Parallelogramm - Parallelogram

Parallelogramm
Parallelogramm.svg
Dieses Parallelogramm ist eine Raute, da es keine rechten Winkel und ungleiche Seiten hat.
Typ Viereck , Trapez
Kanten und Scheitelpunkte 4
Symmetriegruppe C 2 , [2] + ,
Bereich b × h (Basis × Höhe);
ab sin θ (Produkt aus benachbarten Seiten und Sinus des durch sie bestimmten Scheitelwinkels)
Eigenschaften konvex

In der euklidischen Geometrie ist ein Parallelogramm ein einfaches (nicht sich selbst schneidendes ) Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Die gegenüberliegenden oder gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms sind gleich lang und die gegenüberliegenden Winkel eines Parallelogramms sind gleich groß. Die Kongruenz gegenüberliegender Seiten und gegenüberliegender Winkel ist eine direkte Folge des euklidischen Parallelpostulats und keine Bedingung kann ohne Berufung auf das euklidische Parallelpostulat oder eine seiner äquivalenten Formulierungen bewiesen werden.

Im Vergleich dazu ist ein Viereck mit nur einem Paar paralleler Seiten ein Trapez im amerikanischen Englisch oder ein Trapez im britischen Englisch.

Das dreidimensionale Gegenstück eines Parallelogramms ist ein Parallelepiped .

Die Etymologie (auf Griechisch παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon , eine Form „von parallelen Linien“) spiegelt die Definition wider.

Sonderfälle

  • Rhomboid – Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und benachbarte Seiten ungleich sind und dessen Winkel nicht rechte Winkel sind
  • Rechteck – Ein Parallelogramm mit vier gleich großen Winkeln (rechten Winkeln).
  • Rhombus – Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.
  • Quadrat – Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln (rechten Winkeln).

Charakterisierungen

Ein einfaches (nicht sich selbst schneidendes) Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Aussagen wahr ist:

  • Zwei Paare gegenüberliegender Seiten sind (per Definition) parallel.
  • Zwei Paare gegenüberliegender Seiten sind gleich lang.
  • Zwei Paare von gegenüberliegenden Winkeln sind gleich groß.
  • Die Diagonalen halbieren sich.
  • Ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel und gleich lang.
  • Angrenzende Winkel sind ergänzend .
  • Jede Diagonale teilt das Viereck in zwei kongruente Dreiecke .
  • Die Summe der Quadrate der Seiten ist gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen. (Dies ist das Parallelogrammgesetz .)
  • Es hat Rotationssymmetrie der Ordnung 2.
  • Die Summe der Abstände von jedem inneren Punkt zu den Seiten ist unabhängig von der Lage des Punktes. (Dies ist eine Erweiterung des Satzes von Viviani .)
  • Es gibt einen Punkt X in der Ebene des Vierecks mit der Eigenschaft, dass jede Gerade durch X das Viereck in zwei flächengleiche Bereiche teilt.

Somit haben alle Parallelogramme alle oben aufgeführten Eigenschaften, und umgekehrt , wenn nur eine dieser Aussagen in einem einfachen Viereck wahr ist, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.

Andere Eigenschaften

  • Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind (per Definition) parallel und schneiden sich daher nie.
  • Die Fläche eines Parallelogramms ist doppelt so groß wie die Fläche eines Dreiecks, das von einer seiner Diagonalen gebildet wird.
  • Die Fläche eines Parallelogramms ist auch gleich dem Betrag des Vektorkreuzprodukts zweier benachbarter Seiten.
  • Jede Linie durch den Mittelpunkt eines Parallelogramms halbiert die Fläche.
  • Jede nicht entartete affine Transformation führt ein Parallelogramm zu einem anderen Parallelogramm.
  • Ein Parallelogramm hat Rotationssymmetrie der Ordnung 2 (bis 180°) (oder Ordnung 4 bei einem Quadrat). Wenn es auch genau zwei Reflexionssymmetrielinien hat, muss es eine Raute oder ein Rechteck (ein nicht quadratisches Rechteck) sein. Wenn es vier Reflexionssymmetrielinien hat, ist es ein Quadrat .
  • Der Umfang eines Parallelogramms ist 2( a + b ), wobei a und b die Längen benachbarter Seiten sind.
  • Im Gegensatz zu anderen konvexen Polygonen kann ein Parallelogramm keinem Dreieck mit weniger als der doppelten Fläche eingeschrieben werden.
  • Die Mittelpunkte von vier Quadraten, die alle entweder intern oder extern auf den Seiten eines Parallelogramms konstruiert sind, sind die Eckpunkte eines Quadrats.
  • Wenn zwei Linien parallel zu den Seiten eines Parallelogramms gleichzeitig zu einer Diagonale konstruiert werden , dann sind die auf gegenüberliegenden Seiten dieser Diagonale gebildeten Parallelogramme flächengleich.
  • Die Diagonalen eines Parallelogramms teilen es in vier flächengleiche Dreiecke.

Flächenformel

Ein Diagramm, das zeigt, wie ein Parallelogramm in die Form eines Rechtecks ​​umgeformt werden kann
Ein Parallelogramm lässt sich in ein Rechteck mit gleicher Fläche umformen.
Animation für die Flächenformel .

Alle Flächenformeln für allgemeine konvexe Vierecke gelten für Parallelogramme. Weitere Formeln sind spezifisch für Parallelogramme:

Ein Parallelogramm mit Basis b und Höhe h lässt sich in ein Trapez und ein rechtwinkliges Dreieck zerlegen und in ein Rechteck umformen , wie in der Abbildung links gezeigt. Das bedeutet, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich der eines Rechtecks ​​mit gleicher Grundfläche und Höhe ist:

Die Fläche des Parallelogramms ist die Fläche des blauen Bereichs, der das Innere des Parallelogramms ist

Die Formel Grundfläche × Höhenfläche kann auch anhand der Abbildung rechts abgeleitet werden. Die Fläche K des Parallelogramms rechts (die blaue Fläche) ist die Gesamtfläche des Rechtecks ​​abzüglich der Fläche der beiden orangefarbenen Dreiecke. Die Fläche des Rechtecks ​​ist

und die Fläche eines einzelnen orangefarbenen Dreiecks ist

Daher ist die Fläche des Parallelogramms

Eine andere Flächenformel für zwei Seiten B und C und Winkel θ ist

Die Fläche eines Parallelogramms mit den Seiten B und C ( BC ) und der Winkel im Schnittpunkt der Diagonalen ist gegeben durch

Wenn das Parallelogramm aus den Längen B und C zweier benachbarter Seiten zusammen mit der Länge D 1 einer der beiden Diagonale bestimmt wird, dann kann die Fläche aus der Heronschen Formel ermittelt werden . Konkret ist es

wobei und der führende Faktor 2 kommt daher, dass die gewählte Diagonale das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke teilt .

Fläche in kartesischen Koordinaten von Scheitelpunkten

Seien Vektoren und bezeichne die Matrix mit Elementen von a und b . Dann ist die Fläche des von a und b erzeugten Parallelogramms gleich .

Lassen Sie Vektoren und lassen Sie . Dann ist die Fläche des von a und b erzeugten Parallelogramms gleich .

Lassen Sie Punkte . Dann ist die Fläche des Parallelogramms mit den Ecken bei a , b und c äquivalent zum Absolutwert der Determinante einer Matrix, die aus a , b und c als Zeilen gebildet wird, wobei die letzte Spalte wie folgt mit Einsen aufgefüllt wird:

Beweis, dass sich Diagonalen gegenseitig halbieren

Parallelogramm ABCD

Um zu beweisen, dass sich die Diagonalen eines Parallelogramms gegenseitig halbieren, verwenden wir kongruente Dreiecke :

(alternative Innenwinkel sind gleich groß)
(alternative Innenwinkel sind gleich groß) .

(da dies Winkel sind, die eine Transversale mit parallelen Linien AB und DC bildet ).

Außerdem ist die Seite AB gleich lang wie die Seite DC , da gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms gleich lang sind.

Daher sind die Dreiecke ABE und CDE deckungsgleich (ASA-Postulat, zwei entsprechende Winkel und die eingeschlossene Seite ).

Deswegen,

Da sich die Diagonalen AC und BD in gleich lange Segmente teilen, halbieren sich die Diagonalen.

Da sich die Diagonalen AC und BD getrennt voneinander am Punkt E halbieren , ist Punkt E der Mittelpunkt jeder Diagonale.

Gitter von Parallelogrammen

Parallelogramme können die Ebene durch Translation kacheln. Bei gleichen Kanten oder richtigen Winkeln ist die Symmetrie des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier Bravais-Gitter in 2 Dimensionen .

Gitter
Form Quadrat Rechteck Rhombus Parallelogramm
System Quadrat
(tetragonal)
Rechteckig
(orthorhombisch)
Zentriert rechteckig
(orthorhombisch)
Schräg
(monoklin)
Einschränkungen α=90°, a=b α=90° a=b Keiner
Symmetrie p4m, [4,4], Ordnung 8 n pmm, [∞,2,∞], Ordnung 4 n p1, [∞ + ,2,∞ + ], Ordnung 2 n
Form Isoederkacheln p4-56.png Isoederfliesen p4-54.png Isoedrische Kacheln p4-55.png Isoederfliesen p4-50.png

Parallelogramme aus anderen Figuren

Beweis ohne Worte des Satzes von Varignon :
  1. Ein beliebiges Viereck und seine Diagonalen.
  2. Basen ähnlicher Dreiecke sind parallel zur blauen Diagonale.
  3. Dito für die rote Diagonale.
  4. Die Basenpaare bilden ein Parallelogramm mit der halben Fläche des Vierecks, A q , als Summe der Flächen der vier großen Dreiecke, A l ist 2 A q (jedes der beiden Paare rekonstruiert das Viereck), während die des kleinen Dreiecke, A s ist ein Viertel von A l (halbe lineare Dimensionen ergeben eine Viertelfläche), und die Fläche des Parallelogramms ist A q minus A s .

Automedianes Dreieck

Ein Automedian-Dreieck ist eines, dessen Mediane die gleichen Proportionen wie seine Seiten haben (allerdings in einer anderen Reihenfolge). Wenn ABC ein automedianes Dreieck ist, in dem der Scheitel A der Seite a gegenübersteht , G der Schwerpunkt ist (wo sich die drei Mediane von ABC schneiden) und AL einer der erweiterten Mediane von ABC ist, wobei L auf dem Umkreis von ABC liegt , dann BGCL ist ein Parallelogramm.

Varignon-Parallelogramm

Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks sind die Scheitelpunkte eines Parallelogramms, das als Varignon-Parallelogramm bezeichnet wird. Wenn das Viereck konvex oder konkav ist (d. h. sich nicht selbst schneidet), beträgt die Fläche des Varignon-Parallelogramms die Hälfte der Fläche des Vierecks.

Tangentiales Parallelogramm einer Ellipse

Bei einer Ellipse heißen zwei Durchmesser genau dann konjugiert, wenn die Tangente an die Ellipse an einem Endpunkt des einen Durchmessers parallel zum anderen Durchmesser ist. Jedes Paar von konjugierten Durchmessern einer Ellipse hat ein entsprechendes Tangentenparallelogramm , das manchmal als Begrenzungsparallelogramm bezeichnet wird und durch die Tangentenlinien an die Ellipse an den vier Endpunkten der konjugierten Durchmesser gebildet wird. Alle Tangentialogramme für eine gegebene Ellipse haben die gleiche Fläche.

Es ist möglich, eine Ellipse aus einem beliebigen Paar konjugierter Durchmesser oder aus einem beliebigen Tangentialparallelogramm zu rekonstruieren .

Gesichter eines Parallelepipeds

Ein Parallelepiped ist eine dreidimensionale Figur, deren sechs Gesichter Parallelogramme sind.

Siehe auch

Verweise

Externe Links