Parabel - Parabola

Teil einer Parabel (blau), mit verschiedenen Funktionen (andere Farben). Die komplette Parabel hat keine Endpunkte. In dieser Ausrichtung erstreckt es sich unendlich nach links, rechts und nach oben.
Die Parabel gehört zur Familie der Kegelschnitte .

In der Mathematik ist eine Parabel eine ebene Kurve, die spiegelsymmetrisch und ungefähr U- förmig ist . Es passt zu mehreren oberflächlich unterschiedlichen mathematischen Beschreibungen, von denen nachgewiesen werden kann, dass sie alle genau die gleichen Kurven definieren.

Eine Beschreibung einer Parabel beinhaltet einen Punkt (den Fokus ) und eine Linie (die Leitlinie ). Der Fokus liegt nicht auf der Leitlinie. Die Parabel ist der Ort von Punkten in dieser Ebene, die äquidistant sowohl von der Leitkurve und Fokus. Eine andere Beschreibung einer Parabel ist ein Kegelschnitt , der aus dem Schnittpunkt einer geraden kreisförmigen Kegelfläche und einer Ebene parallel zu einer anderen Ebene entsteht, die tangential zur Kegelfläche ist.

Die Linie senkrecht zur Leitlinie und durch den Fokus (dh die Linie, die die Parabel durch die Mitte teilt) wird "Symmetrieachse" genannt. Der Punkt, an dem die Parabel ihre Symmetrieachse schneidet, wird „ Scheitelpunkt “ genannt und ist der Punkt, an dem die Parabel am stärksten gekrümmt ist. Der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt und dem Fokus, gemessen entlang der Symmetrieachse, ist die "Brennweite". Der „ latus rectum “ ist die Sehne der Parabel, die parallel zur Leitlinie verläuft und durch den Fokus geht. Parabeln können sich nach oben, unten, links, rechts oder in eine andere beliebige Richtung öffnen. Jede Parabel kann neu positioniert und skaliert werden, um genau auf jede andere Parabel zu passen – d. h., alle Parabeln sind geometrisch ähnlich .

Parabeln haben die Eigenschaft , dass, wenn sie aus einem Material hergestellt sind , das reflektiert Licht , dann Licht , das parallel zu der Symmetrieachse einer Parabel bewegt und trifft auf seiner konkaven Seite an seinen Fokus reflektiert wird, und zwar unabhängig davon , wo auf der Parabel die Reflexion auftritt. Umgekehrt wird Licht, das von einer Punktquelle im Brennpunkt stammt, in einen parallelen (" kollimierten ") Strahl reflektiert, wobei die Parabel parallel zur Symmetrieachse zurückbleibt. Die gleichen Effekte treten bei Schall und anderen Wellen auf. Diese reflektierende Eigenschaft ist die Grundlage vieler praktischer Anwendungen von Parabeln.

Die Parabel hat viele wichtige Anwendungen, von einer Parabolantenne oder einem Parabolmikrofon bis hin zu Autoscheinwerferreflektoren und dem Design ballistischer Flugkörper . Es wird häufig in der Physik , im Ingenieurwesen und in vielen anderen Bereichen verwendet.

Geschichte

Parabolkompass von Leonardo da Vinci

Das früheste bekannte Werk über Kegelschnitte stammt von Menaechmus im 4. Jahrhundert v. Er entdeckte einen Weg, das Problem der Würfelverdopplung mit Parabeln zu lösen . (Die Lösung genügt jedoch nicht den Anforderungen der Zirkel-Gerade-Konstruktion .) Die von einer Parabel und einem Liniensegment eingeschlossene Fläche, das sogenannte "Parabelsegment", wurde von Archimedes nach der Erschöpfungsmethode in . berechnet das 3. Jahrhundert v. Chr., in seiner Quadratur der Parabel . Der Name "Parabel" geht auf Apollonius zurück , der viele Eigenschaften von Kegelschnitten entdeckte. Es bedeutet "Anwendung" und bezieht sich auf das Konzept "Anwendung von Flächen", das mit dieser Kurve in Verbindung steht, wie Apollonius bewiesen hatte. Die Fokus-Direktrix-Eigenschaft der Parabel und anderer Kegelschnitte ist auf Pappus zurückzuführen .

Galileo zeigte, dass die Bahn eines Projektils einer Parabel folgt, eine Folge der gleichmäßigen Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft.

Die Idee, dass ein Parabolreflektor ein Bild erzeugen kann, war schon vor der Erfindung des Spiegelteleskops bekannt . Designs wurden Anfang bis Mitte des 17. Jahrhunderts von vielen Mathematikern vorgeschlagen , darunter René Descartes , Marin Mersenne und James Gregory . Als Isaac Newton 1668 das erste Spiegelteleskop baute , verzichtete er aufgrund der schwierigen Herstellung auf einen Parabolspiegel und entschied sich für einen sphärischen Spiegel . Parabolspiegel werden in den meisten modernen Spiegelteleskopen sowie in Satellitenschüsseln und Radarempfängern verwendet.

Definition als Ort von Punkten

Eine Parabel kann geometrisch als eine Menge von Punkten ( Ort der Punkte ) in der euklidischen Ebene definiert werden:

  • Eine Parabel ist eine Menge von Punkten, so dass für jeden Punkt der Menge die Entfernung zu einem festen Punkt , dem Fokus , gleich der Entfernung zu einer festen Linie , der Leitlinie, ist :

Der Mittelpunkt der Senkrechten vom Fokus auf die Leitlinie wird als Scheitelpunkt bezeichnet , und die Linie ist die Symmetrieachse der Parabel.

In einem kartesischen Koordinatensystem

Symmetrieachse parallel zur y- Achse

Parabel mit Achse parallel zur y- Achse; p ist der Semilatus Rektum

Führt man kartesische Koordinaten ein , so dass und die Leitlinie die Gleichung hat , erhält man für einen Punkt aus der Gleichung . Auflösen nach Renditen

Diese Parabel ist U-förmig ( nach oben öffnend ).

Die horizontale Sehne durch den Fokus (siehe Bild im einleitenden Abschnitt) wird Latus rectum genannt ; eine Hälfte davon ist das Semilatus Rektum . Der Latus rectum verläuft parallel zur Leitlinie. Der Semilatus Rektum wird mit dem Buchstaben bezeichnet . Aus dem Bild erhält man

Für die anderen beiden Kegelschnitte – die Ellipse und die Hyperbel – ist der Latus rectum ähnlich definiert. Der Latus rectum ist die Linie, die durch einen Brennpunkt eines konischen Abschnitts parallel zur Leitlinie gezogen wird und in beide Richtungen durch die Kurve endet. Auf jeden Fall ist der Radius des Schmiegkreises am Scheitelpunkt. Bei einer Parabel ist der Semilatus Rektum, , der Abstand des Fokus von der Leitlinie. Mit dem Parameter kann die Parabelgleichung umgeschrieben werden als

Allgemeiner gesagt, wenn der Scheitelpunkt , der Fokus und die Leitlinie ist , erhält man die Gleichung

Bemerkungen
  1. Im Fall der Parabel hat eine nach unten gerichtete Öffnung.
  2. Die Annahme, dass die Achse parallel zur y-Achse verläuft, erlaubt es, eine Parabel als den Graphen eines Polynoms vom Grad 2 zu betrachten, und umgekehrt: Der Graph eines beliebigen Polynoms vom Grad 2 ist eine Parabel (siehe nächster Abschnitt).
  3. Vertauscht man und , erhält man Gleichungen der Form . Diese Parabeln öffnen sich nach links (wenn ) oder nach rechts (wenn ).

Allgemeine Position

Parabel: allgemeine Position

Ist der Fokus , und die Leitlinie , so erhält man die Gleichung

(die linke Seite der Gleichung verwendet die Hesse-Normalform einer Linie, um die Entfernung zu berechnen ).

Für eine parametrische Gleichung einer Parabel in allgemeiner Lage siehe § Als affines Bild der Einheitsparabel .

Die implizite Gleichung einer Parabel wird durch ein irreduzibles Polynom zweiten Grades definiert :

so dass oder äquivalent so dass das Quadrat eines linearen Polynoms ist .

Als Graph einer Funktion

Parabeln

Der vorige Abschnitt zeigt, dass jede Parabel mit dem Ursprung als Scheitelpunkt und der y- Achse als Symmetrieachse als Graph einer Funktion betrachtet werden kann

Denn die Parabeln öffnen sich nach oben und für die nach unten (siehe Bild). Aus dem obigen Abschnitt erhält man:

  • Im Fokus steht ,
  • die Brennweite , der Semilatus Rektum ist ,
  • der Scheitel ist ,
  • die Leitlinie hat die Gleichung ,
  • die Tangente am Punkt hat die Gleichung .

Für die Parabel ist die Einheitsparabel mit Gleichung . Sein Fokus liegt auf dem Semilatus Rektum , und die Leitlinie hat die Gleichung .

Die allgemeine Funktion des Grades 2 ist

.

Das Vervollständigen des Quadrats ergibt

was ist die Gleichung einer Parabel mit

  • die Achse (parallel zur y- Achse),
  • die Brennweite , das Semilatus Rektum ,
  • der Scheitel ,
  • der Fokus ,
  • die Leitlinie ,
  • der Punkt der Parabel, der die y- Achse schneidet, hat Koordinaten ,
  • die Tangente an einem Punkt auf der y- Achse hat die Gleichung .

Ähnlichkeit mit der Einheitsparabel

Wenn die Parabel gleichmäßig um den Faktor 2 skaliert wird, ist das Ergebnis die Parabel

Zwei Objekte in der euklidischen Ebene sind ähnlich, wenn eines durch eine Ähnlichkeit in das andere transformiert werden kann, dh eine beliebige Zusammensetzung starrer Bewegungen ( Translationen und Rotationen ) und gleichförmiger Skalierungen .

Eine Parabel mit Scheitelpunkt kann durch die Translation in eine mit dem Ursprung als Scheitelpunkt umgewandelt werden. Eine geeignete Drehung um den Ursprung kann dann die Parabel in eine solche umwandeln, die die y- Achse als Symmetrieachse hat. Daher kann die Parabel durch eine starre Bewegung in eine Parabel mit einer Gleichung umgewandelt werden . Eine solche Parabel kann dann durch die gleichförmige Skalierung in die Einheitsparabel mit Gleichung überführt werden . Somit kann jede Parabel durch eine Ähnlichkeit auf die Einheitsparabel abgebildet werden.

Ein synthetischer Ansatz unter Verwendung ähnlicher Dreiecke kann auch verwendet werden, um dieses Ergebnis zu ermitteln.

Das allgemeine Ergebnis ist, dass zwei Kegelschnitte (notwendigerweise vom gleichen Typ) genau dann ähnlich sind, wenn sie die gleiche Exzentrizität haben. Daher teilen nur Kreise (alle mit Exzentrizität 0) diese Eigenschaft mit Parabeln (alle mit Exzentrizität 1), während allgemeine Ellipsen und Hyperbeln dies nicht tun.

Es gibt andere einfache affine Transformationen, die die Parabel auf die Einheitsparabel abbilden , wie z . Aber diese Abbildung ist keine Ähnlichkeit und zeigt nur, dass alle Parabeln affin äquivalent sind (siehe § Als affines Bild der Einheitsparabel ).

Als spezieller Kegelschnitt

Kegelschnittstift mit gemeinsamem Scheitelpunkt

Das Bündel von Kegelschnitten mit der x- Achse als Symmetrieachse, einem Scheitelpunkt im Ursprung (0, 0) und dem gleichen Halblatus Rektum kann durch die Gleichung

mit der Exzentrizität .

  • Denn der Kegelschnitt ist ein Kreis (Schießkreis des Bleistifts),
  • für eine Ellipse ,
  • für die Parabel mit Gleichung
  • für eine Hyperbel (siehe Bild).

In Polarkoordinaten

Kegelschnittstift mit gemeinsamem Fokus

Wenn p > 0 ist , die Parabel mit der Gleichung hat (Öffnung nach rechts) , um die polaren Darstellung

( ).

Sein Scheitel ist , und sein Fokus ist .

Verschiebt man den Ursprung in den Fokus, also , erhält man die Gleichung

Bemerkung 1: Die Umkehrung dieser Polarform zeigt, dass eine Parabel die Umkehrung einer Niere ist .

Anmerkung 2: Die zweite Polarform ist ein Sonderfall eines Kegelschnitts mit Fokus (siehe Bild):

( ist die Exzentrizität).

Kegelschnitt und quadratische Form

Diagramm, Beschreibung und Definitionen

Kegel mit Querschnitten

Das Diagramm stellt einen Kegel mit seiner Achse AV dar . Der Punkt A ist seine Spitze . Ein schräger Querschnitt des Kegels, rosa dargestellt, ist von der Achse um den gleichen Winkel θ geneigt wie die Seite des Kegels. Gemäß der Definition einer Parabel als Kegelschnitt ist die Begrenzung dieser rosafarbenen Querschnitts-EPD eine Parabel.

Ein Querschnitt senkrecht zur Kegelachse geht durch den Scheitel P der Parabel. Dieser Querschnitt ist kreisförmig, erscheint aber schräg betrachtet elliptisch , wie in der Abbildung dargestellt. Sein Zentrum ist V und PK ist ein Durchmesser. Wir nennen seinen Radius  r .

Ein weiterer senkrecht zur Achse kreisender Querschnitt des Kegels ist weiter von der Spitze A entfernt als der gerade beschriebene. Es hat eine Sehne DE , die die Punkte verbindet, an denen die Parabel den Kreis schneidet . Eine andere Sehne BC ist die Mittelsenkrechte von DE und ist folglich ein Durchmesser des Kreises. Diese beiden Akkorde und die Symmetrieachse PM der Parabel schneiden sich alle im Punkt M.

Alle beschrifteten Punkte außer D und E sind koplanar . Sie liegen in der Symmetrieebene der gesamten Figur. Dazu gehört auch der oben nicht erwähnte Punkt F. Sie wird weiter unten in § Position des Fokus definiert und diskutiert .

Nennen wir die Länge von DM und von EM x und die Länge von PM  y .

Ableitung der quadratischen Gleichung

Die Längen von BM und CM sind:

 (Dreieck BPM ist gleichschenklig , weil ),
 (PMCK ist ein Parallelogramm ).

Unter Verwendung des Satzes der sich schneidenden Akkorde für die Akkorde BC und DE erhalten wir

Ersetzen:

Neuordnung:

Für jeden gegebenen Kegel und jede Parabel sind r und θ Konstanten, aber x und y sind Variablen, die von der willkürlichen Höhe abhängen, in der der horizontale Querschnitt BECD erstellt wird. Diese letzte Gleichung zeigt die Beziehung zwischen diesen Variablen. Sie können als kartesische Koordinaten der Punkte D und E in einem System in der rosa Ebene mit P als Ursprung interpretiert werden . Da x in der Gleichung quadriert ist, ist die Tatsache, dass D und E auf gegenüberliegenden Seiten der y- Achse liegen, unwichtig. Wenn sich der horizontale Querschnitt nach oben oder unten, in Richtung oder weg von der Spitze des Kegels bewegt, bewegen sich D und E entlang der Parabel, wobei immer die in der Gleichung gezeigte Beziehung zwischen x und y beibehalten wird. Die parabolische Kurve ist daher der Ort der Punkte, an denen die Gleichung erfüllt ist, was sie zu einem kartesischen Graphen der quadratischen Funktion in der Gleichung macht.

Brennweite

In einem vorhergehenden Abschnitt wurde bewiesen, dass, wenn eine Parabel ihren Scheitel im Ursprung hat und wenn sie sich in positiver y- Richtung öffnet , ihre Gleichung y = ist x 2/4 f, wobei f die Brennweite ist. Ein Vergleich mit der letzten Gleichung oben zeigt, dass die Brennweite der Parabel im Kegel r sin θ ist .

Position des Fokus

Im obigen Diagramm ist der Punkt V der Fuß der Senkrechten vom Scheitelpunkt der Parabel zur Kegelachse. Der Punkt F ist der Fuß der Senkrechten vom Punkt V zur Ebene der Parabel. Aus Symmetriegründen liegt F auf der Symmetrieachse der Parabel. VPF Winkel ist komplementär zu θ und der Winkel ist komplementär zu PVF Winkel VPF daher Winkel PVF ist θ . Da die Länge von PV r ist , beträgt der Abstand von F vom Scheitelpunkt der Parabel r sin θ . Oben ist gezeigt, dass dieser Abstand gleich der Brennweite der Parabel ist, also dem Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt. Der Brennpunkt und der Punkt F sind daher entlang derselben Linie gleich weit vom Scheitelpunkt entfernt, was bedeutet, dass sie derselbe Punkt sind. Daher ist der oben definierte Punkt F der Brennpunkt der Parabel .

Diese Diskussion begann mit der Definition einer Parabel als Kegelschnitt, hat aber nun zu einer Beschreibung als Graph einer quadratischen Funktion geführt. Dies zeigt, dass diese beiden Beschreibungen äquivalent sind. Beide definieren Kurven mit exakt der gleichen Form.

Alternativer Beweis mit Löwenzahnkugeln

Parabel (rot): seitliche Projektionsansicht und obere Projektionsansicht eines Kegels mit einer Löwenzahnkugel

Ein alternativer Nachweis kann mit Dandelin-Kugeln erfolgen . Es funktioniert ohne Berechnung und verwendet nur elementare geometrische Überlegungen (siehe die Herleitung unten).

Der Schnittpunkt eines aufrechten Kegels mit einer Ebene , deren Neigung von der Vertikalen die gleiche ist wie eine Erzeugende (auch Generatorlinie genannt, eine Linie, die den Scheitel und einen Punkt auf der Kegeloberfläche enthält) des Kegels ist eine Parabel (rote Kurve im Diagramm).

Diese Mantellinie ist die einzige Mantellinie des Kegels, die parallel zur Ebene ist . Andernfalls, wenn es zwei Erzeugende parallel zur Schnittebene gibt, ist die Schnittkurve eine Hyperbel (oder eine entartete Hyperbel , wenn die beiden Erzeugenden in der Schnittebene liegen). Wenn keine Mantellinie parallel zur Schnittebene vorhanden ist, ist die Schnittkurve eine Ellipse oder ein Kreis (oder ein Punkt ).

Sei plane die Ebene, die die vertikale Achse des Kegels und der Linie enthält . Die Neigung der Ebene gegenüber der Vertikalen ist die gleiche wie die Linie bedeutet, dass von der Seite betrachtet (dh die Ebene ist senkrecht zur Ebene ), .

Um die Directrix-Eigenschaft einer Parabel zu beweisen (siehe § Definition als Ort von Punkten oben), verwendet man eine Dandelin-Kugel , das ist eine Kugel, die den Kegel entlang eines Kreises und einer Ebene im Punkt berührt . Die Ebene, die den Kreis enthält, schneidet die Ebene an der Linie . Es gibt eine Spiegelsymmetrie im System bestehend aus Ebene , Löwenzahnkugel und dem Kegel (die Symmetrieebene ist ).

Da die Ebene, die den Kreis enthält, senkrecht zur Ebene und steht , muss auch ihre Schnittlinie senkrecht zur Ebene stehen . Da die Linie in der Ebene liegt , .

Es stellt sich heraus, dass dies der Fokus der Parabel ist und die Leitlinie der Parabel ist.

  1. Sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
  2. Die Mantellinie des Kegels schneidet den Kreis im Punkt .
  3. Die Liniensegmente und verlaufen tangential zur Kugel und sind daher gleich lang.
  4. Generatrix schneidet den Kreis im Punkt . Die Liniensegmente und verlaufen tangential zur Kugel und sind daher gleich lang.
  5. Sei line die Linie parallel zu und durch den Punkt . Da der Punkt in der Ebene liegt , muss die Linie in der Ebene liegen . Da wissen wir das auch.
  6. Punkt sei der Fuß der Senkrechten von Punkt zu Linie , das heißt, ist ein Segment der Linie , und somit .
  7. Aus dem Intercept-Theorem und das wissen wir . Da wir wissen , dass , was bedeutet , dass der Abstand von der Fokussierung auf den Abstand von gleich zum directrix .

Nachweis der reflektierenden Eigenschaft

Reflexionseigenschaft einer Parabel

Die Reflexionseigenschaft besagt, dass, wenn eine Parabel Licht reflektieren kann, Licht, das parallel zur Symmetrieachse in sie eindringt, zum Fokus reflektiert wird. Dies leitet sich aus der geometrischen Optik ab , basierend auf der Annahme, dass sich Licht in Strahlen ausbreitet.

Betrachten Sie die Parabel y = x 2 . Da alle Parabeln ähnlich sind, repräsentiert dieser einfache Fall alle anderen.

Aufbau und Definitionen

Der Punkt E ist ein beliebiger Punkt auf der Parabel. Der Fokus ist F, der Scheitel ist A (der Ursprung) und die Linie FA ist die Symmetrieachse. Die Linie EC verläuft parallel zur Symmetrieachse und schneidet die x- Achse bei D. Der Punkt B ist der Mittelpunkt des Liniensegments FC .

Abzüge

Der Scheitelpunkt A ist gleich weit vom Fokus F und von der Leitlinie entfernt. Da C auf der Leitlinie liegt, sind die y- Koordinaten von F und C im Absolutwert gleich und im Vorzeichen entgegengesetzt. B ist der Mittelpunkt von FC . Seine x- Koordinate ist halb so groß wie die von D, also x /2 . Die Steigung der Geraden BE ist der Quotient der Längen von ED und BD , alsox 2/x /2= 2x . Aber 2 x ist auch die Steigung (erste Ableitung) der Parabel bei E. Daher ist die Linie BE ist die Tangente der Parabel bei E.

Die Abstände EF und EC sind gleich, weil E auf der Parabel liegt, F der Fokus ist und C auf der Leitlinie liegt. Da B der Mittelpunkt von FC ist , sind daher die Dreiecke △FEB und △CEB kongruent (drei Seiten), was bedeutet, dass die mit α markierten Winkel kongruent sind. (Der Winkel über E ist vertikal entgegengesetzt dem Winkel ∠BEC.) Dies bedeutet, dass ein Lichtstrahl, der in die Parabel eintritt und parallel zur Symmetrieachse bei E ankommt, von der Linie BE reflektiert wird, sodass er entlang der Linie EF wandert . wie im Diagramm rot dargestellt (vorausgesetzt, die Linien können Licht irgendwie reflektieren). Da BE die Tangente an die Parabel bei E ist, erfolgt die gleiche Reflexion durch einen infinitesimalen Bogen der Parabel bei E. Daher wird Licht, das in die Parabel eintritt und bei E ankommt, das parallel zur Symmetrieachse der Parabel verläuft, reflektiert durch die Parabel zu seinem Fokus.

Diese Aussage zum reflektierten Licht gilt für alle Punkte der Parabel, wie auf der linken Seite des Diagramms dargestellt. Dies ist die reflektierende Eigenschaft.

Andere Konsequenzen

Es gibt andere Theoreme, die einfach aus dem obigen Argument abgeleitet werden können.

Tangentenhalbierungseigenschaft

Der obige Beweis und das dazugehörige Diagramm zeigen, dass die Tangente BE den Winkel ∠FEC halbiert. Mit anderen Worten, die Tangente an die Parabel an jedem Punkt halbiert den Winkel zwischen den Linien, die den Punkt mit dem Fokus und senkrecht zur Leitlinie verbinden.

Schnittpunkt einer Tangente und Senkrechten vom Fokus

Senkrecht vom Fokus zur Tangente

Da die Dreiecke △FBE und △CBE kongruent sind, steht FB senkrecht auf der Tangente BE . Da B auf der x- Achse liegt, die die Parabel an ihrem Scheitelpunkt tangiert, folgt daraus, dass der Schnittpunkt zwischen einer Tangente an eine Parabel und der Senkrechten vom Brennpunkt zu dieser Tangente auf der Linie liegt, die tangential zum Parabel an ihrem Scheitel. Siehe animiertes Diagramm und Pedalkurve .

Reflexion von Licht, das auf die konvexe Seite fällt

Wenn Licht entlang der Linie CE wandert, bewegt es sich parallel zur Symmetrieachse und trifft auf die konvexe Seite der Parabel bei E. Aus dem obigen Diagramm ist klar, dass dieses Licht entlang einer Ausdehnung von . direkt vom Fokus weg reflektiert wird das Segment FE .

Alternative Beweise

Parabel und Tangente

Die obigen Beweise der reflektiven und tangentialen Bisektionseigenschaften verwenden eine Infinitesimalrechnung. Hier wird ein geometrischer Beweis vorgelegt.

In diesem Diagramm ist F der Brennpunkt der Parabel, und T und U liegen auf ihrer Leitlinie. P ist ein beliebiger Punkt auf der Parabel. PT steht senkrecht zur Leitlinie, und die Gerade MP halbiert den Winkel ∠FPT. Q ist ein weiterer Punkt auf der Parabel, wobei QU senkrecht zur Leitlinie steht. Wir wissen, dass FP  =  PT und FQ  =  QU ist . Offensichtlich ist QT  >  QU , also QT  >  FQ . Alle Punkte auf der Winkelhalbierenden MP sind von F und T gleich weit entfernt, aber Q liegt näher an F als an T. Das bedeutet, dass Q links von MP liegt, also auf derselben Seite wie der Fokus. Das gleiche wäre wahr, wenn Q irgendwo anders auf der Parabel liegen würde (außer am Punkt P), so dass die gesamte Parabel außer dem Punkt P auf der Fokusseite von MP liegt . Daher ist MP die Tangente an die Parabel bei P. Da sie den Winkel ∠FPT halbiert, beweist dies die Tangentenhalbierungseigenschaft.

Die Logik des letzten Absatzes kann angewendet werden, um den obigen Beweis der reflektierenden Eigenschaft zu modifizieren. Es beweist effektiv, dass die Linie BE die Tangente an die Parabel bei E ist, wenn die Winkel α gleich sind. Die Reflexionseigenschaft folgt wie zuvor gezeigt.

Pin- und Saitenkonstruktion

Parabel: Pin-String-Konstruktion

Die Definition einer Parabel durch ihren Fokus und ihre Leitlinie kann verwendet werden, um sie mit Hilfe von Stiften und Schnüren zu zeichnen:

  1. Wählen Sie den Fokus und die Leitlinie der Parabel.
  2. Nehmen Sie ein Dreieck eines Quadrats und bereiten Sie eine Schnur mit Länge vor (siehe Diagramm).
  3. Stecken Sie ein Ende der Schnur am Punkt des Dreiecks und das andere an den Fokus .
  4. Positionieren Sie das Dreieck so, dass die zweite Kante des rechten Winkels frei entlang der Leitlinie gleiten kann .
  5. Nehmen Sie einen Stift und halten Sie die Schnur fest am Dreieck.
  6. Während das Dreieck entlang der Leitkurve bewegt, wird die Feder zieht einen Bogen einer Parabel, da (siehe Definition einer Parabel).

Eigenschaften im Zusammenhang mit dem Satz von Pascal

Eine Parabel kann als der affine Teil eines nicht entarteten projektiven Kegelschnitts mit einem Punkt auf der Unendlichkeitslinie betrachtet werden , der die Tangente an ist . Die 5-, 4- und 3-Punkt-Degenerationen des Satzes von Pascal sind Eigenschaften eines Kegelschnitts, der mindestens eine Tangente behandelt. Betrachtet man diese Tangente als die Gerade im Unendlichen und deren Berührungspunkt als den Punkt im Unendlichen der y- Achse, so erhält man für eine Parabel drei Aussagen.

Die folgenden Eigenschaften einer Parabel befassen sich nur mit den Termen connect , intersect , parallel , die Invarianten von Ähnlichkeiten sind . Es genügt also, eine beliebige Eigenschaft für die Einheitsparabel mit Gleichung zu beweisen .

4-Punkte-Eigenschaft

4-Punkte-Eigenschaft einer Parabel

Jede Parabel kann in einem geeigneten Koordinatensystem durch eine Gleichung beschrieben werden .

  • Seien vier Punkte der Parabel und der Schnittpunkt der Sekantenlinie mit der Linie und sei der Schnittpunkt der Sekantenlinie mit der Linie (siehe Bild). Dann ist die Sekantenlinie parallel zur Linie .
(Die Linien und sind parallel zur Achse der Parabel.)

Beweis: einfache Berechnung der Einheitsparabel .

Anwendung: Die 4-Punkte-Eigenschaft einer Parabel kann zur Konstruktion von Punkt verwendet werden , während und gegeben sind.

Bemerkung: Die 4-Punkte-Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 5-Punkt-Degeneration des Satzes von Pascal.

3-Punkte-1-Tangenseigenschaft

3-Punkte-1-Tangenseigenschaft

Seien drei Punkte der Parabel mit Gleichung und dem Schnittpunkt der Sekantenlinie mit der Linie und dem Schnittpunkt der Sekantenlinie mit der Linie (siehe Bild). Dann ist die Tangente am Punkt parallel zur Linie . (Die Linien und sind parallel zur Achse der Parabel.)

Beweis: kann für die Einheitsparabel durchgeführt werden . Eine kurze Rechnung zeigt: Die Linie hat eine Steigung, die der Steigung der Tangente am Punkt entspricht .

Anwendung: Die 3-Punkte-1-Tangens-Eigenschaft einer Parabel kann zur Konstruktion der Tangente am Punkt verwendet werden , während gegeben ist.

Anmerkung: Die 3-Punkte-1-Tangens-Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 4-Punkt-Degeneration des Satzes von Pascal.

2-Punkte–2-Tangenten-Eigenschaft

2-Punkte–2-Tangenten-Eigenschaft

Seien zwei Punkte der Parabel mit Gleichung , und der Schnittpunkt der Tangente im Punkt mit der Linie und der Schnittpunkt der Tangente im Punkt mit der Linie (siehe Bild). Dann ist die Sekante parallel zur Linie . (Die Linien und sind parallel zur Achse der Parabel.)

Beweis: einfache Berechnung der Einheitsparabel .

Anwendung: Die Eigenschaft 2-Punkte–2-Tangenten kann zur Konstruktion der Tangente einer Parabel an Punkt verwendet werden , wenn und die Tangente an gegeben sind.

Bemerkung 1: Die 2-Punkte–2-Tangenten-Eigenschaft einer Parabel ist eine affine Version der 3-Punkt-Entartung des Satzes von Pascal.

Bemerkung 2: Die 2-Punkte–2-Tangenten-Eigenschaft sollte nicht mit der folgenden Eigenschaft einer Parabel verwechselt werden, die ebenfalls 2 Punkte und 2 Tangenten behandelt, aber nicht mit dem Satz von Pascal zusammenhängt.

Achsenrichtung

Konstruktion der Achsrichtung

Die obigen Ausführungen setzen die Kenntnis der Achsrichtung der Parabel voraus, um die Punkte zu konstruieren . Die folgende Eigenschaft bestimmt die Punkte nur durch zwei gegebene Punkte und ihre Tangenten, und das Ergebnis ist, dass die Linie parallel zur Achse der Parabel verläuft.

Lassen

  1. seien Sie zwei Punkte der Parabel und seien Sie ihre Tangenten;
  2. sei der Schnittpunkt der Tangenten ,
  3. sei der Schnittpunkt der Parallellinie zum Durchgang mit der Parallellinie zum Durchgang (siehe Bild).

Dann ist die Gerade parallel zur Achse der Parabel und hat die Gleichung

Beweis: kann (wie die Eigenschaften oben) für die Einheitsparabel durchgeführt werden .

Anwendung: Diese Eigenschaft kann verwendet werden, um die Richtung der Achse einer Parabel zu bestimmen, wenn zwei Punkte und deren Tangenten angegeben sind. Eine alternative Möglichkeit besteht darin, die Mittelpunkte zweier paralleler Akkorde zu bestimmen, siehe Abschnitt über parallele Akkorde .

Bemerkung: Diese Eigenschaft ist eine affine Version des Satzes von zwei perspektivischen Dreiecken eines nicht entarteten Kegelschnitts.

Steiner-Generation

Parabel

Steiner-Generation einer Parabel

Für die Konstruktion eines nicht entarteten Kegelschnitts hat Steiner folgendes Verfahren aufgestellt (siehe Steinerkegel ):

  • Gegeben seien zwei Stifte von Leitungen an zwei Punkten (alle Linien enthalten und jeweils) und eine projektive aber nicht perspektivische Abbildung von auf bilden die Schnittpunkte von entsprechenden Linien einen nicht-degenerierten projektiven Kegelschnitt.

Dieses Verfahren kann für eine einfache Konstruktion von Punkten auf der Parabel verwendet werden :

  • Betrachten Sie den Bleistift am Scheitelpunkt und die Reihe von Linien , die parallel zur y- Achse verlaufen.
  1. Sei ein Punkt auf der Parabel und , .
  2. Das Liniensegment wird in n gleichmäßig beabstandete Segmente unterteilt, und diese Aufteilung wird (in Richtung ) auf das Liniensegment projiziert (siehe Abbildung). Diese Projektion führt zu einer projektiven Abbildung vom Bleistift auf den Bleistift .
  3. Der Schnittpunkt der Geraden und der i- ten Parallele zur y- Achse ist ein Punkt auf der Parabel.

Beweis: einfache Rechnung.

Anmerkung: Die Steiner-Generation ist auch für Ellipsen und Hyperbeln verfügbar .

Doppelparabel

Doppelparabel und Bezierkurve 2. Grades (rechts: Kurvenpunkt und Teilungspunkte für Parameter )

Eine Doppelparabel besteht aus der Tangentenmenge einer gewöhnlichen Parabel.

Die Steiner-Generierung eines Kegelschnitts kann auf die Erzeugung eines dualen Kegelschnitts angewendet werden, indem die Bedeutung von Punkten und Geraden geändert wird:

  • Gegeben seien zwei Punktmengen auf zwei Geraden und eine projektive, aber nicht perspektivische Abbildung zwischen diesen Punktmengen, dann bilden die Verbindungslinien korrespondierender Punkte einen nicht entarteten dualen Kegelschnitt.

Um Elemente einer Doppelparabel zu erzeugen, beginnt man mit

  1. drei Punkte nicht auf einer Linie,
  2. unterteilt die Leitungsabschnitte und die jeweils in gleichmäßig beabstandeten Liniensegmenten und fügt Zahlen , wie in der Abbildung dargestellt.
  3. Dann sind die Linien Tangenten einer Parabel, also Elemente einer dualen Parabel.
  4. Die Parabel ist eine Bezierkurve vom Grad 2 mit den Kontrollpunkten .

Der Beweis ist eine Konsequenz des de Casteljau-Algorithmus für eine Bezier-Kurve vom Grad 2.

Eingeschriebene Winkel und die 3-Punkt-Form

Eingeschriebene Winkel einer Parabel

Eine Parabel mit Gleichung wird eindeutig durch drei Punkte mit unterschiedlichen x- Koordinaten bestimmt. Das übliche Verfahren zur Bestimmung der Koeffizienten besteht darin, die Punktkoordinaten in die Gleichung einzusetzen. Das Ergebnis ist ein lineares System aus drei Gleichungen, das beispielsweise durch Gaußsche Elimination oder die Cramersche Regel gelöst werden kann . Ein alternativer Weg verwendet den Satz der eingeschriebenen Winkel für Parabeln.

Im Folgenden wird der Winkel zweier Geraden durch die Differenz der Steigungen der Geraden in Bezug auf die Leitlinie der Parabel gemessen. Das heißt, für eine Parabel der Gleichung wird der Winkel zwischen zwei Gleichungslinien gemessen durch

Analog zum Satz von eingeschriebenen Winkeln für Kreise gilt der Satz von eingeschriebenen Winkeln für Parabeln :

Vier Punkte mit unterschiedlichen x- Koordinaten (siehe Bild) liegen genau dann auf einer Parabel mit Gleichung, wenn die Winkel bei und das gleiche Maß haben, wie oben definiert. Das ist,

(Beweis: einfache Berechnung: Wenn die Punkte auf einer Parabel liegen, kann man die Koordinaten für die Gleichung übersetzen , dann hat man, wenn die Punkte auf der Parabel liegen.)

Eine Folge davon ist, dass die Gleichung (in ) der Parabel bestimmt durch 3 Punkte mit unterschiedlichen x- Koordinaten lautet (wenn zwei x- Koordinaten gleich sind, gibt es keine Parabel mit Richtungsachse parallel zur x- Achse, die durch die Punkte geht)

Multiplizieren mit den Nennern, die von einem abhängen, erhält die Standardform

Pol-Polar-Beziehung

Parabel: Pol-Polar-Beziehung

In einem geeigneten Koordinatensystem kann jede Parabel durch eine Gleichung beschrieben werden . Die Tangentengleichung an einem Punkt lautet

Man erhält die Funktion

auf die Punktmenge der Parabel auf die Tangentenmenge.

Offensichtlich kann diese Funktion auf die Menge aller Punkte einer Bijektion zwischen den Punkten von und den Geraden mit Gleichungen erweitert werden . Die inverse Abbildung ist

Linie → Punkt .

Diese Beziehung wird als Pol-Polar-Beziehung der Parabel bezeichnet , wobei der Punkt der Pol und die entsprechende Linie ihre Polare ist .

Durch Rechnung überprüft man die folgenden Eigenschaften der Pol-Polar-Beziehung der Parabel:

  • Für einen Punkt (Pol) auf der Parabel ist die Polare die Tangente an diesem Punkt (siehe Bild: ).
  • Bei einem Pol außerhalb der Parabel sind die Schnittpunkte seiner Polare mit der Parabel die Berührungspunkte der beiden durchlaufenden Tangenten (siehe Bild: ).
  • Für einen Punkt innerhalb der Parabel hat der Pol keinen Punkt mit der Parabel gemeinsam (siehe Bild: und ).
  • Der Schnittpunkt zweier Polarlinien (zum Beispiel ) ist der Pol der Verbindungslinie ihrer Pole (im Beispiel: ).
  • Fokus und Leitlinie der Parabel sind ein Pol-Polar-Paar.

Bemerkung: Pol-Polar-Beziehungen existieren auch für Ellipsen und Hyperbeln.

Tangentialeigenschaften

Zwei tangentiale Eigenschaften im Zusammenhang mit dem Latus rectum

Die Symmetrielinie schneide die Parabel im Punkt Q und bezeichne den Brennpunkt als Punkt F und seinen Abstand vom Punkt Q als f . Die Senkrechte zur Symmetrielinie durch den Brennpunkt schneidet die Parabel in einem Punkt T. Dann ist (1) der Abstand von F zu T 2 f , und (2) eine Tangente an die Parabel im Punkt T schneidet die Linie Symmetrie im 45°-Winkel.

Senkrechte Tangenten schneiden sich auf der Leitlinie

Orthoptische Eigenschaft

Stehen zwei Tangenten an eine Parabel senkrecht aufeinander, so schneiden sie sich auf der Leitlinie. Umgekehrt sind zwei Tangenten, die sich auf der Leitlinie schneiden, senkrecht.

Satz von Lambert

Lassen Sie drei Tangenten an eine Parabel ein Dreieck bilden. Dann besagt der Satz von Lambert , dass der Fokus der Parabel auf dem Umkreis des Dreiecks liegt.

Die Umkehrung von Tsukerman zum Satz von Lambert besagt, dass bei gegebenen drei Linien, die ein Dreieck begrenzen, wenn zwei der Linien tangential zu einer Parabel sind, deren Fokus auf dem Umkreis des Dreiecks liegt, dann die dritte Linie auch tangential zur Parabel ist.

Fakten zu Akkorden und Bögen

Brennweite berechnet aus Parametern eines Akkords

Angenommen, ein Akkord kreuzt eine Parabel senkrecht zu seiner Symmetrieachse. Die Länge der Sehne zwischen den Schnittpunkten der Parabel sei c und der Abstand vom Scheitel der Parabel zur Sehne, gemessen entlang der Symmetrieachse, sei d . Die Brennweite f der Parabel ist gegeben durch

Nachweisen

Angenommen, es wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, bei dem der Scheitelpunkt der Parabel im Ursprung liegt und die Symmetrieachse die y- Achse ist. Die Parabel öffnet sich nach oben. An anderer Stelle in diesem Artikel wird gezeigt, dass die Parabelgleichung 4 fy = x 2 ist , wobei f die Brennweite ist. Am positiven x- Ende des Akkords ist x =C/2und y = d . Da dieser Punkt auf der Parabel liegt, müssen diese Koordinaten die obige Gleichung erfüllen. Daher durch Substitution, . Daraus, .

Zwischen einer Parabel und einem Akkord eingeschlossener Bereich

Parabel (Magenta) und Linie (unteres Hellblau) inklusive Akkord (blau). Der dazwischen eingeschlossene Bereich ist rosa. Der Akkord selbst endet an den Punkten, an denen die Linie die Parabel schneidet.

Die zwischen Parabel und Sehne eingeschlossene Fläche (siehe Diagramm) beträgt zwei Drittel der Fläche eines sie umgebenden Parallelogramms. Eine Seite des Parallelogramms ist die Sehne, und die gegenüberliegende Seite ist eine Tangente an die Parabel. Die Neigung der anderen parallelen Seiten ist für die Fläche unerheblich. Oft werden sie, wie hier, parallel zur Symmetrieachse der Parabel gezeichnet, aber das ist willkürlich.

Ein diesem Satz äquivalenter, aber in Details unterschiedlicher Satz wurde von Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr. abgeleitet . Er verwendete die Flächen von Dreiecken und nicht die des Parallelogramms. Siehe Die Quadratur der Parabel .

Wenn die Sehne die Länge b hat und senkrecht zur Symmetrieachse der Parabel steht und wenn der senkrechte Abstand vom Scheitel der Parabel zur Sehne h ist , ist das Parallelogramm ein Rechteck mit den Seiten b und h . Die von der Parabel und der Sehne umschlossene Fläche A des Parabelsegments ist also

Diese Formel kann mit der Fläche eines Dreiecks verglichen werden: 1/2bh .

Im Allgemeinen lässt sich die umschlossene Fläche wie folgt berechnen. Suchen Sie zuerst den Punkt auf der Parabel, an dem ihre Steigung der des Akkords entspricht. Dies kann mit Infinitesimalrechnung oder mit einer Linie erfolgen, die parallel zur Symmetrieachse der Parabel verläuft und durch den Mittelpunkt der Sehne verläuft. Der erforderliche Punkt ist dort, wo diese Linie die Parabel schneidet. Berechnen Sie dann mit der in Abstand von einem Punkt zu einer Linie angegebenen Formel den senkrechten Abstand von diesem Punkt zur Sehne. Multiplizieren Sie dies mit der Länge der Sehne, um die Fläche des Parallelogramms zu erhalten, und dann mit 2/3, um die erforderliche eingeschlossene Fläche zu erhalten.

Korollar zu Mittelpunkten und Endpunkten von Akkorden

Mittelpunkte paralleler Akkorde

Eine Folge der obigen Diskussion ist, dass, wenn eine Parabel mehrere parallele Sehnen hat, ihre Mittelpunkte alle auf einer Linie parallel zur Symmetrieachse liegen. Wenn Tangenten an die Parabel durch die Endpunkte einer dieser Sehnen gezogen werden, schneiden sich die beiden Tangenten auf derselben Linie parallel zur Symmetrieachse (siehe Achsenrichtung einer Parabel ).

Bogenlänge

Befindet sich ein Punkt X auf einer Parabel mit der Brennweite f und ist p der senkrechte Abstand von X zur Symmetrieachse der Parabel, so lassen sich die Bogenlängen der Parabel, die in X enden, aus f und berechnen p wie folgt, vorausgesetzt, sie werden alle in den gleichen Einheiten ausgedrückt.

Diese Größe s ist die Länge des Bogens zwischen X und dem Scheitelpunkt der Parabel.

Die Bogenlänge zwischen X und dem symmetrisch gegenüberliegenden Punkt auf der anderen Seite der Parabel beträgt 2 s .

Dem senkrechten Abstand p kann ein positives oder negatives Vorzeichen gegeben werden, um anzuzeigen, auf welcher Seite der Symmetrieachse X liegt. Das Umkehren des Vorzeichens von p kehrt die Vorzeichen von h und s um, ohne ihre Absolutwerte zu ändern. Wenn diese Größen mit Vorzeichen versehen sind, wird die Länge des Bogens zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Parabel immer durch die Differenz zwischen ihren Werten von s angezeigt . Die Berechnung kann vereinfacht werden, indem die Eigenschaften von Logarithmen verwendet werden:

Dies kann nützlich sein, zum Beispiel in der Größe des Materials erforderlich , um eine Berechnung zu machen Parabolreflektor oder Parabolrinnen .

Diese Berechnung kann für eine Parabel in beliebiger Ausrichtung verwendet werden. Sie ist nicht auf die Situation beschränkt, in der die Symmetrieachse parallel zur y- Achse verläuft.

Eine geometrische Konstruktion, um einen Sektorbereich zu finden

Sektorgebietsvorschlag 30

S ist der Fokus und V ist der Hauptscheitelpunkt der Parabel VG. Zeichnen Sie VX senkrecht zu SV.

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt B auf VG und lassen Sie einen senkrechten BQ von B zu VX fallen. Zeichnen Sie die Senkrechte ST, die BQ schneidet, ggf. verlängert, bei T. Zeichnen Sie bei B die Senkrechte BJ, die VX bei J schneidet.

Für die Parabel ist das Segment VBV, die von der Sehne VB und dem Bogen VB eingeschlossene Fläche, ebenfalls gleich ∆VBQ/3 .

Die Fläche des parabolischen Sektors SVB = SVB + ∆VBQ / 3 .

Da die Dreiecke TSB und QBJ ähnlich sind,

Daher kann die Fläche des parabolischen Sektors und der Länge von VJ, wie oben gefunden, ermittelt werden.

Ein Kreis durch S, V und B geht auch durch J.

Umgekehrt, wenn ein Punkt B auf der Parabel VG gefunden werden soll, so dass die Fläche des Sektors SVB gleich einem bestimmten Wert ist, bestimme den Punkt J auf VX und konstruiere einen Kreis durch S, V und J. Da SJ ist des Durchmessers, der Mittelpunkt des Kreises liegt in seinem Mittelpunkt und liegt auf der Mittelsenkrechten von SV, einen Abstand von einer halben VJ von SV. Der erforderliche Punkt B liegt dort, wo dieser Kreis die Parabel schneidet.

Wenn ein Körper die Bahn der Parabel aufgrund einer gegen S gerichteten umgekehrten quadratischen Kraft verfolgt, nimmt die Fläche SVB mit konstanter Geschwindigkeit zu, wenn sich Punkt B vorwärts bewegt. Daraus folgt, dass sich J mit konstanter Geschwindigkeit entlang VX bewegt, während sich B entlang der Parabel bewegt.

Wenn die Geschwindigkeit des Körpers an der Ecke, an der er sich senkrecht zu SV bewegt, v ist , dann ist die Geschwindigkeit von J gleich 3 v /4.

Die Konstruktion kann einfach wie folgt erweitert werden, um den Fall einzuschließen, in dem keiner der Radien mit der Achse SV zusammenfällt. Sei A ein Fixpunkt auf VG zwischen V und B, und Punkt H sei der Schnittpunkt auf VX mit der Senkrechten auf SA bei A. Aus dem Obigen die Fläche des parabolischen Sektors .

Umgekehrt, wenn es erforderlich ist, den Punkt B für einen bestimmten Bereich SAB zu finden, finde Punkt J von HJ und Punkt B wie zuvor. Nach Buch 1, Proposition 16, Korollar 6 von Newtons Principia , ist die Geschwindigkeit eines Körpers, der sich entlang einer Parabel mit einer auf den Brennpunkt gerichteten Kraft bewegt, umgekehrt proportional zur Quadratwurzel des Radius. Wenn die Geschwindigkeit bei A v ist , dann ist sie am Scheitelpunkt V , und der Punkt J bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von .

Die obige Konstruktion wurde von Isaac Newton entwickelt und ist in Buch 1 von Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica als Proposition 30 zu finden.

Brennweite und Krümmungsradius am Scheitel

Die Brennweite einer Parabel ist die Hälfte ihres Krümmungsradius an ihrem Scheitelpunkt.

Nachweisen

Betrachten Sie einen Punkt ( x , y ) auf einem Kreis mit Radius R und mit Mittelpunkt im Punkt (0, R ) . Der Kreis geht durch den Ursprung. Wenn der Punkt nahe dem Ursprung liegt, zeigt der Satz des Pythagoras , dass

Wenn jedoch ( x , y ) extrem nahe am Ursprung liegt, da die x- Achse eine Tangente an den Kreis ist, ist y sehr klein im Vergleich zu x , sodass y 2 im Vergleich zu den anderen Termen vernachlässigbar ist. Daher extrem nah am Ursprung

 (1)

Vergleichen Sie dies mit der Parabel

 (2)

der seinen Scheitel im Ursprung hat, sich nach oben öffnet und die Brennweite f hat (siehe vorherige Abschnitte dieses Artikels).

Gleichungen (1) und (2) sind äquivalent, wenn R = 2 f . Daher ist dies die Bedingung dafür, dass der Kreis und die Parabel am und sehr nahe am Ursprung zusammenfallen. Der Krümmungsradius am Ursprung, dem Scheitelpunkt der Parabel, beträgt das Doppelte der Brennweite.

Logische Folge

Ein konkaver Spiegel, der ein kleines Segment einer Kugel ist, verhält sich ungefähr wie ein Parabolspiegel und fokussiert paralleles Licht auf einen Punkt in der Mitte zwischen dem Zentrum und der Oberfläche der Kugel.

Als affines Abbild der Einheitsparabel

Parabel als affines Abbild der Einheitsparabel

Eine andere Definition einer Parabel verwendet affine Transformationen :

  • Jede Parabel ist das affine Bild der Einheitsparabel mit Gleichung .
parametrische Darstellung

Eine affine Transformation der euklidischen Ebene hat die Form , wobei eine reguläre Matrix ( Determinante ist nicht 0) und ein beliebiger Vektor ist. Sind die Spaltenvektoren der Matrix , wird die Einheitsparabel auf die Parabel abgebildet

wo

ist ein Punkt der Parabel,
ist ein Tangentenvektor im Punkt ,
ist parallel zur Achse der Parabel (Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt).
Scheitel

Im allgemeinen sind die beiden Vektoren nicht senkrecht zueinander, und ist nicht der Scheitelpunkt, es sei denn , die affine Transformation ist eine Ähnlichkeit .

Der Tangentenvektor am Punkt ist . Am Scheitelpunkt ist der Tangentenvektor orthogonal zu . Daher ist der Parameter der Ecke die Lösung der Gleichung

welches ist

und der Scheitel ist

Brennweite und Fokus

Die Brennweite kann durch eine geeignete Parametertransformation (die die geometrische Form der Parabel nicht verändert) bestimmt werden. Die Brennweite beträgt

Daher ist der Fokus der Parabel

implizite Darstellung

Löst man die parametrische Darstellung nach nach der Cramerschen Regel auf und verwendet , erhält man die implizite Darstellung

.
Parabel im Raum

Die Definition einer Parabel in diesem Abschnitt gibt eine parametrische Darstellung einer beliebigen Parabel, auch im Raum, wenn man Vektoren im Raum sein darf.

Als quadratische Bézier-Kurve

Quadratische Bézier-Kurve und ihre Kontrollpunkte

Eine quadratische Bézier - Kurve ist eine Kurve durch drei Punkte definiert ist , und , seine genannten Kontrollpunkt :

Diese Kurve ist ein Bogen einer Parabel (siehe § Als affines Bild der Einheitsparabel ).

Numerische Integration

Simpsonsche Regel: Der Graph einer Funktion wird durch einen Parabelbogen ersetzt

Bei einer Methode der numerischen Integration ersetzt man den Graphen einer Funktion durch Parabelbögen und integriert die Parabelbögen. Eine Parabel wird durch drei Punkte bestimmt. Die Formel für einen Bogen ist

Die Methode heißt Simpson-Regel .

Als ebenen Schnitt von quadric

Die folgenden Quadriken enthalten Parabeln als ebene Abschnitte:

Als Trisektrix

Winkeldreisektion mit einer Parabel

Eine Parabel kann als Trisectrix verwendet werden , dh sie ermöglicht die exakte Trisektion eines beliebigen Winkels mit Lineal und Zirkel. Dies steht nicht im Widerspruch zur Unmöglichkeit einer Winkeldreisektion allein mit Zirkel-Gerade-Konstruktionen , da die Verwendung von Parabeln in den klassischen Regeln für Zirkel-Gerade-Konstruktionen nicht erlaubt ist.

Um zu trisect , platzieren Sie sein Bein so auf der x- Achse, dass sich der Scheitelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems befindet. Das Koordinatensystem enthält auch die Parabel . Der Einheitskreis mit Radius 1 um den Ursprung schneidet den anderen Schenkel des Winkels , und von diesem Schnittpunkt ziehen Sie die Senkrechte auf die y- Achse. Die Parallele zur y- Achse durch den Mittelpunkt dieser Senkrechten und die Tangente an den Einheitskreis in schneiden sich in . Der Kreis mit Radius schneidet die Parabel bei . Die Senkrechte von auf die x- Achse schneidet den Einheitskreis bei und beträgt genau ein Drittel von .

Die Richtigkeit dieser Konstruktion kann man erkennen, indem man zeigt, dass die x- Koordinate von ist . Das Lösen des Gleichungssystems durch den Kreis um und die Parabel führt zu der kubischen Gleichung . Die Dreifachwinkelformel zeigt dann, dass dies tatsächlich eine Lösung dieser kubischen Gleichung ist.

Diese Dreiteilung geht auf René Descartes zurück , der sie in seinem Buch La Géométrie (1637) beschrieb.

Verallgemeinerungen

Ersetzt man die reellen Zahlen durch einen beliebigen Körper , so gelten noch viele geometrische Eigenschaften der Parabel :

  1. Eine Gerade schneidet sich in höchstens zwei Punkten.
  2. An jedem Punkt ist die Linie die Tangente.

Wesentlich neue Phänomene entstehen, wenn das Feld die Eigenschaft 2 (also ) hat: die Tangenten sind alle parallel.

In der algebraischen Geometrie wird die Parabel durch die rationalen Normalen verallgemeinert , die Koordinaten ( x , x 2 , x 3 , …, x n ) haben ; die Standardparabel ist der Fall n = 2 , und der Fall n = 3 ist als verdrehter Kubik bekannt . Eine weitere Verallgemeinerung ist durch die Veronese-Varietät gegeben , wenn es mehr als eine Eingangsvariable gibt.

In der Theorie der quadratischen Formen ist die Parabel der Graph der quadratischen Form x 2 (oder anderer Skalierungen), während das elliptische Paraboloid der Graph der positiv-definiten quadratischen Form x 2 + y 2 (oder Skalierungen) ist und die hyperbolisches Paraboloid ist der Graph der unbestimmten quadratischen Form x 2y 2 . Verallgemeinerungen auf mehr Variablen ergeben weitere derartige Objekte.

Die Kurven y = x p für andere Werte von p werden traditionell als die höheren Parabeln bezeichnet und wurden ursprünglich implizit behandelt, in der Form x p = ky q für p und q, beides positive ganze Zahlen, in welcher Form sie als algebraisch angesehen werden Kurven. Diese entsprechen der expliziten Formel y = x p / q für eine positive gebrochene Potenz von x . Negative gebrochene Potenzen entsprechen der impliziten Gleichung x p y q = k und werden traditionell als höhere Hyperbeln bezeichnet . Analytisch kann x auch irrational potenziert werden (für positive Werte von x ); die analytischen Eigenschaften sind analog dazu, wenn x rational potenziert wird, aber die resultierende Kurve ist nicht mehr algebraisch und kann nicht durch algebraische Geometrie analysiert werden.

In der physischen Welt

In der Natur finden sich Annäherungen von Parabeln und Paraboloiden in vielen verschiedenen Situationen. Das bekannteste Beispiel der Parabel in der Geschichte der Physik ist die Flugbahn eines Teilchens oder Körpers in Bewegung unter dem Einfluss eines gleichförmigen Gravitationsfeldes ohne Luftwiderstand (z. B. ein Ball fliegt durch die Luft, Luftreibung vernachlässigt ).

Die parabolische Flugbahn von Geschossen wurde experimentell im frühen 17. Jahrhundert durch entdeckt Galileo , die Experimente mit Kugeln auf schiefe Ebenen rollen. Dies bewies er später auch mathematisch in seinem Buch Dialogue Concerning Two New Sciences . Bei im Raum ausgedehnten Objekten, wie einem Taucher, der von einem Sprungbrett springt, folgt das Objekt selbst bei seiner Rotation einer komplexen Bewegung, der Schwerpunkt des Objekts bewegt sich jedoch trotzdem entlang einer Parabel. Wie in allen Fällen in der physischen Welt ist die Flugbahn immer eine Annäherung an eine Parabel. Das Vorhandensein von Luftwiderstand zum Beispiel verzerrt immer die Form, obwohl die Form bei niedrigen Geschwindigkeiten eine gute Annäherung an eine Parabel ist. Bei höheren Geschwindigkeiten, beispielsweise in der Ballistik, ist die Form stark verzerrt und ähnelt keiner Parabel.

Eine weitere hypothetische Situation , in der Parabeln entstehen könnten, nach den Theorien der Physik im 17. und 18. Jahrhundert von beschrieben Sir Isaac Newton , ist in zwei Körperbahnen , zum Beispiel der Pfad eines kleinen Planetoiden oder ein anderes Objekt unter dem Einfluss von die Gravitation der Sonne . Parabelbahnen kommen in der Natur nicht vor; einfache Bahnen ähneln am häufigsten Hyperbeln oder Ellipsen . Die parabolische Bahn ist der entartete Zwischenfall zwischen diesen beiden Arten von idealen Bahnen. Ein Objekt, das einer parabolischen Umlaufbahn folgt, würde sich mit der genauen Fluchtgeschwindigkeit des Objekts bewegen, das es umkreist; Objekte in elliptischen oder hyperbolischen Bahnen bewegen sich mit geringerer bzw. größerer Fluchtgeschwindigkeit. Kometen mit langer Periode bewegen sich nahe der Fluchtgeschwindigkeit der Sonne, während sie sich durch das innere Sonnensystem bewegen, sodass ihre Bahnen fast parabolisch sind.

Annäherungen an Parabeln finden sich auch in Form der Hauptseile an einer einfachen Hängebrücke . Die Kurve der Ketten einer Hängebrücke ist immer eine Zwischenkurve zwischen einer Parabel und einer Oberleitung , aber in der Praxis ist die Kurve im Allgemeinen näher an einer Parabel, da das Gewicht der Last (dh der Straße) viel größer ist als die Seile selbst, und in Berechnungen wird die Polynomformel zweiten Grades einer Parabel verwendet. Unter dem Einfluss einer gleichmäßigen Belastung (z. B. einer horizontal hängenden Fahrbahn) wird das ansonsten fahrleitungsförmige Seil in Richtung einer Parabel verformt (siehe Fahrleitung#Hängebrückenkurve ). Im Gegensatz zu einer unelastischen Kette hat eine frei hängende Feder von null ungespannter Länge die Form einer Parabel. Hängebrückenseile sind idealerweise rein auf Zug, ohne andere Kräfte, beispielsweise Biegung, aufnehmen zu müssen. Ebenso stehen die Strukturen parabolischer Bögen rein unter Druck.

Paraboloide treten auch in mehreren körperlichen Situationen auf. Das bekannteste Beispiel ist der Parabolreflektor , der ein Spiegel oder eine ähnliche reflektierende Vorrichtung ist, die Licht oder andere Formen elektromagnetischer Strahlung auf einen gemeinsamen Brennpunkt konzentriert oder umgekehrt Licht von einer Punktquelle im Brennpunkt in einen parallelen Strahl kollimiert. Das Prinzip des Parabolspiegels könnte im 3. Jahrhundert v. Chr. von dem Geometer Archimedes entdeckt worden sein , der nach einer zweifelhaften Legende Parabolspiegel konstruierte, um Syrakus gegen die römische Flotte zu verteidigen , indem er die Sonnenstrahlen konzentrierte, um die Decks in Brand zu setzen der römischen Schiffe. Das Prinzip wurde im 17. Jahrhundert auf Teleskope angewendet . Heutzutage sind Paraboloid-Reflektoren in weiten Teilen der Welt in Empfangs- und Sendeantennen für Mikrowellen und Satellitenschüsseln zu beobachten .

Bei Parabolmikrofonen wird ein Parabolreflektor verwendet, um den Schall auf ein Mikrofon zu fokussieren, was ihm eine hohe Richtwirkung verleiht.

Paraboloide werden auch in der Oberfläche einer Flüssigkeit beobachtet, die in einem Behälter eingeschlossen ist und um die Mittelachse gedreht wird. In diesem Fall bewirkt die Zentrifugalkraft, dass die Flüssigkeit an den Wänden des Behälters klettert und eine parabolische Oberfläche bildet. Dies ist das Prinzip des Flüssigkeitsspiegel-Teleskops .

Flugzeuge, die zu Versuchszwecken einen schwerelosen Zustand erzeugten, wie der " Vomit Comet " der NASA , folgen für kurze Zeit einer vertikal parabolischen Flugbahn, um den Kurs eines Objekts im freien Fall zu verfolgen , was den gleichen Effekt wie Null erzeugt Schwerkraft für die meisten Zwecke.

Galerie

Siehe auch

Fußnoten

Verweise

Weiterlesen

  • Lockwood, EH (1961). Ein Kurvenbuch . Cambridge University Press.

Externe Links