Penrose-Fliesen

Ein Penrose-Fliesen mit Rhomben, die fünfzählige Symmetrie aufweisen

Eine Penrose-Kachelung ist ein Beispiel für eine aperiodische Kachelung . Hier ist eine Kachelung eine Abdeckung der Ebene durch nicht überlappende Polygone oder andere Formen, und aperiodisch bedeutet, dass das Verschieben einer Kachelung mit diesen Formen um einen beliebigen endlichen Abstand ohne Drehung nicht dieselbe Kachelung erzeugen kann. Trotz ihres Mangels an Translationssymmetrie können Penrose-Kacheln jedoch sowohl Reflexionssymmetrie als auch fünfzählige Rotationssymmetrie aufweisen . Penrose-Fliesen sind nach dem Mathematiker und Physiker Roger Penrose benannt , der sie in den 1970er Jahren untersuchte.

Es gibt verschiedene Variationen von Penrose-Fliesen mit unterschiedlichen Fliesenformen. Die ursprüngliche Form der Penrose-Fliesen verwendete Fliesen in vier verschiedenen Formen, aber diese wurden später auf nur zwei Formen reduziert: entweder zwei verschiedene Rhomben oder zwei verschiedene Vierecke, die als Drachen und Pfeile bezeichnet werden. Die Penrose-Fliesen werden erhalten, indem die Art und Weise eingeschränkt wird, in der diese Formen zusammenpassen dürfen. Dies kann auf verschiedene Weise erfolgen, einschließlich Abgleichsregeln, Ersatzkacheln oder endlicher Unterteilungsregeln , Schnitt- und Projektschemata und Überdeckungen. Selbst auf diese Weise eingeschränkt, führt jede Variation zu unendlich vielen verschiedenen Penrose-Kacheln.

Roger Penrose im Foyer des Mitchell Institute for Fundamental Physics and Astronomy, Texas A&M University , stehend auf einem Boden mit Penrose-Fliesen

Penrose-Fliesen sind selbstähnlich : Sie können in äquivalente Penrose-Fliesen mit unterschiedlichen Fliesengrößen umgewandelt werden, indem Verfahren verwendet werden, die als Inflation und Deflation bezeichnet werden . Das Muster, das durch jeden endlichen Kachelfleck in einer Penrose-Kachelung repräsentiert wird, kommt während der Kachelung unendlich oft vor. Sie sind Quasikristalle : Als physikalische Struktur implementiert, erzeugt eine Penrose-Kachelung Beugungsmuster mit Bragg-Peaks und fünfzähliger Symmetrie, die die wiederholten Muster und festen Ausrichtungen ihrer Kacheln enthüllen. Das Studium dieser Kacheln war wichtig für das Verständnis physikalischer Materialien, die auch Quasikristalle bilden. Penrose-Fliesen wurden auch in Architektur und Dekoration verwendet, wie bei den gezeigten Bodenfliesen.

Hintergrund und Geschichte

Periodische und aperiodische Kacheln

Abbildung 1. Teil einer periodischen Kachelung mit zwei Prototilen

Das Abdecken einer ebenen Fläche ("die Ebene") mit einem Muster geometrischer Formen ("Fliesen") ohne Überlappungen oder Lücken wird als Kacheln bezeichnet . Die bekanntesten Fliesen, wie beispielsweise das Bedecken eines Bodens mit Quadraten, die Kante an Kante treffen, sind Beispiele für periodische Fliesen . Wenn eine quadratische Kachelung um die Breite einer Kachel parallel zu den Seiten der Kachel verschoben wird, ergibt sich das gleiche Kachelmuster wie vor der Verschiebung. Eine Verschiebung (formell eine Übersetzung ), die die Kachelung auf diese Weise beibehält, wird als Periode der Kachelung bezeichnet. Eine Kachelung wird als periodisch bezeichnet, wenn sie Perioden aufweist, die die Kachelung in zwei verschiedene Richtungen verschieben.

Die Kacheln in der quadratischen Kachelung haben nur eine Form, und es ist üblich, dass andere Kacheln nur eine endliche Anzahl von Formen haben. Diese Formen werden Prototile genannt , und ein Satz von Prototilen soll eine Kachelung zulassen oder die Ebene kacheln , wenn es eine Kachelung der Ebene gibt, die nur diese Formen verwendet. Das heißt, jede Fliese in den Fliesen muß deckungsgleich zu einem dieser prototiles.

Eine Kachelung ohne Punkte ist nicht periodisch . Eine Menge von Prototilen heißt aperiodisch, wenn alle ihre Kacheln nicht periodisch sind, und in diesem Fall werden ihre Kacheln auch als aperiodische Kacheln bezeichnet . Penrose-Kacheln gehören zu den einfachsten bekannten Beispielen für aperiodische Kacheln der Ebene durch endliche Sätze von Prototilen.

Früheste aperiodische Kacheln

Ein aperiodischer Satz von Wang Dominosteinen .

Das Thema der aperiodischen Kacheln erhielt in den 1960er Jahren neues Interesse, als der Logiker Hao Wang Zusammenhänge zwischen Entscheidungsproblemen und Kacheln feststellte . Insbesondere führte er Kacheln durch quadratische Platten mit farbigen Kanten ein, die heute als Wang-Dominosteine oder -Kacheln bekannt sind , und stellte das „ Domino-Problem “: um zu bestimmen, ob ein bestimmter Satz von Wang-Dominosteinen die Ebene mit passenden Farben an benachbarten Dominokanten kacheln konnte. Er beobachtete, dass, wenn dieses Problem unentscheidbar wäre, es eine aperiodische Menge von Wang-Dominosteinen geben müsste. Zu dieser Zeit schien dies unplausibel, so dass Wang vermutete, dass ein solches Set nicht existieren könnte.

Robinsons sechs Prototiles

Wangs Schüler Robert Berger bewies in seiner Dissertation von 1964, dass das Dominoproblem unentscheidbar war (also war Wangs Vermutung falsch) und erhielt einen aperiodischen Satz von 20.426 Wang-Dominosteinen. Er beschrieb auch eine Reduzierung auf 104 solcher Prototile; letzteres erschien nicht in seiner veröffentlichten Monographie, aber 1968 detailliert Donald Knuth eine Modifikation von Bergers Set, die nur 92 Dominosteine erfordert.

Die bei einer Kachelung von Wang Dominos geforderte Farbabstimmung lässt sich leicht erreichen, indem man die Kanten der Kacheln wie Puzzleteile so verändert, dass sie nur so zusammenpassen, wie es die Kantenfarben vorgeben. Raphael Robinson verwendete diese Technik in einer 1971 erschienenen Arbeit, die Bergers Techniken und den Beweis der Unentscheidbarkeit vereinfachte, um einen aperiodischen Satz von nur sechs Prototilen zu erhalten.

Entwicklung der Penrose-Fliesen

Die erste Penrose-Kachelung (Tiling P1 unten) ist ein aperiodischer Satz von sechs Prototilen, der von Roger Penrose in einem Artikel aus dem Jahr 1974 eingeführt wurde und auf Fünfecken statt auf Quadraten basiert. Jeder Versuch, die Ebene mit regelmäßigen Fünfecken zu kacheln, hinterlässt zwangsläufig Lücken, aber Johannes Kepler zeigte 1619 in seinem Werk Harmonices Mundi , dass diese Lücken mit Pentagrammen ( Sternpolygonen ), Zehnecken und verwandten Formen gefüllt werden können. Kepler erweiterte diese Kachelung um fünf Polygone und fand keine periodischen Muster und vermutete bereits, dass jede Erweiterung ein neues Merkmal einführen würde, wodurch eine aperiodische Kachelung entsteht. Spuren dieser Ideen finden sich auch im Werk von Albrecht Dürer . In Anerkennung der Inspiration von Kepler fand Penrose übereinstimmende Regeln für diese Formen und erhielt einen aperiodischen Satz. Diese Abgleichsregeln können wie bei den Wang-Fliesen durch Verzierungen der Kanten auferlegt werden. Die Kachelung von Penrose kann als Vervollständigung des endlichen Aa- Musters von Kepler angesehen werden .

Eine Nicht-Penrose-Fliese mit Fünfecken und dünnen Rauten in der Wallfahrtskirche des Hl. Johannes von Nepomuk aus dem frühen 18. Jahrhundert in Zelená hora, Tschechien

Penrose reduzierte daraufhin die Anzahl der Prototiles auf zwei und entdeckte die Drachen- und Pfeil-Kacheln (Kacheln P2 unten) und die Rhombus-Kacheln (Kacheln P3). Die Rhombus-Kachelung wurde 1976 unabhängig von Robert Ammann entdeckt . Penrose und John H. Conway untersuchten die Eigenschaften von Penrose-Kacheln und stellten fest, dass eine Substitutionseigenschaft ihre hierarchische Natur erklärt; ihre Ergebnisse wurden von Martin Gardner in seiner Kolumne " Mathematical Games " vom Januar 1977 im Scientific American veröffentlicht .

1981 stellte NG De Bruijn zwei verschiedene Methoden zur Verfügung, um Penrose-Fliesen zu konstruieren. De Bruijns "Multigrid-Methode" erhält die Penrose-Kacheln als duale Graphen von Anordnungen von fünf Familien paralleler Linien. In seiner "cut and project method" werden Penrose-Kacheln als zweidimensionale Projektionen aus einer fünfdimensionalen kubischen Struktur gewonnen. Bei diesen Ansätzen wird die Penrose-Kachelung als eine Menge von Punkten, ihren Scheitelpunkten, angesehen, während die Kacheln geometrische Formen sind, die durch Verbinden von Scheitelpunkten mit Kanten erhalten werden.

Eine P1-Kachelung mit dem ursprünglichen Satz von sechs Prototilen von Penrose

Die drei Arten von Penrose-Fliesen, P1–P3, werden im Folgenden einzeln beschrieben. Sie haben viele Gemeinsamkeiten: Die Kacheln sind jeweils aus Formen aufgebaut, die sich auf das Fünfeck (und damit auf den Goldenen Schnitt ) beziehen , aber die Grundformen der Kacheln müssen durch passende Regeln ergänzt werden , um aperiodisch zu kacheln. Diese Regeln können unter Verwendung von beschrifteten Scheitelpunkten oder Kanten oder Mustern auf den Fliesenflächen beschrieben werden; alternativ kann das Kantenprofil modifiziert werden (zB durch Vertiefungen und Vorsprünge), um einen aperiodischen Satz von Prototilen zu erhalten.

Original fünfeckige Penrose-Fliesen (P1)

Penroses erste Kachelung verwendet Fünfecke und drei andere Formen: einen fünfzackigen "Stern" (ein Pentagramm), ein "Boot" (ungefähr 3/5 eines Sterns) und einen "Diamant" (eine dünne Raute). Um sicherzustellen, dass alle Kacheln nicht periodisch sind, gibt es Abgleichsregeln, die angeben, wie Kacheln sich treffen dürfen, und es gibt drei verschiedene Arten von Abgleichsregeln für die fünfeckigen Kacheln. Die Behandlung dieser drei Typen als unterschiedliche Prototile ergibt einen Satz von insgesamt sechs Prototilen. Es ist üblich, die drei verschiedenen Arten von fünfeckigen Fliesen mit drei verschiedenen Farben anzuzeigen, wie in der Abbildung oben rechts.

Drachen- und Dartfliesen (P2)

Teil des Flugzeugs, das mit Penrose- Fliesen vom Typ P2 (Drachen und Dart) bedeckt ist . Erstellt durch Anwenden mehrerer Deflationen, siehe Abschnitt unten.

Penroses zweite Kachelung verwendet Vierecke, die "Drachen" und "Darts" genannt werden, die zu einer Raute kombiniert werden können. Die Matching-Regeln verbieten jedoch eine solche Kombination. Sowohl der Drachen als auch der Dart bestehen aus zwei Dreiecken, den Robinson-Dreiecken , nach den 1975er Noten von Robinson.

Drachen- und Dartkacheln (oben) und die sieben möglichen Vertexfiguren in einer P2-Kachel.

Der Drachen ist ein Viereck, dessen vier Innenwinkel 72, 72, 72 und 144 Grad betragen. Der Drachen kann entlang seiner Symmetrieachse halbiert werden, um ein Paar spitzer Robinson-Dreiecke (mit Winkeln von 36, 72 und 72 Grad) zu bilden.
Der Pfeil ist ein nicht konvexes Viereck, dessen vier Innenwinkel 36, 72, 36 und 216 Grad betragen. Der Pfeil kann entlang seiner Symmetrieachse halbiert werden, um ein Paar stumpfer Robinson-Dreiecke (mit Winkeln von 36, 36 und 108 Grad) zu bilden, die kleiner sind als die spitzen Dreiecke.

Die Matching-Regeln können auf verschiedene Weise beschrieben werden. Ein Ansatz besteht darin, die Scheitelpunkte einzufärben (mit zwei Farben, zB schwarz und weiß) und zu verlangen, dass benachbarte Kacheln übereinstimmende Scheitelpunkte aufweisen. Eine andere besteht darin, ein Muster aus Kreisbögen (wie oben links in Grün und Rot gezeigt) zu verwenden, um die Platzierung von Kacheln einzuschränken: Wenn zwei Kacheln eine Kante in einer Kachelung teilen, müssen die Muster an diesen Kanten übereinstimmen.

Diese Regeln erzwingen oft die Platzierung bestimmter Kacheln: Zum Beispiel wird der konkave Scheitel eines Dartpfeils notwendigerweise von zwei Drachen ausgefüllt. Die dazugehörige Figur (Mitte der oberen Reihe im unteren Bild links) wird von Conway als "Ass" bezeichnet; Obwohl es wie ein vergrößerter Drachen aussieht, fliest er nicht auf die gleiche Weise. In ähnlicher Weise wird der konkave Scheitel, der sich bildet, wenn sich zwei Drachen entlang einer kurzen Kante treffen, notwendigerweise von zwei Pfeilen ausgefüllt (unten rechts). Tatsächlich gibt es nur sieben Möglichkeiten für die Kacheln, sich an einem Scheitelpunkt zu treffen; zwei dieser Figuren – nämlich der „Stern“ (oben links) und die „Sonne“ (oben rechts) – haben eine 5-zählige Dieder-Symmetrie (durch Rotationen und Spiegelungen), während die übrigen eine einzige Spiegelungsachse (vertikal in das Bild). Außer dem Ass und der Sonne erzwingen alle diese Vertexfiguren das Platzieren zusätzlicher Kacheln.

Rautenfliesen (P3)

Abgleichsregel für Penrose-Rhomben mit Kreisbögen oder Kantenmodifikationen, um die Kachelregeln durchzusetzen

Abgleichsregel für Penrose-Rhomben mit parabolischen Kanten, um die Kachelregeln durchzusetzen

Ein Penrose Tiling mit Penrose Rhombus mit parabolischen Kanten

Die dritte Kachelung verwendet ein Paar Rauten ( in diesem Zusammenhang oft als „ Rhomben “ bezeichnet) mit gleichen Seiten, aber unterschiedlichen Winkeln. Gewöhnliche rautenförmige Kacheln können verwendet werden, um die Ebene periodisch zu kacheln, daher müssen Einschränkungen beim Zusammenbau der Kacheln gemacht werden: Keine zwei Kacheln dürfen ein Parallelogramm bilden, da dies eine periodische Kachelung ermöglichen würde, aber diese Einschränkung reicht nicht aus, um zu erzwingen Aperiodizität, wie Abbildung 1 oben zeigt.

Es gibt zwei Arten von Kacheln, die beide in Robinson-Dreiecke zerlegt werden können.

Die dünne Raute t hat vier Ecken mit Winkeln von 36, 144, 36 und 144 Grad. Die t Rhombus kann entlang seiner kurzen Diagonalen zu bilden ein Paar von akuten Robinson Dreiecke halbiert werden.
Die dicke Raute T hat Winkel von 72, 108, 72 und 108 Grad. Der T- Rhombus kann entlang seiner langen Diagonale halbiert werden, um ein Paar stumpfer Robinson-Dreiecke zu bilden; diese sind im Gegensatz zur P2-Kachelung größer als die spitzen Dreiecke.

Die Matching-Regeln unterscheiden die Seiten der Kacheln und führen dazu, dass Kacheln auf bestimmte Weise nebeneinander angeordnet werden können, auf andere jedoch nicht. Die Abbildung rechts zeigt zwei Möglichkeiten, diese Abgleichsregeln zu beschreiben. In einer Form müssen Fliesen so zusammengesetzt werden, dass die Rundungen auf den Flächen in Farbe und Position über eine Kante hinweg übereinstimmen. Zum anderen müssen die Fliesen so zusammengesetzt werden, dass die Unebenheiten an ihren Kanten zusammenpassen.

Es gibt 54 zyklisch geordnete Kombinationen solcher Winkel, die sich an einem Scheitelpunkt zu 360 Grad addieren, aber die Regeln der Kachelung lassen nur sieben dieser Kombinationen zu (obwohl eine davon auf zwei Arten entsteht).

Die verschiedenen Kombinationen von Winkeln und Gesichtskrümmung ermöglichen den Bau beliebig komplexer Kacheln, wie zum Beispiel die Penrose-Hühner .

Eigenschaften und Konstruktionen

Goldener Schnitt und lokale fünfeckige Symmetrie

Mehrere Eigenschaften und gemeinsame Merkmale der Penrose-Fliesen betreffen den Goldenen Schnitt $φ$ = (1+ √ 5 )/2 (ungefähr 1,618). Dies ist das Verhältnis von Sehnenlängen zu Seitenlängen in einem regelmäßigen Fünfeck und erfüllt $φ$ = 1 + 1/ $φ$ .

Fünfeck mit eingeschriebener dicker Raute (hell), spitzen Robinson-Dreiecken (leicht schattiert) und einem kleinen stumpfen Robinson-Dreieck (dunkler). Gepunktete Linien geben zusätzliche Kanten für beschriftete Drachen und Darts.

Folglich ist das Verhältnis der Längen von langen Seiten zu kurzen Seiten in den ( gleichschenkligen ) Robinson-Dreiecken $φ$ :1. Daraus folgt, dass das Verhältnis von langen Seitenlängen zu kurzen sowohl bei Drachen- als auch bei $Dartkacheln$ ebenfalls $φ$ : 1 ist, ebenso wie die Längenverhältnisse der Seiten zur kurzen Diagonale in der dünnen Raute t und der langen Diagonale zu den Seiten in der dicken Raute T . Sowohl in der P2- als auch in der P3-Kachelung beträgt das Flächenverhältnis des größeren Robinson-Dreiecks zum kleineren $φ$ :1, also auch die Flächenverhältnisse des Drachens zum Dart und der dicken Raute zu der dünnen Rhombus. (Im Fünfeck links sind sowohl größere als auch kleinere stumpfe Robinson-Dreiecke zu finden: die größeren Dreiecke oben – die Hälften der dicken Raute – haben lineare Abmessungen, die um $φ$ skaliert sind, verglichen mit dem kleinen schattierten Dreieck an der Basis, und das Flächenverhältnis ist also $φ$ ² : 1.)

Jede Penrose-Kachelung hat eine lokale fünfeckige Symmetrie, in dem Sinne, dass es Punkte in der Kachelung gibt, die von einer symmetrischen Konfiguration von Kacheln umgeben sind: Solche Konfigurationen haben eine fünffache Rotationssymmetrie um den Mittelpunkt sowie fünf Spiegellinien der Reflexionssymmetrie, die durch den Punkt gehen eine Dieder Symmetriegruppe . Diese Symmetrie bewahrt im Allgemeinen nur einen Kachelfleck um den Mittelpunkt, der jedoch sehr groß sein kann: Conway und Penrose haben bewiesen, dass der Bereich innerhalb der Schleife immer dann fünfeckig ist, wenn sich die farbigen Kurven auf den P2- oder P3-Kacheln in einer Schleife schließen Symmetrie, und außerdem gibt es in jeder Kachelung höchstens zwei solcher Kurven jeder Farbe, die sich nicht schließen.

Es kann höchstens einen Mittelpunkt globaler fünfzähliger Symmetrie geben: Gäbe es mehr als einen, würde eine Drehung um den anderen zwei einander näher liegende Zentren fünfzähliger Symmetrie ergeben, was zu einem mathematischen Widerspruch führt. Es gibt nur zwei Penrose-Kacheln (jedes Typs) mit globaler fünfeckiger Symmetrie: Für die P2-Kacheln durch Drachen und Darts ist der Mittelpunkt entweder ein "Sonnen-" oder "Stern"-Scheitelpunkt.

Inflation und Deflation

Ein Fünfeck zerlegt in sechs kleinere Fünfecke (ein halbes Dodekaedernetz) mit Lücken

Viele der gemeinsamen Merkmale von Penrose-Kacheln ergeben sich aus einer hierarchischen fünfeckigen Struktur, die durch Substitutionsregeln gegeben ist : Dies wird oft als Inflation und Deflation oder Zusammensetzung und Zerlegung von Kacheln oder (Ansammlungen von) Kacheln bezeichnet. Die Ersetzungsregeln zerlegen jede Kachel in kleinere Kacheln derselben Form wie die, die in der Kachelung verwendet werden (und ermöglichen so, dass größere Kacheln aus kleineren "zusammengesetzt" werden). Dies zeigt, dass die Penrose-Kachelung eine skalierende Selbstähnlichkeit hat und daher als Fraktal betrachtet werden kann , wobei der gleiche Prozess wie bei der Pentaflocke verwendet wird .

Penrose entdeckte die P1-Fliesen ursprünglich auf diese Weise, indem er ein Fünfeck in sechs kleinere Fünfecke (eine Hälfte eines Netzes eines Dodekaeders ) und fünf Halbrauten zerlegte ; er beobachtete dann, dass, wenn er diesen Vorgang wiederholte, die Lücken zwischen den Fünfecken alle durch Sterne, Diamanten, Boote und andere Fünfecke gefüllt werden konnten. Durch unendliche Iteration dieses Prozesses erhielt er eine der beiden P1-Kacheln mit fünfeckiger Symmetrie.

Robinson-Dreieck-Zerlegungen

Robinson-Dreiecke und ihre Zerlegungen

Die Substitutionsmethode sowohl für P2- als auch für P3-Kacheln kann unter Verwendung von Robinson-Dreiecken unterschiedlicher Größe beschrieben werden. Die Robinson-Dreiecke, die in P2-Kacheln (durch Halbieren von Drachen und Pfeilen) entstehen, werden A-Kacheln genannt, während diejenigen, die in P3-Kacheln (durch Halbieren von Rauten) entstehen, B-Kacheln genannt werden. Je kleiner A-Kachel, bezeichnet mit A _S ist ein stumpfer Robinson Dreieck, während die größere A-Kachel, A _L , ist acute ; im Gegensatz dazu ist eine kleinere B-Kachel, mit B _{S bezeichnet} , ein spitzes Robinson-Dreieck, während die größere B-Kachel, B _L stumpf ist.

Konkret gesagt, wenn A _S Seitenlängen (1, 1, $φ$ ), dann ein _L hat Seitenlängen ( $φ$ , $φ$ , 1). B-Kacheln können auf zwei Arten mit solchen A-Kacheln verknüpft werden:

Wenn B _S die gleiche Größe wie A _{L hat,} dann ist B _L eine vergrößerte Version $φ$ A _S von A _S , mit Seitenlängen ( $φ$ , $φ$ , $φ$ ² = 1 + $φ$ ) – diese zerfällt in eine A _L- Kachel und A _S Fliese entlang einer gemeinsamen Seite der Länge 1 verbunden.
Wenn stattdessen B _L mit A _S identifiziert wird , dann ist B _S eine reduzierte Version (1/ $φ$ )A _L von A _L mit Seitenlängen (1/ $φ$ ,1/ $φ$ ,1) – Verbindung einer B _S- Kachel und eines B _{Eine L-} Kachel entlang einer gemeinsamen Seite der Länge 1 ergibt dann (eine Zerlegung von) eine A- _L- Kachel.

Bei diesen Zerlegungen scheint es eine Mehrdeutigkeit zu geben: Robinson-Dreiecke können auf zwei Arten zerlegt werden, die Spiegelbilder voneinander in der (gleichschenkligen) Symmetrieachse des Dreiecks sind. Bei einer Penrose-Kachelung wird diese Auswahl durch die Abgleichsregeln festgelegt. Darüber hinaus bestimmen die Matching-Regeln auch , wie sich die kleineren Dreiecke in der Kachelung zu größeren zusammensetzen.

Teilweise Inflation eines Sterns, um Rauten zu erhalten, und einer Sammlung von Rauten, um ein Ass zu erhalten.

Daraus folgt, dass die P2- und P3- Kacheln gegenseitig lokal ableitbar sind : Eine Kachelung durch einen Satz von Kacheln kann verwendet werden, um eine Kachelung durch einen anderen zu erzeugen. Beispielsweise kann eine Belegung durch Drachen und Darts in A-Kacheln unterteilt werden, die kanonisch zu B-Kacheln und damit Rauten zusammengesetzt werden können. Die Kacheln P2 und P3 sind auch beide gegenseitig lokal ableitbar mit der Kachelung P1 (siehe Abbildung 2 oben ).

Die Zerlegung von B-Kacheln in A-Kacheln kann geschrieben werden

B _S = A _L , B _L = A _L + A _S

(unter Annahme der größeren Größenkonvention für die B-Kacheln), die in einer Substitutionsmatrixgleichung zusammengefasst werden kann:

{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{ L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.

Kombiniert man dies mit der Zerlegung von vergrößerten $φ$ A-Kacheln in B-Kacheln ergibt die Substitution

{\begin{pmatrix}\varphi A_{L}\\\varphi A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S }\end{pmatrix}}\,,

so dass sich die vergrößerte Kachel $φ$ A _L in zwei A _L- Kacheln und eine A _S- Kachel zerlegt . Die Matching-Regeln erzwingen einen bestimmten Austausch: Die beiden A _L- Plättchen in einem $φ$ A _L- Plättchen müssen einen Drachen bilden, und somit zerfällt ein Drachen in zwei Drachen und zwei Halbpfeile, und ein Pfeil zerfällt in einen Drachen und zwei Halbpfeile. Darts. Vergrößerte $φ$ B-Kacheln zerfallen in ähnlicher Weise in B-Kacheln (über $φ$ A-Kacheln).

Komposition und Dekomposition können iteriert werden, so dass zum Beispiel

\varphi ^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{ n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.

Die Anzahl der Drachen und Darts in der n- ten Iteration der Konstruktion wird durch die n- te Potenz der Substitutionsmatrix bestimmt:

{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n- 1}\end{pmatrix}}\,,

wobei F _n die n- te Fibonacci-Zahl ist . Das Verhältnis der Anzahl von Drachen zu Pfeilen in einem ausreichend großen P2-Penrose-Kachelmuster nähert sich daher dem Goldenen Schnitt $φ$ . Ein ähnliches Ergebnis gilt für das Verhältnis der Anzahl dicker Rauten zu dünnen Rauten in der P3-Penrose-Fliese.

Deflation für P2- und P3-Kacheln

Aufeinanderfolgende Deflationen des 'Sonnen'-Scheitelpunkts in einer Penrose- Kachelung vom Typ P2

Aufeinanderfolgendes Entleeren eines Fliesensatzes in einem Penrose- Fliesen des Typs P3

8. Deflation des 'Sonnen'-Scheitelpunkts in einer Penrose- Kachelung vom Typ P2

Beginnend mit einer Sammlung von Kacheln aus einer bestimmten Kachelung (die eine einzelne Kachel, eine Kachelung der Ebene oder eine beliebige andere Sammlung sein kann) wird die Deflation mit einer Folge von Schritten fortgeführt, die als Generationen bezeichnet werden. Bei einer Deflationsgeneration wird jede Kachel durch zwei oder mehr neue Kacheln ersetzt, die verkleinerte Versionen von Kacheln sind, die in der ursprünglichen Kachelung verwendet wurden. Die Substitutionsregeln garantieren, dass die neuen Kacheln nach den Matching-Regeln angeordnet werden. Wiederholte Generationen von Deflation erzeugen eine Kachelung der ursprünglichen Axiomform mit immer kleineren Kacheln.

Diese Regel zum Teilen der Kacheln ist eine Unterteilungsregel .

Name	Anfangsplättchen	Generation 1	Generation 2	Generation 3
Halbdrachen
Halbpfeil
Sonne
Stern

Die obige Tabelle sollte mit Vorsicht verwendet werden. Die Entleerung des halben Drachens und des halben Pfeils ist nur im Zusammenhang mit dem Entleeren eines größeren Musters nützlich, wie es in den Sonnen- und Stern-Entleerungen gezeigt wird. Sie liefern falsche Ergebnisse, wenn sie auf einzelne Kites und Darts angewendet werden.

Darüber hinaus erzeugt die einfache Unterteilungsregel Löcher in der Nähe der Fliesenkanten, die in der oberen und unteren Abbildung rechts gerade sichtbar sind. Zusätzliche Zwangsregeln sind nützlich.

Folgen und Anwendungen

Inflation und Deflation ergeben eine Methode zum Konstruieren von Kite- und Dart (P2)-Kacheln oder Rhombus (P3)-Kacheln, bekannt als Up-Down-Generation .

Da die Penrose-Kacheln nicht periodisch sind, haben sie keine Translationssymmetrie – das Muster kann nicht verschoben werden, um sich über die gesamte Ebene anzupassen. Jeder begrenzte Bereich, egal wie groß, wird jedoch innerhalb der Kachelung unendlich oft wiederholt. Daher kann kein endlicher Patch eine vollständige Penrose-Kachelung eindeutig bestimmen und auch nicht bestimmen, welche Position innerhalb der Kachelung angezeigt wird.

Dies zeigt insbesondere, dass die Anzahl der unterschiedlichen Penrose-Fliesen (jeglicher Art) unzählbar unendlich ist . Die Aufwärts-Abwärts-Generierung ergibt eine Methode zum Parametrisieren der Kacheln, aber andere Methoden verwenden Ammann-Balken, Pentagrids oder Schnitt- und Projektschemata.

Kunst und Architektur

Fünf- und zehneckige Girih-Fliesenmuster auf einer Zwickel aus dem Darb-i Imam- Schrein, Isfahan , Iran (1453 CE)
Salesforce Transit Center in San Francisco. Die äußere "Haut" aus weißem Aluminium ist im Muster einer Penrose-Fliese perforiert.

Der ästhetische Wert von Fliesen wird seit langem geschätzt und bleibt an ihnen eine Quelle des Interesses; daher hat das optische Erscheinungsbild (und nicht die formal definierenden Eigenschaften) der Penrose-Fliesen Aufmerksamkeit erregt. Die Ähnlichkeit mit bestimmten dekorativen Mustern, die in Nordafrika und im Nahen Osten verwendet werden, wurde festgestellt; der Physiker Peter J. Lu und Paul Steinhardt hat Beweise vorgelegt , dass eine Penrose-Parkettierung liegt unter dem mittelalterlichen islamischem geometrischem Muster , wie die girih (strapwork) Pflasterungen in dem Darb-e Imam - Schrein in Isfahan .

Der Drop City- Künstler Clark Richert verwendete 1970 Penrose-Rhomben in Kunstwerken, die durch die Projektion des rhombischen Triacontaeder-Schattens auf eine Ebene abgeleitet wurden, wobei die eingebetteten "fetten" und "dünnen" Rhomben beobachtet wurden, die sich zusammenfügen, um die nichtperiodische Tessellation zu erzeugen. Der Kunsthistoriker Martin Kemp hat beobachtet, dass Albrecht Dürer ähnliche Motive einer Rautenfliese skizziert hat.

Das neue 2,2 Milliarden Dollar teure Transbay Transit Center in San Francisco weist Perforationen in der wellenförmigen weißen Metallhaut seiner Außenseite im Penrose-Muster auf.

Der Boden des Atriums des Bayliss Building an der University of Western Australia ist mit Penrose-Fliesen gefliest.

1979 verwendete die Miami University eine Penrose-Fliese aus Terrazzo , um den Innenhof der Bachelor Hall in ihrer Fakultät für Mathematik und Statistik zu dekorieren.

Das Andrew-Wiles- Gebäude, in dem seit Oktober 2013 die Fakultät für Mathematik der Universität Oxford untergebracht ist , enthält als Pflasterung des Eingangs einen Abschnitt aus Penrose-Fliesen. Der Fußgängerbereich der Straße Keskuskatu im Zentrum von Helsinki ist mit einer Form von Penrose-Fliesen gepflastert. Die Arbeiten wurden 2014 abgeschlossen.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Primäre Quellen

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Sekundäre Quellen

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Externe Links

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