Periodischer Punkt - Periodic point

In der Mathematik , beim Studium iterierter Funktionen und dynamischer Systeme , ist ein periodischer Punkt einer Funktion ein Punkt, zu dem das System nach einer bestimmten Anzahl von Funktionsiterationen oder einer bestimmten Zeit zurückkehrt.

Iterierte Funktionen

Gegeben eine Abbildung f von einer Menge X in sich selbst,

${\displaystyle f:X\to X,}$

ein Punkt x in X heißt periodischer Punkt, wenn es ein n gibt, so dass

${\displaystyle\f_{n}(x)=x}$

wo ist die n- te Iteration von f . Die kleinste positive ganze Zahl n, die das Obige erfüllt, wird als Primperiode oder kleinste Periode des Punktes x bezeichnet . Wenn jeder Punkt in X ein periodischer Punkt mit der gleichen Periode ist , n , dann f heißt periodisch mit der Periode n (dies ist nicht mit dem Begriff einen zu verwechseln periodischen Funktion ). ${\displaystyle f_{n}}$

Falls es verschiedene n und m gibt, so dass

${\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}$

dann heißt x ein präperiodischer Punkt . Alle periodischen Punkte sind präperiodisch.

Ist f ein Diffeomorphismus einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit , so dass die Ableitung definiert ist, dann sagt man, dass ein periodischer Punkt hyperbolisch ist, wenn ${\displaystyle f_{n}^{\prime}}$

${\displaystyle |f_{n}^{\prime}|\neq 1,}$

dass es attraktiv ist , wenn

${\displaystyle |f_{n}^{\prime}|<1,}$

und es ist abstoßend, wenn

${\displaystyle |f_{n}^{\prime}|>1.}$

Wenn die Dimension der stabilen Mannigfaltigkeit eines periodischen Punktes oder Fixpunktes Null ist, wird der Punkt Quelle genannt ; wenn die Dimension seiner instabilen Mannigfaltigkeit null ist, wird er Senke genannt ; und wenn sowohl die stabile als auch die instabile Mannigfaltigkeit eine Dimension ungleich Null haben, wird sie Sattel oder Sattelpunkt genannt .

Beispiele

Ein Punkt der ersten Periode wird Fixpunkt genannt .

Die Logistikkarte

weist Periodizität für verschiedene Werte des Parameters r auf . Für r zwischen 0 und 1 ist 0 der einzige periodische Punkt mit Periode 1 (gibt die Folge 0, 0, 0, ..., die alle Bahnen anzieht ). Für r zwischen 1 und 3 ist der Wert 0 immer noch periodisch, aber nicht anziehend, während der Wert ( r − 1) /  r ein anziehender periodischer Punkt der Periode 1 ist. Mit r größer als 3, aber kleiner als 1 + √ 6 , es gibt ein Paar Perioden-2-Punkte, die zusammen eine anziehende Folge bilden, sowie die nicht-anziehenden Perioden-1-Punkte 0 und ( r − 1) /  r . Wenn der Wert des Parameters r gegen 4 ansteigt, entstehen Gruppen von periodischen Punkten mit jeder positiven ganzen Zahl für die Periode; für einige Werte von r ist eine dieser sich wiederholenden Sequenzen anziehend, während für andere keine von ihnen ist (wobei fast alle Umlaufbahnen chaotisch sind).

Dynamisches System

Gegeben ein reelles globales dynamisches System ( R , X , Φ) mit X dem Phasenraum und Φ der Evolutionsfunktion ,

${\displaystyle \Phi:\mathbb{R} \times X\to X}$

ein Punkt x in X heißt periodisch mit Periode t, wenn es ein t > 0 gibt, so dass

${\displaystyle \Phi(t,x)=x\,}$

Das kleinste positive t mit dieser Eigenschaft heißt Primperiode des Punktes x .

Eigenschaften

• Gegeben ein periodischer Punkt x mit Periode p , dann für alle t in R${\displaystyle \Phi (t,x)=\Phi (t+p,x)}$
• Bei einem periodischen Punkt x sind alle Punkte auf der Umlaufbahn durch x periodisch mit derselben Primperiode.${\displaystyle \gamma_{x}}$

Siehe auch

• Grenzzyklus
• Limit eingestellt
• Stabiles Set
• Satz von Sharkovsky
• Stationären Punkt
• Periodische Punkte komplexer quadratischer Abbildungen

Dieser Artikel enthält Material von hyperbolischem Fixpunkt auf PlanetMath , das unter der Creative Commons-Lizenz Namensnennung/Weitergabe unter gleichen Bedingungen lizenziert ist .