Polytopverbindung - Polytope compound

Eine polyedrische Verbindung ist eine Figur, die aus mehreren Polyedern besteht, die sich ein gemeinsames Zentrum teilen . Sie sind die dreidimensionalen Analoga von polygonalen Verbindungen wie dem Hexagramm .

Die äußeren Eckpunkte einer Verbindung können zu einem konvexen Polyeder verbunden werden, das als konvexe Hülle bezeichnet wird . Eine Verbindung ist eine Facette ihrer konvexen Hülle.

Ein anderes konvexes Polyeder wird durch die kleine zentralen Raum gebildet gemeinsamen alle Mitglieder der Verbindung. Dieses Polyeder kann als Kern für eine Reihe von Stellationen verwendet werden .

Regelmäßige Verbindungen

, Die wie ein A regelmäßige polyedrische Verbindung kann als eine Verbindung definiert werden reguläre Polyeder ist ecken transitive , kanten transitive und face-transitiv . Anders als bei Polyedern ist dies nicht gleichbedeutend damit, dass die Symmetriegruppe transitiv auf ihre Flags wirkt ; die Verbindung zweier Tetraeder ist die einzige reguläre Verbindung mit dieser Eigenschaft. Es gibt fünf regelmäßige Verbindungen von Polyedern:

Regelmäßige Verbindung (Coxeter-Symbol)	Konvexe Hülle	Gemeinsamen Kern	Symmetriegruppe	Untergruppe, die sich auf einen Bestandteil beschränkt	Dual-reguläre Verbindung
Zwei Tetraeder {4,3}[2{3,3}]{3,4}	Würfel	Oktaeder	* 432 [4,3] O _h	* 332 [3,3] T _d	Zwei Tetraeder
Fünf Tetraeder {5,3}[5{3,3}]{3,5}	Dodekaeder	Ikosaeder	532 [5,3] ⁺ I	332 [3,3] ⁺ T	Chiraler Zwilling (Enantiomorph)
Zehn Tetraeder 2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}	Dodekaeder	Ikosaeder	* 532 [5,3] I _h	332 [3,3] T	Zehn Tetraeder
Fünf Würfel 2{5,3}[5{4,3}]	Dodekaeder	Rhombisches Triacontaeder	* 532 [5,3] I _h	3*2 [3,3] T _h	Fünf Oktaeder
Fünf Oktaeder [5{3,4}]2{3,5}	Ikosidodekaeder	Ikosaeder	* 532 [5,3] I _h	3*2 [3,3] T _h	Fünf Würfel

Am bekanntesten ist die regelmäßige Verbindung zweier Tetraeder , die oft als Stella Octangula bezeichnet wird , ein Name, den sie von Kepler gegeben hat . Die Eckpunkte der beiden Tetraeder definieren einen Würfel , und der Schnittpunkt der beiden definiert ein regelmäßiges Oktaeder , das die gleichen Flächenebenen wie die Verbindung teilt. Somit ist die Verbindung zweier Tetraeder eine Stellation des Oktaeders und tatsächlich die einzige endliche Stellation davon.

Die regelmäßige Verbindung von fünf Tetraedern kommt in zwei enantiomorphen Versionen vor, die zusammen die regelmäßige Verbindung von zehn Tetraedern bilden. Die regelmäßige Verbindung von zehn Tetraedern kann auch mit fünf Stellae octangulae aufgebaut werden.

Jede der regulären tetraedrischen Verbindungen ist zu ihrem chiralen Zwilling selbstdual oder dual; die regelmäßige Verbindung von fünf Würfeln und die regelmäßige Verbindung von fünf Oktaedern sind dual zueinander.

Daher können reguläre polyedrische Verbindungen auch als dual-reguläre Verbindungen angesehen werden .

Die Coxeter-Notation für reguläre Verbindungen ist in der obigen Tabelle angegeben und enthält Schläfli-Symbole . Das Material innerhalb der eckigen Klammern, [ d { p , q }], bezeichnet die Komponenten der Verbindung: d separate { p , q }'s. Das Material vor den eckigen Klammern bezeichnet die Scheitelpunktanordnung der Verbindung: c { m , n }[ d { p , q }] ist eine Verbindung von d { p , q }s, die die Scheitelpunkte von { m , n } gezählt haben c mal. Das Material nach den eckigen Klammern gibt die Facettenanordnung der Verbindung an: [ d { p , q }] e { s , t } ist eine Verbindung von d { p , q }s, die die Seiten von { s , t } gezählt haben e mal. Diese können kombiniert werden: also c { m , n } [ d { p , q }] e { s , t } ist eine Verbindung von d { p , q }s, die die Scheitel von { m , n } c mal gezählt haben und die Gesichter von { s , t } wurden e- mal gezählt . Diese Notation kann auf Verbindungen in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen verallgemeinert werden.

Dual-Compounds

Abgeschnittenes Tetraeder (hell) und Triakis-Tetraeder (dunkel)

Snub-Würfel (hell) und fünfeckiger Ikositetraeder (dunkel)

Ikosidodekaeder (hell) und rhombisches Triacontaeder (dunkel)

Duale Verbindungen archimedischer und katalanischer Feststoffe

Eine duale Verbindung besteht aus einem Polyeder und seinem dualen, reziprok um eine gemeinsame Mittelsphäre angeordnet , so dass die Kante eines Polyeders die duale Kante des dualen Polyeders schneidet. Es gibt fünf duale Verbindungen der regulären Polyeder.

Kernstück ist die Rektifikation beider Feststoffe. Die Hülle ist das Duale dieser Rektifikation, und ihre rhombischen Flächen haben die sich schneidenden Kanten der beiden Körper als Diagonalen (und ihre vier abwechselnden Scheitelpunkte). Für konvexe Körper ist dies die konvexe Hülle .

Dual-Compound	Rumpf	Kern	Symmetriegruppe
Zwei Tetraeder ( Zusammensetzung von zwei Tetraedern , sternförmiger Oktaeder )	Würfel	Oktaeder	* 432 [4,3] O _h
Würfel und Oktaeder ( Zusammensetzung von Würfel und Oktaeder )	Rhombischer Dodekaeder	Kuboktaeder	* 432 [4,3] O _h
Dodekaeder und Ikosaeder ( Zusammensetzung von Dodekaeder und Ikosaeder )	Rhombisches Triacontaeder	Ikosidodekaeder	* 532 [5,3] I _h
Kleines sternförmiges Dodekaeder und großes Dodekaeder ( Zusammensetzung von sD und gD )	Mediales rhombisches Triacontaeder (konvex: Ikosaeder )	Dodecadodekaeder (konvex: Dodekaeder )	* 532 [5,3] I _h
Großes Ikosaeder und großes sternförmiges Dodekaeder ( Zusammensetzung von gI und gsD )	Großes rhombisches Triacontaeder (konvex: Dodekaeder )	Großes Ikosidodekaeder (konvex: Ikosaeder )	* 532 [5,3] I _h

Das Tetraeder ist selbst-dual, also ist die duale Verbindung eines Tetraeders mit seinem Dual das regelmäßige sternförmige Oktaeder .

Die oktaedrischen und ikosaedrischen dualen Verbindungen sind die ersten Stellationen des Kuboktaeders bzw. des Ikosidodekaeders .

Einheitliche Verbindungen

1976 veröffentlichte John Skilling Uniform Compounds of Uniformed Polyeder, in dem 75 Verbindungen (einschließlich 6 als unendliche prismatische Sätze von Verbindungen, #20-#25) aus einheitlichen Polyedern mit Rotationssymmetrie aufgezählt wurden . (Jede Ecke ist knotentransitiv und jede Ecke ist mit jeder anderen Ecke transitiv.) Diese Liste enthält die fünf regulären Verbindungen oben. [1]

Die 75 einheitlichen Verbindungen sind in der nachstehenden Tabelle aufgeführt. Die meisten werden von jedem Polyederelement einzeln gefärbt dargestellt. Einige chirale Paare von Seitengruppen sind durch die Symmetrie der Seiten innerhalb jedes Polyeders gefärbt.

1-19: Verschiedenes (4,5,6,9,17 sind die 5 regulären Verbindungen )

20-25: Prismensymmetrie eingebettet in Prismensymmetrie ,

26-45: Prismensymmetrie eingebettet in Oktaeder- oder Ikosaeder-Symmetrie ,

46-67: Tetraeder-Symmetrie eingebettet in Oktaeder- oder Ikosaeder-Symmetrie,

68-75: enantiomorphe Paare

Andere Verbindungen


Die Verbindung von vier Würfeln (links) ist weder eine reguläre Verbindung, noch eine duale Verbindung, noch eine einheitliche Verbindung. Sein Dual, die Verbindung von vier Oktaedern (rechts), ist eine einheitliche Verbindung.

Zwei Polyeder, die Verbindungen sind, deren Elemente jedoch fest miteinander verbunden sind, sind das kleine komplexe Ikosidodekaeder (Verbindung aus Ikosaeder und großem Dodekaeder ) und das große komplexe Ikosidodekaeder (Verbindung aus kleinem sternförmigem Dodekaeder und großem Ikosaeder ). Wenn die Definition eines einheitlichen Polyeders verallgemeinert wird, sind sie einheitlich.

Der Abschnitt für enantiomorphe Paare in Skillings Liste enthält nicht die Verbindung zweier großer Stupsdodezikosidodekaeder , da die Pentagrammflächen zusammenfallen würden. Das Entfernen der zusammenfallenden Flächen ergibt die Verbindung von zwanzig Oktaedern .

4-Polytop-Verbindungen

Orthogonale Projektionen
75 {4,3,3}	75 {3,3,4}

In 4-Dimensionen gibt es eine große Anzahl regelmäßiger Verbindungen regelmäßiger Polytope. Coxeter listet einige davon in seinem Buch Regular Polytopes auf . McMullen fügte in seinem Artikel New Regular Compounds of 4-Polytopes sechs hinzu .

Selbst-Dual:

Verbindung	Bestandteil	Symmetrie
120 5-Zellen	5-Zellen	[5,3,3], 14400 . bestellen
120 5-Zellen ^(var)	5-Zellen	1200 bestellen
720 5-Zellen	5-Zellen	[5,3,3], 14400 . bestellen
5 24-Zellen	24-Zellen	[5,3,3], 14400 . bestellen

Doppelpaare:

Verbindung 1	Verbindung 2	Symmetrie
3 16-Zellen	3 Tesserakte	[3,4,3], 1152 bestellen
15 16-Zellen	15 Tesserakte	[5,3,3], 14400 . bestellen
75 16-Zellen	75 Tesserakte	[5,3,3], 14400 . bestellen
75 16-Zellen ^(var)	75 Tesserakte ^(var)	600 bestellen
300 16-Zellen	300 Tesserakte	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
600 16-Zellen	600 Tesserakte	[5,3,3], 14400 . bestellen
25 24-Zellen	25 24-Zellen	[5,3,3], 14400 . bestellen

Einheitliche Verbindungen und Duale mit konvexen 4-Polytopen:

Verbindung 1 Vertex-transitiv	Verbindung 2 Zelltransitiv	Symmetrie
2 16-Zellen	2 Tesserakte	[4,3,3], Ordnung 384
100 24-Zellen	100 24-Zellen	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
200 24-Zellen	200 24-Zellen	[5,3,3], 14400 . bestellen
5 600-Zellen	5 120-Zellen	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
10 600-Zellen	10 120-Zellen	[5,3,3], 14400 . bestellen
25 24-Zellen ^(var)	25 24-Zellen ^(var)	600 bestellen

Das hochgestellte (var) in den obigen Tabellen zeigt an, dass sich die markierten Verbindungen von den anderen Verbindungen mit der gleichen Anzahl von Bestandteilen unterscheiden.

Verbindungen mit regelmäßigen Stern-4-Polytopen

Selbstdual-Sternverbindungen:

Verbindung	Symmetrie
5 {5,5/2,5}	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
10 {5,5/2,5}	[5,3,3], 14400 . bestellen
5 {5/2,5,5/2}	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
10 {5/2,5,5/2}	[5,3,3], 14400 . bestellen

Doppelte Paare von zusammengesetzten Sternen:

Verbindung 1	Verbindung 2	Symmetrie
5 {3,5,5/2}	5 {5/2,5,3}	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
10 {3,5,5/2}	10 {5/2,5,3}	[5,3,3], 14400 . bestellen
5 {5,5/2,3}	5 {3,5/2,5}	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
10 {5,5/2,3}	10 {3,5/2,5}	[5,3,3], 14400 . bestellen
5 {5/2,3,5}	5 {5,3,5/2}	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
10 {5/2,3,5}	10 {5,3,5/2}	[5,3,3], 14400 . bestellen

Einheitliche zusammengesetzte Sterne und Duale :

Verbindung 1 Vertex-transitiv	Verbindung 2 Zelltransitiv	Symmetrie
5 {3,3,5/2}	5 {5/2,3,3}	[5,3,3] ⁺ , Ordnung 7200
10 {3,3,5/2}	10 {5/2,3,3}	[5,3,3], 14400 . bestellen

Verbindungen mit Dualen

Doppelpositionen:

Verbindung	Bestandteil	Symmetrie
2 5-Zellen	5-Zellen	[[3,3,3]], Ordnung 240
2 24-Zellen	24-Zellen	[[3,4,3]], Ordnung 2304
1 Tesserakt, 1 16-Zellen	Tesseract , 16-Zellen
1 120-Zellen, 1 600-Zellen	120-Zellen , 600-Zellen
2 tolle 120-Zellen	tolle 120-Zellen
2 große sternförmige 120-Zellen	große sternförmige 120-Zellen
1 ikosaedrische 120-Zellen, 1 kleine sternförmige 120-Zellen	ikosaedrisch 120-zellig , klein sternförmig 120-zellig
1 große 120-Zellen, 1 große sternförmige 120-Zellen	große 120-Zellen , große sternförmige 120-Zellen
1 großes großes 120-Zellen, 1 großes ikosaedrisches 120-Zellen	große große 120-Zellen , große ikosaedrische 120-Zellen
1 großer sternförmiger 120-Zellen, 1 großer 600-Zellen	Urgroßeltern stellated 120-cell , grand 600-cell

Gruppentheorie

In Bezug auf die Gruppentheorie , wenn G die Symmetriegruppe einer polyedrischen Verbindung ist und die Gruppe transitiv auf die Polyeder einwirkt (so dass jedes Polyeder zu jedem der anderen geschickt werden kann, wie in einheitlichen Verbindungen), dann ist H die Stabilisator eines einzelnen ausgesuchten Polyeder, die Polyeder mit dem identifiziert wird Orbit Raum g / H das coset - gH entspricht , mit dem Polyeder g sendet die gewählten Polyeder.

Fliesenverbindungen

Es gibt achtzehn zweiparametrige Familien regelmäßiger zusammengesetzter Tessellationen der euklidischen Ebene. In der hyperbolischen Ebene sind fünf Einparameterfamilien und siebzehn Einzelfälle bekannt, aber die Vollständigkeit dieser Auflistung wurde nicht aufgezählt.

Die euklidischen und hyperbolischen zusammengesetzten Familien 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p eine ganze Zahl) sind analog zu den sphärischen Sternoktangula , 2 {3,3}.

Einige Beispiele für euklidische und hyperbolische reguläre Verbindungen
Selbst-dual	Duals		Selbst-dual
2 {4,4}	2 {6,3}	2 {3,6}	2 {∞,∞}

	3 {6,3}	3 {3,6}	3 {∞,∞}

Eine bekannte Familie von regelmäßigen euklidischen zusammengesetzten Waben in fünf oder mehr Dimensionen ist eine unendliche Familie von Verbindungen von hyperkubischen Waben , die alle Scheitelpunkte und Flächen mit einer anderen hyperkubischen Wabe teilen. Diese Verbindung kann eine beliebige Anzahl von hyperkubischen Waben aufweisen.

Es gibt auch dual-reguläre Fliesenmassen. Ein einfaches Beispiel ist die E ^{2 -} Verbindung einer hexagonalen Belegung und ihrer doppelten dreieckigen Belegung , die ihre Kanten mit der deltoidalen trihexagonalen Belegung teilt . Die euklidischen Verbindungen zweier hyperkubischer Waben sind sowohl regulär als auch dual-regulär.

Fußnoten

Externe Links

Verweise

Skilling, John (1976), "Uniform Compounds of Uniform Polyhedra", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 : 447–457, doi : 10.1017/S0305004100052440 , MR 0397554.
Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra , Cambridge.
Wenninger, Magnus (1983), Dual Models , Cambridge, England: Cambridge University Press, S. 51–53.
Harman, Michael G. (1974), Polyhedral Compounds , unveröffentlichtes Manuskript.
Hess, Edmund (1876), "Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder", Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg , 11 : 5–97.
Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione.
Regular Polytopes , (3. Ausgabe, 1973), Dover Ausgabe, ISBN 0-486-61480-8
Anthony Pugh (1976). Polyeder: Ein visueller Ansatz . Kalifornien: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.P. 87 Fünf reguläre Verbindungen
McMullen, Peter (2018), "New Regular Compounds of 4-Polytopes", New Trends in Intuitive Geometry , 27 : 307–320, doi : 10.1007/978-3-662-57413-3_12.

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