Drehung - Rotation

Eine Kugel, die sich um eine Achse dreht (spinnt)

Rotation ist die kreisförmige Bewegung eines Objekts um eine Rotationsachse . Ein dreidimensionales Objekt kann eine unendliche Anzahl von Rotationsachsen haben.

Wenn die Rotationsachse intern durch den körpereigenen Massenmittelpunkt verläuft , spricht man von einem selbstrotierenden oder drehenden Körper , und der Flächenschnittpunkt der Achse kann Pol genannt werden . Eine Drehung um eine vollständig externe Achse, zB die Planeten Erde um die Sonne , genannt revolvierende oder umlaufenden , in der Regel , wenn es hergestellt wird durch die Schwerkraft , und die Ende des Rotationsachse können die angerufene werden orbital Pole .

Mathematik

Drehung ( Winkelverschiebung ) einer ebenen Figur um einen Punkt
Rotationsbahn v Spin
Beziehungen zwischen Rotationsachse, Bahnebene und axialer Neigung (für die Erde).

Mathematisch ist eine Rotation eine Starrkörperbewegung , die im Gegensatz zu einer Translation einen Punkt festhält. Diese Definition gilt für Drehungen sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen (in einer Ebene bzw. im Raum).

Alle Starrkörperbewegungen sind Rotationen, Translationen oder Kombinationen aus beiden.

Eine Drehung ist einfach eine progressive radiale Ausrichtung zu einem gemeinsamen Punkt. Dieser gemeinsame Punkt liegt innerhalb der Achse dieser Bewegung. Die Achse ist 90 Grad senkrecht zur Bewegungsebene. Liegt die Rotationsachse außerhalb des betreffenden Körpers, so spricht man von einer Umlaufbahn des Körpers. Es gibt keinen grundsätzlichen Unterschied zwischen einer „Rotation“ und einem „Orbit“ und/oder „Spin“. Der Hauptunterschied besteht einfach darin, wo die Rotationsachse liegt, entweder innerhalb oder außerhalb eines fraglichen Körpers. Diese Unterscheidung kann sowohl für „starre“ als auch für „unstarre“ Körper nachgewiesen werden.

Wenn auf eine Drehung um einen Punkt oder eine Achse eine zweite Drehung um denselben Punkt/eine Achse folgt, ergibt sich eine dritte Drehung. Die Umkehrung ( Invers ) einer Drehung ist auch eine Drehung. Somit bilden die Drehungen um einen Punkt/eine Achse eine Gruppe . Jedoch kann eine Drehung um einen Punkt oder eine Achse und eine Drehung um einen anderen Punkt/eine andere Achse zu etwas anderem als einer Drehung führen, zB einer Translation.

Drehungen um die x- , y- und z- Achsen werden als Hauptdrehungen bezeichnet . Eine Drehung um eine beliebige Achse kann durch eine Drehung um die x- Achse, gefolgt von einer Drehung um die y- Achse und anschließend einer Drehung um die z- Achse durchgeführt werden. Das heißt, jede räumliche Drehung kann in eine Kombination von Hauptdrehungen zerlegt werden.

In der Flugdynamik sind die Hauptdrehungen als Gier- , Nick- und Rollbewegungen (bekannt als Tait-Bryan-Winkel ) bekannt. Diese Terminologie wird auch in der Computergrafik verwendet .

Astronomie

In der Astronomie ist Rotation ein häufig beobachtetes Phänomen. Sterne , Planeten und ähnliche Körper drehen sich alle um ihre Achsen. Die Rotationsgeschwindigkeit der Planeten im Sonnensystem wurde zuerst durch Verfolgung visueller Merkmale gemessen. Die Sternrotation wird durch Dopplerverschiebung oder durch Verfolgung aktiver Oberflächenmerkmale gemessen .

Diese Rotation induziert im Bezugssystem der Erde eine Zentrifugalbeschleunigung, die der Gravitation etwas entgegenwirkt, je näher man sich dem Äquator befindet . Die Schwerkraft der Erde kombiniert beide Masseneffekte, sodass ein Objekt am Äquator etwas weniger wiegt als an den Polen. Ein anderer ist, dass die Erde im Laufe der Zeit leicht zu einem abgeplatteten Sphäroid verformt wird ; eine ähnliche äquatoriale Ausbuchtung entwickelt sich für andere Planeten.

Eine weitere Folge der Rotation eines Planeten ist das Phänomen der Präzession . Wie bei einem Gyroskop ist der Gesamteffekt ein leichtes "Wackeln" bei der Bewegung der Achse eines Planeten. Derzeit ist die Neigung der Erde ‚s Achse zu seiner Bahnebene ( Schiefe der Ekliptik ) ist 23,44 Grad, aber dieser Winkel ändert sich langsam (über Tausende von Jahren). (Siehe auch Präzession der Tagundnachtgleichen und Polarstern .)

Rotation und Umdrehung

Während Rotation oft als Synonym für Rotation verwendet wird, wird in vielen Bereichen, insbesondere in der Astronomie und verwandten Bereichen, Rotation, der Klarheit halber oft als Orbitalumdrehung bezeichnet, verwendet, wenn sich ein Körper um einen anderen bewegt, während Rotation verwendet wird, um die Bewegung um einen Achse. Monde drehen sich um ihren Planeten, Planeten drehen sich um ihren Stern (wie die Erde um die Sonne); und Sterne kreisen langsam um ihr galaxiales Zentrum . Die Bewegung der Komponenten von Galaxien ist komplex, beinhaltet aber normalerweise eine Rotationskomponente.

Retrograde Rotation

Die meisten Planeten in unserem Sonnensystem , einschließlich der Erde , drehen sich in die gleiche Richtung wie sie die Sonne umkreisen . Ausnahmen sind Venus und Uranus . Man kann sich die Venus so vorstellen, dass sie sich langsam rückwärts dreht (oder "auf dem Kopf steht"). Uranus dreht sich relativ zu seiner Umlaufbahn fast auf der Seite. Aktuelle Spekulationen besagen, dass Uranus mit einer typischen prograden Ausrichtung begann und zu Beginn seiner Geschichte durch einen großen Einschlag auf seine Seite gestoßen wurde. Der Zwergplanet Pluto (früher als Planet angesehen) ist in mehrfacher Hinsicht anomal, einschließlich der Tatsache, dass er sich auch auf seiner Seite dreht.

Physik

Die Rotationsgeschwindigkeit wird durch die Kreisfrequenz (rad/s) oder Frequenz ( Umdrehungen pro Zeit) oder Periode (Sekunden, Tage usw.) angegeben. Die zeitliche Änderungsrate der Winkelfrequenz ist die Winkelbeschleunigung (rad/s²), die durch das Drehmoment verursacht wird . Das Verhältnis der beiden (wie schwer ist es, die Drehung zu starten, zu stoppen oder auf andere Weise zu ändern) wird durch das Trägheitsmoment gegeben .

Der Winkelgeschwindigkeitsvektor (ein axialer Vektor ) beschreibt auch die Richtung der Drehachse. Ebenso ist das Drehmoment ein axialer Vektor.

Die Physik der Rotation um eine feste Achse wird mathematisch mit der Achs-Winkel-Darstellung von Rotationen beschrieben. Nach der Rechts-Hand-Regel ist die Richtung vom Betrachter weg mit einer Drehung im Uhrzeigersinn und die Richtung zum Betrachter mit einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn wie eine Schraube verbunden .

Kosmologisches Prinzip

Die Gesetze der Physik gelten derzeit als invariant gegenüber jeder festen Rotation . (Obwohl sie sich bei Betrachtung aus einem rotierenden Blickwinkel zu ändern scheinen: siehe rotierendes Referenzsystem .)

In der modernen physikalischen Kosmologie ist das kosmologische Prinzip die Vorstellung, dass die Verteilung der Materie im Universum in einem ausreichend großen Maßstab homogen und isotrop ist , da erwartet wird, dass die Kräfte im gesamten Universum gleichmäßig wirken und keine Vorzugsrichtung haben und sollten , also keine beobachtbaren Unregelmäßigkeiten in der großräumigen Strukturierung im Laufe der Evolution des Materiefeldes, die ursprünglich durch den Urknall festgelegt wurde.

Insbesondere für ein System, das sich unabhängig von seiner Orientierung im Raum gleich verhält, ist seine Lagrange-Funktion rotationsinvariant. Wenn die Wirkung (das zeitliche Integral seines Lagrange-Operators) eines physikalischen Systems unter Rotation invariant ist, bleibt nach dem Satz von Noether der Drehimpuls erhalten .

Euler-Rotationen

Euler-Rotationen der Erde. Intrinsisch (grün), Präzession (blau) und Nutation (rot)

Euler-Rotationen liefern eine alternative Beschreibung einer Rotation. Es ist eine Komposition aus drei Drehungen, die als die Bewegung definiert ist, die durch Ändern eines der Euler-Winkel erhalten wird, während die anderen beiden konstant bleiben. Euler-Rotationen werden nie in Bezug auf den äußeren Rahmen oder in Bezug auf den mitbewegten gedrehten Körperrahmen ausgedrückt, sondern in einer Mischung. Sie bilden ein gemischtes Drehachsensystem, bei dem der erste Winkel die Knotenlinie um die äußere Achse z bewegt , der zweite um die Knotenlinie rotiert und der dritte eine Eigenrotation um eine im sich bewegenden Körper fixierte Achse ist.

Diese Rotationen werden Präzession , Nutation und Eigenrotation genannt .

Flugdynamik

Die Hauptdrehachsen im Raum

In der Flugdynamik werden die oben mit Eulerwinkeln beschriebenen Hauptdrehungen als Nick- , Roll- und Gierbewegungen bezeichnet . Der Begriff Rotation wird auch in der Luftfahrt verwendet, um die Aufwärtsneigung (Nase bewegt sich nach oben) eines Flugzeugs zu bezeichnen, insbesondere wenn der Steigflug nach dem Start beginnt.

Hauptrotationen haben den Vorteil, dass sie eine Reihe von physikalischen Systemen wie Gimbals und Joysticks modellieren , so dass sie leicht visualisiert werden können und eine sehr kompakte Möglichkeit sind, eine Rotation zu speichern. Sie sind jedoch in Berechnungen schwierig zu verwenden, da selbst einfache Operationen wie das Kombinieren von Drehungen teuer sind und an einer Form der Kardanverriegelung leiden, bei der die Winkel für bestimmte Drehungen nicht eindeutig berechnet werden können.

Fahrgeschäfte

Viele Fahrgeschäfte bieten Rotation. Ein Riesenrad hat eine horizontale Mittelachse und parallele Achsen für jede Gondel, wo die Drehung entgegengesetzt ist, durch Schwerkraft oder mechanisch. Dadurch ist die Ausrichtung der Gondel jederzeit aufrecht (nicht gedreht), nur verschoben. Die Spitze des Translationsvektors beschreibt einen Kreis. Ein Karussell sorgt für eine Drehung um eine vertikale Achse. Viele Fahrgeschäfte bieten eine Kombination von Drehungen um mehrere Achsen. Bei Chair-O-Planes erfolgt die Rotation um die vertikale Achse mechanisch, während die Rotation um die horizontale Achse durch die Zentripetalkraft erfolgt . Bei Achterbahn-Inversionen ist die Drehung um die horizontale Achse ein oder mehrere volle Zyklen, wobei die Trägheit die Menschen in ihren Sitzen hält.

Sport

Die Drehung eines Balls oder eines anderen Objekts, normalerweise als Spin bezeichnet , spielt bei vielen Sportarten eine Rolle, darunter Topspin und Unterschnitt beim Tennis , Englisch , Folgen und Ziehen beim Billard und Billard , Kurvenbälle beim Baseball , Spin-Bowling beim Cricket , Flying Disc- Sportarten, usw. Tischtennisschläger werden mit unterschiedlichen Oberflächeneigenschaften hergestellt, damit der Spieler dem Ball mehr oder weniger Spin verleihen kann.

Die ein- oder mehrmalige Drehung eines Spielers um eine vertikale Achse kann als Spin beim Eiskunstlauf , als Wirbeln (des Taktstocks oder des Darstellers) beim Taktstockwirbeln oder als 360 , 540 , 720 usw. beim Snowboarden usw. bezeichnet werden Spieler oder Darsteller ein- oder mehrmals um eine horizontale Achse kann ein genannt werden Flip , Rolle , Purzelbaum , heli , usw. in Gymnastik , Wasserski fahren oder viele andere Sportarten, oder eine ein-und-ein-halb , zwei-und-ein -half , Gainer (vom Wasser abgewandt beginnend) etc. beim Tauchen etc. Eine Kombination aus vertikaler und horizontaler Rotation (Backflip mit 360°) wird im Wasserski-Freestyle-Springen als Möbius bezeichnet .

Rotation eines Spieler um eine vertikale Achse, in der Regel zwischen 180 und 360 Grad, kann ein angerufener Spin bewegt und wird als täuschend oder Ausweichmanöver, oder in einem Versuch zu spielen, Pass, oder empfängt einen Ball oder Puck verwendet usw. , oder um einem Spieler einen Blick auf das Tor oder andere Spieler zu ermöglichen. Es wird oft in Hockey , Basketball , Fußball verschiedener Codes, Tennis usw.

Feste Achse vs. Festpunkt

Das Endergebnis einer beliebigen Folge von Drehungen eines beliebigen Objekts in 3D um einen Fixpunkt entspricht immer einer Drehung um eine Achse. Ein Objekt kann sich jedoch in 3D physikalisch um einen Fixpunkt auf mehr als einer Achse gleichzeitig drehen, in diesem Fall gibt es keine einzige feste Rotationsachse - nur den Fixpunkt. Diese beiden Beschreibungen können jedoch in Einklang gebracht werden – eine solche physikalische Bewegung kann immer in Bezug auf eine einzelne Rotationsachse neu beschrieben werden, vorausgesetzt, die Ausrichtung dieser Achse relativ zum Objekt kann sich von Moment zu Moment ändern.

Achse der 2-dimensionalen Drehungen

2-dimensionale Rotationen besitzen im Gegensatz zu 3-dimensionalen keine Rotationsachse. Dies ist für lineare Transformationen äquivalent mit der Aussage, dass es keine Richtung an der Stelle gibt, die durch eine zweidimensionale Drehung unverändert gehalten wird, außer natürlich der Identität.

Die Frage nach der Existenz einer solchen Richtung ist die Frage nach der Existenz eines Eigenvektors für die die Drehung repräsentierende Matrix A. Jede 2D-Rotation um den Ursprung um einen Winkel gegen den Uhrzeigersinn lässt sich ganz einfach durch die folgende Matrix darstellen:

Eine Standard- Eigenwertbestimmung führt auf die charakteristische Gleichung

,

die hat

als seine Eigenwerte. Daher gibt es wann immer keinen reellen Eigenwert , was bedeutet, dass kein reeller Vektor in der Ebene von A unverändert gehalten wird.

Drehwinkel und Achse in 3 Dimensionen

Da die Spur eine Invariante ist, wird der Rotationswinkel für eine richtige orthogonale 3x3-Rotationsmatrix gefunden durch

Unter Verwendung des Haupt-Arc-Cosinus ergibt diese Formel einen Rotationswinkel, der erfüllt ist . Die entsprechende Drehachse muss so definiert sein, dass sie in eine Richtung zeigt, die den Drehwinkel auf nicht mehr als 180 Grad begrenzt. (Dies ist immer möglich, da jede Drehung um mehr als 180 Grad um eine Achse immer als Drehung mit geschrieben werden kann, wenn die Achse durch ersetzt wird .)

Jede richtige Drehung im 3D-Raum hat eine Drehachse, die so definiert ist, dass jeder Vektor , der an der Drehachse ausgerichtet ist, nicht von der Drehung beeinflusst wird. Dementsprechend entspricht , und die Rotationsachse entspricht daher einem Eigenvektor der Rotationsmatrix, der einem Eigenwert von 1 zugeordnet ist. Solange der Rotationswinkel ungleich Null ist (dh die Rotation ist nicht der Identitätstensor), gibt es nur einen solchen Richtung. Da A nur reelle Komponenten hat, gibt es mindestens einen reellen Eigenwert, und die verbleibenden beiden Eigenwerte müssen komplex konjugiert zueinander sein (siehe Eigenwerte und Eigenvektoren#Eigenwerte und das charakteristische Polynom ). Wenn man weiß, dass 1 ein Eigenwert ist, folgt daraus, dass die verbleibenden zwei Eigenwerte komplex konjugiert sind, aber das bedeutet nicht, dass sie komplex sind – sie könnten mit doppelter Multiplizität reell sein. Im entarteten Fall eines Drehwinkels sind die verbleibenden beiden Eigenwerte beide gleich -1. Im entarteten Fall eines Rotationswinkels von Null ist die Rotationsmatrix die Identität, und alle drei Eigenwerte sind 1 (was der einzige Fall ist, in dem die Rotationsachse willkürlich ist).

Eine Spektralanalyse ist nicht erforderlich, um die Rotationsachse zu finden. Wenn bezeichnet den Einheitseigenvektor, der mit der Rotationsachse ausgerichtet ist, und wenn bezeichnet den Rotationswinkel, dann kann gezeigt werden, dass . Folglich können die Kosten einer Eigenwertanalyse vermieden werden, indem dieser Vektor einfach normalisiert wird, wenn er einen Betrag ungleich Null hat. Wenn dieser Vektor andererseits eine Größe von Null hat, bedeutet dies, dass . Mit anderen Worten, dieser Vektor ist genau dann null, wenn der Drehwinkel 0 oder 180 Grad beträgt, und die Drehachse kann in diesem Fall durch Normalisieren einer beliebigen Spalte mit einer Größe ungleich null zugewiesen werden .

Diese Diskussion gilt für eine richtige Drehung, und daher . Jede uneigentliche orthogonale 3x3-Matrix kann als geschrieben werden , in der richtig orthogonal ist. Das heißt, jede uneigentliche orthogonale 3x3-Matrix kann in eine richtige Drehung (aus der wie oben beschrieben eine Drehachse gefunden werden kann) zerlegt werden, gefolgt von einer Inversion (Multiplikation mit –1). Daraus folgt, dass die Rotationsachse von auch der Eigenvektor von ist , der einem Eigenwert von -1 entspricht.

Rotationsebene

So wie jede dreidimensionale Drehung eine Drehachse hat, hat auch jede dreidimensionale Drehung eine Ebene, die senkrecht zur Drehachse steht und die durch die Drehung invariant bleibt. Die auf diese Ebene beschränkte Drehung ist eine gewöhnliche 2D-Drehung.

Der Beweis verläuft ähnlich wie in der obigen Diskussion. Nehmen Sie zunächst an, dass alle Eigenwerte der 3D-Rotationsmatrix A reell sind. Dies bedeutet, dass es eine orthogonale Basis gibt, die durch die entsprechenden Eigenvektoren (die notwendigerweise orthogonal sind) gebildet wird, über die der Effekt der Rotationsmatrix sie gerade streckt. Wenn wir A in diese Basis schreiben, ist es diagonal; aber eine diagonale orthogonale Matrix besteht nur aus +1 und -1 in den diagonalen Einträgen. Daher haben wir keine richtige Rotation, sondern entweder die Identität oder das Ergebnis einer Folge von Reflexionen.

Daraus folgt, dass eine echte Drehung einen komplexen Eigenwert hat. Sei v der zugehörige Eigenvektor. Dann ist, wie wir im vorherigen Thema gezeigt haben, auch ein Eigenvektor, und sind so, dass ihr Skalarprodukt verschwindet:

weil, da reell ist, es gleich seinem komplex Konjugierten ist , und und beide Darstellungen des gleichen Skalarprodukts zwischen und sind .

Dies bedeutet und sind orthogonale Vektoren. Außerdem sind sie beide durch Konstruktion reelle Vektoren. Diese Vektoren spannen denselben Unterraum wie und auf , der unter der Anwendung von A ein invarianter Unterraum ist. Daher spannen sie eine invariante Ebene auf.

Diese Ebene steht wegen der Orthogonalität der Eigenvektoren von A orthogonal zur invarianten Achse, die dem verbleibenden Eigenvektor von A mit Eigenwert 1 entspricht.

Siehe auch

Verweise

Externe Links