Gruppenaktion - Group action

Die cyclische Gruppe C 3 , bestehend aus den Drehungen um 0 °, 120 ° und 240 ° wirkt auf den Satz der drei Eckpunkte.

In der Mathematik ist eine Gruppenaktion auf einen Raum ein Gruppenhomomorphismus einer gegebenen Gruppe in die Gruppe von Transformationen des Raums. In ähnlicher Weise ist eine Gruppenaktion an einer mathematischen Struktur ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in die Automorphismusgruppe der Struktur. Es wird gesagt, dass die Gruppe auf den Raum oder die Struktur einwirkt . Wenn eine Gruppe auf eine Struktur einwirkt, wird sie normalerweise auch auf Objekte wirken, die aus dieser Struktur erstellt wurden. Zum Beispiel wirkt die Gruppe der euklidischen Isometrien auf den euklidischen Raum und auch auf die darin gezeichneten Figuren. Insbesondere wirkt es auf die Menge aller Dreiecke . In ähnlicher Weise wirkt die Symmetriegruppe eines Polyeders auf die Ecken , die Kanten und die Flächen des Polyeders.

Eine Gruppenaktion auf einem (endlich-dimensionalen) Vektorraum wird als Darstellung der Gruppe bezeichnet. Es erlaubt es , viele Gruppen mit Untergruppen zu identifizieren , GL ( n , K ) , die Gruppe der invertierbaren Matrizen der Dimension n über einen Bereich K .

Die symmetrische Gruppe S n wirkt auf jede Menge mit n Elementen, indem sie die Elemente der Menge vertauscht. Obwohl die Gruppe aller Permutationen einer Menge formal von der Menge abhängt, erlaubt das Konzept der Gruppenaktion, eine einzelne Gruppe zu betrachten, um die Permutationen aller Mengen mit derselben Kardinalität zu studieren .

Definition

Linke Gruppenaktion

Ist G eine Gruppe mit Identitätselement e und X eine Menge, dann ist eine ( linke ) Gruppenwirkung α von G auf X eine Funktion

das die folgenden zwei Axiome erfüllt:

Identität:
Kompatibilität:

(wobei α ( g , x ) oft zu gx oder gx verkürzt wird, wenn die betrachtete Aktion aus dem Kontext klar ist):

Identität:
Kompatibilität:

für alle g und h in G und alle x in X .

Die Gruppe G soll auf X (von links) wirken. Ein Satz X zusammen mit einer Wirkung von G eine (genannt links ) G - set .

Aus diesen beiden Axiomen folgt, dass für jedes feste g in G die Funktion von X auf sich selbst, die x auf gx abbildet , eine Bijektion ist, bei inverser Bijektion die entsprechende Abbildung für g −1 . Daher kann man eine Gruppenwirkung von G auf X äquivalent als Gruppenhomomorphismus von G in die symmetrische Gruppe Sym( X ) aller Bijektionen von X zu sich selbst definieren.

Richtige Gruppenaktion

Ebenso ist eine rechte Gruppenaktion von G auf X eine Funktion

(wobei α ( x , g ) oft zu xg oder xg verkürzt wird, wenn die betrachtete Aktion aus dem Kontext klar ist)

das erfüllt die analogen Axiome:

Identität:
Kompatibilität:

für alle g und h in G und alle x in X .

Der Unterschied zwischen linken und rechten Aktionen liegt in der Reihenfolge, in der ein Produkt gh auf x wirkt . Bei einer linken Aktion handelt h zuerst, gefolgt von g als zweiter. Bei einer rechten Aktion handelt g zuerst, gefolgt von h als zweitem. Wegen der Formel ( gh ) −1 = h −1 g −1 kann eine linke Aktion aus einer rechten Aktion konstruiert werden, indem mit der inversen Operation der Gruppe zusammengesetzt wird. Auch kann eine rechte Aktion einer Gruppe G auf X als eine linke Aktion ihrer gegenüberliegenden Gruppe G op auf X betrachtet werden .

Um allgemeine Eigenschaften von Gruppenaktionen festzulegen, reicht es also aus, nur linke Aktionen zu betrachten. Es gibt jedoch Fälle, in denen dies nicht möglich ist. Zum Beispiel induziert die Multiplikation einer Gruppe sowohl eine linke als auch eine rechte Aktion an der Gruppe selbst – eine Multiplikation auf der linken bzw. auf der rechten Seite.

Arten von Aktionen

Die Wirkung von G auf X heißt:

  • Transitiv , wennXistnicht-leerund wenn für jedes Paarx,yinXgibt es einginGso dass g x = y . Zum Beispiel ist die Wirkung der symmetrischen Gruppe vonXtransitiv, die Wirkung derallgemeinen linearen Gruppeoder derspeziellen linearen Gruppeeines VektorraumsVauf V ∖ {0}ist transitiv, aber die Wirkung derorthogonalen Gruppeeines Euklidischen RaumEist auf E ∖ {0}nicht transitiv(er ist jedoch auf derEinheitssphärevonEtransitiv).
  • Treue (oderwirksam )wenn für jeden zwei unterschiedlicheng,hinGexistiert einexinXso dass g x H x ; oder äquivalent, falls für jedes g e inGeinxinX existiert,so dass g x x . Mit anderen Worten, in einer getreuen Gruppenaktioninduzieren verschiedeneElemente vonGverschiedene Permutationen vonX. Algebraisch betrachtetwirkteine GruppeGgenau dann genauaufX,wenn der entsprechende Homomorphismus zur symmetrischen Gruppe G → Sym( X )einen trivialenKern hat. Somitbettet sichG für eine getreue Aktionin einePermutationsgruppeaufX ein; insbesondere istGisomorph zu seinem Bild in Sym(X). WennGnicht treu aufX handelt, können wir die Gruppe leicht modifizieren, um eine treue Aktion zu erhalten. Definieren wir N = { g in G  : g x = x für alle x in X }, dann istNeineNormalteilervonG; tatsächlich ist es der Kern des Homomorphismus G → Sym( X ). DieFaktorgruppeG/Nwirkt getreu aufX,indem sie( gN )⋅ x = g x setzt . Die ursprüngliche Aktion vonGaufXist genau dann getreu, wenn N = { e }. Die kleinste Menge, auf der eine originalgetreue Aktion definiert werden kann, kann bei gleich großen Gruppen stark variieren. Zum Beispiel:
    • Drei Gruppen der Größe 120 sind die symmetrische Gruppe S 5 , die ikosaedrische Gruppe und die zyklische Gruppe . Die kleinsten Sets, auf denen treue Aktionen definiert werden können, sind jeweils Größe 5, 12 und 16.
    • Die abelschen Gruppen der Größe 2 n umfassen eine zyklische Gruppe sowie (das
    direkte Produkt von n Kopien von ), aber die letztere wirkt treu auf eine Menge der Größe 2 n , während die erstere nicht auf eine Menge, die kleiner ist als sie selbst, treu wirken kann.
  • Freie (odersemiregularoderFestpunkt frei)wenn beig,hinG, die Existenz einesxinXmit g x = h x bedeutet , g = h . Äquivalent: Wenngein Gruppenelement ist und es einxinXmit g x = x gibt (dhwenngmindestens einen Fixpunkt hat), dann istgdie Identität. Beachten Sie, dass eine freie Aktion auf einem nicht leeren Set treu ist.
  • Regelmäßig (odereinfach transitiv oderscharf transitiv), wenn es sowohl transitiv als auch frei ist; dies ist gleichbedeutend damit zu sagen, dass für je zweix,yinXgenau einginG existiert,so dass g x = y . In diesem Fall heißtXeinhomogener HauptraumfürGoder einG-Torsor. Die Wirkung einer beliebigen GruppeGauf sich selbst durch Linksmultiplikation ist regelmäßig und somit auch getreu. Jede Gruppe kann daher auf ihren eigenen Elementen in die symmetrische Gruppe eingebettet werden, Sym(G). Dieses Ergebnis ist alsTheorem von Cayley bekannt.
  • n -transitive wenn X mindestens n Elementen und für alle unterschiedlichen x 1 , ..., x n und alle verschieden y 1 , ..., y n , gibt es ein g in G , so dass gx k = y k für 1 ≤ kn . Eine 2-transitive Aktion wird auch genanntdoppelt transitiv , eine 3-transitive Aktion wird auchdreifach transitiv genanntund so weiter. Solche Aktionen definieren interessante Klassen von Untergruppen in den symmetrischen Gruppen:2-transitive Gruppenund allgemeinermultiplizierende transitive Gruppen. Die Wirkung der symmetrischen Gruppe auf eine Menge mitnElementen ist immern-transitiv; die Wirkung deralternierenden Gruppeist (n − 2)-transitiv.
  • Scharf n- transitiv, wenn es genau ein solchesg gibt.
  • Primitive, wenn sie transitiv ist und keine nicht-triviale Partition vonX beibehält. WeitereInformationen findenSie unterprimitive Permutationsgruppe.
  • Lokal frei, wenn G eine topologische Gruppe ist und es eine Umgebung U von e in G gibt, so dass die Beschränkung der Wirkung auf U frei ist; das heißt, wenn gx = x für ein x und ein g in U ist, dann ist g = e .
  • Wenn G auf einen topologischen Raum X wirkt , dann ist die Aktion:

    • Wandern, wenn jeder Punkt x in X eine Umgebung U hat ,die endlich ist. Zum Beispielwandertdie Wirkung vononby translations. Auch die Aktion der modularen Gruppe auf der Poincaré-Halbebene wandert.
    • Richtig unstetig, wenn X ein lokal kompakter Raum ist und für jede kompakte Teilmenge K  ⊂  X die Menge endlich ist. Die oben angegebenen Wanderaktionen sind ebenfalls richtig diskontinuierlich. Auf der anderen Seite ist die Wirkung von on gegeben durch wandernd und frei, aber nicht richtig diskontinuierlich.
    • Proper , wennGeine topologische Gruppe und die Karte aus ististrichtige. WennGistdiskretesPassen entspricht richtige Diskontinuität für dannG-Aktionen.
    • Besagt diskrete Bahnen, wenn die Bahn von jedem x in X unter der Wirkung von G diskret in X ist .
    • Eine überdeckende Raumwirkung, wenn jeder Punkt x in X eine Umgebung U hat, so dass .

    Wenn X a ist nicht Null Modul über einen Ring R und die Wirkung von G ist , R -linear dann gesagt werden ,

    • Irreduzibel, wenn es keinen echten invarianten Submodul ungleich Null gibt.

    Bahnen und Stabilisatoren

    In der Verbindung von fünf Tetraedern ist die Symmetriegruppe die (rotierende) ikosaedrische Gruppe I der Ordnung 60, während der Stabilisator eines einzelnen ausgewählten Tetraeders die (rotierende) tetraedrische Gruppe T der Ordnung 12 ist und der Bahnraum I / T ( der Ordnung 60/12 = 5) wird natürlich mit den 5-Tetraedern identifiziert – die Nebenklasse gT entspricht dem Tetraeder, zu dem g das gewählte Tetraeder schickt.

    Betrachten Sie eine Gruppe G, die auf eine Menge X wirkt . Die Bahn eines Elements x in X ist die Menge der Elemente in X, auf die x durch die Elemente von G bewegt werden kann . Die Bahn von x wird mit Gx bezeichnet :

    Die definierenden Eigenschaften einer Gruppe garantieren, dass die Menge der Bahnen von (Punkten x in) X unter der Wirkung von G eine Partition von X bildet . Die zugehörige Äquivalenzbeziehung wird mit den Worten definiert x \ y , wenn und nur wenn ein existiert g in G mit gx = y . Die Bahnen sind dann die Äquivalenzklassen unter dieser Beziehung; zwei Elemente x und y sind genau dann äquivalent, wenn ihre Bahnen gleich sind, also Gx = Gy .

    Die Gruppenwirkung ist genau dann transitiv, wenn sie genau eine Umlaufbahn hat, also x in X existiert mit Gx = X . Dies ist genau dann der Fall, wenn Gx = X für alle x in X (vorausgesetzt, X ist nicht leer).

    Die Menge aller Bahnen von X unter der Einwirkung von G wird als X / G (oder seltener: G \ X ) geschrieben und heißt Quotient der Einwirkung. In geometrischen Situationen kann es als bezeichnet werdenBahnraum , während er in algebraischen Situationen als Raum von bezeichnet werden kannKoinvarianten und geschriebenX G , im Gegensatz zu den Invarianten (Fixpunkte), bezeichnet mitX G : die Koinvarianten sind einQuotient,während die Invarianten eineTeilmenge sind. Die koinvariante Terminologie und Notation werden insbesondere in derGruppenkohomologieundGruppenhomologie verwendet, die dieselbe hochgestellte/tiefgestellte Konvention verwenden.

    Invariante Teilmengen

    Wenn Y a Subset von X , man schreibt GY für den Satz { gy  : yY und gG } . Die Teilmenge Y heißt invariant unter G, falls GY = Y (was äquivalent zu GYY ist ). In diesem Fall operiert G auch auf Y, indem es die Aktion auf Y beschränkt . Die Teilmenge Y heißt fest unter G, wenn gy = y für alle g in G und alle y in Y ist . Jede unter G fixierte Teilmenge ist auch unter G invariant , aber nicht umgekehrt.

    Jede Bahn ist eine invariante Teilmenge von X, auf die G transitiv wirkt . Umgekehrt ist jede invariante Teilmenge von X eine Vereinigung von Bahnen. Die Wirkung von G auf X ist genau dann transitiv, wenn alle Elemente äquivalent sind, also nur eine Bahn existiert.

    Ein G-invariant Element X ist xX , so dass gx = x für alle gG . Die Menge all dieser x wird mit X G bezeichnet und als G-Invarianten von X bezeichnet . Wenn X ein G- Modul ist , ist X G die nullte Kohomologiegruppe von G mit Koeffizienten in X und die höheren Kohomologiegruppen sind die abgeleiteten Funktoren des Funktors von G- Invarianten.

    Fixpunkte und Stabilisatoruntergruppen

    Gegeben g in G und x in X mit gx = x , heißt es " x ist ein Fixpunkt von g " oder " g fixiert x ". Für jedes x in X ist die Stabilisatoruntergruppe von G bezüglich x (auch Isotropiegruppe oder kleine Gruppe genannt ) die Menge aller Elemente in G , die x fixieren :

    Dies ist eine Untergruppe von G , aber normalerweise keine normale. Die Wirkung von G auf X ist genau dann frei, wenn alle Stabilisatoren trivial sind. Der Kern N des Homomorphismus mit der symmetrischen Gruppe G → Sym( X ) ist durch den Schnitt der Stabilisatoren G x für alle x in X gegeben . Wenn N trivial ist, wird die Aktion als treu (oder effektiv) bezeichnet.

    Seien x und y zwei Elemente in X und g ein Gruppenelement mit y = gx . Dann stehen die beiden Stabilisatorgruppen G x und G y in Beziehung zu G y = g G x g −1 . Beweis: per Definition ist hG y genau dann, wenn h ⋅( gx ) = gx . Die Anwendung von g −1 auf beide Seiten dieser Gleichheit ergibt ( g −1 hg )⋅ x = x ; das heißt, g -1 hgG x . Eine umgekehrte Inklusion folgt in ähnlicher Weise, indem man hG x nimmt und x = g −1y annimmt .

    Das Obige besagt, dass die Stabilisatoren von Elementen in derselben Umlaufbahn konjugiert sind. Somit können wir jedem Orbit eine Konjugationsklasse einer Untergruppe von G ( dh die Menge aller Konjugierten der Untergruppe) zuordnen. Lassen Sie die Konjugationsklasse von bezeichnen H . Dann hat die Umlaufbahn O Typ, wenn der Stabilisator von irgendeinem/beliebigen x in O gehört zu . Ein maximaler Bahntyp wird oft als Hauptbahntyp bezeichnet .

    Orbit-Stabilisator-Theorem und Burnsides Lemma

    Bahnen und Stabilisatoren sind eng verwandt. Betrachten Sie für ein festes x in X die Abbildung f : GX gegeben durch gg · x . Definitionsgemäß ist das Bild f ( G ) dieser Karte die Bahn G · x . Die Bedingung, dass zwei Elemente das gleiche Bild haben, ist

    .

    Mit anderen Worten, wenn und nur wenn und liegt in derselben coset für den Stabilisator Untergruppe . Somit ist die Faser von f über jedes y in G · x in einer solchen Nebenklasse enthalten, und jede solche Nebenklasse kommt auch als Faser vor. Daher definiert f eine Bijektion zwischen der Menge der Nebenklassen für die Stabilisatoruntergruppe und der Bahn G · x , die sendet . Dieses Ergebnis ist als Orbit-Stabilisator-Theorem bekannt .

    Wenn G endlich ist, dann liefert der Bahnstabilisatorsatz zusammen mit dem Satz von Lagrange

    mit anderen Worten, die Länge der Umlaufbahn von x mal der Ordnung ihres Stabilisators ist die Ordnung der Gruppe. Dies impliziert insbesondere, dass die Bahnlänge ein Teiler der Gruppenordnung ist.

    Beispiel: Sei G eine Gruppe Primzahl p, die auf eine Menge X mit k Elementen wirkt . Da jede Bahn entweder 1 oder p Elemente hat, gibt es mindestens Bahnen der Länge 1, die G- invariante Elemente sind.

    Dieses Ergebnis ist besonders nützlich, da es zum Zählen von Argumenten verwendet werden kann (typischerweise in Situationen, in denen X ebenfalls endlich ist).

    Kubischer Graph mit beschrifteten Scheitelpunkten
    Beispiel: Wir können das Orbit-Stabilisator-Theorem verwenden, um die Automorphismen eines Graphen zu zählen . Betrachten Sie den kubischen Graphen wie abgebildet, und bezeichne G seine Automorphismusgruppe . Dann wirkt G auf die Menge der Ecken {1, 2, ..., 8}, und diese Aktion ist transitiv, wie man durch die Komposition von Drehungen um den Mittelpunkt des Würfels sehen kann. Somit ist nach dem Bahnstabilisator-Theorem . Wenden wir nun den Satz auf den Stabilisator G 1 an , so erhalten wir . Jedes Element von G dass 1 fixen 2 entweder 2 senden muß, 4 oder 5. Als ein Beispiel für solche automorphisms der Drehung um die Querachse durch betrachten 1 und 7 von denen permutieren 2,4,5 und 3,6,8 , und Fixes 1 und 7. Somit, . Die dritte Anwendung des Theorems ergibt . Jedes Element von G , das 1 und 2 fixiert, muss 3 entweder an 3 oder 6 senden. Das Spiegeln des Würfels an der Ebene durch 1,2,7 und 8 ist ein solcher Automorphismus, der 3 zu 6 sendet, also . Man sieht auch, dass dieser nur aus dem Identitätsautomorphismus besteht, da jedes Element von G , das 1, 2 und 3 fixiert, auch alle anderen Knoten fixieren muss, da sie durch ihre Nachbarschaft zu 1, 2 und 3 bestimmt werden jetzt erhalten .

    Ein Ergebnis, das eng mit dem Orbit-Stabilisator-Theorem verwandt ist, ist das Lemma von Burnside :

    wobei X g die durch g festgelegte Punktmenge ist . Dieses Ergebnis ist hauptsächlich von Nutzen, wenn G und X endlich sind, wenn es wie folgt interpretiert werden kann: Die Anzahl der Umlaufbahnen ist gleich der durchschnittlichen Anzahl der pro Gruppenelement festgelegten Punkte.

    Wenn man eine Gruppe G festlegt, bildet die Menge der formalen Differenzen endlicher G- Mengen einen Ring, der Burnside-Ring von G genannt wird , wobei die Addition einer disjunkten Vereinigung und die Multiplikation dem kartesischen Produkt entspricht .

    Beispiele

    • Die triviale Wirkung einer beliebigen GruppeGauf eine beliebige MengeXist definiert durch g x = x für alleginGund allexinX; das heißt, jedes Gruppenelement induziert dieIdentitätspermutationaufX.
    • In jeder Gruppe G , linke Multiplikation ist eine Aktion von G auf G : gx = gx für all g , x in G . Diese Aktion ist frei und transitiv (regulär) und bildet die Grundlage für einen schnellen Beweis des Satzes von Cayley – dass jede Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe von Permutationen der Menge G ist .
    • In jeder Gruppe G mit Untergruppe H ist die Linksmultiplikation eine Aktion von G auf die Menge der Nebenklassen G/H : gaH = gaH für alle g , a in G . Insbesondere wenn H keine nichttrivialen Normaluntergruppen von G enthält, induziert dies einen Isomorphismus von G zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe vom Grad [G : H] .
    • In jeder Gruppe G ist die Konjugation eine Aktion von G auf G : gx = gxg −1 . Für die Rechtsaktionsvariante wird üblicherweise eine Exponentialschreibweise verwendet: x g = g −1 xg ; es erfüllt ( x g ) h = x gh .
    • In jeder Gruppe G mit Untergruppe H ist die Konjugation eine Aktion von G auf Konjugate von H : gK = gKg −1 für alle g in G und K Konjugaten von H .
    • Die symmetrische Gruppe S n und ihre Untergruppen wirken auf die Menge { 1, …, n }, indem sie ihre Elemente vertauschen
    • Die Symmetriegruppe eines Polyeders wirkt auf die Eckenmenge dieses Polyeders. Es wirkt auch auf die Menge der Flächen oder die Menge der Kanten des Polyeders.
    • Die Symmetriegruppe eines beliebigen geometrischen Objekts wirkt auf die Punktmenge dieses Objekts.
    • Die Automorphismusgruppe eines Vektorraums (oder Graphen , oder Gruppe oder Rings ...) wirkt auf den Vektorraum (oder die Menge von Ecken des Graphen oder der Gruppe oder des Rings ...).
    • Die allgemeine lineare Gruppe GL( n , K ) und ihre Untergruppen, insbesondere ihre Lie-Untergruppen (einschließlich der speziellen linearen Gruppe SL( n , K ) , orthogonale Gruppe O( n , K ) , spezielle orthogonale Gruppe SO( n , K ) , und symplektische Gruppe Sp( n , K ) ) sind Lie-Gruppen , die auf den Vektorraum K n wirken . Die Gruppenoperationen ergeben sich durch Multiplikation der Matrizen aus den Gruppen mit den Vektoren aus K n .
    • Die allgemeine lineare Gruppe GL( n , Z ) wirkt auf Z n durch natürliche Matrixwirkung. Die Bahnen seiner Wirkung werden durch den größten gemeinsamen Koordinatenteiler des Vektors in Z n klassifiziert .
    • Die affine Gruppe wirkt transitiv auf die Punkte eines affinen Raumes , und die Untergruppe V der affinen Gruppe (d. h. ein Vektorraum) hat auf diesen Punkten transitive und freie (d. h. reguläre ) Wirkung; tatsächlich kann dies verwendet werden, um eine Definition eines affinen Raums zu geben .
    • Die projektive lineare Gruppe PGL( n + 1, K ) und ihre Untergruppen, insbesondere ihre Lie-Untergruppen, die Lie-Gruppen sind, die auf den projektiven Raum P n ( K ) wirken. Dies ist ein Quotient der Wirkung der allgemeinen linearen Gruppe auf den projektiven Raum. Besonders bemerkenswert ist PGL(2, K ) , die Symmetrien der projektiven Linie, die scharf 3-transitiv ist und das Kreuzverhältnis bewahrt ; die Möbius-Gruppe PGL(2, C ) ist von besonderem Interesse.
    • Die Isometrien der Ebene wirken auf den Satz von 2D-Bildern und -Mustern, wie beispielsweise Tapetenmustern . Die Definition kann präzisiert werden, indem angegeben wird, was mit Bild oder Muster gemeint ist, beispielsweise eine Positionsfunktion mit Werten in einem Satz von Farben. Isometrien sind in der Tat ein Beispiel für eine affine Gruppe (Wirkung).
    • Die Sets beaufschlagt durch eine Gruppe G umfassen die Klasse von G , in dem die Objekte -Sets G -Sets und die morphisms sind G -Set homomorphisms: Funktionen f  : XY , so dass g ⋅ ( f ( x )) = f ( gx ) für jedes g in G .
    • Die Galois-Gruppe einer Körpererweiterung L / K wirkt auf den Körper L, hat aber nur eine triviale Wirkung auf Elemente des Unterkörpers K. Untergruppen von Gal(L/K) entsprechen Unterkörpern von L, die K enthalten, also Zwischenkörper Verlängerungen zwischen L und K.
    • Die additive Gruppe der reellen Zahlen ( R , +) wirkt auf den Phasenraum von " wohlerzogenen " Systemen in der klassischen Mechanik (und in allgemeineren dynamischen Systemen ) durch Zeittranslation : wenn t in R und x in der Phase ist Raum, dann beschreibt x einen Zustand des Systems, und t + x ist definiert als der Zustand des Systems t Sekunden später, wenn t positiv ist, oder − t Sekunden zurück, wenn t negativ ist.
    • Die additive Gruppe der reellen Zahlen ( R , +) wirkt auf verschiedene Weise auf die Menge der reellen Funktionen einer reellen Variablen, wobei ( tf )( x ) beispielsweise gleich f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe t ) , f ( x ) e t , f ( x + t ) e t oder f ( xe t ) + t , aber nicht f ( xe t + t ) .
    • Gegeben eine Gruppenwirkung von G auf X können wir eine induzierte Wirkung von G auf die Potenzmenge von X definieren , indem wir gU = { gu  : uU } für jede Teilmenge U von X und jedes g in G . setzen . Dies ist zum Beispiel nützlich, um die Wirkung der großen Mathieu-Gruppe auf eine 24-Menge zu untersuchen und die Symmetrie in bestimmten Modellen endlicher Geometrien zu studieren .
    • Die Quaternionen mit Norm 1 (die Versoren ) wirken als multiplikative Gruppe auf R 3 : für jede solche Quaternion z = cos α /2 + v sin α /2 ist die Abbildung f ( x ) = z x z a Drehung gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel α um eine durch einen Einheitsvektor v gegebene Achse ; z die gleiche Drehung ist; siehe Quaternionen und räumliche Rotation . Beachten Sie, dass dies keine originalgetreue Aktion ist, da die Quaternion −1 alle Punkte dort belässt, wo sie waren, ebenso wie die Quaternion 1.
    • Bei gegebenen linken G- Mengen gibt es eine linke G- Menge, deren Elemente G- äquivariante Abbildungen sind und deren linke G- Aktion gegeben ist durch (wobei " " die rechte Multiplikation mit anzeigt ). Diese G- Menge hat die Eigenschaft, dass ihre Fixpunkte äquivarianten Abbildungen entsprechen ; allgemeiner ist es ein exponentielles Objekt in der Kategorie der G- Mengen.

    Gruppenaktionen und Groupoids

    Der Begriff der Gruppenaktion kann unter Verwendung des in einem breiteren Zusammenhang gebracht werden Aktion Gruppoid zur Gruppe Aktion zugeordnet, so dass Techniken aus Gruppoid Theorie wie Präsentationen und Faserungen . Weiterhin sind die Stabilisatoren der Aktion die Scheitelgruppen, und die Bahnen der Aktion sind die Komponenten des Aktionsgruppenoids. Weitere Informationen finden Sie in dem Buch Topologie und Gruppoide, auf das unten verwiesen wird.

    Dieses Aktionsgruppoid kommt mit einem Morphismus p :  G′G , der ein überdeckender Morphismus von Gruppoiden ist . Dies ermöglicht eine Beziehung zwischen solchen Morphismen und überdeckenden Karten in der Topologie.

    Morphismen und Isomorphismen zwischen G -Mengen

    Wenn X und Y sind zwei G -Sets, ein morphism von X zu Y ist eine Funktion f  : XY , so daß f ( gx ) = gf ( x ) für alle g in G und alle x in X . Morphismen von G- Mengen werden auch äquivariante Abbildungen oder G-Abbildungen genannt .

    Die Zusammensetzung zweier Morphismen ist wiederum ein Morphismus. Wenn ein Morphismus f bijektiv ist, dann ist auch seine Inverse ein Morphismus. In diesem Fall f wird ein genannter Isomorphismus , und die zwei G -Sets X und Y werden als isomorphes ; für alle praktischen Zwecke sind isomorphe G -Mengen nicht unterscheidbar.

    Einige Beispiele für Isomorphismen:

    • Jede reguläre G- Aktion ist isomorph zur Wirkung von G auf G gegeben durch Linksmultiplikation.
    • Jede freie G- Aktion ist isomorph zu G × S , wobei S eine Menge ist und G auf G × S durch Linksmultiplikation an der ersten Koordinate wirkt . ( S kann als die Menge der Bahnen X / G angesehen werden .)
    • Jede transitive G- Aktion ist isomorph zur linken Multiplikation mit G auf der Menge der linken Nebenklassen einer Untergruppe H von G . ( H kann als Stabilisatorgruppe jedes Elements des ursprünglichen G- Satzes angesehen werden.)

    Mit diesem Morphismus-Begriff bildet die Sammlung aller G- Mengen eine Kategorie ; diese Kategorie ist ein Grothendieck-Topos (in der Tat wird dieser Topos unter Annahme einer klassischen Metalogik sogar boolesch sein).

    Kontinuierliche Gruppenaktionen

    Man betrachtet oft stetige Gruppenwirkungen : die Gruppe G ist eine topologische Gruppe, X ist ein topologischer Raum und die Abbildung G × XX ist stetig bezüglich der Produkttopologie von G × X . Der Raum X wird in diesem Fall auch G-Raum genannt . Dies ist in der Tat eine Verallgemeinerung, da jede Gruppe unter Verwendung der diskreten Topologie als topologische Gruppe angesehen werden kann . Alle oben eingeführten Konzepte funktionieren in diesem Zusammenhang noch, jedoch definieren wir Morphismen zwischen G- Räumen als stetige Abbildungen, die mit der Wirkung von G kompatibel sind . Der Quotient X / G erbt die Quotiententopologie von X und wird Quotientenraum der Aktion genannt. Die obigen Aussagen über Isomorphismen für reguläre, freie und transitive Aktionen gelten nicht mehr für kontinuierliche Gruppenaktionen.

    Wenn X ein regulärer überdeckender Raum eines anderen topologischen Raums Y ist , dann ist die Wirkung der Decktransformationsgruppe auf X sowohl richtig als auch frei. Jede freie, richtig diskontinuierliche Wirkung einer Gruppe G auf einem wegzusammenhängend topologischen Raum X entsteht auf diese Weise: der Quotient Karte XX / G ist eine regelmäßige Abdeckung Karte, und die Deck Transformationsgruppe ist , die gegebene Wirkung von G auf X . Wenn X einfach zusammenhängend ist, ist die Fundamentalgruppe von X / G isomorph zu G .

    Diese Ergebnisse wurden in dem unten angeführten Buch Topology and Groupoids verallgemeinert , um das Fundamentalgruppoid des Bahnraums einer unstetigen Wirkung einer diskreten Gruppe auf einen Hausdorff-Raum zu erhalten, da unter vernünftigen lokalen Bedingungen das Bahngruppoid des Fundamentalgruppoids von der Raum. Dies ermöglicht Berechnungen wie die Fundamentalgruppe des symmetrischen Quadrats eines Raumes X , nämlich den Bahnraum des Produkts von X mit sich selbst unter der Verdrehungswirkung der zyklischen Gruppe der Ordnung 2, die ( x , y ) nach ( y , x ) .

    Eine Aktion einer Gruppe G auf einem lokal kompakten Raum X ist cocompact wenn es eine kompakte Teilmenge vorhanden ist A von X derart , dass GA = X . Für eine richtig diskontinuierliche Wirkung ist die Kokompaktheit äquivalent zur Kompaktheit des Quotientenraums X/G .

    Die Wirkung von G auf X wird gesagt, dass die richtige , wenn die Abbildung G × XX × X dass sendet ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) ist eine richtige Karte .

    Stark kontinuierliche Gruppenaktion und glatte Punkte

    Eine Gruppenwirkung einer topologischen Gruppe G auf einem topologischen Raum X heißt stark stetig, wenn für alle x in X die Abbildung ggx bezüglich der jeweiligen Topologien stetig ist. Eine solche Aktion induziert eine Aktion auf dem Raum stetiger Funktionen auf X, indem sie ( gf )( x ) = f ( g −1x ) für jedes g in G , f eine stetige Funktion auf X und x in X . Beachten Sie, dass, obwohl jede kontinuierliche Gruppenaktion stark stetig ist, das Umgekehrte im Allgemeinen nicht gilt.

    Der Unterraum der glatten Punkte für die Aktion ist der Unterraum von X der Punkte x, so dass ggx glatt ist, dh stetig ist und alle Ableitungen stetig sind.

    Varianten und Verallgemeinerungen

    Wir können auch Wirkungen von Monoiden auf Mengen betrachten, indem wir dieselben beiden Axiome wie oben verwenden. Dies definiert jedoch keine bijektiven Karten und Äquivalenzrelationen. Siehe Halbgruppenaktion .

    Anstelle von Aktionen auf Mengen können wir Aktionen von Gruppen und Monoiden auf Objekte einer beliebigen Kategorie definieren: Beginnen Sie mit einem Objekt X irgendeiner Kategorie und definieren Sie dann eine Aktion auf X als Monoidhomomorphismus in das Monoid der Endomorphismen von X . Wenn X eine zugrunde liegende Menge hat, können alle oben genannten Definitionen und Fakten übernommen werden. Nehmen wir zum Beispiel die Kategorie der Vektorräume, so erhalten wir auf diese Weise Gruppendarstellungen .

    Wir können eine Gruppe G als eine Kategorie mit einem einzigen Objekt betrachten, in der jeder Morphismus invertierbar ist. Eine (linke) Gruppenaktion ist dann nichts anderes als ein (kovarianter) Funktor von G zur Kategorie der Mengen und eine Gruppendarstellung ist ein Funktor von G zur Kategorie der Vektorräume . Ein Morphismus zwischen G-Mengen ist dann eine natürliche Transformation zwischen den Gruppenaktionsfunktoren. In Analogie ist eine Aktion eines Gruppoids ein Funktor vom Gruppoid in die Kategorie der Mengen oder in eine andere Kategorie.

    Neben kontinuierlichen Aktionen topologischer Gruppen auf topologische Räume betrachtet man oft auch glatte Aktionen von Lie-Gruppen auf glatte Mannigfaltigkeiten , reguläre Aktionen algebraischer Gruppen auf algebraische Varietäten und Aktionen von Gruppenschemata auf Schemata . All dies sind Beispiele für Gruppenobjekte, die auf Objekte ihrer jeweiligen Kategorie wirken.

    Galerie

    Siehe auch

    Anmerkungen

    Zitate

    Verweise

    Externe Links