Prozentsatz - Percentage

Ein Tortendiagramm, das den Prozentsatz nach Webbrowsern zeigt, die Wikimedia- Sites besuchen (April 2009 bis 2012)

In der Mathematik ist ein Prozentsatz (von lateinisch pro centum "durch hundert") eine Zahl oder ein Verhältnis, ausgedrückt als Bruchteil von 100. Es wird oft mit dem Prozentzeichen "%" angegeben, obwohl die Abkürzungen "pct.", " pct" und manchmal auch "pc" verwendet. Ein Prozentsatz ist eine dimensionslose Zahl (reine Zahl); es hat keine Maßeinheit .

Beispiele

Zum Beispiel sind 45% (als "fünfundvierzig Prozent" gelesen) gleich dem Bruch 45/100, das Verhältnis 45:55 (oder 45:100 im Vergleich zur Gesamtsumme und nicht zum anderen Teil) oder 0,45. Prozentsätze werden häufig verwendet, um einen proportionalen Teil einer Gesamtsumme auszudrücken.

(Ähnlich kann man eine Zahl auch als Bruchteil von 1000 ausdrücken, indem man den Begriff „ Promille “ oder das Symbol „ “ verwendet.)

Beispiel 1

Wenn 50 % der Gesamtzahl der Schüler in der Klasse männlich sind, bedeutet dies, dass 50 von 100 Schülern männlich sind. Bei 500 Schülern sind 250 davon männlich.

Beispiel 2

Eine Erhöhung um 0,15 US-Dollar bei einem Preis von 2,50 US-Dollar ist eine Erhöhung um einen Bruchteil von 0,15/2.50= 0,06. In Prozent ausgedrückt entspricht dies einer Steigerung von 6%.

Während viele Prozentwerte zwischen 0 und 100 liegen, gibt es keine mathematische Einschränkung und Prozentsätze können andere Werte annehmen. Es ist beispielsweise üblich, sich auf 111% oder –35% zu beziehen, insbesondere für prozentuale Änderungen und Vergleiche.

Geschichte

Im antiken Rom , lange bevor es das Dezimalsystem gab, wurden Berechnungen oft in Brüchen in Vielfachen von durchgeführt1/100. Zum Beispiel Augustus erhoben eine Steuer von1/100auf Waren, die auf einer Auktion verkauft werden, bekannt als Centesima rerum venalium . Die Berechnung mit diesen Fraktionen entsprach der Berechnung von Prozentsätzen.

Als die Geldstücke im Mittelalter wuchsen , wurden Berechnungen mit einem Nenner von 100 zunehmend Standard, so dass es vom späten 15. Viele dieser Texte wendeten diese Methoden auf Gewinn und Verlust, Zinssätze und die Dreierregel an . Im 17. Jahrhundert war es üblich, Zinssätze in Hundertstel anzugeben.

Prozentzeichen

Ein Prozentzeichen

Der Begriff „Prozent“ aus dem Lateinischen pro centum , „hundert“ oder „durch die hundert“ bedeutet. Das Zeichen für „Prozent“ durch allmähliche Kontraktion des entwickelten italienischen Begriff pro cento „für hundert“ bedeutet. Das „per“ wurde oft als „p.“ abgekürzt – verschwand schließlich ganz. Das "cento" wurde zu zwei Kreisen zusammengezogen, die durch eine horizontale Linie getrennt sind, von denen das moderne "%"-Symbol abgeleitet ist.

Berechnungen

Der Prozentwert wird berechnet, indem der numerische Wert des Verhältnisses mit 100 multipliziert wird. Um beispielsweise 50 Äpfel als Prozentsatz von 1250 Äpfeln zu finden, berechnet man zuerst das Verhältnis 50/1250= 0,04 und dann mit 100 multipliziert, um 4% zu erhalten. Der Prozentwert kann auch ermittelt werden, indem zuerst statt später multipliziert wird. In diesem Beispiel würde die 50 mit 100 multipliziert, um 5.000 zu erhalten, und dieses Ergebnis würde durch 1250 geteilt, um 4% zu erhalten.

Um einen Prozentsatz eines Prozentsatzes zu berechnen, konvertieren Sie beide Prozentsätze in Bruchteile von 100 oder in Dezimalzahlen und multiplizieren Sie sie. Zum Beispiel sind 50 % von 40 %:

50/100 × 40/100 = 0,50 × 0,40 = 0,20 = 20/100 = 20 %.

Es ist nicht richtig, durch 100 zu dividieren und gleichzeitig das Prozentzeichen zu verwenden; es würde buchstäblich eine Division durch 10.000 bedeuten. Zum Beispiel 25% =25/100= 0,25 , nicht25%/100, was eigentlich ist 25/100/100= 0,0025 . Ein Begriff wie100/100% wäre auch falsch, da es als 1 Prozent gelesen würde, selbst wenn 100 % angegeben werden sollten.

Immer wenn ein Prozentsatz kommuniziert wird, ist es wichtig anzugeben, worauf er sich bezieht (dh welcher Gesamtwert entspricht 100%). Das folgende Problem veranschaulicht diesen Punkt.

An einer bestimmten Hochschule sind 60 % aller Studenten weiblich und 10 % aller Studenten sind im Hauptfach Informatik. Wenn 5 % der Studentinnen Informatik-Hauptfächer sind, wie viel Prozent der Informatik-Hauptfächer sind dann weiblich?

Wir werden gebeten, das Verhältnis der weiblichen Informatik-Majors zu allen Informatik-Majors zu berechnen . Wir wissen, dass 60 % aller Studenten weiblich sind, und davon sind 5 % Informatik-Hauptfächer, daher schlussfolgern wir, dass60/100 × 5/100 = 3/100oder 3% aller Studierenden sind Informatik-Majors. Dividiert man dies durch die 10% aller Studierenden, die Informatik im Hauptfach studieren, erhalten wir die Antwort:3%/10% = 30/100 oder 30% aller Informatik-Majors sind weiblich.

Dieses Beispiel steht in engem Zusammenhang mit dem Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit .

Prozentualer Anstieg und Rückgang

Aufgrund der inkonsistenten Verwendung ist aus dem Kontext nicht immer klar, worauf sich ein Prozentsatz bezieht. Wenn man von einem „10%-Anstieg“ oder einem „10%-Sinken“ einer Größe spricht, ist die übliche Interpretation, dass dies relativ zum Anfangswert dieser Größe ist. Beispiel: Wenn ein Artikel ursprünglich 200 € kostet und der Preis um 10 % steigt (eine Erhöhung um 20 €), beträgt der neue Preis 220 €. Beachten Sie, dass dieser Endpreis 110 % des Anfangspreises beträgt (100 % + 10 % = 110 %).

Einige andere Beispiele für prozentuale Änderungen :

  • Eine Erhöhung einer Menge um 100 % bedeutet, dass der Endbetrag 200 % des ursprünglichen Betrags beträgt (100 % des ursprünglichen Betrags + 100 % des Anstiegs = 200 % des ursprünglichen Betrags). Mit anderen Worten, die Menge hat sich verdoppelt.
  • Eine Erhöhung um 800 % bedeutet, dass der Endbetrag das 9-fache des ursprünglichen Betrags beträgt (100 % + 800 % = 900 % = 9-mal so groß).
  • Eine Verringerung um 60 % bedeutet, dass der Endbetrag 40 % des ursprünglichen Betrags beträgt (100 % – 60 % = 40 %).
  • Eine Verringerung um 100 % bedeutet, dass der Endbetrag null ist (100 % – 100 % = 0 %).

Im Allgemeinen führt eine Änderung einer Menge um x Prozent zu einem Endbetrag, der 100 +  x Prozent des ursprünglichen Betrags beträgt (entspricht (1 + 0,01 x ) mal dem ursprünglichen Betrag).

Aufzinsungsprozentsätze

Nacheinander angewendete prozentuale Änderungen summieren sich nicht auf die übliche Weise. Wenn beispielsweise auf die zuvor berücksichtigte Preiserhöhung um 10 % (bei einem Artikel von 200 USD, der den Preis auf 220 USD erhöht) eine Preissenkung um 10 % (eine Senkung um 22 USD) folgt, beträgt der Endpreis 198 USD – nicht der ursprüngliche Preis von 200 US-Dollar. Der Grund für diese scheinbare Diskrepanz liegt darin, dass die zweiprozentigen Veränderungen (+10% und -10%) relativ zu unterschiedlichen Mengen (200 bzw. 220 US-Dollar ) gemessen werden und sich somit nicht „aufheben“.

Im Allgemeinen, wenn einer Zunahme von x Prozent eine Abnahme von x Prozent folgt und der Anfangsbetrag p war , ist der Endbetrag p (1 + 0,01 x )(1 − 0,01 x ) = p (1 − (0,01 x .) ) 2 ) ; daher ist die Nettoveränderung eine Gesamtverringerung um x Prozent von x Prozent (das Quadrat der ursprünglichen prozentualen Veränderung, ausgedrückt als Dezimalzahl). Somit war im obigen Beispiel nach einer Erhöhung und Verringerung von x = 10 Prozent der Endbetrag, 198 $, 10 % von 10 % oder 1 % weniger als der anfängliche Betrag von 200 $. Die Nettoveränderung ist bei einer Abnahme von x Prozent gleich, gefolgt von einer Zunahme um x Prozent; der Endbetrag ist p (1 - 0,01 x )(1 + 0,01 x ) = p (1 − (0,01 x ) 2 ) .

Dies kann für einen Fall erweitert werden, in dem nicht die gleiche prozentuale Änderung vorliegt. Wenn der Anfangsbetrag p zu einer prozentualen Änderung x führt und die zweite prozentuale Änderung y ist , dann ist der Endbetrag p (1 + 0,01 x )(1 + 0,01 y ) . Um das obige Beispiel zu ändern: Nach einer Erhöhung von x = 10 Prozent und einer Verringerung von y = −5 Prozent ist der Endbetrag, 209 US-Dollar, 4,5% mehr als der ursprüngliche Betrag von 200 US-Dollar.

Wie oben gezeigt, können prozentuale Änderungen in beliebiger Reihenfolge angewendet werden und haben denselben Effekt.

Im Fall von Zinssätzen ist eine sehr häufige, aber mehrdeutige Art zu sagen, dass ein Zinssatz beispielsweise von 10 % pro Jahr auf 15 % pro Jahr gestiegen ist, dass der Zinssatz um 5 % gestiegen ist, was theoretisch bedeuten könnte dass sie von 10 % pro Jahr auf 10,05 % pro Jahr gestiegen ist. Deutlicher ist zu sagen, dass der Zinssatz um 5 Prozentpunkte (pp) gestiegen ist . Dieselbe Verwirrung zwischen den unterschiedlichen Konzepten von Prozent(Alter) und Prozentpunkten kann potenziell zu großen Missverständnissen führen, wenn Journalisten beispielsweise über Wahlergebnisse berichten und sowohl neue Ergebnisse als auch Unterschiede zu früheren Ergebnissen in Prozent ausdrücken. Wenn beispielsweise eine Partei 41 % der Stimmen erhält und dies eine Zunahme von 2,5 % bedeutet, bedeutet dies, dass das frühere Ergebnis 40 % betrug (da 41 = 40 × (1 +2.5/100) ) oder 38,5% (da 41 = 38,5 + 2,5 )?

Auf den Finanzmärkten ist es üblich, eine Erhöhung um einen Prozentpunkt (zB von 3 % pro Jahr auf 4 % pro Jahr) als eine Erhöhung um „100 Basispunkte“ zu bezeichnen.

Wort und Symbol

Im britischen Englisch wird Prozent normalerweise als zwei Wörter ( Prozent ) geschrieben, obwohl Prozent und Perzentil als ein Wort geschrieben werden. Im amerikanischen Englisch ist Prozent die häufigste Variante (aber promille wird in zwei Wörtern geschrieben).

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts gab es eine punktierte Abkürzungsform „ Prozent “, im Gegensatz zu „ Prozent “. Die Form „ Prozent. “ wird immer noch in der sehr formalen Sprache verwendet, die in bestimmten Dokumenten wie kommerziellen Darlehensverträgen (insbesondere solchen, die dem Common Law unterliegen oder von diesem inspiriert sind) sowie in den Hansard- Transkripten der britischen Parlamentsverhandlungen zu finden ist. Der Begriff wurde dem lateinischen Prozent zugeschrieben . Das Konzept, Werte als Teile von Hundert zu betrachten, ist ursprünglich griechisch . Das Symbol für Prozent (%) von einem Symbol entwickelt , um den italienischen Abkürzen per cento . In einigen anderen Sprachen wird stattdessen die Form Procent oder Prosent verwendet. Einige Sprachen verwenden , um ein sowohl Wort abgeleitet von Prozent und einen Ausdruck in dieser Sprache das gleiche Bedeutung, wie zB rumänischen procent und la SUTA (also 10% gelesen werden kann oder manchmal geschrieben zehn für [jedes] hundert , in ähnlicher Weise mit dem englischen eines aus von zehn ). Andere Abkürzungen sind seltener, aber manchmal zu sehen.

Grammatik- und Styleguides unterscheiden sich oft darin, wie Prozentsätze geschrieben werden sollen. Zum Beispiel wird allgemein vorgeschlagen, dass das Wort Prozent (oder Prozent) in allen Texten wie "1 Prozent" und nicht "1%" buchstabiert wird. Andere Führer bevorzugen, dass das Wort in humanistischen Texten ausgeschrieben wird, das Symbol jedoch in wissenschaftlichen Texten verwendet wird. Die meisten Ratgeber stimmen darin überein, dass sie immer mit einer Ziffer geschrieben werden, wie bei "5 Prozent" und nicht "fünf Prozent", die einzige Ausnahme ist am Satzanfang: "Zehn Prozent aller Autoren lieben Styleguides." Anstelle von Brüchen sind auch Dezimalzahlen zu verwenden, wie bei „3,5 Prozent des Gewinns“ und nicht „ 3+12 Prozent des Gewinns". Die Titel der von Regierungen und anderen Emittenten ausgegebenen Anleihen verwenden jedoch die Bruchform, z. B. " 3+1 / 2 % ungesicherte Darlehen Auf 2032 Series 2" . (WennZinsen sehr niedrig sind, die Zahl 0 istinbegriffenwenn der Zinssatz ist weniger als 1%, zB " 0+34 % eigene Aktien", nicht " 34 % eigene Aktien".) Es wird auch allgemein akzeptiert, das Prozentsymbol (%) in Tabellen- und Grafikmaterial zu verwenden.

In Übereinstimmung mit der gängigen englischen Praxis geben Styleguides – wie das Chicago Manual of Style – im Allgemeinen an, dass die Zahl und das Prozentzeichen ohne Leerzeichen dazwischen geschrieben werden. Das Internationale Einheitensystem und die Norm ISO 31-0 erfordern jedoch ein Leerzeichen.

Andere Verwendungen

Das Wort „Prozentsatz“ ist oft eine falsche Bezeichnung im Zusammenhang mit Sportstatistiken, wenn die referenzierte Zahl als Decimalverhältniss ausgedrückt wird, ist kein Prozentsatz: „Die Phoenix Suns ' Shaquille O'Neal führte die NBA mit einem 0,609 Field Goal Prozentsatz (FG%) während der Saison 2008/09." (O'Neal machte 60,9 % seiner Schüsse, nicht 0,609 %.) Ebenso wird der Siegerprozentsatz einer Mannschaft, der Anteil der Spiele, die der Verein gewonnen hat, normalerweise auch als Dezimalanteil ausgedrückt; ein Team mit einer Gewinnquote von 0,500 hat 50 % seiner Spiele gewonnen. Die Praxis hängt wahrscheinlich mit der ähnlichen Art und Weise zusammen, in der die Schlagdurchschnitte angegeben werden.

Als "Prozent" wird es verwendet, um die Steilheit der Steigung einer Straße oder Eisenbahn zu beschreiben , deren Formel 100 × . ist erhebt euch/Laufdie man auch als Tangente des Neigungswinkels mal 100 ausdrücken könnte . Dies ist das Verhältnis der Distanzen, die ein Fahrzeug beim Bergauf- oder Bergabfahren vertikal bzw. horizontal zurücklegen würde, ausgedrückt in Prozent.

Der Prozentsatz wird auch verwendet, um die Zusammensetzung einer Mischung durch Massenprozent und Molprozent auszudrücken .

Zugehörige Einheiten

Visualisierung von 1%, 1‰, 1‱, 1 pcm und 1 ppm als Fraktionen des großen Blocks (größere Version)

Praktische Anwendungen

Siehe auch

Verweise