mitte (mit Tönen in gleichem oder fast gleichem Abstand) die Grundlage eines Großteils der traditionellen westlichen Harmonie bilden und dass ihre Visualisierung auf diese Weise bei der Analyse hilft. Es gibt 4 Akkorde in der Mitte (gleichmäßig bei gleichschwebender Temperatur – Abstand von 4/4/4 zwischen den Tönen), entsprechend den erweiterten Dreiklängen (als musikalische Sets gedacht ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB, und EG♯C (dann zyklisch: FAC♯ = C♯FA), wobei die 12 Dur-Akkorde und 12 Moll-Akkorde die Punkte neben, aber nicht in der Mitte sind – fast gleichmäßig verteilt, aber nicht ganz. Dur-Akkorde entsprechen einem Abstand von 4/3/5 (oder äquivalent 5/4/3), während Moll-Akkorde einem Abstand von 3/4/5 entsprechen. Schlüsseländerungen entsprechen dann der Bewegung zwischen diesen Punkten im Orbifold, wobei sanftere Änderungen durch die Bewegung zwischen benachbarten Punkten bewirkt werden.

Siehe auch

• Verzweigte Abdeckung
• Euler-Charakteristik eines Orbifolds
• Geometrischer Quotient
• Kawasakis Riemann-Roch-Formel
• Orbifold-Notation
• Orientierungshilfe
• Ring modularer Formen
• Stapel (Mathematik)

Anmerkungen

Verweise

• Serre, Jean-Pierre (1970). Cours d'Arithmétique . Presse Universitaire de France.
• Bredon, Glen (1972). Einführung in Compact Transformation Groups . Akademische Presse . ISBN 0-12-128850-1.
• Kawakubo, Katsuo (1991). Die Theorie der Transformationsgruppen . Oxford University Press . ISBN 0-19-853212-1.
• Satake, Ichirô (1956). "Über eine Verallgemeinerung des Begriffs der Mannigfaltigkeit" . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 42 (6): 359–363. Bibcode : 1956PNAS...42..359S . doi : 10.1073/pnas.42.6.359 . PMC  528292 . PMID  16578464 .
• Thurston, William (1978–1981). Die Geometrie und Topologie von Dreimannigfaltigkeiten . Vorlesungsnotizen der Princeton University. Kapitel 13.CS1 Wartung: Standort ( Link )
• Thurston, William (1982). „Dreidimensionale Mannigfaltigkeiten, Kleinian Gruppen und hyperbolische Geometrie“ . Bulletin der American Mathematical Society . 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
• Scott, Peter , Die Geometrie von 3-Mannigfaltigkeiten , Bull. London Math. Soz. 15 (1983), 401–487. ( Das Papier und seine Errata .)
• Boileau, Michel. "Geometrisierungen von 3-Mannigfaltigkeiten mit Symmetrien" (PDF) . Archiviert vom Original (PDF) am 30. September 2011 . Abgerufen am 6. Dezember 2007 .
• Michel Boileau, Sylvain Maillot und Joan Porti, Dreidimensionale Orbifolds und ihre geometrischen Strukturen . Panoramen und Synthesen 15 . Société Mathématique de France (2003). ISBN  2-85629-152-X .
• Boileau, Michel; Leeb, Bernhard; Porti, Johanna (2005). „Geometrisierung von 3-dimensionalen Orbifolds“. Annalen der Mathematik . 162 : 195–290. arXiv : math/0010185 . doi : 10.4007/annals.2005.162.195 . S2CID  119624092 .
• Daryl Cooper, Craig Hodgson und Steven Kerckhoff, Dreidimensionale Orbifolds and Cone-Manifolds . MSJ-Erinnerungen, 5 . Mathematische Gesellschaft Japans, Tokio (2000). ISBN  4-931469-05-1 .
• Matthew Brin, Vorlesungsnotizen zu Seifert-Faserräumen.
• Henri Poincaré, Papers on Fuchsian Functions , übersetzt von John Stillwell , Springer (1985). ISBN  3-540-96215-8 .
• Pierre de la Harpe, Eine Einladung an die Coxeter-Gruppe , Seiten 193–253 in „Gruppentheorie aus einer geometrischen Sicht – Trieste 1990“, World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• Alejandro Adem, Johann Leida und Yongbin Ruan, "Orbifolds and Stringy Topology", Cambridge Tracts in Mathematics Vol. 171, Cambridge University Press (2007).
• Werner Ballmann, Singuläre Räume nicht positiver Krümmung , Seiten 189–201 in "Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov", Progress in Mathematics 83 (1990), Birkhäuser. ISBN  0-8176-3508-4 .
• André Haefliger, Orbi-espaces , Seiten 203–213 in "Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov", Progress in Mathematics 83 (1990), Birkhäuser. ISBN  0-8176-3508-4 .
• John Stallings, Triangles of groups , Seiten 491–503 in „Gruppentheorie aus einer geometrischen Sicht – Trieste 1990“, World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• André Haefliger, Complexes of groups and orbihedra , Seiten 504–540 in "Gruppentheorie aus einer geometrischen Sicht – Trieste 1990", World Scientific (1991). ISBN  981-02-0442-6 .
• Martin Bridson und André Haefliger, Metric Spaces of Non-Positive Curvature , Grundlehren der math. Wissenschaften 319 (1999), Springer. ISBN  3-540-64324-9 .
• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu und David Sénéchal, Konforme Feldtheorie . Absolvententexte in zeitgenössischer Physik. Springer-Verlag (1997). ISBN  0-387-94785-X .
• Jean-Pierre Serre, Trees , Springer (2003) (englische Übersetzung von "arbres, amalgames, SL ₂ ", 3. Auflage, astérisque 46 (1983)).
• David Mumford (1979) Eine algebraische Fläche mit K reichlich, (K ² ) = 9, p _g = q = 0 American Journal of Mathematics 101, 233–244.
• Köhler, Peter; Meixner, Thomas; Wester, Michael (1985). "Das 2-adische affine Typgebäude und seine endlichen Projektionen"${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ . Zeitschrift für Kombinatorische Theorie . Serie A. 38 (2): 203–209. doi : 10.1016/0097-3165(85)90070-6 .
• Cartwright, Donald; Mantero, Anna Maria; Steger, Tim; Zappa, Anna (1993). "Gruppen, die einfach transitiv auf die Eckpunkte eines Gebäudes vom Typ I wirken"${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ . Geometriae Dedicata . 47 : 143–166. doi : 10.1007/BF01266617 .
• Ballmann, Werner; Brin, Michael (1994). "Polygonale Komplexe und kombinatorische Gruppentheorie" . Geometriae Dedicata . 50 (2): 165–191. doi : 10.1007/BF01265309 . S2CID  119617693 .
• wiątkowski, Jacek (2001). „Eine Klasse von Automorphismus-Gruppen von polygonalen Komplexen“. Vierteljährliche Zeitschrift für Mathematik . 52 (2): 231–247. doi : 10.1093/qjmath/52.2.231 .
• Tymoczko, Dmitri (7. Juli 2006). "Die Geometrie der musikalischen Akkorde" (PDF) . Wissenschaft . 313 (5783): 72–74. Bibcode : 2006Sci...313...72T . CiteSeerX  10.1.1.215.7449 . doi : 10.1126/science.1126287 . PMID  16825563 . S2CID  2877171 .
• Callender, Clifton; Quinn, Ian; Tymoczko, Dmitri (18. April 2008). "Verallgemeinerte sprachführende Räume" (PDF) . Wissenschaft . 320 (5874): 346–348. Bibcode : 2008Sci...320..346C . doi : 10.1126/science.1153021 . PMID  18420928 . S2CID  35229232 .