Pi-System - Pi-system

In der Mathematik ist ein π -System (oder Pi-System ) auf einer Menge eine Sammlung bestimmter Teilmengen von solchen, dass ${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega,}$

• ${\displaystyle P}$ist nicht leer .
• Wenn dann${\displaystyle A,B\in P}$${\displaystyle A\cap B\in P.}$

Das heißt, ist eine nichtleere Familie von Teilmengen , die unter nichtleeren endlichen Schnitten abgeschlossen ist . Die Bedeutung von π -Systemen ergibt sich aus der Tatsache, dass, wenn zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem π -System übereinstimmen, sie auch auf der von diesem π -System erzeugten 𝜎-Algebra übereinstimmen . Wenn für das π- System weitere Eigenschaften, wie zB die Gleichheit der Integrale, gelten , dann gelten sie auch für die erzeugte 𝜎-Algebra. Dies ist immer dann der Fall, wenn die Sammlung von Teilmengen, für die die Eigenschaft gilt, ein 𝜆-System ist . π${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega}$-Systeme sind auch nützlich, um die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen zu überprüfen.

Dies ist wünschenswert, da in der Praxis mit π- Systemen oft einfacher zu arbeiten ist als mit 𝜎-Algebren. Zum Beispiel kann es umständlich sein, mit 𝜎-Algebren zu arbeiten, die von unendlich vielen Mengen erzeugt werden. Stattdessen können wir die Vereinigung aller 𝜎-Algebren, die von endlich vielen Mengen erzeugt werden, untersuchen. Dies bildet ein π -System, das die gewünschte 𝜎-Algebra erzeugt. Ein weiteres Beispiel ist die Sammlung aller Intervalle der reellen Geraden , zusammen mit der leeren Menge, die ein π- System ist, das die sehr wichtige Borel--Algebra von Teilmengen der reellen Geraden erzeugt. ${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots).}$${\textstyle \bigcup_{n}\sigma (E_{1},\ldots,E_{n}).}$

Definitionen

Ein π -System ist eine nichtleere Menge von Mengen , die unter nichtleeren endlichen Schnitten abgeschlossen ist, was äquivalent dazu ist , den Schnitt von zwei beliebigen seiner Elemente zu enthalten. Wenn jede Menge in diesem π -System eine Teilmenge von ist, dann heißt sie ein π -System auf${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Omega.}$

Für jede nichtleere Familie von Teilmengen von dort existiert ein π -system die genannte π -Systems erzeugt durch , dass die einzigartige kleinste π -Systems von jedes Element enthalten Es ist gleich der Kreuzung aller π -Systems enthalten und kann explizit beschrieben werden als die Menge aller möglichen nichtleeren endlichen Durchschnitte von Elementen von${\displaystyle \Sigma}$${\displaystyle \Omega,}$${\displaystyle {\mathcal{I}}_{\Sigma},}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma}}}$${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle \Sigma.}$${\displaystyle \Sigma,}$${\displaystyle \Sigma:}$

Eine nichtleere Menge von Mengen hat die endliche Schnittmenge genau dann, wenn das von ihr erzeugte π -System die leere Menge nicht als Element enthält.

Beispiele

• Denn die Intervalle bilden ein π -System, und die Intervalle bilden ein π -System, wenn auch die leere Menge enthalten ist.${\displaystyle a,b\in\mathbb{R},}$${\displaystyle (-\infty ,a]}$${\displaystyle (a,b]}$
• Die Topologie (Sammlung offener Teilmengen ) eines beliebigen topologischen Raums ist ein π- System.
• Jeder Filter ist ein π -System. Jedes π -System, das die leere Menge nicht enthält, ist ein Vorfilter (auch bekannt als Filterbasis).
• Für jede messbare Funktion definiert die Menge   ein π -System und wird das π -System genannt, das von erzeugt wird (Alternativ definiert ein π -System, das von erzeugt wird )${\displaystyle f:\Omega\to\mathbb{R},}$${\displaystyle {\mathcal{I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty,x]):x\in\mathbb{R}\right\}}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing\}}$${\displaystyle f.}$
• Wenn und sind π -Systeme für und jeweils dann ist es, ein π -system für das kartesische Produkt${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \Omega_{1}}$${\displaystyle \Omega_{2},}$${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$ ${\displaystyle \Omega_{1}\times \Omega_{2}.}$
• Jede 𝜎-Algebra ist ein π- System.

Beziehung zu 𝜆-Systemen

Ein 𝜆-System on ist eine Menge von Teilmengen von erfüllenden ${\displaystyle \Omega}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Omega,}$

• ${\displaystyle \Omega\in D,}$
• wenn dann (wo ),${\displaystyle A\in D}$${\displaystyle A^{c}\in D}$${\displaystyle A^{c}:=\Omega\setminus A}$
• if ist eine Folge von (paarweise) disjunkten Teilmengen in then${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \cup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in D.}$

Während es , dass jegliche σ-Algebra erfüllt wahr ist , die Eigenschaften von wobei beide ein π -system und einem λ-System, ist es nicht wahr , dass jedes π -system ein λ-System ist, und darüber hinaus ist es nicht wahr , dass jeder π - System ist eine 𝜎-Algebra. Eine nützliche Klassifikation ist jedoch, dass jedes Mengensystem, das sowohl ein 𝜆-System als auch ein π- System ist, eine 𝜎-Algebra ist. Dies wird als Schritt zum Beweis des Satzes von π -𝜆 verwendet.

Der π- 𝜆-Satz

Sei ein 𝜆-System und sei   ein π -System enthalten in Der π -𝜆 Satz besagt, dass die 𝜎-Algebra, die von erzeugt wird, enthalten ist in${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal{I}}\subseteq D}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}$${\displaystyle {\mathcal{I}}}$${\displaystyle D~:~}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}$

Der Satz von π -𝜆 kann verwendet werden, um viele elementare maßtheoretische Ergebnisse zu beweisen . Zum Beispiel wird es verwendet, um die Eindeutigkeitsaussage des Carathéodory-Erweiterungssatzes für 𝜎-endliche Maße zu beweisen .

Der π- 𝜆-Satz ist eng mit dem monotonen Klassensatz verwandt, der eine ähnliche Beziehung zwischen monotonen Klassen und Algebren bereitstellt und verwendet werden kann, um viele der gleichen Ergebnisse abzuleiten. Da π- Systeme einfachere Klassen als Algebren sind, kann es einfacher sein, die darin enthaltenen Mengen zu identifizieren, während andererseits die Überprüfung, ob die betrachtete Eigenschaft ein 𝜆-System bestimmt, oft relativ einfach ist. Trotz des Unterschieds zwischen den beiden Sätzen wird der Satz von π -𝜆 manchmal als der monotone Klassensatz bezeichnet.

Beispiel

Seien zwei Maße auf der 𝜎-Algebra und nehmen an, dass sie von einem π -System erzeugt wird If ${\displaystyle \mu_{1},\mu_{2}:F\to\mathbb{R}}$${\displaystyle F,}$${\displaystyle F=\sigma (I)}$${\displaystyle I.}$

1. ${\displaystyle \mu_{1}(A)=\mu_{2}(A)}$für alle und${\displaystyle A\in I,}$
2. ${\displaystyle \mu_{1}(\Omega)=\mu_{2}(\Omega)<\infty,}$

dann Dies ist die Eindeutigkeitsaussage des Carathéodory-Erweiterungssatzes für endliche Maße. Wenn dieses Ergebnis nicht sehr bemerkenswert erscheint, bedenken Sie, dass es normalerweise sehr schwierig oder sogar unmöglich ist, jede Menge in der 𝜎-Algebra vollständig zu beschreiben, und so wäre das Problem der Gleichsetzung von Maßen ohne ein solches Werkzeug völlig aussichtslos. ${\displaystyle \mu_{1}=\mu_{2}.}$

Beweisidee Definiere die Menge der Mengen

Nach der ersten Annahme, und stimmen überein und damit nach der zweiten Voraussetzung, und es kann weiter gezeigt werden, dass es sich um ein 𝜆-System handelt. Aus dem π -𝜆 Satz folgt, dass und so Das heißt, die Maße stimmen überein${\displaystyle \mu_{1}}$${\displaystyle \mu_{2}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\subseteq D.}$${\displaystyle \Omega\in D,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}$${\displaystyle D=\sigma (I).}$${\displaystyle \sigma (I).}$

π -Systeme in Wahrscheinlichkeit

π -Systeme werden im Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie häufiger verwendet als im allgemeinen Gebiet der Maßtheorie. Dies ist in erster Linie auf wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffe wie Unabhängigkeit zurückzuführen , kann aber auch eine Folge der Tatsache sein, dass der π- 𝜆-Satz von dem Wahrscheinlichkeitsforscher Eugene Dynkin bewiesen wurde . Standardtexte zur Maßtheorie beweisen die gleichen Ergebnisse typischerweise über monotone Klassen und nicht über π- Systeme.

Gleichheit bei der Verteilung

Das π- 𝜆-Theorem motiviert die allgemeine Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen hinsichtlich ihrer

kumulativen Verteilungsfunktion . Denken Sie daran, dass die kumulative Verteilung einer Zufallsvariablen definiert ist als ${\displaystyle X\colon (\Omega,{\mathcal{F}},\operatorname{P})\rightarrow\mathbb{R}}$

$${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$

während das scheinbar allgemeinere Gesetz der Variablen das Wahrscheinlichkeitsmaß ist

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ für alle }}B\ in {\mathcal{B}}(\mathbb{R}),}$$

wo ist die Borel 𝜎-Algebra. Wir sagen, dass die Zufallsvariablen und (auf zwei möglicherweise unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsräumen) gleich verteilt (oder Gesetz ) sind, bezeichnet mit wenn sie die gleichen kumulativen Verteilungsfunktionen haben, d.h. Die Motivation für die Definition ergibt sich aus der Beobachtung, dass wenn dann das heißt genau das und stimme dem π -System zu, das erzeugt und so durch das obige Beispiel :${\displaystyle {\mathcal{B}}(\mathbb{R})}$${\displaystyle X\colon (\Omega,{\mathcal{F}},\operatorname{P}),}$${\displaystyle Y\colon ({\tilde {\Omega}},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P}}})\rightarrow \mathbb {R}}$${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal{L}}_{Y}}$${\displaystyle \left\{(-\infty,a]\colon a\in\mathbb{R}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal{B}}(\mathbb{R}),}$${\displaystyle {\mathcal{L}}_{X}={\mathcal{L}}_{Y}.}$

Ein ähnliches Ergebnis gilt für die gemeinsame Verteilung eines Zufallsvektors. Angenommen und sind zwei Zufallsvariablen, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum mit jeweils erzeugten

π -Systemen definiert sind und Die gemeinsame kumulative Verteilungsfunktion von is ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega,{\mathcal{F}},\operatorname {P}),}$${\displaystyle {\mathcal{I}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal{I}}_{Y}.}$${\displaystyle (X,Y)}$

$${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} \left[X\leq a,Y\leq b\right]=\operatorname {P} \left[X^{-1} ((-\infty,a])\cap Y^{-1}((-\infty,b])\right],\quad {\text{ für alle }}a,b\in\mathbb{R} .}$$

Jedoch und weil ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty,b])\in {\mathcal{I}}_{Y}.}$

$${\displaystyle {\mathcal{I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal{I}}_{X},{\text{ und }}B\ in {\mathcal{I}}_{Y}\right\}}$$

ist ein π -Systems durch das Zufallspaar erzeugte das π bis & lgr; Theorem , dass die gemeinsame Verteilungsfunktion genügt , um das gemeinsame Recht zu bestimmen , um zu zeigen , wird verwendet , mit anderen Worten, und die gleiche Verteilung hat , wenn und nur wenn sie das gleiche Gelenk haben Verteilungsfunktion. ${\displaystyle (X,Y),}$${\displaystyle (X,Y).}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (W,Z)}$

In der Theorie der stochastischen Prozesse sind zwei Prozesse genau dann gleich verteilt, wenn sie in allen endlichdimensionalen Verteilungen übereinstimmen; das heißt für alle${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$${\displaystyle t_{1},\ldots,t_{n}\in T,\,n\in\mathbb{N}.}$

$${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{ t_{1}},\ldots,Y_{t_{n}}\right).}$$

Der Beweis dafür ist eine weitere Anwendung des Satzes von π -𝜆.

Unabhängige Zufallsvariablen

Die Theorie des π- Systems spielt eine wichtige Rolle im probabilistischen Unabhängigkeitsbegriff . Wenn und zwei Zufallsvariablen auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind , dann sind die Zufallsvariablen unabhängig , wenn und nur wenn ihre

π -Systeme satisfy ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle {\mathcal{I}}_{X},{\mathcal{I}}_{Y}}$

$${\displaystyle \operatorname {P} [A\cap B]=\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B]\quad {\text{ für alle }}A\in {\mathcal {I} }_{X}{\text{ und }}B\in {\mathcal{I}}_{Y},}$$

das heißt, sie sind unabhängig. Dies ist eigentlich ein Spezialfall der Verwendung von π -Systemen zur Bestimmung der Verteilung von${\displaystyle {\mathcal{I}}_{X},{\mathcal{I}}_{Y}}$${\displaystyle (X,Y).}$

Beispiel

Seien wo sind

iid normale normale Zufallsvariablen. Definieren Sie die Variablen Radius und Argument (Arctan) ${\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}$${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal{N}}(0,1)}$

$${\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad\Theta =\tan^{-1}\left(Z_{2}/Z_ {1}\rechts).}$$

Dann sind und unabhängige Zufallsvariablen. ${\displaystyle R}$${\displaystyle \Theta}$

Um dies zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass die π -Systeme unabhängig sind: d.h. ${\displaystyle {\mathcal{I}}_{R},{\mathcal{I}}_{\Theta}}$

$${\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\quad {\text{ für alle }}\rho\in [0,\infty ),\,\theta\in [0,2\pi].}$$

Die Bestätigung, dass dies der Fall ist, ist eine Übung darin, Variablen zu ändern. Fix und dann kann die Wahrscheinlichkeit als Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von ausgedrückt werden${\displaystyle \rho\in [0,\infty )}$${\displaystyle \theta\in [0,2\pi],}$${\displaystyle Z.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{ \frac {1}{2\pi}}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right )dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta}\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}r\,dr\,d{\tilde {\theta}}\\[5pt]&=\left(\int _{ 0}^{\theta}{\frac{1}{2\pi}}\,d{\tilde{\theta}}\right)\left(\int_{0}^{\rho}e^{ -{\frac {r^{2}}{2}}}r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R \leq \rho ].\end{ausgerichtet}}}$$

Siehe auch

• δ -ring  – Ring geschlossen unter zählbaren Kreuzungen
• Feld der Mengen  – Algebraisches Konzept in der Maßtheorie, auch als Mengenalgebra bezeichnet.
• Ideal (Mengentheorie)  – nichtleere Familie von Mengen, die unter endlichen Vereinigungen und Teilmengen abgeschlossen ist
• Unabhängigkeit (Wahrscheinlichkeitstheorie)  – Grundbegriff der Wahrscheinlichkeitstheorie
• 𝜆-System (Dynkin-System)  – Familie geschlossen unter Komplementen und abzählbaren disjunkten Vereinigungen
• Monotoner Klassensatz
• Wahrscheinlichkeitsverteilung  – Mathematische Funktion für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis in einem Experiment auftritt
• Ring der Mengen  – Familie geschlossen unter Vereinigungen und relativen Ergänzungen
• σ-Algebra  – Teilmengen, die unter Komplement und abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen sind
• 𝜎-ideal  – Familie geschlossen unter Teilmengen und zählbaren Vereinigungen
• 𝜎-Ring  – Ring geschlossen unter zählbaren Verbindungen

Anmerkungen

Zitate

Verweise

• Gut, Allan (2005). Wahrscheinlichkeit: Ein Graduate-Kurs . Springer-Texte in der Statistik. New York: Springer. doi : 10.1007/b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
• David Williams (1991). Wahrscheinlichkeit mit Martingalen . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Durrett, Richard (2019). Wahrscheinlichkeit: Theorie und Beispiele (PDF) . Cambridge Series in statistischer und probabilistischer Mathematik. 49 (5. Aufl.). Cambridge New York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Abgerufen am 5. November 2020 .

Familien von Sets${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ über${\displaystyle \Omega}$
Trifft notwendigerweise zu ${\displaystyle {\mathcal{F}}\colon}$ oder, ist geschlossen unter:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots}$	FIP	Regie durch${\displaystyle\,\supseteq}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots}$	${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \,\\&{\text{where }}A_{i}\nearrow \end{alignedat}} }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots}$	${\displaystyle \Omega\setminus A}$	${\displaystyle A\setminus B}$	${\displaystyle \varnothing\in {\mathcal{F}}}$	${\displaystyle \Omega\in {\mathcal{F}}}$
π -System
𝜆-System (Dynkin-System)			Niemals
Ring (Ordnungstheorie)
Ring (Messtheorie)			Niemals
δ-Ring			Niemals
𝜎-Ring			Niemals
Algebra (Feld)			Niemals
𝜎-Algebra (𝜎-Feld)			Niemals
Doppelideal
Filter									Niemals	Niemals	${\displaystyle \varnothing \not\in {\mathcal {F}}}$
Vorfilter (Filterbasis)									Niemals	Niemals	${\displaystyle \varnothing \not\in {\mathcal {F}}}$
Unterbau filtern									Niemals	Niemals	${\displaystyle \varnothing \not\in {\mathcal {F}}}$
Topologie			Niemals
Trifft notwendigerweise zu ${\displaystyle {\mathcal{F}}\colon}$ oder, ist geschlossen unter:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	endliche Schnittpunkte	zählbare Kreuzungen	Finite Überschneidung Property	nach unten gerichtet	endliche Vereinigungen	zählbare disjunkte Gewerkschaften	zählbare wachsende Gewerkschaften	zählbare Gewerkschaften	ergänzt in${\displaystyle \Omega}$	relative Ergänzungen	enthält ${\displaystyle \varnothing}$	enthält ${\displaystyle \Omega}$
Es wird davon ausgegangen, dass alle Familien nicht leer sind. ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots}$sind beliebige Elemente von bezeichnet eine Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen (genannt disjunkte Vereinigung ). Außerdem ist ein Semiring ein π -System, in dem jedes Komplement gleich einer endlichen disjunkten Vereinigung von Mengen in A Semialgebra ist ein Semiring, der enthält Eine monotone Klasse ist eine Familie, die sowohl unter abzählbaren aufsteigenden Vereinigungen als auch unter abzählbaren absteigenden Schnitten abgeschlossen ist. ${\displaystyle {\mathcal{F}}.}$ ${\displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle {\mathcal{F}}.}$ ${\displaystyle \Omega.}$