Poisson-Punkt-Prozess - Poisson point process

In Wahrscheinlichkeits- , Statistik- und verwandten Bereichen ist ein Poisson-Punkt-Prozess eine Art zufälliges mathematisches Objekt , das aus zufällig auf einem mathematischen Raum angeordneten Punkten besteht . Der Poisson-Punkt-Prozess wird oft einfach als Poisson-Prozess bezeichnet , wird aber auch als Poisson-Zufallsmaß , Poisson-Zufallspunktfeld oder Poisson-Punktfeld bezeichnet . Dieser Punktprozess hat bequeme mathematische Eigenschaften, was dazu geführt hat, dass er im euklidischen Raum häufig definiert und als mathematisches Modell für scheinbar zufällige Prozesse in zahlreichen Disziplinen wie Astronomie , Biologie , Ökologie, Geologie, Seismologie , Physik , Ökonomie, Bildverarbeitung verwendet wird , und Telekommunikation.

Der Prozess ist nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson benannt, obwohl Poisson den Prozess nie studiert hat. Sein Name leitet sich von der Tatsache ab, dass, wenn eine Ansammlung zufälliger Punkte in einem bestimmten Raum einen Poisson-Prozess bildet, die Anzahl der Punkte in einem Bereich endlicher Größe eine Zufallsvariable mit einer Poisson-Verteilung ist . Der Prozess wurde unabhängig und wiederholt in verschiedenen Umgebungen entdeckt, darunter Experimente zum radioaktiven Zerfall, eingehenden Telefonanrufen und Versicherungsmathematik.

Der Poisson-Punkt-Prozess wird oft auf der reellen Linie definiert , wo er als stochastischer Prozess betrachtet werden kann . In diesem Kontext wird es beispielsweise in der Warteschlangentheorie verwendet , um zufällige Ereignisse, wie die Ankunft von Kunden in einem Geschäft, Telefonate in einer Vermittlungsstelle oder das Auftreten von Erdbeben, zeitlich verteilt zu modellieren. In der Ebene kann der Punktprozess, auch als räumlicher Poisson-Prozess bekannt , die Positionen von verstreuten Objekten wie etwa Sendern in einem drahtlosen Netzwerk , Partikel , die auf einen Detektor kollidieren, oder Bäume in einem Wald darstellen. In diesem Kontext wird das Verfahren häufig in mathematischen Modellen und in den verwandten Gebieten der räumlichen Punktprozesse, der stochastischen Geometrie , der räumlichen Statistik und der Kontinuumsperkolationstheorie verwendet . Der Poisson-Punkt-Prozess kann auf abstrakteren Räumen definiert werden. Abgesehen von Anwendungen ist der Poisson-Punkt-Prozess ein eigenständiges Objekt mathematischer Studien. Der Poisson-Punkt-Prozess hat in allen Einstellungen die Eigenschaft, dass jeder Punkt stochastisch unabhängig von allen anderen Punkten des Prozesses ist, weshalb er manchmal als rein oder vollständig zufälliger Prozess bezeichnet wird. Trotz seiner weit verbreiteten Verwendung als stochastisches Modell von als Punkte darstellbaren Phänomenen impliziert die inhärente Natur des Prozesses, dass er Phänomene nicht angemessen beschreibt, bei denen eine ausreichend starke Wechselwirkung zwischen den Punkten besteht. Dies hat den Vorschlag anderer Punktprozesse inspiriert, von denen einige mit dem Poisson-Punktprozess konstruiert sind, die versuchen, eine solche Interaktion zu erfassen.

Der Punktprozess hängt von einem einzelnen mathematischen Objekt ab, das je nach Kontext eine Konstante , eine lokal integrierbare Funktion oder in allgemeineren Situationen ein Radon-Maß sein kann . Im ersten Fall ist die Konstante, die als Rate oder Intensität bekannt ist, die durchschnittliche Dichte der Punkte im Poisson-Prozess, die sich in einem Raumbereich befinden. Der resultierende Punktprozess wird als homogener oder stationärer Poisson-Punktprozess bezeichnet . Im zweiten Fall wird der Punktprozess als inhomogener oder inhomogener Poisson-Punkt-Prozess bezeichnet , und die durchschnittliche Punktdichte hängt von der Lage des zugrunde liegenden Raums des Poisson-Punkt-Prozesses ab. Das Wort Punkt wird oft weggelassen, aber es gibt andere Poisson-Prozesse von Objekten, die anstelle von Punkten aus komplizierteren mathematischen Objekten wie Linien und Polygonen bestehen , und solche Prozesse können auf dem Poisson-Punkt-Prozess basieren. Sowohl der homogene Poisson-Punkt-Prozess als auch der inhomogene Poisson-Punkt-Prozess sind Sonderfälle des generalisierten Erneuerungsprozesses .

Übersicht der Definitionen

Das Verfahren hat je nach Einstellung mehrere gleichwertige Definitionen sowie Definitionen unterschiedlicher Allgemeingültigkeit aufgrund seiner vielfältigen Anwendungen und Charakterisierungen. Der Poisson-Punkt-Prozess kann in einer Dimension definiert, untersucht und verwendet werden, beispielsweise auf der realen Linie, wo er als Zählprozess oder Teil eines Warteschlangenmodells interpretiert werden kann; in höheren Dimensionen wie der Ebene, wo es eine Rolle in der stochastischen Geometrie und räumlichen Statistik spielt ; oder auf allgemeineren mathematischen Räumen. Folglich variieren die Notation, Terminologie und das Niveau der mathematischen Strenge, die verwendet werden, um den Poisson-Punkt-Prozess und Punktprozesse im Allgemeinen zu definieren und zu studieren, je nach Kontext.

Trotzdem hat der Poisson-Punkt-Prozess zwei Schlüsseleigenschaften – die Poisson-Eigenschaft und die Unabhängigkeitseigenschaft – die in allen Einstellungen, in denen der Poisson-Punkt-Prozess verwendet wird, eine wesentliche Rolle spielen. Die beiden Eigenschaften sind logisch nicht unabhängig; Unabhängigkeit impliziert tatsächlich die Poisson-Verteilung von Punktzahlen, aber nicht das Gegenteil.

Poisson-Verteilung der Punktzahlen

Ein Poisson-Punkt-Prozess wird über die Poisson-Verteilung charakterisiert . Die Poisson-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen (so genannte Poisson-Zufallsvariable ), so dass die Wahrscheinlichkeit, die gleich ist, gegeben ist durch: ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle P\{N=n\}={\frac {\Lambda^{n}}{n!}}e^{-\Lambda}}$

wobei bezeichnet die Fakultät und der Parameter bestimmt die Form der Verteilung. (Entspricht tatsächlich dem Erwartungswert von .) ${\displaystyle \textstyle n!}$${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle N}$

Per Definition hat ein Poisson-Punkt-Prozess die Eigenschaft, dass die Anzahl von Punkten in einem begrenzten Bereich des dem Prozess zugrunde liegenden Raums eine Poisson-verteilte Zufallsvariable ist.

Vollständige Unabhängigkeit

Betrachten Sie eine Sammlung von disjunkten und begrenzten Unterregionen des zugrunde liegenden Raums. Per Definition ist die Anzahl der Punkte eines Poisson-Punkt-Prozesses in jedem begrenzten Unterbereich vollständig unabhängig von allen anderen.

Diese Eigenschaft ist unter mehreren Namen bekannt, wie z. B. vollständige Zufälligkeit , vollständige Unabhängigkeit oder unabhängige Streuung und ist allen Poisson-Punkt-Prozessen gemeinsam. Mit anderen Worten, es fehlt die Interaktion zwischen verschiedenen Regionen und den Punkten im Allgemeinen, was dazu führt, dass der Poisson-Prozess manchmal als reiner oder vollständig zufälliger Prozess bezeichnet wird.

Homogener Poisson-Punkt-Prozess

Wenn ein Poisson-Punkt-Prozess einen Parameter der Form hat , wobei das Lebesgue-Maß ist (d. h. er weist Mengen Länge, Fläche oder Volumen zu) und eine Konstante ist, dann wird der Punktprozess als homogener oder stationärer Poisson-Punkt-Prozess bezeichnet. Der Parameter, Rate oder Intensität genannt , bezieht sich auf die erwartete (oder durchschnittliche) Anzahl von Poisson-Punkten, die in einem begrenzten Bereich existieren, wobei Rate normalerweise verwendet wird, wenn der zugrunde liegende Raum eine Dimension hat. Der Parameter kann in Abhängigkeit vom zugrunde liegenden mathematischen Raum als durchschnittliche Anzahl von Punkten pro Ausdehnungseinheit wie Länge , Fläche, Volumen oder Zeit interpretiert werden und wird auch als mittlere Dichte oder mittlere Rate bezeichnet ; siehe Terminologie . ${\displaystyle \textstyle \Lambda =\nu \lambda }$${\displaystyle \textstyle \nu}$${\displaystyle \textstyle \lambda}$${\displaystyle \textstyle \lambda}$

Als Zählvorgang interpretiert

Der homogene Poisson-Punkt-Prozess, betrachtet auf der positiven Halblinie, kann als Zählprozess definiert werden , eine Art stochastischer Prozess, der als bezeichnet werden kann . Ein Zählvorgang stellt die Gesamtzahl der Ereignisse oder Ereignisse dar, die bis einschließlich zum Zeitpunkt aufgetreten sind . Ein Zählvorgang ist ein homogener Poisson-Zählvorgang mit Rate, wenn er die folgenden drei Eigenschaften besitzt: ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle t}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• hat unabhängige Inkremente ; und
• die Anzahl der Ereignisse (oder Punkte) in einem beliebigen Längenintervall ist eine Poisson-Zufallsvariable mit Parameter (oder Mittelwert) .${\textstyle t}$${\textstyle \lambda t}$

Die letzte Eigenschaft impliziert:

${\displaystyle \mathbb{E} [N(t)]=\lambda t.}$

Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable gleich ist, ist gegeben durch: ${\textstyle N(t)}$${\textstyle n}$

${\displaystyle \mathbb{P}\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

Der Poisson-Zählprozess kann auch dadurch definiert werden, dass die Zeitdifferenzen zwischen den Ereignissen des Zählprozesses exponentielle Variablen mit Mittelwert sind . Die Zeitunterschiede zwischen den Ereignissen oder Ankünften werden als Interarrival- oder Interoccurence- Zeiten bezeichnet. ${\displaystyle \textstyle 1/\lambda}$

Interpretiert als Punktprozess auf der realen Linie

Als Punktprozess interpretiert , kann ein Poisson-Punkt-Prozess auf der reellen Linie definiert werden , indem die Anzahl der Punkte des Prozesses im Intervall berücksichtigt wird . Für den homogenen Poisson-Punkt-Prozess auf der reellen Linie mit dem Parameter ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese zufällige Anzahl von Punkten, hier als geschrieben , gleich einer Zählzahl ist: ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle P\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (ba)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (ba)},}$

Für eine positive ganze Zahl hat der homogene Poisson-Punkt-Prozess die endlichdimensionale Verteilung, die gegeben ist durch: ${\displaystyle \textstyle k}$

${\displaystyle P\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots,k\}=\prod_{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})} ,}$

wo die reellen Zahlen . ${\displaystyle \textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$

Mit anderen Worten, ist eine Poisson-Zufallsvariable mit Mittelwert , wobei . Außerdem ist die Anzahl der Punkte in zwei beliebigen disjunkten Intervallen, sagen wir, und unabhängig voneinander, und dies erstreckt sich auf jede endliche Anzahl von disjunkten Intervallen. Im Kontext der Warteschlangentheorie kann man einen (in einem Intervall) existierenden Punkt als Ereignis betrachten , dies unterscheidet sich jedoch vom Wort Ereignis im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie. Daraus folgt die erwartete Anzahl von Ankünften , die pro Zeiteinheit auftreten. ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle \textstyle \lambda (ba)}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$${\displaystyle \textstyle (a_{1},b_{1}]}$${\displaystyle \textstyle (a_{2},b_{2}]}$${\displaystyle \textstyle \lambda}$

Schlüsseleigenschaften

Die vorherige Definition weist zwei wichtige Merkmale auf, die Poisson-Punkt-Prozesse im Allgemeinen gemeinsam haben:

• die Anzahl der Ankünfte in jedem endlichen Intervall hat eine Poisson-Verteilung;
• die Anzahl der Ankünfte in disjunkten Intervallen sind unabhängige Zufallsvariablen.

Darüber hinaus hat es ein drittes Merkmal, das sich nur auf den homogenen Poisson-Punkt-Prozess bezieht:

• die Poisson-Verteilung der Anzahl der Ankünfte in jedem Intervall hängt nur von der Länge des Intervalls ab .${\displaystyle \textstyle (a+t,b+t]}$${\displaystyle \textstyle ba}$

Mit anderen Worten, für jede endliche ist die Zufallsvariable unabhängig von , daher wird sie auch als stationärer Poisson-Prozess bezeichnet. ${\displaystyle \textstyle t>0}$${\displaystyle \textstyle N(a+t,b+t]}$${\displaystyle \textstyle t}$

Gesetz der großen Zahlen

Die Menge kann als erwartete oder durchschnittliche Anzahl von Punkten interpretiert werden, die im Intervall auftreten , und zwar: ${\displaystyle \textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$${\displaystyle \textstyle (a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle E\{N(a_{i},b_{i}]\}=\lambda(b_{i}-a_{i}),}$

wobei bezeichnet den Erwartungsoperator . Mit anderen Worten, der Parameter des Poisson-Prozesses stimmt mit der Punktdichte überein . Darüber hinaus folgt der homogene Poisson-Punkt-Prozess seiner eigenen Form des (starken) Gesetzes der großen Zahlen. Genauer gesagt mit Wahrscheinlichkeit eins: ${\displaystyle \textstyle E}$${\displaystyle \textstyle \lambda}$

${\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty}{\frac{N(t)}{t}}=\lambda,}$

wobei bezeichnet die Grenze einer Funktion und ist die erwartete Anzahl von Ankünften, die pro Zeiteinheit aufgetreten sind. ${\displaystyle \textstyle \lim}$${\displaystyle \lambda}$

Gedächtnislose Eigenschaft

Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten eines Punktprozesses auf der reellen Linie wird eine exponentielle Zufallsvariable mit Parameter (oder äquivalent Mittelwert ) sein. Dies impliziert, dass die Punkte die gedächtnislose Eigenschaft haben: Die Existenz eines in einem endlichen Intervall existierenden Punktes beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit (Verteilung) anderer existierender Punkte, aber diese Eigenschaft hat keine natürliche Äquivalenz, wenn der Poisson-Prozess auf einem Raum mit . definiert ist höhere Dimensionen. ${\displaystyle \textstyle \lambda}$${\displaystyle \textstyle 1/\lambda}$

Ordnung und Einfachheit

Ein Punktprozess mit stationären Inkrementen wird manchmal als geordnet oder regelmäßig bezeichnet, wenn:

${\displaystyle P\{N(t,t+\delta]>1\}=o(\delta),}$

wo Little-O-Notation verwendet wird. Ein Punktprozess wird als einfacher Punktprozess bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass einer seiner beiden Punkte an derselben Position auf dem darunter liegenden Raum zusammenfällt, null ist. Für Punktprozesse im Allgemeinen auf der reellen Geraden impliziert die Eigenschaft der Ordnung, dass der Prozess einfach ist, was für den homogenen Poisson-Punktprozess der Fall ist.

Martingale Charakterisierung

Auf der reellen Linie hat der homogene Poisson-Punkt-Prozess über die folgende Charakterisierung eine Verbindung zur Theorie der Martingale : Ein Punkt-Prozess ist genau dann der homogene Poisson-Punkt-Prozess, wenn

${\displaystyle N(-\infty,t]-t,}$

ist ein Martingal.

Beziehung zu anderen Prozessen

In Wirklichkeit ist der Poisson-Prozess eine Art zeitkontinuierlicher Markov-Prozess, der als Geburtsprozess bekannt ist , ein Sonderfall des Geburts-Tod-Prozesses (mit nur Geburten und null Todesfällen). Kompliziertere Prozesse mit der Markov-Eigenschaft , wie Markov-Ankunftsprozesse , wurden definiert, wobei der Poisson-Prozess ein Sonderfall ist.

Beschränkt auf die Halblinie

Wenn der homogene Poisson-Prozess nur auf der Halblinie betrachtet wird , was der Fall sein kann, wenn die Zeit repräsentiert, dann ist der resultierende Prozess unter Translation nicht wirklich invariant. In diesem Fall ist der Poisson-Prozess nach einigen Definitionen der Stationarität nicht mehr stationär. ${\displaystyle \textstyle [0,\infty )}$${\displaystyle \textstyle t}$

Anwendungen

Es hat viele Anwendungen des homogenen Poisson-Prozesses auf der realen Linie gegeben, um scheinbar zufällige und unabhängige auftretende Ereignisse zu modellieren. Es spielt eine grundlegende Rolle in der Warteschlangentheorie , dem Wahrscheinlichkeitsfeld zur Entwicklung geeigneter stochastischer Modelle, um die zufällige Ankunft und Abfahrt bestimmter Phänomene darzustellen. Beispielsweise können Kunden, die ankommen und bedient werden, oder Telefonanrufe, die an einer Telefonzentrale ankommen, beide mit Techniken aus der Warteschlangentheorie untersucht werden.

Verallgemeinerungen

Der homogene Poisson-Prozess auf der reellen Geraden gilt als einer der einfachsten stochastischen Prozesse zum Zählen von Zufallszahlen von Punkten. Dieser Prozess kann auf verschiedene Weise verallgemeinert werden. Eine mögliche Verallgemeinerung besteht darin, die Verteilung der Zwischenankunftszeiten von der Exponentialverteilung auf andere Verteilungen auszudehnen, wodurch der als Erneuerungsprozess bekannte stochastische Prozess eingeführt wird . Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, den Poisson-Punkt-Prozess auf höherdimensionalen Räumen wie der Ebene zu definieren.

Räumlicher Poisson-Punkt-Prozess

Ein räumlicher Poisson-Prozess ist ein in der Ebene definierter Poisson-Punkt-Prozess . Für seine mathematische Definition betrachtet man zunächst einen begrenzten, offenen oder geschlossenen (oder genauer Borel-messbaren ) Bereich der Ebene. Die Anzahl der Punkte eines in diesem Bereich vorhandenen Punktprozesses ist eine Zufallsvariable, bezeichnet mit . Gehören die Punkte zu einem homogenen Poisson-Prozess mit dem Parameter , dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Existenz von Punkten in gegeben durch: ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{2}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B\subset {\textbf {R}}^{2}}$${\displaystyle \textstyle N(B)}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle P\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

wobei bezeichnet die Fläche von . ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

Für eine endliche ganze Zahl können wir die endlichdimensionale Verteilung des homogenen Poisson-Punkt-Prozesses angeben, indem wir zunächst eine Sammlung von disjunkten, beschränkten (messbaren) Borel-Mengen betrachten . Die Anzahl der Punkte des in existierenden Punktprozesses kann als geschrieben werden . Dann hat der homogene Poisson-Punkt-Prozess mit Parameter die endlichdimensionale Verteilung: ${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle P\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots,k\}=\prod_{i=1}^{k}{\frac {(\lambda | B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Anwendungen

Der räumliche Poisson-Punkt-Prozess spielt eine herausragende Rolle in der räumlichen Statistik , der stochastischen Geometrie und der Kontinuumsperkolationstheorie . Dieser Punktprozess wird in verschiedenen physikalischen Wissenschaften angewendet, beispielsweise in einem Modell, das für die Detektion von Alphateilchen entwickelt wurde. In den letzten Jahren wurde es häufig verwendet, um scheinbar ungeordnete räumliche Konfigurationen bestimmter drahtloser Kommunikationsnetze zu modellieren. Beispielsweise wurden Modelle für Mobilfunk- oder Mobilfunknetze entwickelt, bei denen davon ausgegangen wird, dass die als Basisstationen bekannten Telefonnetz-Sender nach einem homogenen Poisson-Punkt-Verfahren positioniert werden.

Definiert in höheren Dimensionen

Der bisherige homogene Poisson-Punkt-Prozess erstreckt sich sofort auf höhere Dimensionen, indem der Begriff der Fläche durch (hochdimensionales) Volumen ersetzt wird. Wenn die Punkte für einen begrenzten Bereich des euklidischen Raums einen homogenen Poisson-Prozess mit dem Parameter bilden , dann ist die Wahrscheinlichkeit der Existenz von Punkten in gegeben durch: ${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle B\subset {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle P\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

wobei bezeichnet nun das -dimensionale Volumen von . Darüber hinaus für eine Sammlung von disjunkt, Borel Sätze begrenzt , lassen Sie bezeichnen die Anzahl der Punkte von bestehenden in . Dann hat der entsprechende homogene Poisson-Punkt-Prozess mit Parameter die endlichdimensionale Verteilung: ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots,B_{k}\subset {\textbf{R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle P\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots,k\}=\prod_{i=1}^{k}{\frac {(\lambda | B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Homogene Poisson-Punkt-Prozesse hängen nicht über seinen Parameter von der Position des zugrunde liegenden Raums ab , was bedeutet, dass es sich sowohl um einen stationären Prozess (invariant gegenüber Translation) als auch um einen isotropen (invariant gegenüber Rotation) stochastischen Prozess handelt. Ähnlich wie im eindimensionalen Fall ist der homogene Punktprozess auf eine begrenzte Teilmenge von beschränkt , dann ist der Prozess abhängig von einigen Definitionen der Stationarität nicht mehr stationär. ${\displaystyle \textstyle \lambda}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

Punkte sind gleichmäßig verteilt

Wenn der homogene Punktprozess auf der reellen Linie als mathematisches Modell für das Auftreten eines Phänomens definiert wird, dann hat er die Eigenschaft, dass die Positionen dieser Ereignisse oder Ereignisse auf der reellen Linie (oft als Zeit interpretiert) gleichmäßig verteilt sind. Genauer gesagt, wenn ein Ereignis (gemäß diesem Prozess) in einem Intervall auftritt, in dem , dann ist seine Position eine einheitliche Zufallsvariable, die in diesem Intervall definiert ist. Darüber hinaus wird der homogene Punktprozess manchmal als gleichförmiger Poisson-Punktprozess bezeichnet (siehe Terminologie ). Diese Gleichförmigkeitseigenschaft erstreckt sich auf höhere Dimensionen in den kartesischen Koordinaten, jedoch nicht beispielsweise auf Polarkoordinaten. ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$

Inhomogener Poisson-Punkt-Prozess

Der inhomogene oder inhomogene Poisson-Punkt-Prozess (siehe Terminologie ) ist ein Poisson-Punkt-Prozess mit einem Poisson-Parametersatz als eine ortsabhängige Funktion im zugrunde liegenden Raum, auf dem der Poisson-Prozess definiert ist. Für euklidischen Raum wird dies erreicht durch eine lokal integrierbare positive Funktion einzuführen , so dass für jeden begrenzten Bereich des ( -dimensionalen) Volumenintegral des über den Bereichs ist endlich. Mit anderen Worten, wenn dieses Integral, bezeichnet mit , ist: ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle\lambda\colon\mathbb{R}^{d}\to [0,\infty)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \lambda(x)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$

${\displaystyle \Lambda(B)=\int_{B}\lambda(x)\,\mathrm{d}x<\infty,}$

wobei ein ( -dimensionales) Volumenelement ist, dann hat für jede Sammlung von disjunkt beschränkten Borel-messbaren Mengen ein inhomogener Poisson-Prozess mit (Intensitäts-)Funktion die endlichdimensionale Verteilung: ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} x}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$${\displaystyle \textstyle \lambda(x)}$

${\displaystyle P\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots,k\}=\prod_{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda ( B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

Darüber hinaus hat die Interpretation die erwartete Anzahl von Punkten des Poisson-Prozesses, die sich in der begrenzten Region befinden , nämlich ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda(B)=E[N(B)].}$

Definiert auf der realen Linie

Auf der reellen Linie hat der inhomogene oder inhomogene Poisson-Punkt-Prozess ein mittleres Maß, das durch ein eindimensionales Integral gegeben ist. Für zwei reelle Zahlen und , wobei durch die Zahl Punkte eines inhomogenen Poisson - Prozesses mit im Intervall auftretender Intensitätsfunktion bezeichnet werden . Die Wahrscheinlichkeit, dass im obigen Intervall Punkte vorhanden sind, ist gegeben durch: ${\displaystyle \textstyle a}$${\displaystyle \textstyle b}$${\displaystyle \textstyle a\leq b}$${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle\textstyle\lambda(t)}$${\displaystyle \textstyle (a,b]}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle (a,b]}$

${\displaystyle P\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b )}.}$

wobei das Mittel- oder Intensitätsmaß ist:

${\displaystyle \Lambda(a,b)=\int_{a}^{b}\lambda(t)\,\mathrm {d}t,}$

was bedeutet, dass die Zufallsvariable eine Poisson-Zufallsvariable mit Mittelwert ist . ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$${\displaystyle \textstyle E\{N(a,b]\}=\Lambda(a,b)}$

Ein Merkmal der eindimensionalen Einstellung besteht darin, dass ein inhomogener Poisson-Prozess durch eine monotone Transformation oder Abbildung in einen homogenen umgewandelt werden kann, was mit der Umkehrung von erreicht wird . ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

Zählprozessinterpretation

Der inhomogene Poisson-Punkt-Prozess, betrachtet auf der positiven Halblinie, wird manchmal auch als Zählprozess definiert. Bei dieser Interpretation repräsentiert der Prozess, der manchmal als geschrieben wird , die Gesamtzahl der Ereignisse oder Ereignisse, die bis einschließlich zum Zeitpunkt aufgetreten sind . Ein Zählvorgang wird als inhomogener Poisson-Zählvorgang bezeichnet, wenn er die vier Eigenschaften besitzt: ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$${\displaystyle \textstyle t}$

• ${\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• hat unabhängige Inkremente ;
• ${\displaystyle \textstyle P\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda(t)h+o(h);}$ und
• ${\displaystyle \textstyle P\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

wo ist asymptotische oder kleine-o-Notation für as . Bei Punktprozessen mit Refraktärität (zB neuronale Spike-Trains) gilt eine stärkere Version von Eigenschaft 4: . ${\displaystyle \textstyle o(h)}$${\displaystyle \textstyle o(h)/h\rightarrow 0}$${\displaystyle \textstyle h\rightarrow 0}$${\displaystyle P(N(t+h)-N(t)\geq 2)=o(h^{2})}$

Die obigen Eigenschaften implizieren, dass es sich um eine Poisson-Zufallsvariable mit dem Parameter (oder Mittelwert) handelt ${\displaystyle \textstyle N(t+h)-N(t)}$

${\displaystyle E[N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda(s)\,ds,}$

was impliziert

${\displaystyle E[N(h)]=\int_{0}^{h}\lambda(s)\,ds.}$

Räumlicher Poisson-Prozess

Ein in der Ebene definierter inhomogener Poisson-Prozess wird als räumlicher Poisson-Prozess bezeichnet. Er wird mit einer Intensitätsfunktion definiert und sein Intensitätsmaß wird erhalten, indem ein Oberflächenintegral seiner Intensitätsfunktion über einen bestimmten Bereich ausgeführt wird. Zum Beispiel kann seine Intensitätsfunktion (als Funktion der kartesischen Koordinaten und ) sein: ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{2}}$${\textstyle x}$${\displaystyle \textstyle y}$

${\displaystyle \lambda(x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

das entsprechende Intensitätsmaß ergibt sich also aus dem Flächenintegral

${\displaystyle \Lambda(B)=\int_{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y, }$

wo ist ein begrenzter Bereich in der Ebene . ${\displaystyle \textstyle B}$${\textstyle \mathbb{R} ^{2}}$

In höheren Dimensionen

Entspricht in der Ebene einem Flächenintegral, während im Integral ein ( -dimensionales) Volumenintegral wird. ${\textstyle\Lambda(B)}$${\textstyle \mathbb{R} ^{d}}$${\textstyle d}$

Anwendungen

Wenn die reelle Linie als Zeit interpretiert wird, wird das inhomogene Verfahren im Bereich der Zählverfahren und in der Warteschlangentheorie verwendet. Beispiele für Phänomene, die durch einen inhomogenen Poisson-Punkt-Prozess dargestellt wurden oder als dieser erscheinen, sind:

• In einem Fußballspiel werden Tore erzielt.
• Defekte in einer Platine

In der Ebene ist der Poisson-Punkt-Prozess in den verwandten Disziplinen der stochastischen Geometrie und der räumlichen Statistik von Bedeutung. Das Intensitätsmaß dieses Punktprozesses hängt von der Lage des zugrunde liegenden Raums ab, was bedeutet, dass es verwendet werden kann, um Phänomene mit einer Dichte zu modellieren, die über eine bestimmte Region variiert. Mit anderen Worten können die Phänomene als Punkte mit ortsabhängiger Dichte dargestellt werden. Dieses Verfahren wurde in verschiedenen Disziplinen verwendet und verwendet ua die Untersuchung von Lachsen und Seeläusen in den Ozeanen, Forstwirtschaft und Suchproblemen.

Interpretation der Intensitätsfunktion

Die Poisson-Intensitätsfunktion hat eine als intuitiv erachtete Interpretation mit dem Volumenelement im infinitesimalen Sinne: ist die infinitesimale Wahrscheinlichkeit eines Punktes eines Poisson-Punkt-Prozesses, der in einer Raumregion mit einem Volumen von bei liegt . ${\textstyle\lambda(x)}$${\textstyle \mathrm{d}x}$${\textstyle \lambda(x)\,\mathrm{d}x}$${\textstyle \mathrm{d}x}$${\textstyle x}$

Beispielsweise beträgt bei einem gegebenen homogenen Poisson-Punkt-Prozess auf der reellen Linie die Wahrscheinlichkeit, einen einzelnen Punkt des Prozesses in einem kleinen Breitenintervall zu finden, ungefähr . Tatsächlich wird der Poisson-Punkt-Prozess manchmal durch eine solche Intuition eingeführt und seine Verteilung abgeleitet. ${\textstyle\delta}$${\textstyle\lambda\delta}$

Einfacher Punktprozess

Wenn ein Poisson-Punkt-Prozess ein Intensitätsmaß hat, das lokal endlich und diffus (oder nicht-atomar) ist, dann ist es ein einfacher Punktprozess . Bei einem einfachen Punktprozess ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt an einem einzelnen Punkt oder Ort im zugrunde liegenden (Zustands-)Raum existiert, entweder null oder eins. Dies impliziert, dass mit Wahrscheinlichkeit eins keine zwei (oder mehr) Punkte eines Poisson-Punkt-Prozesses in der Lage im zugrunde liegenden Raum zusammenfallen.

Simulation

Die Simulation eines Poisson-Punkt-Prozesses auf einem Computer erfolgt normalerweise in einem begrenzten Raumbereich, der als Simulationsfenster bekannt ist , und erfordert zwei Schritte: geeignetes Erzeugen einer zufälligen Anzahl von Punkten und dann geeignetes Platzieren der Punkte auf zufällige Weise. Diese beiden Schritte hängen von dem spezifischen Poisson-Punkt-Prozess ab, der simuliert wird.

Schritt 1: Anzahl der Punkte

Die Anzahl der Punkte im Fenster, hier mit bezeichnet , muss simuliert werden, was unter Verwendung einer (Pseudo) -Zufallszahl erzeugenden Funktion erfolgt, die Poisson-Zufallsvariablen simulieren kann. ${\textstyle N}$${\textstyle W}$

Homogenes Gehäuse

Für den homogenen Fall mit dem konstanten , der Mittelwert des Poisson - Zufallsvariablen eingestellt ist , wo die Länge, Fläche oder ( -dimensionalen) Volumen . ${\textstyle\lambda}$${\textstyle N}$${\textstyle \lambda |W|}$${\textstyle |W|}$${\textstyle d}$${\textstyle W}$

Inhomogener Fall

Für den inhomogenen Fall wird ersetzt durch das ( -dimensionale) Volumenintegral ${\textstyle \lambda |W|}$${\textstyle d}$

${\displaystyle \Lambda(W)=\int_{W}\lambda(x)\,\mathrm{d}x}$

Schritt 2: Positionierung der Punkte

Die zweite Stufe erfordert das zufällige Platzieren der Punkte im Fenster . ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle W}$

Homogenes Gehäuse

Für den homogenen Fall in einer Dimension werden alle Punkte gleichmäßig und unabhängig im Fenster oder Intervall platziert . Bei höheren Dimensionen in einem kartesischen Koordinatensystem wird jede Koordinate einheitlich und unabhängig im Fenster platziert . Wenn das Fenster kein Unterraum des kartesischen Raums ist (z. B. innerhalb einer Einheitskugel oder auf der Oberfläche einer Einheitskugel), werden die Punkte nicht gleichmäßig in platziert und eine geeignete Änderung der Koordinaten (von Kartesisch) ist erforderlich. ${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle W}$${\displaystyle \textstyle W}$

Inhomogener Fall

Für den inhomogenen Fall können je nach Art der Intensitätsfunktion verschiedene Methoden verwendet werden . Wenn die Intensitätsfunktion ausreichend einfach ist, können unabhängige und zufällige ungleichmäßige (kartesische oder andere) Koordinaten der Punkte erzeugt werden. Zum Beispiel kann die Simulation eines Poisson-Punkt-Prozesses auf einem kreisförmigen Fenster für eine isotrope Intensitätsfunktion (in Polarkoordinaten und ) durchgeführt werden, was bedeutet, dass sie eine Rotationsvariante oder unabhängig von, aber abhängig ist , durch eine Änderung der Variablen in, wenn die Intensitätsfunktion . ist ausreichend einfach. ${\displaystyle \textstyle \lambda(x)}$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle \theta}$${\displaystyle \textstyle \theta}$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle r}$

Für kompliziertere Intensitätsfunktionen kann man eine Akzeptanz-Ablehnungs-Methode verwenden , die darin besteht, nur bestimmte zufällige Punkte zu verwenden (oder zu "annehmen") und die anderen Punkte nicht zu verwenden (oder abzulehnen), basierend auf dem Verhältnis:

${\displaystyle {\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int_{W}\lambda (x) \,\mathrm{d}x.}}}$

wo ist der Punkt, der für die Annahme oder Ablehnung in Betracht gezogen wird. ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$

Allgemeiner Poisson-Punkt-Prozess

Der Poisson-Punkt-Prozess kann weiter verallgemeinert werden zu dem, was manchmal als allgemeiner Poisson-Punkt-Prozess oder allgemeiner Poisson-Prozess bekannt ist, indem ein Radon-Maß verwendet wird , das ein lokal-endliches Maß ist. Im Allgemeinen kann dieses Radon-Maß atomar sein, was bedeutet, dass mehrere Punkte des Poisson-Punkt-Prozesses an derselben Stelle des zugrunde liegenden Raums existieren können. In dieser Situation ist die Anzahl der Punkte bei eine Poisson-Zufallsvariable mit Mittelwert . Aber manchmal ist das Gegenteil angenommen, so dass der Radonmaß ist diffus oder nicht-atomar. ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \Lambda ({x})}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

Ein Punktprozess ist ein allgemeiner Poisson-Punktprozess mit Intensität, wenn er die beiden folgenden Eigenschaften besitzt: ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

• die Anzahl der Punkte in einer beschränkten Borel-Menge ist eine Poisson-Zufallsvariable mit Mittelwert . Mit anderen Worten, bezeichne die Gesamtzahl der Punkte in mit , dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable gleich ist, gegeben durch:${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle P\{{N}(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}}$

• die Anzahl der Punkte in disjunkten Borel-Mengen bildet unabhängige Zufallsvariablen.${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle n}$

Das Radon-Maß behält seine bisherige Interpretation bei, nämlich die erwartete Anzahl von Punkten, die sich in der begrenzten Region befinden , nämlich ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda(B)=E[{N}(B)].}$

Wenn außerdem absolut stetig ist, so dass es eine Dichte (die Radon-Nikodym-Dichte oder -Ableitung) in Bezug auf das Lebesgue-Maß hat, dann kann es für alle Borel-Mengen geschrieben werden als: ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda(B)=\int_{B}\lambda(x)\,\mathrm{d}x,}$

wobei die Dichte unter anderem als Intensitätsfunktion bekannt ist. ${\displaystyle \textstyle \lambda(x)}$

Geschichte

Poisson-Verteilung

Trotz seines Namens wurde der Poisson-Punkt-Prozess vom französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson weder entdeckt noch untersucht ; der Name wird als Beispiel für das Stiglersche Gesetz zitiert . Der Name rührt von seiner inhärenten Beziehung zur Poisson-Verteilung her , die von Poisson als Grenzfall der Binomialverteilung abgeleitet wurde . Dies beschreibt die Wahrscheinlichkeit , die die Summe der Bernoulli - Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit , die oft auf die Anzahl der Köpfe verglichen (oder Zahl) nach dem vorgespannten Flips einer Münze mit der Wahrscheinlichkeit eines Kopfes (oder Schwanz) auftritt Wesen . Für eine positive Konstante , die gegen Unendlich zunimmt und gegen Null abnimmt, so dass das Produkt fixiert ist, nähert sich die Poisson-Verteilung der des Binomials näher an. ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$${\displaystyle \textstyle n}$${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle np=\Lambda}$

Poisson leitete die 1841 veröffentlichte Poisson-Verteilung ab, indem er die Binomialverteilung im Grenzwert von (zu Null) und (zu Unendlich) untersuchte. Es kommt nur einmal in Poissons Werk vor, und das Ergebnis war zu seiner Zeit nicht bekannt. In den folgenden Jahren nutzten eine Reihe von Personen die Verteilung, ohne Poisson zu nennen, darunter Philipp Ludwig von Seidel und Ernst Abbe . Ende des 19. Jahrhunderts untersuchte Ladislaus Bortkiewicz die Verteilung erneut in einem anderen Umfeld (unter Berufung auf Poisson), indem er die Verteilung mit realen Daten verwendete, um die Zahl der Todesfälle durch Pferdetritte in der preußischen Armee zu untersuchen . ${\displaystyle \textstyle p}$${\displaystyle \textstyle n}$

Entdeckung

Es gibt eine Reihe von Behauptungen für frühe Anwendungen oder Entdeckungen des Poisson-Punkt-Prozesses. John Michell zum Beispiel interessierte sich 1767, ein Jahrzehnt vor Poissons Geburt, für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stern innerhalb einer bestimmten Region eines anderen Sterns liegt, unter der Annahme, dass die Sterne "durch Zufall gestreut" wurden, und untersuchte ein Beispiel bestehend aus die sechs hellsten Sterne der Plejaden , ohne die Poisson-Verteilung abzuleiten. Diese Arbeit inspirierte Simon Newcomb 1860, das Problem zu untersuchen und die Poisson-Verteilung als Näherung für die Binomialverteilung zu berechnen.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts trat der Poisson-Prozess (in einer Dimension) in verschiedenen Situationen unabhängig voneinander auf. In Schweden veröffentlichte Filip Lundberg 1903 eine Arbeit mit einer heute als grundlegend und bahnbrechend geltenden Arbeit, in der er vorschlug, Versicherungsansprüche mit einem homogenen Poisson-Prozess zu modellieren.

In Dänemark erfolgte 1909 eine weitere Entdeckung, als AK Erlang bei der Entwicklung eines mathematischen Modells für die Anzahl eingehender Telefonanrufe in einem endlichen Zeitintervall die Poisson-Verteilung herleitete. Erlang kannte Poissons frühere Arbeiten zu diesem Zeitpunkt nicht und ging davon aus, dass die Anzahl der in jedem Zeitintervall eintreffenden Telefonanrufe unabhängig voneinander waren. Er fand dann den Grenzfall, der die Poisson-Verteilung effektiv als Grenzwert der Binomialverteilung umformt.

1910 veröffentlichten Ernest Rutherford und Hans Geiger experimentelle Ergebnisse zum Zählen von Alphateilchen. Ihre experimentelle Arbeit hatte mathematische Beiträge von Harry Bateman , der Poisson-Wahrscheinlichkeiten als Lösung einer Familie von Differentialgleichungen herleitete, obwohl die Lösung früher abgeleitet wurde, was zur unabhängigen Entdeckung des Poisson-Prozesses führte. Nach dieser Zeit gab es viele Studien und Anwendungen des Poisson-Prozesses, aber seine frühe Geschichte ist kompliziert, was durch die verschiedenen Anwendungen des Verfahrens in zahlreichen Bereichen durch Biologen, Ökologen, Ingenieure und verschiedene Physiker erklärt wurde.

Frühe Bewerbungen

Die Jahre nach 1909 führten zu einer Reihe von Studien und Anwendungen des Poisson-Punkt-Verfahrens, seine Frühgeschichte ist jedoch komplex, was durch die verschiedenen Anwendungen des Verfahrens in zahlreichen Bereichen durch Biologen , Ökologen, Ingenieure und andere in der Branche Tätige erklärt wurde die physikalischen Wissenschaften . Die ersten Ergebnisse wurden in verschiedenen Sprachen und in verschiedenen Umgebungen veröffentlicht, ohne dass eine Standardterminologie und -notation verwendet wurde. Zum Beispiel schlug der schwedische Chemiker und Nobelpreisträger Theodor Svedberg 1922 ein Modell vor, in dem ein räumlicher Poisson-Punkt-Prozess der zugrunde liegende Prozess ist, um zu untersuchen, wie Pflanzen in Pflanzengemeinschaften verteilt sind. Eine Reihe von Mathematikern begann in den frühen 1930er Jahren mit der Untersuchung des Prozesses, und wichtige Beiträge wurden unter anderem von Andrey Kolmogorov , William Feller und Aleksandr Khinchin geleistet . Im Bereich der Televerkehrstechnik haben Mathematiker und Statistiker Poisson- und andere Punktverfahren studiert und angewendet.

Begriffsgeschichte

Der Schwede Conny Palm untersuchte in seiner Dissertation von 1943 die Poisson- und andere Punktprozesse im eindimensionalen Setting, indem er sie hinsichtlich der statistischen oder stochastischen Abhängigkeit zwischen den Zeitpunkten untersuchte. In seiner Arbeit existiert die erste bekannte dokumentierte Verwendung des Begriffs Punktprozesse als Punktprozesse im Deutschen.

Es wird angenommen, dass William Feller der erste gedruckte Artikel war, der ihn in einer Veröffentlichung von 1940 als Poisson-Prozess bezeichnete. Obwohl der Schwede Ove Lundberg in seiner Dissertation von 1940, in der Feller als Einfluss anerkannt wurde, den Begriff Poisson-Prozess verwendet hat, wird behauptet, dass Feller den Begriff vor 1940 geprägt hat. Es wurde angemerkt, dass sowohl Feller als auch Lundberg den Begriff als obwohl es bekannt war, was darauf hindeutet, dass es zu diesem Zeitpunkt bereits gesprochen wurde. Feller arbeitete von 1936 bis 1939 an der Seite von Harald Cramér an der Universität Stockholm , wo Lundberg Doktorand bei Cramér war, der den Begriff Poisson-Prozess nicht in einem 1936 fertiggestellten Buch von ihm verwendete, sondern in nachfolgenden Auflagen, zu denen er geführt hat die Spekulationen, dass der Begriff Poisson-Prozess irgendwann zwischen 1936 und 1939 an der Universität Stockholm geprägt wurde.

Terminologie

Die Terminologie der Punktprozesstheorie wurde im Allgemeinen als zu vielfältig kritisiert. Abgesehen davon, dass das Wort Punkt oft weggelassen wird, wird der homogene Poisson (Punkt)-Prozess auch als stationärer Poisson (Punkt)-Prozess sowie als gleichförmiger Poisson (Punkt)-Prozess bezeichnet. Der inhomogene Poisson-Punkt-Prozess wird nicht nur als inhomogen bezeichnet , sondern auch als instationärer Poisson-Prozess bezeichnet.

Der Begriff Punktprozess wurde kritisiert, da der Begriff Prozess über Zeit und Raum suggerieren kann, also Random Point Field , was dazu führt, dass auch die Begriffe Poisson Random Point Field oder Poisson Point Field verwendet werden. Ein Punktprozess wird als zufälliges Zählmaß betrachtet und manchmal auch als Zufallszählmaß bezeichnet, daher wird der Poisson-Punktprozess auch als Poisson-Zufallsmaß bezeichnet , ein Begriff, der in der Studie der Lévy-Prozesse verwendet wird, aber einige verwenden die beiden Begriffe für Poisson Punkteprozesse, die auf zwei verschiedenen zugrunde liegenden Räumen definiert sind.

Der zugrundeliegende mathematische Raum des Poisson-Punkt-Prozesses wird Trägerraum oder Zustandsraum genannt , obwohl letzterer Begriff im Kontext stochastischer Prozesse eine andere Bedeutung hat. Im Kontext von Punktprozessen kann der Begriff "Zustandsraum" den Raum bedeuten, auf dem der Punktprozess definiert ist, wie beispielsweise die reelle Linie, die dem Indexsatz oder Parametersatz in der stochastischen Prozessterminologie entspricht.

Das Maß wird Intensitätsmaß , Mittelwertmaß oder Parametermaß genannt , da es keine Standardbegriffe gibt. Wenn eine Ableitung oder Dichte hat, bezeichnet mit , wird die Intensitätsfunktion des Poisson-Punkt-Prozesses genannt. Für den homogenen Poisson-Punkt-Prozess ist die Ableitung des Intensitätsmaßes einfach eine Konstante , die als Rate bezeichnet werden kann , normalerweise wenn der zugrunde liegende Raum die reelle Linie oder die Intensität ist . Es wird auch die mittlere Rate oder die mittlere Dichte oder Rate genannt . Für wird der entsprechende Prozess manchmal als Standard-Poisson- (Punkt-)Prozess bezeichnet. ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle \lambda(x)}$${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$${\displaystyle \textstyle \lambda=1}$

Das Ausmaß des Poisson-Punkt-Prozesses wird manchmal als Belichtung bezeichnet .

Notation

Die Schreibweise des Poisson-Punkt-Prozesses hängt von seiner Einstellung und dem Feld ab, in dem er angewendet wird. Zum Beispiel wird der Poisson-Prozess, sowohl homogen als auch inhomogen, manchmal als Zählprozess interpretiert, und die Notation wird auf der reellen Linie verwendet um den Poisson-Prozess darzustellen. ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$

Ein weiterer Grund für die unterschiedliche Notation liegt in der Theorie der Punktprozesse, die einige mathematische Interpretationen hat. Zum Beispiel kann ein einfacher Poisson-Punkt-Prozess als zufällige Menge betrachtet werden, was die Notation nahelegt , was bedeutet, dass es sich um einen zufälligen Punkt handelt, der zum Poisson-Punkt-Prozess gehört oder ein Element davon ist . Eine weitere, allgemeine, Interpretation ist eine Poisson oder irgendeinen anderen Punkt Prozess als Zufall Zählmaß zu berücksichtigen, so dass man die Anzahl der Punkte eines Poisson Punktprozesses schreiben kann , die in einiger (Borel messbar) Region gefunden oder mich als , das ist eine Zufallsvariable. Diese unterschiedlichen Interpretationen führen dazu, dass Notationen aus mathematischen Gebieten wie der Maßtheorie und der Mengenlehre verwendet werden. ${\displaystyle \textstyle x\in {N}}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$

Bei allgemeinen Punktprozessen wird manchmal ein tiefgestellter Index auf dem Punktsymbol, zum Beispiel , eingefügt, sodass man (mit der Satznotation) anstelle von schreibt und für die Dummy-Variable in ganzzahligen Ausdrücken wie dem Satz von Campbell verwendet werden kann, anstatt zufällige Punkte zu bezeichnen . Manchmal bezeichnet ein Großbuchstabe den Punktprozess, während ein Kleinbuchstabe einen Punkt aus dem Prozess bezeichnet, also beispielsweise der Punkt oder gehört oder ein Punkt des Punktprozesses ist , und mit festgelegter Notation als oder geschrieben werden . ${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}\in {N}}$${\displaystyle \textstyle x\in {N}}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle x\in X}$${\displaystyle \textstyle x_{i}\in X}$

Darüber hinaus können die Mengenlehre und die Integral- oder Maßtheorie-Notation austauschbar verwendet werden. Für einen Punktprozess, der auf dem euklidischen Zustandsraum definiert ist, und eine (messbare) Funktion auf ist der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {{\textbf {R}}^{d}}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits_{x_{i}\in N}f (x_{i}),}$

demonstriert zwei verschiedene Möglichkeiten, eine Summation über einen Punktprozess zu schreiben (siehe auch Campbells Theorem (Wahrscheinlichkeit) ). Genauer gesagt interpretiert die Integralnotation auf der linken Seite den Punktprozess als zufälliges Zählmaß, während die Summe auf der rechten Seite eine zufällige Mengeninterpretation vorschlägt.

Funktionale und Momentenmaße

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Operationen für verschiedene Zwecke auf Zufallsvariablen angewendet. Manchmal sind diese Operationen regelmäßige Erwartungen, die den Durchschnitt oder die Varianz einer Zufallsvariablen erzeugen. Andere, wie charakteristische Funktionen (oder Laplace-Transformationen) einer Zufallsvariablen können verwendet werden, um Zufallsvariablen eindeutig zu identifizieren oder zu charakterisieren und Ergebnisse wie den zentralen Grenzwertsatz zu beweisen. In der Theorie der Punktprozesse gibt es analoge mathematische Werkzeuge, die normalerweise in Form von Maßen und Funktionalen anstelle von Momenten bzw. Funktionen vorliegen.

Laplace-Funktionalitäten

Für einen Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmaß ist das Laplace-Funktional gegeben durch: ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

${\displaystyle L_{N}(f)=e^{-\int_{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm { d} x)},}$

${\displaystyle L_{N}(f)=e^{-\lambda\int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-f(x)})\,\mathrm {d} x}.}$

Eine Version des Satzes von Campbell beinhaltet das Laplace-Funktional des Poisson-Punkt-Prozesses.

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionale

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion einer nicht-negativen ganzzahligen Zufallsvariablen führt dazu, dass das wahrscheinlichkeitserzeugende Funktional in Bezug auf jede nicht-negative beschränkte Funktion auf so definiert wird, dass . Für einen Punktprozess ist das wahrscheinlichkeitserzeugende Funktional wie folgt definiert: ${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle G(v)=E\left[\prod_{x\in N}v(x)\right]}$

wobei das Produkt für alle Punkte in ausgeführt wird . Wenn das Intensitätsmaß von lokal endlich ist, dann ist das für jede messbare Funktion auf wohldefiniert . Für einen Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmaß ist das erzeugende Funktional gegeben durch: ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle G}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{{\textbf {R}}^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d}x)}, }$

was im homogenen Fall zu

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda\int_{{\textbf{R}}^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d}x}.}$

Momentmaß

Für einen allgemeinen Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmaß ist das erste Momentenmaß sein Intensitätsmaß: ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda(B),}$

was für einen homogenen Poisson-Punkt-Prozess mit konstanter Intensität bedeutet: ${\displaystyle \textstyle \lambda}$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

wo ist die Länge, Fläche oder Volumen (oder allgemeiner das Lebesgue-Maß ) von . ${\displaystyle \textstyle |B|}$${\displaystyle \textstyle B}$

Die Mecke-Gleichung

Die Mecke-Gleichung charakterisiert den Poisson-Punkt-Prozess. Sei der Raum aller endlichen Maße auf einem allgemeinen Raum . Ein Punkt - Prozess mit einer Intensität auf einen Poisson - Prozess Punkt , wenn und nur wenn für alle meßbaren Funktionen folgenden gilt ${\displaystyle \mathbb{N} _{\sigma}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal{Q}}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle {\mathcal{Q}}}$${\displaystyle f:{\mathcal{Q}}\times \mathbb{N}_{\sigma}\to\mathbb{R}_{+}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x,\eta)\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \operatorname {E} \left[f(x,\eta +\delta_{x})\right]\lambda (\mathrm{d}x)}$

Weitere Einzelheiten finden Sie unter.

Faktorielles Momentenmaß

Für einen allgemeinen Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmaß ist das -te faktorielle Momentenmaß durch den Ausdruck gegeben: ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod_{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})], }$

wo ist das Intensitätsmaß oder das erste Momentmaß von , das für einige Borel-Mengen gegeben ist durch ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda(B)=M^{1}(B)=E[N(B)].}$

Für einen homogenen Poisson-Punkt-Prozess lautet das -te faktorielle Momentenmaß einfach: ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda^{n}\prod_{i=1}^{n}|B_{i} |,}$

wobei die Länge, Fläche oder das Volumen (oder allgemeiner das Lebesgue-Maß ) von ist . Weiterhin ist die -te faktorielle Momentendichte: ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$${\displaystyle \textstyle B_{i}}$${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu^{(n)}(x_{1},\dots,x_{n})=\lambda^{n}.}$

Vermeidungsfunktion

Die Vermeidungsfunktion oder Leerwahrscheinlichkeit eines Punktprozesses wird in Bezug auf eine Menge definiert , die eine Teilmenge des zugrunde liegenden Raums ist , als die Wahrscheinlichkeit, dass keine Punkte in existieren . Genauer gesagt ist die Vermeidungsfunktion für einen Testsatz gegeben durch: ${\displaystyle \textstyle v}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle v(B)=P({N}(B)=0).}$

Für einen allgemeinen Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmaß ist seine Vermeidungsfunktion gegeben durch: ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

${\displaystyle v(B)=e^{-\Lambda(B)}}$

Der Satz von Rényi

Einfache Punktprozesse sind vollständig durch ihre Leerwahrscheinlichkeiten charakterisiert. Mit anderen Worten, vollständige Informationen eines einfachen Punktprozesses werden vollständig in seinen Leerwahrscheinlichkeiten erfasst, und zwei einfache Punktprozesse haben genau dann die gleichen Leerwahrscheinlichkeiten, wenn sie dieselben Punktprozesse sind. Der Fall des Poisson-Prozesses wird manchmal als Satz von Rényi bezeichnet , der nach Alfréd Rényi benannt ist , der das Ergebnis für den Fall eines homogenen Punktprozesses in einer Dimension entdeckte.

In einer Form sagt der Satz von Rényi für ein diffuses (oder nicht-atomares) Radon-Maß auf und eine Menge ist eine endliche Vereinigung von Rechtecken (also nicht Borel), dass wenn eine abzählbare Teilmenge von ist , dass: ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle A}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle P({N}(A)=0)=v(A)=e^{-\Lambda(A)}}$

dann ist ein Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmaß . ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

Punktprozessoperationen

Mathematische Operationen können an Punktprozessen durchgeführt werden, um neue Punktprozesse zu erhalten und neue mathematische Modelle für die Positionen bestimmter Objekte zu entwickeln. Ein Beispiel für eine Operation ist als Ausdünnen bekannt, bei der die Punkte eines Punktprozesses gemäß einer Regel gelöscht oder entfernt werden, wobei mit den verbleibenden Punkten ein neuer Prozess erstellt wird (die gelöschten Punkte bilden auch einen Punktprozess).

Verdünnung

Für den Poisson-Prozess führen die unabhängigen Ausdünnungsoperationen zu einem weiteren Poisson-Punkt-Prozess. Genauer gesagt ergibt eine auf einen Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmaß angewendete Ausdünnungsoperation einen Punktprozess von entfernten Punkten, der auch ein Poisson-Punkt-Prozess mit Intensitätsmaß ist , der für eine begrenzte Borel-Menge gegeben ist durch: ${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle p(x)}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda_{p}}$${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda_{p}(B)=\int_{B}p(x)\,\Lambda(\mathrm{d}x)}$

Dieses Ausdünnungsergebnis des Poisson-Punkt-Prozesses wird manchmal als Satz von Prekopa bezeichnet . Darüber hinaus bilden nach dem zufälligen Ausdünnen eines Poisson-Punkt-Prozesses auch die erhaltenen oder verbleibenden Punkte einen Poisson-Punkt-Prozess, der das Intensitätsmaß hat

${\displaystyle \Lambda_{p}(B)=\int_{B}(1-p(x))\,\Lambda(\mathrm{d}x).}$

Die beiden getrennten Poisson-Punkt-Prozesse, die jeweils aus den entfernten und behaltenen Punkten gebildet werden, sind stochastisch voneinander unabhängig. Mit anderen Worten, wenn bekannt ist, dass eine Region beibehaltene Punkte enthält (aus dem ursprünglichen Poisson-Punkt-Prozess), dann hat dies keinen Einfluss auf die zufällige Anzahl entfernter Punkte in derselben Region. Diese Fähigkeit, zwei unabhängige Poisson-Punkt-Prozesse zufällig aus einem zu erzeugen, wird manchmal als Aufteilen des Poisson-Punkt-Prozesses bezeichnet. ${\displaystyle \textstyle n}$

Überlagerung

Wenn es eine abzählbare Ansammlung von Punktprozessen gibt , dann ist ihre Superposition oder, in der Sprache der Mengenlehre, ihre Vereinigung, die ${\displaystyle \textstyle {N}_{1},{N}_{2}\dots}$

${\displaystyle {N}=\bigcup_{i=1}^{\infty }{N}_{i},}$

bildet auch einen Punktprozess. Mit anderen Worten, alle Punkte, die sich in einem der Punktprozesse befinden, befinden sich auch in der Überlagerung dieser Punktprozesse . ${\displaystyle \textstyle {N}_{1},{N}_{2}\dots}$${\displaystyle \textstyle {N}}$

Überlagerungssatz

Der Überlagerungssatz des Poisson-Punkt-Prozesses besagt, dass die Überlagerung unabhängiger Poisson-Punkt-Prozesse mit mittleren Maßen auch ein Poisson-Punkt-Prozess mit mittlerem Maß ist ${\displaystyle \textstyle {N}_{1},{N}_{2}\dots}$${\displaystyle \textstyle \Lambda_{1},\Lambda_{2},\dots}$

${\displaystyle \Lambda =\sum_{i=1}^{\infty}\Lambda_{i}.}$

Mit anderen Worten, die Vereinigung von zwei (oder zählbar mehr) Poisson-Prozessen ist ein weiterer Poisson-Prozess. Wenn ein Punkt aus einer abzählbaren Vereinigung von Poisson-Prozessen abgetastet wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt zum th Poisson-Prozess gehört, gegeben durch: ${\textstyle x}$${\textstyle n}$${\displaystyle \textstyle x}$${\textstyle j}$${\textstyle N_{j}}$

${\displaystyle P(x\in N_{j})={\frac {\Lambda_{j}}{\sum_{i=1}^{n}\Lambda_{i}}}.}$

Für zwei homogene Poisson-Prozesse mit Intensitäten reduzieren sich die beiden vorherigen Ausdrücke auf ${\textstyle \lambda_{1},\lambda_{2}\dots}$

${\displaystyle \lambda =\sum_{i=1}^{\infty}\lambda_{i},}$

und

${\displaystyle P(x\in{N}_{j})={\frac {\lambda_{j}}{\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}}}. }$

Clustering

Die Operation Clustering wird durchgeführt, wenn jeder Punkt eines Punktprozesses durch einen anderen (möglicherweise unterschiedlichen) Punktprozess ersetzt wird. Wenn der ursprüngliche Prozess ein Poisson-Punkt-Prozess ist, wird der resultierende Prozess als Poisson-Cluster-Punkt-Prozess bezeichnet. ${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

Zufällige Verschiebung

Ein mathematisches Modell kann das zufällige Verschieben von Punkten eines Punktprozesses zu anderen Orten im zugrunde liegenden mathematischen Raum erfordern, was zu einer Punktprozessoperation führt, die als Verschiebung oder Translation bekannt ist. Der Poisson-Punkt-Prozess wurde beispielsweise verwendet, um die Bewegung von Pflanzen zwischen Generationen zu modellieren, aufgrund des Verschiebungssatzes, der lose besagt, dass die zufällige unabhängige Verschiebung von Punkten eines Poisson-Punkt-Prozesses (auf demselben zugrunde liegenden Raum) einen anderen bildet Poisson-Punkt-Prozess.

Verschiebungssatz

Eine Version des Verschiebungssatzes beinhaltet einen Poisson - Prozess Punkt auf mit Intensitätsfunktion . Es wird dann angenommen, dass die Punkte von zufällig irgendwo anders verschoben sind, so dass die Verschiebung jedes Punktes unabhängig ist und dass die Verschiebung eines Punktes, der früher bei ist, ein zufälliger Vektor mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte ist . Dann ist der neue Punktprozess auch ein Poisson-Punktprozess mit Intensitätsfunktion ${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle \lambda(x)}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle \rho(x,\cdot)}$${\displaystyle \textstyle {N}_{D}}$

${\displaystyle \lambda_{D}(y)=\int _{{\textbf{R}}^{d}}\lambda(x)\rho(x,y)\,\mathrm {d}x. }$

Ist der Poisson-Prozess homogen mit und eine Funktion von , dann ${\displaystyle \textstyle \lambda(x)=\lambda >0}$${\displaystyle \rho(x,y)}$${\displaystyle yx}$

${\displaystyle \lambda_{D}(y)=\lambda.}$

Mit anderen Worten, nach jeder zufälligen und unabhängigen Verschiebung von Punkten existiert immer noch der ursprüngliche Poisson-Punkt-Prozess.

Der Verschiebungssatz kann so erweitert werden, dass die Poisson-Punkte zufällig von einem euklidischen Raum in einen anderen euklidischen Raum verschoben werden , wobei nicht notwendigerweise gleich ist . ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d'}}$${\displaystyle \textstyle d'\geq 1}$${\displaystyle \textstyle d}$

Kartierung

Eine weitere Eigenschaft, die als nützlich angesehen wird, ist die Fähigkeit, einen Poisson-Punkt-Prozess von einem zugrunde liegenden Raum auf einen anderen Raum abzubilden.

Abbildungstheorem

Wenn die Abbildung (oder Transformation) einigen Bedingungen entspricht, dann bildet die resultierende abgebildete (oder transformierte) Sammlung von Punkten auch einen Poisson-Punkt-Prozess, und dieses Ergebnis wird manchmal als Abbildungstheorem bezeichnet . Das Theorem beinhaltet einen Poisson-Punkt-Prozess mit mittlerem Maß auf einem darunterliegenden Raum. Wenn die Orte der Punkte gemäß einer Funktion auf einen anderen zugrunde liegenden Raum abgebildet werden (d. h. der Punktprozess wird transformiert), dann ist der resultierende Punktprozess ebenfalls ein Poisson-Punktprozess, jedoch mit einem anderen Mittelwert . ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

Genauer gesagt kann man eine (Borel-messbare) Funktion betrachten , die einen Punktprozess mit Intensitätsmaß von einem Raum auf einen anderen Raum so abbildet , dass der neue Punktprozess das Intensitätsmaß hat: ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle \Lambda}$${\displaystyle \textstyle S}$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle \textstyle {N}'}$

${\displaystyle \Lambda(B)'=\Lambda(f^{-1}(B))}$

ohne Atome, wobei eine Borel-Menge ist und die Umkehrung der Funktion bezeichnet . Wenn es sich um einen Poisson-Punkt-Prozess handelt, dann ist der neue Prozess auch ein Poisson-Punkt-Prozess mit dem Intensitätsmaß . ${\displaystyle \textstyle B}$${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {N}'}$${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

Approximationen mit Poisson-Punkt-Prozessen

Die Handhabbarkeit des Poisson-Prozesses bedeutet, dass es manchmal bequem ist, einen Nicht-Poisson-Punkt-Prozess mit einem Poisson-Prozess anzunähern. Das Gesamtziel besteht darin, sowohl die Anzahl der Punkte eines Punktprozesses als auch die Lage jedes Punktes durch einen Poisson-Punktprozess anzunähern. Es gibt eine Reihe von Methoden, die verwendet werden können, um das Auftreten zufälliger Ereignisse oder Phänomene mit geeigneten Poisson-Punkt-Prozessen informell oder streng zu rechtfertigen. Die strengeren Methoden beinhalten das Ableiten von oberen Schranken der Wahrscheinlichkeitsmetriken zwischen den Poisson- und Nicht-Poisson-Punktprozessen, während andere Methoden durch weniger formale Heuristiken gerechtfertigt werden können.

Klumpenheuristik

Eine Methode zur Approximation zufälliger Ereignisse oder Phänomene mit Poisson-Prozessen wird als Klumpen-Heuristik bezeichnet . Die allgemeine Heuristik oder das allgemeine Prinzip beinhaltet die Verwendung des Poisson-Punkt-Prozesses (oder der Poisson-Verteilung), um Ereignisse eines stochastischen Prozesses zu approximieren, die als selten oder unwahrscheinlich gelten. In einigen Fällen sind diese seltenen Ereignisse nahezu unabhängig, daher kann ein Poisson-Punkt-Prozess verwendet werden. Wenn die Ereignisse nicht unabhängig sind, sondern dazu neigen, in Clustern oder Klumpen aufzutreten , dann liegt die Anzahl der auftretenden Klumpen nahe einer Poisson-Zufallsvariablen und die Orte der Klumpen werden einem Poisson-Prozess nahe kommen.

Steins Methode

Die Methode von Stein ist eine mathematische Technik, die ursprünglich zur Approximation von Zufallsvariablen wie Gauß- und Poisson-Variablen entwickelt wurde und auch auf Punktprozesse angewendet wurde. Die Methode von Stein kann verwendet werden, um obere Schranken für Wahrscheinlichkeitsmetriken abzuleiten , die es ermöglichen, zu quantifizieren, wie unterschiedliche zwei zufällige mathematische Objekte stochastisch variieren. Upperbounds auf Wahrscheinlichkeitsmetriken , wie beispielsweise Gesamtvariation und Wasserstein Abstand abgeleitet wurde.

Forscher haben die Methode von Stein auf verschiedene Weise auf Poisson-Punkt-Prozesse angewendet, beispielsweise mit der Palm-Kalküle . Auf der Methode von Stein basierende Techniken wurden entwickelt, um die Auswirkungen bestimmter Punktprozessoperationen wie Ausdünnen und Überlagerung in die oberen Schranken einzubeziehen . Die Methode von Stein wurde auch verwendet, um obere Schranken für Metriken von Poisson und anderen Prozessen wie dem Cox-Punkt-Prozess abzuleiten , der ein Poisson-Prozess mit einem zufälligen Intensitätsmaß ist.

Konvergenz zu einem Poisson-Punkt-Prozess

Wenn eine Operation auf einen allgemeinen Punktprozess angewendet wird, ist der resultierende Prozess im Allgemeinen kein Poisson-Punktprozess. Wenn beispielsweise bei einem anderen Punktprozess als einem Poisson-Punkt die Punkte zufällig und unabhängig verschoben sind, dann wäre der Prozess nicht unbedingt ein Poisson-Punkt-Prozess. Unter bestimmten mathematischen Bedingungen sowohl für den ursprünglichen Punktprozess als auch für die zufällige Verschiebung wurde jedoch über Grenzwertsätze gezeigt, dass bei wiederholter zufälliger und unabhängiger Verschiebung der Punkte eines Punktprozesses die endliche Verteilung des Punktes Der Prozess konvergiert (schwach) zu dem eines Poisson-Punkt-Prozesses.

Ähnliche Konvergenzergebnisse wurden für Ausdünnungs- und Überlagerungsoperationen entwickelt, die zeigen, dass solche wiederholten Operationen an Punktprozessen unter bestimmten Bedingungen dazu führen können, dass der Prozess zu einem Poisson-Punktprozess konvergiert, vorausgesetzt eine geeignete Neuskalierung des Intensitätsmaßes (sonst Werte der Intensitätsmaß der resultierenden Punktprozesse gegen Null oder Unendlich gehen würde). Diese Konvergenzarbeit steht in direktem Zusammenhang mit den als Palm-Khinchin-Gleichungen bekannten Ergebnissen, die ihren Ursprung in der Arbeit von Conny Palm und Aleksandr Khinchin haben , und erklärt, warum der Poisson-Prozess oft als mathematisches Modell für verschiedene Zufallsphänomene verwendet werden kann .

Verallgemeinerungen von Poisson-Punkt-Prozessen

Der Poisson-Punkt-Prozess kann verallgemeinert werden, indem man beispielsweise sein Intensitätsmaß ändert oder allgemeinere mathematische Räume definiert. Diese Verallgemeinerungen können sowohl mathematisch studiert als auch verwendet werden, um physikalische Phänomene mathematisch zu modellieren oder darzustellen.

Zufallsmaße vom Poisson-Typ

Die Zufallsmaße vom Poisson-Typ (PT) sind eine Familie von drei Zufallszählmaßen, die unter Beschränkung auf einen Unterraum, dh unter Punktprozessoperation#Ausdünnung abgeschlossen sind . Diese Zufallsmaße sind Beispiele für den gemischten Binomialprozess und teilen die Verteilungs-Selbstähnlichkeitseigenschaft des Poisson-Zufallsmaßes . Sie sind die einzigen Mitglieder der kanonischen nicht-negativen Potenzreihenfamilie von Verteilungen, die diese Eigenschaft besitzen und umfassen die Poisson-Verteilung , die negative Binomialverteilung und die Binomialverteilung . Das Poisson-Zufallsmaß ist unabhängig von disjunkten Unterräumen, während die anderen PT-Zufallsmaße (negative Binomial und Binomial) positive und negative Kovarianzen haben. Die PT-Zufallsmaße werden diskutiert und umfassen das Poisson-Zufallsmaß , das negative Binomial-Zufallsmaß und das Binomial-Zufallsmaß.

Poisson-Punkt-Prozesse auf allgemeineren Räumen

Für mathematische Modelle wird der Poisson-Punkt-Prozess oft im euklidischen Raum definiert, wurde jedoch auf abstraktere Räume verallgemeinert und spielt eine grundlegende Rolle beim Studium zufälliger Maße, was ein Verständnis mathematischer Gebiete wie Wahrscheinlichkeitstheorie, Maßtheorie und Topologie erfordert .

Im Allgemeinen ist das Konzept der Distanz für Anwendungen von praktischem Interesse, während für Palm-Verteilungen eine topologische Struktur benötigt wird, was bedeutet, dass Punktprozesse normalerweise auf mathematischen Räumen mit Metriken definiert werden. Darüber hinaus kann eine Realisierung eines Punktprozesses als Zählmaß betrachtet werden, so dass Punktprozesse Arten von Zufallsmaßen sind, die als Zufallszählmaße bekannt sind. In diesem Zusammenhang wurden Poisson- und andere Punktprozesse auf einem lokal kompakten zweiten abzählbaren Hausdorff-Raum untersucht.

Cox-Punkt-Prozess

Ein Cox-Punkt-Prozess , Cox-Prozess oder doppelt stochastischer Poisson-Prozess ist eine Verallgemeinerung des Poisson-Punkt-Prozesses, indem er sein Intensitätsmaß ebenfalls zufällig und unabhängig vom zugrunde liegenden Poisson-Prozess sein lässt. Der Prozess ist nach David Cox benannt, der ihn 1955 einführte, obwohl andere Poisson-Prozesse mit zufälligen Intensitäten zuvor unabhängig von Lucien Le Cam und Maurice Quenouille eingeführt wurden. Das Intensitätsmaß kann eine Realisierung einer Zufallsvariablen oder ein Zufallsfeld sein. Wenn zum Beispiel der Logarithmus des Intensitätsmaßes ein Gaußsches Zufallsfeld ist , dann ist der resultierende Prozess als ein log-Gaußscher Cox-Prozess bekannt . Allgemeiner ausgedrückt ist das Intensitätsmaß eine Realisierung eines nicht-negativen lokal endlichen Zufallsmaßes. Cox-Punkt-Prozesse weisen eine Anhäufung von Punkten auf, die mathematisch größer als die von Poisson-Punkt-Prozessen sind. Die Allgemeingültigkeit und Handhabbarkeit von Cox-Prozessen hat dazu geführt, dass sie als Modelle in Bereichen wie der räumlichen Statistik und drahtlosen Netzwerken verwendet werden. ${\displaystyle \textstyle \Lambda}$

Markierter Poisson-Punkt-Prozess

Für einen gegebenen Punktprozess kann jedem zufälligen Punkt eines Punktprozesses ein zufälliges mathematisches Objekt, bekannt als Marke , zufällig zugewiesen werden. Diese Markierungen können so vielfältig sein wie ganze Zahlen, reelle Zahlen, Linien, geometrische Objekte oder andere Punktprozesse. Das Paar, das aus einem Punkt des Punktprozesses und seiner entsprechenden Markierung besteht, wird markierter Punkt genannt, und alle markierten Punkte bilden einen markierten Punktprozess . Es wird oft angenommen, dass die zufälligen Markierungen unabhängig voneinander und identisch verteilt sind, dennoch kann die Markierung eines Punktes immer noch von der Lage seines entsprechenden Punktes im darunterliegenden (Zustands-)Raum abhängen. Wenn der zugrunde liegende Punktprozess ein Poisson-Punkt-Prozess ist, dann ist der resultierende Punktprozess ein markierter Poisson-Punkt-Prozess .

Markierungssatz

Wenn ein allgemeiner Punktprozess auf einem mathematischen Raum definiert ist und die Zufallsmarkierungen auf einem anderen mathematischen Raum definiert sind, dann wird der markierte Punktprozess auf dem kartesischen Produkt dieser beiden Räume definiert. Für einen markierten Poisson-Punkt-Prozess mit unabhängigen und identisch verteilten Markierungen besagt das Markierungstheorem , dass dieser markierte-Punkt-Prozess auch ein (nicht markierter) Poisson-Punkt-Prozess ist, der auf dem oben erwähnten kartesischen Produkt der beiden mathematischen Räume definiert ist, was nicht gilt für allgemeine Punktprozesse.

Zusammengesetzter Poisson-Punkt-Prozess

Die Verbindung Poisson Punktverfahren oder Verbindung Poisson - Prozess wird durch Zugabe von Zufallswerten oder Gewichte zu jedem Punkt des Poisson Punktprozesses auf einem zugrunde liegenden Raum definiert gebildet ist , so dass der Prozess von einem markierten Poisson Punktprozess aufgebaut ist, wo die Marken eine Sammlung bilden unabhängige und identisch verteilte nicht negative Zufallsvariablen. Mit anderen Worten, für jeden Punkt des ursprünglichen Poisson-Prozesses gibt es eine unabhängige und identisch verteilte nicht-negative Zufallsvariable, und dann wird der zusammengesetzte Poisson-Prozess aus der Summe aller Zufallsvariablen gebildet, die den Punkten des lokalisierten Poisson-Prozesses entsprechen in einem Bereich des zugrunde liegenden mathematischen Raums.

Wenn es ein Prozess von einem Poisson Punktprozess gebildet Poisson - Punkt markiert ist (definiert auf, zum Beispiel ) und eine Sammlung von unabhängigen und identisch verteilten nicht-negative Marken , so dass für jeden Punkt des Poisson - Prozesses gibt es ein nicht negativen Zufall Variable , der resultierende zusammengesetzte Poisson-Prozess ist dann: ${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$${\displaystyle \textstyle x_{i}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle M_{i}}$

${\displaystyle C(B)=\sum_{i=1}^{N(B)}M_{i},}$

wo ist eine Borel-messbare Menge. ${\displaystyle \textstyle B\subset {\textbf {R}}^{d}}$

Wenn allgemeine Zufallsvariablen Werte beispielsweise im -dimensionalen euklidischen Raum annehmen , ist der resultierende zusammengesetzte Poisson-Prozess ein Beispiel für einen Lévy-Prozess, vorausgesetzt, er wird aus einem homogenen Point-Prozess gebildet , der auf den nicht-negativen Zahlen definiert ist . ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle N}$${\displaystyle \textstyle [0,\infty )}$

Fehlerprozess mit der exponentiellen Glättung von Intensitätsfunktionen

Der Versagensprozess mit der exponentiellen Glättung von Intensitätsfunktionen (FP-ESI) ist eine Erweiterung des inhomogenen Poisson-Prozesses. Die Intensitätsfunktion einer FP-ESI ist eine exponentielle Glättungsfunktion der Intensitätsfunktionen zu den letzten Zeitpunkten des Ereigniseintritts und übertrifft andere neun stochastische Prozesse an 8 realen Fehlerdatensätzen, wenn die Modelle zur Anpassung an die Datensätze verwendet werden, wobei die Die Modellleistung wird anhand von AIC ( Akaike-Informationskriterium ) und BIC ( Bayes-Informationskriterium ) gemessen .

Siehe auch

• Boolesches Modell (Wahrscheinlichkeitstheorie)
• Kontinuumsperkolationstheorie
• Compound-Poisson-Prozess
• Cox-Prozess
• Punktprozess
• Stochastische Geometrie
• Stochastische Geometriemodelle von drahtlosen Netzwerken
• Markovasche Ankunftsprozesse

Anmerkungen

Verweise

Spezifisch

Allgemein

Bücher

• A. Baddeley; I. Barány; R. Schneider (26. Oktober 2006). Stochastische Geometrie: Vorlesungen im Rahmen der CIME Summer School in Martina Franca, Italien, 13.–18. September 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Punktprozesse . Chapman & Halle. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2003). Eine Einführung in die Theorie der Punktprozesse: Band I: Elementare Theorie und Methoden . Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J.; Vere-Jones, David (2007). Eine Einführung in die Theorie der Punktprozesse: Band II: Allgemeine Theorie und Struktur . Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Poisson-Prozesse . Claredon-Presse. ISBN 978-0198536932.
• Möller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Statistische Inferenz und Simulation für räumliche Punktprozesse . CRC-Presse. ISBN 978-1584882657.
• Ross, SM (1996). Stochastische Prozesse . Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, DL; Miller, MI (1991). Zufällige Punktprozesse in Zeit und Raum . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S.; Mecke, Joseph (1995). Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen . Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Poisson-Punkt-Prozesse: Imaging, Tracking und Sensing . Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien. ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18. April 2003). Ein erster Kurs in stochastischen Modellen . John Wiley & Söhne. S. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Artikel

• Stirzaker, David (2000). "Ratschläge für Igel oder Konstanten können variieren". Das Mathematische Amtsblatt .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "Was ist mit dem diskreten Chaos, dem Quenouille-Prozess und der scharfen Markov-Eigenschaft passiert? Einige Geschichte der stochastischen Punktprozesse". Internationale statistische Überprüfung .