Parakompakter Raum - Paracompact space

In der Mathematik ist ein parakompakter Raum ein topologischer Raum, in dem jede offene Hülle eine offene Verfeinerung hat , die lokal endlich ist . Diese Räume wurden von Dieudonné (1944) eingeführt . Jeder kompakte Raum ist parakompakt. Jeder parakompakte Hausdorff-Raum ist normal , und ein Hausdorff-Raum ist genau dann parakompakt, wenn er einer beliebigen offenen Hülle untergeordnete Partitionen der Einheit zulässt . Manchmal werden parakompakte Räume so definiert, dass sie immer Hausdorff sind.

Jeder abgeschlossene Unterraum eines parakompakten Raums ist parakompakt. Während kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen immer abgeschlossen sind, gilt dies nicht für parakompakte Teilmengen. Ein Raum, bei dem jeder Unterraum davon ein parakompakter Raum ist, wird erblich parakompakt genannt . Dies entspricht der Forderung, dass jeder offene Unterraum parakompakt ist.

Der Satz von Tychonoff (der besagt, dass das Produkt einer beliebigen Sammlung kompakter topologischer Räume kompakt ist) lässt sich nicht auf parakompakte Räume verallgemeinern, da das Produkt parakompakter Räume nicht parakompakt sein muss. Das Produkt eines parakompakten Raums und eines kompakten Raums ist jedoch immer parakompakt.

Jeder metrische Raum ist parakompakt. Ein topologischer Raum ist genau dann metrisierbar, wenn es sich um einen parakompakten und lokal metrisierbaren Hausdorff-Raum handelt .

Definition

Eine Abdeckung aus einem Satz ist eine Sammlung von Untergruppen von deren Vereinigung enthält . In Symbolen ist if eine indizierte Familie von Teilmengen von , dann ist eine Abdeckung von if

Eine Abdeckung eines topologischen Raums ist offen, wenn alle seine Mitglieder offene Mengen sind . Eine Verfeinerung einer Abdeckung eines Raums ist eine neue Abdeckung desselben Raums, so dass jede Menge in der neuen Abdeckung eine Teilmenge einer Menge in der alten Abdeckung ist. In Symbolen, die Abdeckung ist eine Verfeinerung des Deckels , wenn und nur wenn für jeden in , gibt es einige existiert in so dass .

Eine offene Hülle eines Raums ist lokal endlich, wenn jeder Punkt des Raums eine Umgebung hat , die nur endlich viele Mengen in der Hülle schneidet . In Symbolen ist lokal endlich genau dann, wenn für jedes in eine Umgebung von existiert, so dass die Menge

ist endlich. Ein topologischer Raum heißt parakompakt, wenn jede offene Überdeckung eine lokal endliche offene Verfeinerung besitzt.

Beispiele

Einige Beispiele für Räume, die nicht parakompakt sind, sind:

Eigenschaften

Parakompaktheit ist schwach erblich, dh jeder abgeschlossene Unterraum eines parakompakten Raumes ist parakompakt. Dies kann auch auf F-Sigma- Unterräume ausgedehnt werden .

  • Ein regulärer Raum ist parakompakt, wenn jede offene Hülle eine lokal endliche Verfeinerung zulässt. (Hier muss die Verfeinerung nicht offen sein.) Insbesondere ist jeder reguläre Lindelöf-Raum parakompakt.
  • ( Smirnov-Metrisierungssatz ) Ein topologischer Raum ist genau dann metrisierbar, wenn er parakompakt, Hausdorff und lokal metrisierbar ist.
  • Der Michael-Auswahlsatz besagt, dass niedere semistetige Multifunktionen von X in nichtleere abgeschlossene konvexe Teilmengen von Banach-Räumen stetige Selektion zulassen, wenn X parakompakt ist.

Obwohl ein Produkt von parakompakten Räumen nicht parakompakt sein muss, gilt Folgendes:

  • Das Produkt aus einem parakompakten Raum und einem kompakten Raum ist parakompakt.
  • Das Produkt aus einem metakompakten Raum und einem kompakten Raum ist metakompakt.

Beide Ergebnisse können mit dem Tubenlemma bewiesen werden, das zum Beweis verwendet wird, dass ein Produkt endlich vieler kompakter Räume kompakt ist.

Parakompakte Hausdorff-Räume

Parakompakte Räume müssen manchmal auch Hausdorff sein , um ihre Eigenschaften zu erweitern.

  • ( Theorem von Jean Dieudonné ) Jeder parakompakte Hausdorff-Raum ist normal .
  • Jeder parakompakte Hausdorff-Raum ist ein schrumpfender Raum , d. h., jede offene Hülle eines parakompakten Hausdorff-Raums hat eine schrumpfende: eine andere offene Hülle, die durch dieselbe Menge so indiziert ist, dass der Abschluss jeder Menge in der neuen Hülle innerhalb der entsprechenden Menge im liegt alte Abdeckung.
  • Auf parakompakten Hausdorff-Räumen sind Garben-Kohomologie und Čech-Kohomologie gleich.

Teilungen der Einheit

Das wichtigste Merkmal parakompakter Hausdorff-Räume ist, dass sie normal sind und Einheitspartitionen zulassen , die jeder offenen Hülle untergeordnet sind. Das bedeutet Folgendes: Wenn X ein parakompakter Hausdorff-Raum mit einer gegebenen offenen Abdeckung ist, dann existiert eine Sammlung stetiger Funktionen auf X mit Werten im Einheitsintervall [0, 1] derart, dass:

  • für jede Funktion fX  →  R aus der Sammlung gibt es eine offene Menge U aus der Hülle, so dass der Träger von f in U enthalten ist ;
  • für jeden Punkt x in X gibt es eine Umgebung V von x, so dass alle bis auf endlich viele der Funktionen in der Sammlung identisch 0 in V sind und die Summe der von Null verschiedenen Funktionen identisch 1 in V ist .

Tatsächlich ist ein T 1 -Raum genau dann Hausdorff und parakompakt, wenn er Partitionen der Einheit zulässt, die einer offenen Hülle untergeordnet sind (siehe unten ). Diese Eigenschaft wird manchmal verwendet, um parakompakte Räume zu definieren (zumindest im Fall von Hausdorff).

Einheitsteilungen sind nützlich, weil sie es oft ermöglichen, lokale Konstruktionen auf den gesamten Raum auszudehnen. Zum Beispiel wird das Integral von Differentialformen auf parakompakten Mannigfaltigkeiten zuerst lokal definiert (wo die Mannigfaltigkeit wie der euklidische Raum aussieht und das Integral bekannt ist), und diese Definition wird dann über eine Partition der Einheit auf den gesamten Raum ausgedehnt.

Beweis, dass parakompakte Hausdorff-Räume Partitionen der Einheit zulassen

(Klicken Sie rechts auf "Anzeigen", um den Beweis anzuzeigen, oder auf "Ausblenden", um ihn auszublenden.)

Ein Hausdorff-Raum ist genau dann parakompakt, wenn jede offene Hülle eine untergeordnete Einheitszerlegung zulässt. Die if- Richtung ist einfach. Nun zur einzigen wenn Richtung, wir tun dies in ein paar Schritten.

Lemma 1: Wenn eine lokal endliche offene Überdeckung ist, dann gibt es für jede offene Mengen , so dass jede und eine lokal endliche Verfeinerung ist.
Lemma 2: Wenn es sich um eine lokal endliche offene Abdeckung handelt, dann gibt es stetige Funktionen so und so dass eine stetige Funktion ist, die immer von Null verschieden und endlich ist.
Satz: Wenn in einem parakompakten Hausdorff-Raum eine offene Hülle ist, dann existiert eine ihm untergeordnete Teilung der Einheit.
Beweis (Lemma 1):
Sei die Sammlung offener Mengen, die nur endlich viele Mengen in treffen und deren Abschluss in einer Menge enthalten ist . Als Übung kann man überprüfen, dass dies eine offene Verfeinerung darstellt, da parakompakte Hausdorff-Räume regulär und da lokal endlich sind. Ersetzen Sie nun durch eine lokal endliche offene Verfeinerung. Man kann leicht überprüfen, ob jeder Satz in dieser Verfeinerung die gleiche Eigenschaft hat, die den Originaldeckel charakterisiert.
Jetzt definieren wir . Das Eigentum von garantiert, dass jedes in einigen enthalten ist . Daher ist eine offene Verfeinerung von . Da wir haben , ist diese Überdeckung sofort lokal endlich.
Das wollen wir nun jedem zeigen . Für jeden werden wir das beweisen . Da wir uns entschieden haben , lokal endlich zu sein, gibt es eine Umgebung von solchen, in der nur endlich viele Mengen in einen nichtleeren Schnittpunkt mit haben , und wir beachten diese in der Definition von . Daher können wir in zwei Teile zerlegen : who intersect , und der Rest who not, was bedeutet, dass sie in der abgeschlossenen Menge enthalten sind . Wir haben jetzt . Seit und haben wir für jeden . Und da ist die Ergänzung einer Nachbarschaft von , auch nicht in . Deshalb haben wir .

 

 

 

 

(Lem 1)

Beweis (Lemma 2):
Unter Anwendung von Lemma 1 seien stetige Abbildungen mit und (nach Urysohns Lemma für disjunkte abgeschlossene Mengen in normalen Räumen, was ein parakompakter Hausdorff-Raum ist). Beachten Sie, dass mit der Unterstützung einer Funktion hier die Punkte gemeint sind, die nicht auf Null abgebildet werden (und nicht den Abschluss dieser Menge). Um zu zeigen, dass immer endlich und nicht Null ist, nehmen wir und lassen eine Umgebung , die nur endlich viele Mengen trifft, in ; so gehört nur endlich viele Sätze in ; so für alle bis auf endlich viele ; außerdem für einige so ; so ist endlich und . Um Kontinuität herzustellen, nehmen Sie wie zuvor und lassen , was endlich ist; dann , was eine stetige Funktion ist; daher ist das Urbild unter einer Umgebung von will eine Umgebung von .

 

 

 

 

(Lem 2)

Beweis (Satz):
Nehmen Sie eine lokal endliche Teilüberdeckung der Verfeinerungsüberdeckung: . Wenden wir Lemma 2 an, so erhalten wir stetige Funktionen mit (daher ist die übliche geschlossene Version des Trägers in einigen enthalten , für jede ; für die ihre Summe eine stetige Funktion darstellt, die immer endlich von Null verschieden ist (also stetig positiv, endlichwertig ) Also jeder zu ersetzen. durch , wir haben jetzt - alles das gleiche bleibt - dass ihre Summe ist überall . Und schließlich für , lassen ein Viertel sein treffen nur endlich viele Sätze in , haben wir für alle bis auf endlich viele da jeder So wir. haben eine Teilung der Einheit, die der ursprünglichen offenen Abdeckung untergeordnet ist.

 

 

 

 

(Thm)

Zusammenhang mit Kompaktheit

Es gibt eine Ähnlichkeit zwischen den Definitionen von Kompaktheit und Parakompaktheit: Bei der Parakompaktheit wird "subcover" durch "offene Verfeinerung" und "finite" durch "locally finite" ersetzt. Beide Änderungen sind signifikant: Wenn wir die Definition von paracompact nehmen und "offene Verfeinerung" zurück zu "subcover" oder "lokal endlich" zurück zu "endlich" ändern, erhalten wir in beiden Fällen die kompakten Räume.

Parakompaktheit hat wenig mit Kompaktheit zu tun, sondern eher mit der Zerlegung topologischer Raumeinheiten in überschaubare Teile.

Vergleich der Eigenschaften mit Kompaktheit

Die Parakompaktheit ist der Kompaktheit in folgenden Punkten ähnlich:

  • Jede abgeschlossene Teilmenge eines parakompakten Raums ist parakompakt.
  • Jeder parakompakte Hausdorff-Raum ist normal .

In dieser Hinsicht ist es anders:

  • Eine parakompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes muss nicht abgeschlossen sein. Tatsächlich sind für metrische Räume alle Teilmengen parakompakt.
  • Ein Produkt von parakompakten Räumen muss nicht parakompakt sein. Ein klassisches Beispiel dafür ist das Quadrat der reellen Geraden R in der unteren Grenztopologie .

Variationen

Es gibt verschiedene Variationen des Begriffs der Parakompaktheit. Um sie zu definieren, müssen wir zuerst die Liste der obigen Begriffe erweitern:

Ein topologischer Raum ist:

  • metakompakt, wenn jede offene Hülle eine offene punktweise endliche Verfeinerung hat.
  • orthocompact, wenn jede offene Abdeckung eine offene Verfeinerung hat, so dass der Schnitt aller offenen Mengen um jeden Punkt dieser Verfeinerung offen ist.
  • ganz normal, wenn jede offene Hülle eine offene Sternverfeinerung hat , und ganz T 4, wenn sie ganz normal ist und T 1 (siehe Trennungsaxiome ).

Das Adverb „ zählbar “ kann jedem der Adjektive „paracompact“, „metacompact“ und „völlig normal“ hinzugefügt werden, damit die Anforderung nur für zählbare offene Abdeckungen gilt.

Jeder parakompakte Raum ist metakompakt und jeder metakompakte Raum ist orthokompakt.

Definition relevanter Begriffe für die Varianten

  • Bei einer Überdeckung und einem Punkt ist der Stern der Überdeckung die Vereinigung aller Mengen in der Überdeckung, die den Punkt enthalten. In Symbolen ist der Stern von x in U = { U α  : α in A }
Die Notation für den Stern ist in der Literatur nicht standardisiert und dies ist nur eine Möglichkeit.
  • Eine Sternverfeinerung einer Überdeckung eines Raumes X ist eine neue Überdeckung desselben Raumes, so dass bei einem gegebenen Punkt im Raum der Stern des Punktes in der neuen Überdeckung eine Teilmenge einer Menge in der alten Überdeckung ist. In Symbolen ist V eine Sternverfeinerung von U = { U α  : α in A } genau dann, wenn für jedes x in X ein U α in U existiert , so dass V * ( x ) in U α . enthalten ist .
  • Eine Überdeckung eines Raumes X ist punktweise endlich, wenn jeder Punkt des Raumes nur zu endlich vielen Mengen in der Überdeckung gehört. In Symbolen ist U genau dann punktweise endlich, wenn für jedes x in X die Menge endlich ist.

Wie der Name schon sagt, ist ein ganz normales Leerzeichen normal . Jeder volle T 4 Raum ist parakompakt. Tatsächlich sind für Hausdorff-Räume Parakompaktheit und volle Normalität äquivalent. Somit ist ein vollständiger T 4 -Raum dasselbe wie ein parakompakter Hausdorff-Raum.

Ohne die Hausdorff-Eigenschaft sind parakompakte Räume nicht unbedingt ganz normal. Jeder kompakte Raum, der nicht regelmäßig ist, bietet ein Beispiel.

Eine historische Anmerkung: Im Jahr 1940 wurden von John W. Tukey völlig normale Räume vor den parakompakten Räumen definiert. Der Beweis, dass alle metrisierbaren Räume ganz normal sind, ist einfach. Als von AH Stone bewiesen wurde, dass für Hausdorff-Räume volle Normalität und Parakompaktheit äquivalent sind, bewies er implizit, dass alle metrisierbaren Räume parakompakt sind. Später gab Ernest Michael einen direkten Beweis für die letztere Tatsache und ME Rudin lieferte einen anderen elementaren Beweis.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Michael, Ernst (1953). "Ein Hinweis zu parakompakten Räumen" (PDF) . Proceedings of the American Mathematical Society . 4 (5): 831–838. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . ISSN  0002-9939 .
  2. ^ Hatcher, Allen , Vector Bundles und K-Theorie , vorläufige Version auf der Homepage des Autors verfügbar
  3. ^ Stein, AH Paracompactness und Produkträume . Stier. Amer. Mathematik. Soz. 54 (1948), 977–982
  4. ^ Rudin, Mary Ellen. Ein neuer Beweis, dass metrische Räume parakompakt sind . Proceedings of the American Mathematical Society, Bd. 20, Nr. 2. (Feb. 1969), S. 20. 603.
  5. ^ C. Gut, IJ Tree und WS Watson. Über Stones Theorem und das Auswahlaxiom . Proceedings of the American Mathematical Society, Bd. 126, Nr. 4. (April 1998), S. 1211–1218.
  6. ^ Brylinski, Jean-Luc (2007), Schleifenräume, charakteristische Klassen und geometrische Quantisierung , Progress in Mathematics, 107 , Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.
  7. ^ * Tukey, John W. (1940). Konvergenz und Uniformität in der Topologie . Annalen der Mathematikstudien. 2 . Princeton University Press, Princeton, NJ S. ix+90. MR  0002515 .

Verweise

Externe Links