Perfekte Nummer - Perfect number

In der Zahlentheorie ist eine perfekte Zahl eine positive ganze Zahl , die gleich der Summe ihrer positiven Teiler ist , ohne die Zahl selbst. Zum Beispiel hat 6 die Teiler 1, 2 und 3 (ohne sich selbst) und 1 + 2 + 3 = 6, also ist 6 eine perfekte Zahl.

Die Summe der Teiler einer Zahl, ausschließlich der Zahl selbst, wird als Aliquotsumme bezeichnet , also ist eine perfekte Zahl eine Zahl, die gleich ihrer Aliquotsumme ist. Entsprechend ist eine perfekte Zahl eine Zahl, die die Hälfte der Summe aller ihrer positiven Teiler einschließlich sich selbst ist; in Symbole σ ₁ ( n ) = 2 n wobei σ ₁ ist die Summe-von-Teilerfunktion . 28 ist zum Beispiel perfekt als 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.

Diese Definition ist uralt und taucht bereits in Euklids Elementen (VII.22) auf, wo sie τέλειος ἀριθμός ( perfekte , ideale oder vollständige Zahl ) genannt wird. Euklid bewies auch eine Bildungsregel (IX.36), wonach immer eine gerade perfekte Zahl ist, wenn es sich um eine Primzahl der Form für eine positive ganze Zahl handelt – was jetzt eine Mersenne-Primzahl genannt wird . Zwei Jahrtausende später bewies Leonhard Euler , dass alle geraden perfekten Zahlen von dieser Form sind. Dies ist als Euklid-Euler-Theorem bekannt . ${\displaystyle q(q+1)/2}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle p}$

Es ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt oder ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt. Die ersten paar perfekten Zahlen sind 6 , 28 , 496 und 8128 (Sequenz A000396 im OEIS ).

Geschichte

Um 300 v. Chr. zeigte Euklid, dass  2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) perfekt ist , wenn 2 ^p − 1 prim ist. Die ersten vier vollkommenen Zahlen waren die einzigen , die zu früh bekannt griechischen Mathematik , und der Mathematiker Nikomachos bemerkt 8128 bereits um das Jahr 100. In der modernen Sprache, heißt es Nikomachos ohne Beweis , dass jede vollkommene Zahl der Form ist , wo eine Primzahl ist. Er scheint nicht zu wissen, dass n selbst prim sein muss. Er sagt auch (fälschlicherweise), dass die perfekten Zahlen abwechselnd auf 6 oder 8 enden. (Die ersten 5 perfekten Zahlen enden mit den Ziffern 6, 8, 6, 8, 6; aber die sechste endet auch mit 6.) Philo von Alexandria erwähnt in seinem Buch "Über die Schöpfung" aus dem ersten Jahrhundert perfekte Zahlen und behauptet, dass die Welt wurde in 6 Tagen erschaffen und der Mond umkreist in 28 Tagen, weil 6 und 28 perfekt sind. Philo folgt Origenes und Didymus der Blinde , der die Beobachtung hinzufügt, dass es nur vier perfekte Zahlen gibt, die kleiner als 10.000 sind. (Kommentar zu Genesis 1. 14-19). Augustinus definiert perfekte Zahlen in City of God (Buch XI, Kapitel 30) im frühen 5. Jahrhundert n. Chr. und wiederholt die Behauptung, dass Gott die Welt in 6 Tagen erschaffen hat, weil 6 die kleinste perfekte Zahl ist. Der ägyptische Mathematiker Ismail ibn Fallūs (1194–1252) erwähnte die nächsten drei perfekten Zahlen (33.550.336; 8.589.869.056; und 137.438.691.328) und listete einige weitere auf, von denen heute bekannt ist, dass sie falsch sind. Die erste bekannte europäische Erwähnung der fünften perfekten Zahl ist ein Manuskript, das zwischen 1456 und 1461 von einem unbekannten Mathematiker geschrieben wurde. 1588 identifizierte der italienische Mathematiker Pietro Cataldi die sechste (8.589.869.056) und die siebte (137.438.691.328) perfekte Zahl und bewies auch, dass jede aus Euklids Regel erhaltene perfekte Zahl mit einer 6 oder einer 8 endet. ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$${\displaystyle 2^{n}-1}$

Sogar perfekte Zahlen

Euklid bewies, dass 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) eine gerade perfekte Zahl ist, wenn 2 ^p  − 1 eine Primzahl ist (Elemente, Prop. IX.36).

Zum Beispiel werden die ersten vier perfekten Zahlen durch die Formel 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) erzeugt, wobei p eine Primzahl ist , wie folgt:

für p = 2: 2 ¹ (2 ²  − 1) = 2 × 3 = 6

für p = 3: 2 ² (2 ³  − 1) = 4 × 7 = 28

für p = 5: 2 ⁴ (2 ⁵  − 1) = 16 × 31 = 496

für p = 7: 2 ⁶ (2 ⁷  − 1) = 64 × 127 = 8128.

Primzahlen der Form 2 ^p  − 1 sind als Mersenne-Primzahlen bekannt , nach dem Mönch Marin Mersenne aus dem 17. Jahrhundert , der Zahlentheorie und perfekte Zahlen studierte. Damit 2 ^p  − 1 prim ist, muss p selbst prim sein. Allerdings sind nicht alle Zahlen der Form 2 ^p  − 1 mit einer Primzahl p prim; zum Beispiel ist 2 ¹¹  − 1 = 2047 = 23 × 89 keine Primzahl. Tatsächlich sind Mersenne-Primzahlen sehr selten – von den 2.610.944 Primzahlen p bis 43.112.609 ist 2 ^p  − 1 nur für 47 prim.

Obwohl Nikomachos (ohne Beweis) erklärt hatte , dass alle perfekt Zahlen der Form waren , wo eine Primzahl ist (obwohl er dies etwas anders angegeben), Ibn al-Haytham (Alhazen) circa AD 1000 gemutmaßt nur , dass jeder auch perfekte Zahl dieser Form ist. Erst im 18. Jahrhundert bewies Leonhard Euler , dass die Formel 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) alle geraden perfekten Zahlen liefert. Somit besteht eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen geraden perfekten Zahlen und Mersenne-Primzahlen; jede Mersenne-Primzahl erzeugt eine gerade perfekte Zahl und umgekehrt. Dieses Ergebnis wird oft als Euklid-Euler-Theorem bezeichnet . ${\displaystyle 2^{n-1}\left(2^{n}-1\right)}$${\displaystyle 2^{n}-1}$

Eine erschöpfende Suche des Distributed Computing-Projekts GIMPS hat gezeigt, dass die ersten 48 geraden perfekten Zahlen 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) für . sind

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216.091, 756.839, 859.433, 1.257.787, 1.398.269, 2.976.221, 3.021.377, 6.972.593, 13.466.917, 20.996.011, 24.036.583, 25.964.951, 30.402.457, 32.582.657, 37.156.667, 42.643.801, 43.112.609 und 57.885.161 (Sequenz A000043 im OEIS ).

Es wurden auch drei höhere vollkommene Zahlen entdeckt, nämlich diejenigen, für die p = 74207281, 77232917 und 82589933 ist, obwohl es andere in diesem Bereich geben kann. Stand Dezember 2018 sind 51 Mersenne-Primzahlen bekannt und damit 51 gerade vollkommene Zahlen (die größte davon ist 2 ^82589932 × (2 ^82589933  − 1) mit 49.724.095 Stellen). Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele perfekte Zahlen oder unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt.

 Jede gerade perfekte Zahl hat nicht nur die Form 2 ^{p −1} (2 ^p − 1), sondern ist auch die (2 ^p  − 1)-te Dreieckszahl (und damit gleich der Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 2 ^p  − 1 ) und die 2 ^{p -1} te hexagonale Zahl . Darüber hinaus ist jede gerade perfekte Zahl außer 6 die ((2 ^p  + 1)/3)-te zentrierte nichtagonale Zahl und gleich der Summe der ersten 2 ^{( p −1)/2} ungeraden Würfel:

${\displaystyle {\begin{aligned}6=2^{1}\left(2^{2}-1\right)&=1+2+3,\\[8pt]28=2^{2}\ links(2^{3}-1\rechts)&=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\\[8pt]496=2^{ 4}\left(2^{5}-1\right)&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&=1^{3}+3^{3}+5^{ 3}+7^{3},\\[8pt]8128=2^{6}\left(2^{7}-1\right)&=1+2+3+\cdots +125+126+127 \\&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3 },\\[8pt]33550336=2^{12}\left(2^{13}-1\right)&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&=1^{ 3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}.\end{aligned}}}$

Gerade vollkommene Zahlen (außer 6) haben die Form

${\displaystyle T_{2^{p}-1}=1+{\frac {\left(2^{p}-2\right)\times \left(2^{p}+1\right)}{ 2}}=1+9\times T_{\left(2^{p}-2\right)/3}}$

mit jeder resultierenden Dreieckszahl T ₇ = 28 , T ₃₁ = 496 , T ₁₂₇ = 8128 (nach Subtraktion von 1 von der perfekten Zahl und Division des Ergebnisses durch 9), die auf 3 oder 5 endet, beginnt die Folge mit T ₂ = 3 , T ₁₀ = 55 , T ₄₂ = 903, T ₂₇₃₀ = 3727815, ... Dies kann wie folgt umformuliert werden: Addieren der Ziffern jeder geraden perfekten Zahl (außer 6), dann Addieren der Ziffern der resultierenden Zahl und Wiederholen dieses Vorgangs bis eine einzelne Ziffer (als digitale Wurzel bezeichnet ) erhalten wird, ergibt immer die Zahl 1. Zum Beispiel ist die digitale Wurzel von 8128 1, weil 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 und 1 + 0 = 1. Dies funktioniert mit allen vollkommenen Zahlen 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) mit ungerader Primzahl p und zwar mit allen Zahlen der Form 2 ^{m −1} (2 ^m  − 1) für ungerade ganze Zahl (nicht unbedingt prim) m .

Aufgrund ihrer Form 2 ^{p −1} (2 ^p  − 1) wird jede gerade perfekte Zahl binär als p Einsen gefolgt von  p  − 1 Nullen dargestellt; zum Beispiel,

6 ₁₀ = 2 ² + 2 ¹ = 110 ₂ ,

28 ₁₀ = 2 ⁴ + 2 ³ + 2 ² = 11100 ₂ ,

496 ₁₀ = 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ + 2 ⁵ + 2 ⁴ = 111110000 ₂ , und

8128 ₁₀ = 2 ¹² + 2 ¹¹ + 2 ¹⁰ + 2 ⁹ + 2 ⁸ + 2 ⁷ + 2 ⁶ = 1111111000000 ₂ .

Somit ist jede gerade vollkommene Zahl eine schädliche Zahl .

Jede gerade perfekte Zahl ist auch eine praktische Zahl (vgl. Verwandte Konzepte ).

Ungerade perfekte Zahlen

Es ist nicht bekannt, ob ungerade vollkommene Zahlen existieren, obwohl verschiedene Ergebnisse erzielt wurden. 1496 stellte Jacques Lefèvre fest, dass Euklids Regel alle perfekten Zahlen ergibt, was bedeutet, dass es keine ungerade perfekte Zahl gibt. Euler sagte: "Ob ... es irgendwelche ungeraden vollkommenen Zahlen gibt, ist eine sehr schwierige Frage". In jüngerer Zeit hat Carl Pomerance ein heuristisches Argument vorgelegt, das darauf hindeutet, dass tatsächlich keine ungerade perfekte Zahl existieren sollte. Alle vollkommenen Zahlen sind auch die harmonischen Zahlen des Erzes , und es wurde auch vermutet, dass es außer 1 keine ungeraden harmonischen Zahlen des Erzes gibt.

Jede ungerade perfekte Zahl N muss die folgenden Bedingungen erfüllen:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ .
• N ist nicht durch 105 teilbar.
• N hat die Form N 1 (mod 12) oder N 117 (mod 468) oder N ≡ 81 (mod 324).
• N hat die Form

${\displaystyle N=q^{\alpha}p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

wo:

• q ,  p ₁ , ...,  p _k sind verschiedene ungerade Primzahlen (Euler).
• q α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
• Der kleinste Primfaktor von N ist höchstens${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}$
• Entweder q ^α  > 10 ⁶² oder p _j ^{2 e _j}  > 10 ⁶² für einige j .
• ${\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}$
• ${\displaystyle \alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {66k-191}{25}}}$.
• ${\displaystyle qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}}$.

• Der größte Primfaktor von N ist größer als 10 ⁸ und kleiner als${\displaystyle (3N)^{1/3}.}$
• Der zweitgrößte Primfaktor ist größer als 10 ⁴ und kleiner als .${\displaystyle (2N)^{1/5}}$
• Der drittgrößte Primfaktor ist größer als 100.
• N hat mindestens 101 Primfaktoren und mindestens 10 verschiedene Primfaktoren. Wenn 3 keiner der Faktoren von N ist , dann hat N mindestens 12 verschiedene Primfaktoren.

Darüber hinaus sind einige kleinere Ergebnisse über die Exponenten e ₁ , ...,  e _{k bekannt} .

• Nicht alle e _i  1 ( mod 3).
• Nicht alle e _i  2 ( mod 5).
• Sind alle e _i  1 ( mod 3) oder 2 ( mod 5), dann muss der kleinste Primfaktor von N zwischen 10 ⁸ und 10 ^{1000 liegen} .
• Allgemeiner gesagt, wenn alle 2 e _i +1 einen Primfaktor in einer gegebenen endlichen Menge S haben , dann muss der kleinste Primfaktor von N kleiner sein als eine effektiv berechenbare Konstante, die nur von S abhängt .
• Wenn ( e ₁ , ...,  e _k )= (1, ..., 1, 2, ..., 2) mit t Einsen und u Zweien, dann .${\displaystyle (t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha}}}$
• ( e ₁ , ...,  e _k ) (1, ..., 1, 3), (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).
• Wenn e ₁ = ... = e _k = e , dann
  • e darf nicht 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 oder 18 sein.
  • ${\displaystyle k\leq 2e^{2}+8e+2}$und .${\displaystyle N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}}$

Im Jahr 1888 erklärte Sylvester :

... eine längere Meditation über dieses Thema hat mich überzeugt, dass die Existenz einer solchen [ungerade vollkommenen Zahl] – sozusagen ihre Flucht aus dem komplexen Geflecht von Bedingungen, das sie von allen Seiten einschließt – wenig kurz sein würde eines Wunders.

Viele der über ungerade vollkommene Zahlen bewiesenen Eigenschaften gelten auch für Descartes-Zahlen , und Pace Nielsen hat vorgeschlagen, dass eine ausreichende Untersuchung dieser Zahlen zu einem Beweis führen kann, dass keine ungeraden vollkommenen Zahlen existieren.

Kleinere Ergebnisse

Alle geraden perfekten Zahlen haben eine sehr genaue Form; ungerade vollkommene Zahlen existieren entweder nicht oder sind selten. Es gibt eine Reihe von Ergebnissen zu perfekten Zahlen, die eigentlich recht einfach zu beweisen sind, aber dennoch oberflächlich beeindruckend; einige von ihnen fallen auch unter das starke Gesetz der kleinen Zahlen von Richard Guy :

• Die einzige gerade vollkommene Zahl der Form x ³  + 1 ist 28 ( Makowski 1962 ).
• 28 ist auch die einzige gerade perfekte Zahl, die eine Summe zweier positiver Würfel ganzer Zahlen ist ( Gallardo 2010 ).
• Die Kehrwerte der Teiler einer perfekten Zahl N müssen sich zu 2 addieren (um dies zu erhalten, nehmen Sie die Definition einer perfekten Zahl , und dividieren Sie beide Seiten durch n ): ${\displaystyle \sigma_{1}(n)=2n}$
  • Für 6 haben wir ;${\displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2}$
  • Für 28 haben wir , usw.${\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}$
• Die Anzahl der Teiler einer perfekten Zahl (ob gerade oder ungerade) muss gerade sein, da N kein perfektes Quadrat sein kann.
  • Aus diesen beiden Ergebnissen folgt, dass jede perfekte Zahl eine harmonische Zahl eines Ores ist .
• Die geraden perfekten Zahlen sind keine Trapezzahlen ; das heißt, sie können nicht als Differenz zweier positiver nicht aufeinanderfolgender Dreieckszahlen dargestellt werden . Es gibt nur drei Arten von nicht-trapezförmigen Zahlen: gerade vollkommene Zahlen, Zweierpotenzen und die Zahlen der Form, die sich als Produkt einer Fermatschen Primzahl mit einer Zweierpotenz bilden, ähnlich wie bei der Konstruktion gerader perfekter Zahlen aus Mersenne-Primzahlen.${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}+1)}$ ${\displaystyle 2^{n}+1}$
• Die Anzahl perfekter Zahlen kleiner als n ist kleiner als , wobei c > 0 eine Konstante ist. In der Tat ist es , mit wenig-o - Notation .${\displaystyle c{\sqrt {n}}}$${\displaystyle o({\sqrt {n}})}$
• Jede gerade perfekte Zahl endet auf 6 oder 28, Basis zehn; und endet mit der einzigen Ausnahme von 6 auf 1 zur Basis 9. Daher ist insbesondere die digitale Wurzel jeder geraden vollkommenen Zahl außer 6 1.
• Die einzige quadratfreie perfekte Zahl ist 6.

Verwandte konzepte

Die Summe der echten Teiler ergibt verschiedene andere Arten von Zahlen. Zahlen, bei denen die Summe kleiner als die Zahl selbst ist, werden als mangelhaft bezeichnet , und bei denen sie größer ist als die Zahl, als reichlich . Diese Begriffe stammen zusammen mit dem Perfekt selbst aus der griechischen Numerologie . Ein Zahlenpaar, das die Summe der richtigen Teiler des anderen ist, wird als freundschaftlich bezeichnet , und größere Zahlenzyklen werden als gesellig bezeichnet . Eine positive ganze Zahl, bei der jede kleinere positive ganze Zahl eine Summe verschiedener Teiler davon ist, ist eine praktische Zahl .

Per Definition ist eine perfekte Zahl ein Fixpunkt der eingeschränkten Teilerfunktion s ( n ) = σ ( n ) − n , und die einer perfekten Zahl zugeordnete aliquoten Folge ist eine konstante Folge. Alle perfekten Zahlen sind auch -perfekte Zahlen oder Granville-Zahlen . ${\displaystyle {\mathcal{S}}}$

Eine semiperfekte Zahl ist eine natürliche Zahl, die gleich der Summe aller oder einiger ihrer echten Teiler ist. Eine halbperfekte Zahl, die gleich der Summe aller ihrer echten Teiler ist, ist eine perfekte Zahl. Die am häufigsten vorkommenden Zahlen sind auch semiperfekt; häufig vorkommende Zahlen, die nicht semiperfekt sind, werden als seltsame Zahlen bezeichnet .

Siehe auch

• Hyperperfekte Zahl
• Leinster-Gruppe
• Liste der Mersenne-Primzahlen und perfekten Zahlen
• Multiplizieren Sie die perfekte Zahl
• Superperfekte Zahlen
• Einheitliche perfekte Zahl

Anmerkungen

Verweise

Weiterlesen

• Nankar, ML: "Geschichte der perfekten Zahlen", Ganita Bharati 1, Nr. 1–2 (1979), 7–8.
• Hagis, P. (1973). „Eine untere Schranke für die Menge ungerader perfekter Primzahlen“ . Mathematik der Berechnung . 27 (124): 951–953. doi : 10.2307/2005530 . JSTOR  2005530 .
• Riele, HJJ "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in HW Lenstra und R. Tijdeman (Hrsg.): Computational Methods in Number Theory , Vol. 2 , No. 154, Amsterdam, 1982, S. 141–157.
• Riesel, H. Primzahlen und Computermethoden zur Faktorisierung , Birkhauser, 1985.
• Sandor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbuch der Zahlentheorie II . Dordrecht: Kluwer Akademiker. S.  15 –98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .

Externe Links

• "Perfekte Zahl" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• David Moews: Perfekte, freundschaftliche und gesellige Nummern
• Perfekte Zahlen – Geschichte und Theorie
• Weisstein, Eric W. "Perfekte Zahl" . MathWorld .
• OEIS- Sequenz A000396 (Perfekte Zahlen)
• OddPerfect.org Ein geplantes verteiltes Computerprojekt zur Suche nach ungeraden perfekten Zahlen.
• Großartige Internet-Mersenne-Prime-Suche (GIMPS)
• Perfect Numbers , Mathe-Forum bei Drexel.
• Grimes, James. "8128: Perfekte Zahlen" . Zahlenphil . Brady Haran . Archiviert vom Original am 2013-05-31 . Abgerufen 2013-04-02 .