Pascals Dreieck - Pascal's triangle

Ein Diagramm, das die ersten acht Reihen des Pascal-Dreiecks zeigt, nummeriert von Reihe 0 bis Reihe 7.

In der Mathematik ist das Pascalsche Dreieck ein dreieckiges Array der Binomialkoeffizienten , das in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Kombinatorik und Algebra auftritt. In weiten Teilen der westlichen Welt ist es nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal benannt , obwohl andere Mathematiker es Jahrhunderte vor ihm in Indien, Persien, China, Deutschland und Italien studiert haben.

Die Reihen des Pascalschen Dreiecks werden konventionell beginnend mit der Reihe oben (der 0. Reihe) aufgezählt . Die Einträge in jeder Zeile werden von links beginnend mit nummeriert und sind normalerweise relativ zu den Nummern in den benachbarten Zeilen gestaffelt. Das Dreieck kann wie folgt konstruiert werden: In Zeile 0 (der obersten Zeile) gibt es einen eindeutigen Eintrag ungleich Null. Jeder Eintrag jeder nachfolgenden Zeile wird konstruiert, indem die Zahl oben und links mit der Zahl oben und zu . addiert wird rechts, wobei leere Einträge als 0 behandelt werden. Zum Beispiel ist die Anfangszahl in der ersten (oder einer anderen) Zeile 1 (die Summe von 0 und 1), während die Zahlen 1 und 3 in der dritten Zeile addiert werden, um die Nummer 4 in der vierten Reihe.

Formel

Im Pascalschen Dreieck ist jede Zahl die Summe der beiden Zahlen direkt darüber.

Der Eintrag in der th-Reihe und in der th -Spalte des Pascal-Dreiecks wird mit bezeichnet . Der eindeutige Eintrag ungleich Null in der obersten Zeile ist beispielsweise . Mit dieser Notation kann die Konstruktion des vorherigen Absatzes wie folgt geschrieben werden:

,

für jede nicht negative ganze Zahl und jede ganze Zahl . Diese Wiederholung der Binomialkoeffizienten ist als Pascalsche Regel bekannt .

Das Pascal-Dreieck hat höherdimensionale Verallgemeinerungen. Die dreidimensionale Version wird Pascals Pyramide oder Pascals Tetraeder genannt , während die allgemeinen Versionen Pascals Simplizes genannt werden .

Geschichte

मेरु प्रस्तार(Meru Prastaara) wie in indischen Manuskripten verwendet, abgeleitet von Pingalas Formeln. Manuskript aus der Raghunath Library J&K; 755 n. Chr
Das Dreieck von Yang Hui , wie es von den Chinesen mit Stabzahlen dargestellt wird , erscheint in einem mathematischen Werk von Zhu Shijie aus dem Jahr 1303. Der Titel lautet "The Old Method Chart of the Seven Multiplying Squares" (Chinesisch: 古法七乘方圖; das vierte Zeichen 椉 im Bildtitel ist archaisch).
Pascals Version des Dreiecks

Das Zahlenmuster, das das Pascalsche Dreieck bildet, war schon vor Pascals Zeit bekannt. Pascal erneuerte viele bisher unbestätigte Verwendungen der Zahlen des Dreiecks, Verwendungen, die er umfassend in der frühesten bekannten mathematischen Abhandlung beschrieb , die speziell dem Dreieck gewidmet war, seiner Traité du Triangle arithmétique (1654; veröffentlicht 1665).

Jahrhunderte zuvor war die Diskussion der Zahlen im Rahmen der indischen Studien der Kombinatorik und der Binomialzahlen aufgekommen . Es scheint aus späteren Kommentaren , dass die Binomialkoeffizienten und die additive Formel sie zur Erzeugung, wurden zu bekannten Pingala in oder vor dem 2. Jahrhundert vor Christus. Während Pingalas Werk nur in Fragmenten überliefert ist, gab der Kommentator Varāhamihira um 505 eine klare Beschreibung der additiven Formel, und eine detailliertere Erklärung derselben Regel wurde von Halayudha um 975 gegeben. Halayudha erklärte auch obskure Hinweise auf Meru-prastaara , die Treppe des Mount Meru , die die erste erhaltene Beschreibung der Anordnung dieser Zahlen in einem Dreieck liefert. Um 850 gab der Jain- Mathematiker Mahāvīra eine andere Formel für die Binomialkoeffizienten unter Verwendung von Multiplikation, die der modernen Formel entspricht . Im Jahr 1068 wurden vier Spalten der ersten sechzehn Zeilen vom Mathematiker Bhattotpala angegeben , der der erste aufgezeichnete Mathematiker war, der die additiven und multiplikativen Formeln für diese Zahlen gleichsetzte.

Etwa zur gleichen Zeit schrieb der persische Mathematiker Al-Karaji (953–1029) ein heute verschollenes Buch, das die Erstbeschreibung des Pascalschen Dreiecks enthielt. Es wurde später von dem persischen Dichter-Astronomen-Mathematiker Omar Khayyám (1048-1131) wiederholt; daher wird das Dreieck im Iran auch als Khayyam-Dreieck bezeichnet . Es waren mehrere Theoreme im Zusammenhang mit dem Dreieck bekannt, darunter der Binomialsatz . Khayyam verwendete eine Methode zum Finden von n- ten Wurzeln basierend auf der Binomialentwicklung und damit auf den Binomialkoeffizienten.

Das Pascalsche Dreieck wurde im frühen 11. Jahrhundert in China durch die Arbeit des chinesischen Mathematikers Jia Xian (1010–1070) bekannt. Im 13. Jahrhundert stellte Yang Hui (1238–1298) das Dreieck vor und deshalb wird es in China bis heute Yang Hui-Dreieck (杨辉三角;楊輝三角) genannt.

In Europa taucht das Pascalsche Dreieck erstmals in der Arithmetik des Jordanus de Nemore (13. Jahrhundert) auf. Die Binomialkoeffizienten wurden von Gersonides im frühen 14. Jahrhundert mit der Multiplikativformel berechnet. Petrus Apianus (1495–1552) veröffentlichte 1527 das vollständige Dreieck auf dem Titelbild seines Buches über Geschäftsrechnungen. Michael Stifel veröffentlichte 1544 einen Teil des Dreiecks (von der zweiten bis zur mittleren Spalte in jeder Reihe) und beschrieb es als a Tabelle der figürlichen Zahlen . In Italien wird Pascals Dreieck als Tartaglia-Dreieck bezeichnet , benannt nach dem italienischen Algebraisten Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1577), der 1556 sechs Reihen des Dreiecks veröffentlichte. Auch Gerolamo Cardano veröffentlichte das Dreieck sowie das Additiv und multiplikative Regeln für ihre Konstruktion im Jahr 1570.

Pascals Traité du Triangle arithmétique ( Abhandlung über das arithmetische Dreieck ) wurde 1655 veröffentlicht. Darin sammelte Pascal mehrere damals bekannte Ergebnisse über das Dreieck und verwendete sie, um Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie zu lösen . Das Dreieck wurde später von Pierre Raymond de Montmort (1708) nach Pascal benannt, der es "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (französisch: Tabelle von Herrn Pascal für Kombinationen) nannte, und Abraham de Moivre (1730), der es nannte " Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (lateinisch: Pascals arithmetisches Dreieck), das zum modernen westlichen Namen wurde.

Binomialerweiterungen

Visualisierung der binomialen Expansion bis zur 4. Potenz

Das Pascalsche Dreieck bestimmt die Koeffizienten, die bei Binomialentwicklungen entstehen . Betrachten Sie zum Beispiel die Erweiterung

.

Die Koeffizienten sind die Zahlen in der zweiten Reihe des Pascalschen Dreiecks: , , .

Im Allgemeinen gilt, wenn ein binomiales Like auf eine positive ganzzahlige Potenz von erhöht wird :

,

wobei die Koeffizienten in dieser Entwicklung genau die Zahlen in der Reihe des Pascalschen Dreiecks sind. Mit anderen Worten,

.

Dies ist der Binomialsatz .

Die gesamte rechte Diagonale des Pascalschen Dreiecks entspricht dem Koeffizienten von in diesen Binomialentwicklungen, während die nächste Diagonale dem Koeffizienten von usw. entspricht.

Um zu sehen, wie der Binomialsatz mit der einfachen Konstruktion des Pascalschen Dreiecks zusammenhängt, betrachten wir das Problem der Berechnung der Koeffizienten der Entwicklung von in Bezug auf die entsprechenden Koeffizienten von (Einstellung der Einfachheit halber). Angenommen, dann

.

Jetzt

Sechsreihiges Pascal-Dreieck als Binomialkoeffizienten

Die beiden Summationen lassen sich wie folgt reorganisieren:

(wegen der Funktionsweise des Potenzierens eines Polynoms, ).

Wir haben jetzt einen Ausdruck für das Polynom in Form der Koeffizienten von (das sind die s), den wir brauchen, wenn wir eine Linie durch die darüber liegende Linie ausdrücken wollen. Denken Sie daran, dass alle Terme in einer Diagonale von links oben nach rechts unten der gleichen Potenz von entsprechen , und dass die -Terme die Koeffizienten des Polynoms sind und wir die Koeffizienten von bestimmen . Nun ist für jedes gegebene der Koeffizient des Termes im Polynom gleich . Dies ist in der Tat die einfache Regel, um Pascals Dreieck Zeile für Zeile zu konstruieren.

Es ist nicht schwer, dieses Argument in einen Beweis (durch mathematische Induktion ) des Binomialsatzes umzuwandeln.

Da sind die Koeffizienten in der Entwicklung des allgemeinen Falls identisch.

Eine interessante Konsequenz des Binomialsatzes erhält man, indem man beide Variablen und gleich eins setzt. In diesem Fall wissen wir das , und so

Mit anderen Worten, die Summe der Einträge in der th-Reihe des Pascal-Dreiecks ist die te Potenz von 2. Dies entspricht der Aussage, dass die Anzahl der Teilmengen (die Kardinalität der Potenzmenge ) einer -elementigen Menge ist , da Man erkennt, dass die Anzahl der Teilmengen die Summe der Anzahl der Kombinationen jeder der möglichen Längen ist, die von Null bis reichen .

Kombinationen

Eine zweite nützliche Anwendung des Pascalschen Dreiecks ist die Berechnung von Kombinationen . Zum Beispiel kann die Anzahl der Kombinationen von Dingen, die gleichzeitig genommen werden (genannt n select k ), durch die Gleichung

.

Dies ist aber auch die Formel für eine Zelle des Pascalschen Dreiecks. Anstatt die Berechnung durchzuführen, kann man einfach den entsprechenden Eintrag im Dreieck nachschlagen. Vorausgesetzt, wir haben die erste Zeile und den ersten Eintrag in einer Zeile mit der Nummer 0, befindet sich die Antwort bei Eintrag in Zeile . Angenommen, ein Basketballteam hat 10 Spieler und möchte wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 auszuwählen. Die Antwort lautet Eintrag 8 in Zeile 10, also 45; das heißt, 10 wählen 8 ist 45.

Zusammenhang mit Binomialverteilung und Faltungen

Bei Division durch , wird die te Reihe des Pascalschen Dreiecks im symmetrischen Fall zur Binomialverteilung, wobei . Durch den zentralen Grenzwertsatz , nähert sich diese Verteilung der Normalverteilung als zunimmt. Dies kann auch gesehen werden, indem man die Stirlingsche Formel auf die Fakultäten anwendet , die an der Formel für Kombinationen beteiligt sind.

Dies hängt in zweierlei Hinsicht mit der Operation der diskreten Faltung zusammen . Erstens entspricht die polynomiale Multiplikation genau der diskreten Faltung, so dass das wiederholte Falten der Folge mit sich selbst dem Nehmen von Potenzen von entspricht und somit der Erzeugung der Reihen des Dreiecks. Zweitens entspricht das wiederholte Falten der Verteilungsfunktion für eine Zufallsvariable mit sich selbst der Berechnung der Verteilungsfunktion für eine Summe von n unabhängigen Kopien dieser Variablen; genau für diese Situation gilt der zentrale Grenzwertsatz und führt somit zur Normalverteilung im Grenzwert.

Muster und Eigenschaften

Das Pascalsche Dreieck hat viele Eigenschaften und enthält viele Zahlenmuster.

Jeder Frame repräsentiert eine Reihe in Pascals Dreieck. Jede Pixelspalte ist eine binäre Zahl mit dem niedrigstwertigen Bit unten. Helle Pixel stellen Einsen dar und die dunklen Pixel sind Nullen.

Reihen

  • Die Summe der Elemente einer einzelnen Zeile ist doppelt so groß wie die Summe der vorangehenden Zeile. Zeile 0 (die oberste Zeile) hat beispielsweise den Wert 1, Zeile 1 hat den Wert 2, Zeile 2 hat den Wert 4 und so weiter. Dies liegt daran, dass jedes Element in einer Reihe zwei Elemente in der nächsten Reihe erzeugt: eines links und eines rechts. Die Summe der Elemente von row ist  gleich .
  • Nimmt man das Produkt der Elemente in jeder Zeile, wird die Folge der Produkte (Sequenz A001142 im OEIS ) auf die Basis des natürlichen Logarithmus bezogen, z . Definieren Sie die Reihenfolge für alle wie folgt:
Dann ist das Verhältnis aufeinanderfolgender Reihenprodukte
und das Verhältnis dieser Verhältnisse ist
.
Die rechte Seite der obigen Gleichung hat die Form der Grenzwertdefinition von
.
  • Der Wert einer Zeile ist , wenn jeder Eintrag als Dezimalstelle betrachtet wird (und Zahlen größer als 9 entsprechend übertragen werden), eine Potenz von 11 ( 11 n , für Zeile  n ). So wird in Reihe 2 aus ⟨1, 2, 1⟩ 11 2 , während aus ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ in Reihe fünf (nach dem Tragen) 161.051 wird, was 11 5 ist . Diese Eigenschaft wird durch das Setzen von x = 10 in der Binomialentwicklung von ( x + 1) n und das Anpassen der Werte an das Dezimalsystem erklärt. Aber x kann so gewählt werden, dass Zeilen Werte in einer beliebigen Basis darstellen können .
    • In Basis 3 : 1 2 1 3 = 4 2 (16)
    • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 1 3 = 4 3 (64)
    • In Basis 9 : 1 2 1 9 = 10 2 (100)
    •               1 3 3 1 9 = 10 3 (1000)
    • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 1 9 = 10 5 (100000)
    Insbesondere (siehe vorherige Eigenschaft) bleibt für x = 1 Stellenwert konstant (1 Stelle = 1). Somit können beim Interpretieren des Wertes einer Zeile einfach Einträge hinzugefügt werden.
  • Einige der Zahlen in Pascals Dreieck korrelieren mit Zahlen in Lozanićs Dreieck .
  • Die Summe der Quadrate der Elemente der Reihe  n entspricht dem mittleren Element der Reihe  2 n . Zum Beispiel 1 2  + 4 2  + 6 2  + 4 2  + 1 2 = 70. In allgemeiner Form:
  • In jeder Zeile  n , in der n gerade ist, entspricht der mittlere Term minus dem Term zwei Punkte links einer katalanischen Zahl , insbesondere der ( n /2 + 1) -ten katalanischen Zahl. Zum Beispiel: in Reihe 4, 6 − 1 = 5 , was die 3. katalanische Zahl ist, und 4/2 + 1 = 3 .
  • In einer Zeile  p, in der p eine Primzahl ist , sind alle Terme in dieser Zeile mit Ausnahme der Einsen Vielfache von  p . Dies lässt sich leicht beweisen, denn wenn , dann hat p keine Faktoren außer 1 und sich selbst. Jeder Eintrag im Dreieck ist eine ganze Zahl, also per Definition und sind Faktoren von . Es gibt jedoch keine Möglichkeit, wie p selbst im Nenner erscheinen kann, daher muss p (oder ein Vielfaches davon) im Zähler belassen werden, wodurch der gesamte Eintrag ein Vielfaches von p ist .
  • Parität : Um ungerade Terme in Zeile  n zu zählen , wandeln Sie n in binär um . Sei x die Zahl der Einsen in der Binärdarstellung. Dann beträgt die Anzahl der ungeraden Terme 2 x . Diese Zahlen sind die Werte in der Gould-Folge .
  • Jeder Eintrag in Zeile 2 n -1, n ≥ 0, ist ungerade.
  • Polarität : Wenn die Elemente einer Reihe des Pascalschen Dreiecks sequentiell addiert und subtrahiert werden, ergibt jede Reihe mit einer mittleren Zahl, also Reihen mit einer ungeraden Anzahl von ganzen Zahlen, als Ergebnis 0. Als Beispiel ist Zeile 4 1 4 6 4 1, also wäre die Formel 6 – (4+4) + (1+1) = 0; und Zeile 6 ist 1 6 15 20 15 6 1, also wäre die Formel 20 – (15+15) + (6+6) – (1+1) = 0. Also ist jede gerade Zeile des Pascal-Dreiecks gleich 0, wenn Sie nehmen die mittlere Zahl, subtrahieren dann die ganzen Zahlen direkt neben der Mitte, addieren dann die nächsten ganzen Zahlen, subtrahieren dann usw., bis Sie das Ende der Reihe erreichen.

Diagonalen

Ableitung von Simplexzahlen aus einem linksbündigen Pascal-Dreieck

Die Diagonalen des Pascalschen Dreiecks enthalten die figuralen Zahlen der Simplizes:

Die Symmetrie des Dreiecks impliziert, dass die n- te d-dimensionale Zahl gleich der d- ten n -dimensionalen Zahl ist .

Eine alternative Formel, die keine Rekursion beinhaltet, lautet wie folgt:

wobei n ( d ) die steigende Fakultät ist .

Die geometrische Bedeutung einer Funktion P d ist: P d (1) = 1 für alle d . Konstruieren eines d - dimensionalen Dreieck (a 3-dimensional Dreieck ist ein Tetraeders ) , indem zusätzliche Punkte unter einem anfänglichen Punkt, entsprechend P d (1) = 1. Setzen diese Punkte in einer Weise analog zu der Anordnung von Zahlen in Pascalschen Dreiecks . Um P d ( x ) zu finden, haben insgesamt x Punkte, die die Zielform bilden. P d ( x ) ist dann gleich der Gesamtzahl der Punkte in der Form. Ein 0-dimensionales Dreieck ist ein Punkt und ein 1-dimensionales Dreieck ist einfach eine Linie, und daher ist P 0 ( x ) = 1 und P 1 ( x ) = x , was die Folge natürlicher Zahlen ist. Die Anzahl der Punkte in jeder Schicht entspricht P d  − 1 ( x ).

Eine Reihe oder Diagonale selbst berechnen

Es gibt einfache Algorithmen, um alle Elemente in einer Reihe oder Diagonale zu berechnen, ohne andere Elemente oder Fakultäten zu berechnen.

Um eine Zeile mit den Elementen , , ..., zu berechnen , beginnen Sie mit . Für jedes nachfolgende Element wird der Wert ermittelt, indem der vorherige Wert mit einem Bruch multipliziert wird, wobei sich Zähler und Nenner langsam ändern:

Um beispielsweise Zeile 5 zu berechnen, sind die Brüche  ,  ,  ,  und , und daher sind die Elemente  ,   ,   , usw. (Die restlichen Elemente werden am einfachsten durch Symmetrie erhalten.)

Um die Diagonale zu berechnen, die die Elemente , , , ... enthält, beginnen wir wieder mit und erhalten nachfolgende Elemente durch Multiplikation mit bestimmten Brüchen:

Aus Symmetriegründen kann derselbe Prozess verwendet werden, um die Diagonalen , , ... zu berechnen .

Um beispielsweise die Diagonale beginnend bei zu berechnen , sind die Brüche  ,  ,  , ... und die Elemente sind ,   ,   , usw. Aus Symmetriegründen sind diese Elemente gleich , , , usw.

Fibonacci-Folge im Pascalschen Dreieck

Allgemeine Muster und Eigenschaften

Eine Level-4-Approximation für ein Sierpinski-Dreieck, erhalten durch Schattieren der ersten 32 Reihen eines Pascal-Dreiecks weiß, wenn der Binomialkoeffizient gerade ist, und schwarz, wenn er ungerade ist.
  • Das Muster, das durch Färben nur der ungeraden Zahlen im Pascal-Dreieck erhalten wird, ähnelt stark dem Fraktal , das als Sierpinski-Dreieck bezeichnet wird . Diese Ähnlichkeit wird immer genauer, je mehr Zeilen berücksichtigt werden; als die Anzahl der Zeilen in der Grenze, gegen unendlich geht, das sich ergebende Muster ist das Sierpinski Dreieck, einen festen Umfang annimmt. Allgemeiner ausgedrückt könnten Zahlen unterschiedlich gefärbt sein, je nachdem, ob sie Vielfache von 3, 4 usw. sind oder nicht; dies führt zu anderen ähnlichen Mustern.
a4 weißer turm b4 eins c4 eins d4 eins
a3 eins b3 zwei c3 drei d3 vier
a2 eins b2 drei c2 sechs 10
a1 eins b1 vier 10 20
Das einem Gitter überlagerte Pascal-Dreieck gibt die Anzahl der verschiedenen Pfade zu jedem Quadrat an, unter der Annahme, dass nur Rechts- und Abwärtsbewegungen berücksichtigt werden.
  • In einem dreieckigen Teil eines Gitters (wie in den Bildern unten) ist die Anzahl der kürzesten Gitterwege von einem gegebenen Knoten zum obersten Knoten des Dreiecks der entsprechende Eintrag im Pascalschen Dreieck. Auf einem Plinko -Spielbrett in Form eines Dreiecks sollte diese Verteilung die Gewinnwahrscheinlichkeiten der verschiedenen Preise angeben .
Pascals Dreieck 4 Pfade.svg
  • Wenn die Reihen des Pascal-Dreiecks linksbündig ausgerichtet sind, summieren sich die diagonalen Bänder (unten farblich gekennzeichnet) zu den Fibonacci-Zahlen .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 fünfzehn 20 fünfzehn 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

Konstruktion als Matrix-Exponential

Binomialmatrix als Matrixexponential. Alle Punkte stehen für 0.

Aufgrund seiner einfachen Konstruktion durch Fakultäten kann eine sehr einfache Darstellung des Pascalschen Dreiecks in Form des Matrixexponentials gegeben werden: Das Pascalsche Dreieck ist das Exponential der Matrix, die die Folge 1, 2, 3, 4, ... subdiagonal und überall sonst null.

Verbindungen zur Geometrie von Polytopen

Das Pascal-Dreieck kann als Nachschlagetabelle für die Anzahl der Elemente (wie Kanten und Ecken) innerhalb eines Polytops (wie ein Dreieck, ein Tetraeder, ein Quadrat und ein Würfel) verwendet werden.

Anzahl der Elemente von Simplizes

Betrachten wir zunächst die dritte Linie des Pascalschen Dreiecks mit den Werten 1, 3, 3, 1. Ein zweidimensionales Dreieck hat ein zweidimensionales Element (sich selbst), drei eindimensionale Elemente (Linien oder Kanten) und drei 0-dimensionale Elemente ( Scheitelpunkte oder Ecken ). Die Bedeutung der letzten Zahl (1) ist schwieriger zu erklären (siehe aber unten). Um mit unserem Beispiel fortzufahren, hat ein Tetraeder ein dreidimensionales Element (sich selbst), vier zweidimensionale Elemente (Flächen), sechs eindimensionale Elemente (Kanten) und vier 0-dimensionale Elemente (Scheitelpunkte). Addiert man die letzte 1 wieder, entsprechen diese Werte der 4. Reihe des Dreiecks (1, 4, 6, 4, 1). Linie 1 entspricht einem Punkt und Linie 2 entspricht einem Liniensegment (Dyade). Dieses Muster setzt sich zu beliebig hochdimensionalen Hypertetraedern (sogenannten Simplizes ) fort.

Um zu verstehen, warum dieses Muster existiert, muss man zuerst verstehen, dass der Prozess des Aufbauens eines n -Simplex aus einem ( n − 1) -Simplex einfach darin besteht, diesem einen neuen Knoten hinzuzufügen, der so positioniert ist, dass dieser neue Knoten außerhalb des liegt Raum des ursprünglichen Simplex und verbindet ihn mit allen ursprünglichen Eckpunkten. Betrachten Sie als Beispiel den Fall, dass ein Tetraeder aus einem Dreieck aufgebaut wird, dessen Elemente in Zeile 3 des Pascal-Dreiecks aufgezählt werden: 1 Fläche, 3 Kanten und 3 Ecken (die Bedeutung der letzten 1 wird in Kürze erklärt). . Um aus einem Dreieck ein Tetraeder zu bauen, positionieren wir einen neuen Eckpunkt über der Ebene des Dreiecks und verbinden diesen Eckpunkt mit allen drei Eckpunkten des ursprünglichen Dreiecks.

Die Zahl eines gegebenen dimensionalen Elements im Tetraeder ist nun die Summe zweier Zahlen: zuerst die Zahl des Elements, das im ursprünglichen Dreieck gefunden wurde, plus die Zahl der neuen Elemente, die jeweils auf Elementen mit einer geringeren Dimension aus dem aufgebaut sind ursprüngliches Dreieck . Somit beträgt im Tetraeder die Anzahl der Zellen (polyedrische Elemente) 0 + 1 = 1 ; die Anzahl der Gesichter ist 1 + 3 = 4 ; die Anzahl der Kanten beträgt 3 + 3 = 6 ; die Anzahl der neuen Knoten beträgt 3 + 1 = 4 . Dieser Vorgang des Summierens der Anzahl der Elemente einer gegebenen Dimension mit denen einer geringeren Dimension, um die Nummer des ersteren im nächsthöheren Simplex zu erhalten, ist äquivalent zum Vorgang des Summierens zweier benachbarter Zahlen in einer Reihe des Pascalschen Dreiecks zu die Nummer unten. Somit wird die Bedeutung der letzten Zahl (1) in einer Reihe des Pascalschen Dreiecks so verstanden, dass sie den neuen Scheitelpunkt repräsentiert, der zu dem durch diese Reihe repräsentierten Simplex hinzugefügt werden soll, um den nächsthöheren Simplex repräsentiert durch die nächste Reihe zu erhalten. Dieser neue Scheitelpunkt wird mit jedem Element im ursprünglichen Simplex verbunden, um ein neues Element einer höheren Dimension im neuen Simplex zu ergeben, und dies ist der Ursprung des Musters, das als identisch mit dem im Pascalschen Dreieck gefundenen Muster gefunden wurde. Die "zusätzliche" 1 in einer Reihe kann man sich als den -1 Simplex vorstellen, das einzigartige Zentrum des Simplex, das immer einen neuen Scheitelpunkt und eine neue Dimension hervorbringt, was ein neues Simplex mit einem neuen Zentrum ergibt.

Anzahl der Elemente von Hyperwürfeln

Ein ähnliches Muster wird bei Quadraten beobachtet , im Gegensatz zu Dreiecken. Um das Muster zu finden, muss man ein Analogon zum Pascalschen Dreieck konstruieren, dessen Einträge die Koeffizienten von ( x + 2) Zeilennummer anstelle von ( x + 1) Zeilennummer sind . Es gibt ein paar Möglichkeiten, dies zu tun. Am einfachsten ist es, mit Zeile 0 = 1 und Zeile 1 = 1, 2 zu beginnen. Fahren Sie mit der Konstruktion der analogen Dreiecke nach folgender Regel fort:

Das heißt, wählen Sie ein Zahlenpaar nach den Regeln des Pascalschen Dreiecks, aber verdoppeln Sie das Zahlenpaar auf der linken Seite, bevor Sie es addieren. Das führt zu:

Die andere Möglichkeit, dieses Dreieck herzustellen, besteht darin, mit dem Pascal-Dreieck zu beginnen und jeden Eintrag mit 2 k zu multiplizieren , wobei k die Position in der Reihe der gegebenen Zahl ist. Zum Beispiel ist der 2. Wert in Zeile 4 des Pascal-Dreiecks 6 (die Steigung von 1s entspricht dem nullten Eintrag in jeder Zeile). Um den Wert zu erhalten, der sich an der entsprechenden Position im Analogdreieck befindet, multiplizieren Sie 6 mit 2 Positionsnummer = 6 × 2 2 = 6 × 4 = 24 . Nachdem das analoge Dreieck konstruiert wurde, kann die Anzahl der Elemente jeder Dimension, die einen beliebig dimensionierten Würfel (einen Hyperwürfel genannt ) bilden, analog zum Pascalschen Dreieck aus der Tabelle abgelesen werden. Beispielsweise beträgt die Anzahl der 2-dimensionalen Elemente in einem 2-dimensionalen Würfel (ein Quadrat) 1, die Anzahl der 1-dimensionalen Elemente (Seiten oder Linien) 4 und die Anzahl der 0-dimensionalen Elemente (Punkte, oder Scheitelpunkte) ist 4. Dies entspricht der 2. Reihe der Tabelle (1, 4, 4). Ein Würfel hat 1 Würfel, 6 Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken, was der nächsten Linie des analogen Dreiecks (1, 6, 12, 8) entspricht. Dieses Muster setzt sich auf unbestimmte Zeit fort.

Um zu verstehen, warum dieses Muster existiert, muss man zunächst erkennen, dass die Konstruktion eines n -Würfels aus einem ( n − 1) -Würfel erfolgt, indem man einfach die Originalfigur dupliziert und um eine gewisse Distanz verschiebt (für einen regulären n -Würfel ist die Kantenlänge ) orthogonal zum Raum der Originalfigur und verbindet dann jeden Scheitelpunkt der neuen Figur mit seinem entsprechenden Scheitelpunkt des Originals. Dieser anfängliche Duplikationsprozess ist der Grund, warum man, um die dimensionalen Elemente eines n- Würfels aufzuzählen, die erste eines Zahlenpaares in einer Reihe dieses Analogons des Pascalschen Dreiecks verdoppeln muss, bevor man summiert, um die untenstehende Zahl zu erhalten. Die anfängliche Verdopplung ergibt somit die Anzahl der "ursprünglichen" Elemente, die im nächsthöheren n -Würfel zu finden sind, und wie zuvor werden neue Elemente auf denen einer geringeren Dimension aufgebaut (Kanten auf Ecken, Flächen auf Kanten usw.). Auch hier stellt die letzte Zahl einer Reihe die Zahl der neuen Scheitelpunkte dar, die hinzugefügt werden müssen, um den nächsthöheren n- Würfel zu erzeugen .

In diesem Dreieck ist die Summe der Elemente der Reihe m gleich 3 m . Um wieder die Elemente von Zeile 4 als Beispiel zu verwenden: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 , was gleich ist .

Zählen von Scheitelpunkten in einem Würfel nach Entfernung

Jede Reihe des Pascalschen Dreiecks gibt die Anzahl der Scheitelpunkte in jedem Abstand von einem festen Scheitelpunkt in einem n- dimensionalen Würfel an. Zum Beispiel entspricht in drei Dimensionen die dritte Reihe (1 3 3 1) dem üblichen dreidimensionalen Würfel : Fixiert einen Scheitelpunkt V , gibt es einen Scheitelpunkt im Abstand 0 von V (dh V selbst), drei Scheitelpunkte bei Abstand 1, drei Scheitelpunkte im Abstand 2 und ein Scheitelpunkt im Abstand 3 (der Scheitelpunkt gegenüber V ). Die zweite Reihe entspricht einem Quadrat, während Reihen mit größeren Nummern Hyperwürfeln in jeder Dimension entsprechen.

Fourier-Transformation von sin( x ) n +1 / x

Wie bereits erwähnt, sind die Koeffizienten von ( x  + 1) n die n-te Reihe des Dreiecks. Nun sind die Koeffizienten von ( x  − 1) n gleich, außer dass das Vorzeichen von +1 zu −1 und wieder zurück wechselt. Nach geeigneter Normierung tritt das gleiche Zahlenmuster in der Fourier-Transformation von sin( x ) n +1 / x auf . Genauer gesagt: Wenn n gerade ist, nehmen Sie den Realteil der Transformation, und wenn n ungerade ist, nehmen Sie den Imaginärteil . Das Ergebnis ist dann eine Stufenfunktion , deren Werte (geeignet normiert) durch die n- te Reihe des Dreiecks mit wechselnden Vorzeichen gegeben sind. Zum Beispiel die Werte der Sprungfunktion, die sich aus folgendem ergibt:

Bilden Sie die vierte Reihe des Dreiecks mit abwechselnden Vorzeichen. Dies ist eine Verallgemeinerung des folgenden Grundergebnisses (oft in der Elektrotechnik verwendet ):

ist die Boxcar-Funktion . Die entsprechende Reihe des Dreiecks ist Reihe 0, die nur aus der Zahl 1 besteht.

Ist n kongruent zu 2 oder zu 3 mod 4, dann beginnen die Vorzeichen mit −1. Tatsächlich entspricht die Folge der (normierten) ersten Terme den Potenzen von i , die in der komplexen Ebene um den Schnittpunkt der Achsen mit dem Einheitskreis kreisen:

Erweiterungen

Binomialkoeffizienten C  ( n , k ) erweitert für negatives und gebrochenes n , dargestellt durch ein einfaches Binomial . Es kann beobachtet werden, dass das Pascalsche Dreieck gedreht wird und alternative Terme negiert werden. Der Fall n  = −1 ergibt die Grandi-Reihe .

Das Pascal-Dreieck kann auf negative Zeilenzahlen erweitert werden.

Schreiben Sie zuerst das Dreieck in der folgenden Form:

m
n
0 1 2 3 4 5 ...
0 1 0 0 0 0 0 ...
1 1 1 0 0 0 0 ...
2 1 2 1 0 0 0 ...
3 1 3 3 1 0 0 ...
4 1 4 6 4 1 0 ...

Als nächstes erweitern Sie die Spalte von 1s nach oben:

m
n
0 1 2 3 4 5 ...
-4 1 ...
-3 1 ...
-2 1 ...
-1 1 ...
0 1 0 0 0 0 0 ...
1 1 1 0 0 0 0 ...
2 1 2 1 0 0 0 ...
3 1 3 3 1 0 0 ...
4 1 4 6 4 1 0 ...

Jetzt die Regel:

kann neu geordnet werden zu:

was die Berechnung der anderen Einträge für negative Zeilen ermöglicht:

m
n
0 1 2 3 4 5 ...
-4 1 -4 10 -20 35 −56 ...
-3 1 -3 6 -10 fünfzehn −21 ...
-2 1 -2 3 -4 5 -6 ...
-1 1 -1 1 -1 1 -1 ...
0 1 0 0 0 0 0 ...
1 1 1 0 0 0 0 ...
2 1 2 1 0 0 0 ...
3 1 3 3 1 0 0 ...
4 1 4 6 4 1 0 ...

Diese Erweiterung behält die Eigenschaft bei, dass die Werte in der m- ten Spalte als Funktion von n betrachtet an ein Polynom der Ordnung m angepasst werden, nämlich

.

Diese Erweiterung behält auch die Eigenschaft bei, dass die Werte in der n- ten Zeile den Koeffizienten von (1 +  x ) n entsprechen :

Zum Beispiel:

Als Reihe betrachtet, divergieren die Reihen mit negativen n . Sie sind jedoch immer noch Abel summable , wobei die Summation die Standardwerte von 2 n ergibt . (Tatsächlich  ergibt die Reihe n = -1 Grandis Reihe, die sich zu 1/2 "summiert", und die  Reihe n = -2 führt zu einer anderen bekannten Reihe, die eine Abel-Summe von 1/4 hat.)

Eine weitere Möglichkeit, das Pascal-Dreieck auf negative Zeilen zu erweitern, besteht darin, die andere 1er-Zeile zu verlängern:

m
n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...
-4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
-3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
-2 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
-1 1 0 0 0 0 0 0 ...
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ...
3 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 ...
4 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 ...

Die Anwendung der gleichen Regel wie zuvor führt zu

m
n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...
-4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
-3 -3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
-2 3 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
-1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 ..
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ...
3 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 ...
4 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 ...

Diese Erweiterung hat auch die Eigenschaften, die ebenso

wir haben

Genauso wie das Summieren entlang der Diagonalen von unten links nach oben rechts der Pascal-Matrix die Fibonacci-Zahlen ergibt , summiert sich diese zweite Art der Erweiterung immer noch zu den Fibonacci-Zahlen für den negativen Index.

Jede dieser Erweiterungen kann erreicht werden, wenn wir definieren

und nehmen bestimmte Grenzen der Gammafunktion , .

Siehe auch

Verweise

Externe Links