Populationsdynamik - Population dynamics

Bevölkerungsdynamik ist die Art der Mathematik, die verwendet wird, um die Größe und die Alterszusammensetzung von Bevölkerungen als dynamische Systeme zu modellieren und zu untersuchen .

Geschichte

Bevölkerungsdynamik ist traditionell der dominierende Zweig der mathematischen Biologie , der eine Geschichte von mehr als 220 Jahren hat, obwohl sich der Anwendungsbereich der mathematischen Biologie im letzten Jahrhundert stark erweitert hat.

Der Beginn der Bevölkerungsdynamik wird weithin als das Werk von Malthus angesehen , formuliert als malthusianisches Wachstumsmodell . Nach Malthus wird eine Population unter der Annahme, dass die Bedingungen (die Umwelt) konstant bleiben ( ceteris paribus ), exponentiell wachsen (oder abnehmen) . Dieses Prinzip bildete die Grundlage für die nachfolgenden Vorhersagetheorien, wie zum Beispiel die demografischen Studien wie die Arbeiten von Benjamin Gompertz und Pierre François Verhulst im frühen 19. Jahrhundert, die das malthusianische demografische Modell verfeinerten und anpassten.

Eine allgemeinere Modellformulierung wurde 1959 von FJ Richards vorgeschlagen , weiter ausgebaut von Simon Hopkins , in der die Modelle von Gompertz, Verhulst und auch Ludwig von Bertalanffy als Spezialfälle der allgemeinen Formulierung behandelt werden. Die Lotka-Volterra-Räuber-Beute-Gleichungen sind ein weiteres berühmtes Beispiel, ebenso wie die alternativen Arditi-Ginzburg-Gleichungen .

Logistikfunktion

Vereinfachte Bevölkerungsmodelle beginnen normalerweise mit vier Schlüsselvariablen (vier demografischen Prozessen ) einschließlich Tod, Geburt, Einwanderung und Auswanderung. Mathematische Modelle, die zur Berechnung von Veränderungen der Bevölkerungsdemografie und -entwicklung verwendet werden, gehen von der Annahme („ Nullhypothese “) aus, dass kein externer Einfluss vorliegt. Modelle können mathematisch komplexer sein, wenn "...mehrere konkurrierende Hypothesen gleichzeitig mit den Daten konfrontiert werden". In einem geschlossenen System, in dem keine Ein- und Auswanderung stattfindet, kann die Änderungsrate der Anzahl der Individuen in einer Population beispielsweise wie folgt beschrieben werden:

wobei N die Gesamtzahl der Individuen in der untersuchten spezifischen Versuchspopulation ist, B die Zahl der Geburten und D die Zahl der Todesfälle pro Individuum in einem bestimmten Experiment oder Modell ist. Die algebraischen Symbole b , d und r stehen für die Geburten-, Sterbe- und Veränderungsrate pro Individuum in der Allgemeinbevölkerung, die intrinsische Wachstumsrate. Diese Formel kann so gelesen werden, dass die Veränderungsrate der Bevölkerung ( dN/dT ) Geburten minus Sterbefällen ( B - D ) entspricht.

Mit diesen Techniken wurde das Bevölkerungswachstumsprinzip von Malthus später in ein mathematisches Modell umgewandelt, das als logistische Gleichung bekannt ist :

wobei N die Biomassedichte, a die maximale Veränderungsrate pro Kopf und K die Tragfähigkeit der Bevölkerung ist. Die Formel kann wie folgt gelesen werden: Die Veränderungsrate der Population ( dN/dT ) ist gleich dem Wachstum ( aN ), das durch die Tragfähigkeit (1-N/K) begrenzt wird . Ausgehend von diesen mathematischen Grundprinzipien erweitert sich die Disziplin der Populationsökologie zu einem Untersuchungsgebiet, das die Demographie realer Populationen abfragt und diese Ergebnisse mit statistischen Modellen überprüft. Im Bereich der Populationsökologie werden häufig Daten zur Lebensgeschichte und Matrixalgebra verwendet, um Projektionsmatrizen zu Fruchtbarkeit und Überlebensfähigkeit zu entwickeln. Diese Informationen werden für die Verwaltung von Wildtierbeständen und die Festlegung von Erntequoten verwendet.

Intrinsische Steigerungsrate

Die Rate, mit der eine Population an Größe zunimmt, wenn es keine dichteabhängigen Kräfte gibt, die die Population regulieren, wird als intrinsische Wachstumsrate bezeichnet . Es ist

wobei die Ableitung die Wachstumsrate der Population ist, N die Populationsgröße ist und r die intrinsische Wachstumsrate ist. Somit ist r die maximale theoretische Wachstumsrate einer Population pro Individuum – also die maximale Populationswachstumsrate. Das Konzept wird häufig in der Ökologie oder dem Management von Insektenpopulationen verwendet , um zu bestimmen, wie Umweltfaktoren die Geschwindigkeit beeinflussen, mit der Schädlingspopulationen wachsen. Siehe auch exponentielles Bevölkerungswachstum und logistisches Bevölkerungswachstum.

Epidemiologie

Die Bevölkerungsdynamik überschneidet sich mit einem anderen aktiven Forschungsbereich der mathematischen Biologie: der mathematischen Epidemiologie , der Untersuchung von Infektionskrankheiten, die Bevölkerungen betreffen. Es wurden verschiedene Modelle der Virusausbreitung vorgeschlagen und analysiert und liefern wichtige Ergebnisse, die auf gesundheitspolitische Entscheidungen angewendet werden können.

Geometrische Populationen

Die Populationen von Operophtera brumata sind geometrisch.

Die folgende mathematische Formel kann verwendet werden, um geometrische Populationen zu modellieren . Geometrische Populationen wachsen in diskreten Reproduktionsperioden zwischen Abstinenzintervallen , im Gegensatz zu Populationen, die ohne bestimmte Reproduktionsperioden wachsen. Nehmen wir an, N bezeichnet die Anzahl der Individuen in jeder Generation einer Population, die sich fortpflanzen.

Wobei: N t die Populationsgröße in der Generation t ist und N t+1 die Populationsgröße in der Generation direkt nach N t ist ; B t ist die Summe der Geburten in der Bevölkerung zwischen den Generationen t und t+1 (dh die Geburtenrate); I t ist die Summe der Einwanderer an der Bevölkerung zwischen den Generationen hinzugefügt; D t ist die Summe der Todesfälle zwischen den Generationen (Sterblichkeitsrate); und E t ist die Summe der Auswanderer , die zwischen den Generationen aus der Bevölkerung herauswandern.

Wenn es keine Migration zur oder von der Bevölkerung gibt,

Angenommen in diesem Fall, dass die Geburten- und Sterberate konstant sind , dann ist die Geburtenrate minus der Sterberate gleich R , der geometrischen Anstiegsrate.

N t+1 = N t + RN t

N t+1 = (N t + RN t )

Nehmen Sie den Term N t wieder aus den Klammern.

N t+1 = (1 + R)N t

1 + R = λ , wobei λ die endliche Anstiegsrate ist.

N t+1 = λN t

Bei t+1 N t+1 = λN t
Bei t+2 N t+2 = λN t+1 = λλN t = λ 2 N t
Bei t+3 N t+3 = λN t+2 = λλN t+1 = λλλN t = λ 3 N t

Deshalb:

N t = λ t N 0

Begriff Definition
λ t Endliche Steigerungsrate potenziert mit der Anzahl der Generationen (zB für t+2 [zwei Generationen] → λ 2 , für t+1 [eine Generation] → λ 1 = λ , und für t [vor irgendwelchen Generationen – at Zeit Null] → λ 0 = 1

Verdopplungszeit

G. stearothermophilus hat eine kürzere Verdopplungszeit (td) als E. coli und N. meningitidis . Die Wachstumsraten von 2 Bakterienarten werden sich um unerwartete Größenordnungen unterscheiden, wenn sich die Verdopplungszeiten der 2 Arten nur um nur 10 Minuten unterscheiden. Bei Eukaryoten wie Tieren, Pilzen, Pflanzen und Protisten sind die Verdopplungszeiten viel länger als bei Bakterien. Dies reduziert die Wachstumsraten von Eukaryoten im Vergleich zu Bakterien. G. stearothermophilus , E. coli und N. meningitidis haben 20 Minuten, 30 Minuten bzw. 40 Minuten Verdopplungszeiten unter optimalen Bedingungen. Wenn Bakterienpopulationen könnten unbegrenzt wachsen (was sie nicht tun)dann die Anzahl der Bakterien in jeder Spezies würde unendlich nähern ( ). Der Prozentsatz der G. stearothermophilus- Bakterien an allen Bakterien würde sich jedoch 100 % nähern,während der Prozentsatz von E. coli und N. meningitidis zusammengenommen von allen Bakterien sich 0 % nähern würde. Diese Grafik ist eine Simulation dieses hypothetischen Szenarios. In Wirklichkeit wachsen Bakterienpopulationen nicht unbegrenzt und die 3 Arten benötigen unterschiedliche optimale Bedingungen, um ihre Verdopplungszeiten auf ein Minimum zu bringen.
Zeit in Minuten % das ist G. stearothermophilus
30 44,4%
60 53,3%
90 64,9%
120 72,7%
→∞ 100%
Zeit in Minuten % das ist E. coli
30 29,6%
60 26,7%
90 21,6%
120 18,2%
→∞ 0,00%
Zeit in Minuten % das ist N. meningitidis
30 25,9 %
60 20,0 %
90 13,5%
120 9,10%
→∞ 0,00%
Haftungsausschluss: Bakterienpopulationen sind logistisch statt geometrisch. Dennoch gelten Verdopplungszeiten für beide Arten von Populationen.

Die Verdopplungszeit ( t d ) einer Population ist die Zeit, die die Population benötigt, um auf das Doppelte ihrer Größe zu wachsen. Wir können die Verdopplungszeit einer geometrischen Population mit der Gleichung N t = λ t N 0 berechnen, indem wir unser Wissen ausnutzen, dass die Population ( N ) nach der Verdopplungszeit doppelt so groß ist ( 2N ).

N t d = λ t d × N 0

2N 0 = t d × N 0

λ t d = 2N 0 / N 0

λ t d = 2

Die Verdopplungszeit kann durch Logarithmen ermittelt werden. Beispielsweise:

t d × log 2 (λ) = log 2 (2)

log 2 (2) = 1

t d × log 2 (λ) = 1

t d = 1 / log 2 (λ)

Oder:

t d × ln(λ) = ln(2)

t d = ln(2) / ln(λ)

t d = 0,693... / ln(λ)

Deshalb:

t d = 1 / log 2 (λ) = 0,693... / ln(λ)

Halbwertszeit geometrischer Populationen

Die Halbwertszeit einer Population ist die Zeit, in der die Population auf die Hälfte ihrer Größe zurückgegangen ist. Wir können die Halbwertszeit einer geometrischen Population mit der Gleichung N t = λ t N 0 berechnen, indem wir unser Wissen über die Tatsache ausnutzen, dass die Population ( N ) nach einer Halbwertszeit die Hälfte ihrer Größe ( 0.5N ) hat.

N t 1/2 = λ t 1/2 × N 0

0,5N 0 = λ t 1/2 × N 0

Begriff Definition
t 1/2 Halbes Leben.

λ t 1/2 = 0,5 n 0 / N 0

λ t 1/2 = 0,5

Die Halbwertszeit kann durch Logarithmen berechnet werden (siehe oben).

t 1/2 = 1 / log 0,5 (λ) = ln(0,5) / ln(λ)

Geometrische (R) Wachstumskonstante

R = b - d

N t+1 = N t + RN t

N t+1 - N t = RN t

N t+1 - N t = ΔN

Begriff Definition
N Veränderung der Populationsgröße zwischen zwei Generationen (zwischen Generation t+1 und t ).

N = RN t

ΔN/N t = R

Endliche (λ) Wachstumskonstante

1 + R =

N t+1 = λN t

λ = N t+1 / N t

Mathematische Beziehung zwischen geometrischen und logistischen Populationen

In geometrischen Populationen repräsentieren R und λ Wachstumskonstanten (siehe 2 und 2.3 ). In Logistikpopulationen hingegen ist die intrinsische Wachstumsrate, auch als intrinsische Wachstumsrate ( r ) bekannt, die relevante Wachstumskonstante. Da sich die Reproduktionsgenerationen in einer geometrischen Population nicht überlappen (z. B. einmal im Jahr reproduzieren), sondern in einer exponentiellen Population überlappen, werden geometrische und exponentielle Populationen normalerweise als sich gegenseitig ausschließend angesehen. Beide Sätze von Konstanten teilen jedoch die folgende mathematische Beziehung.

Die Wachstumsgleichung für exponentielle Populationen lautet

N t = N 0 e rt

Begriff Definition
e Eulersche Zahl - Eine universelle Konstante, die oft in logistischen Gleichungen anwendbar ist.
r intrinsische Wachstumsrate

Annahme: N t (einer geometrischen Population) = N t (einer logistischen Population) .

Deshalb:

N 0 e rt = N 0 λ t

N 0 hebt auf beiden Seiten auf.

N 0 e rt / N 0 = λ t

e rt = λ t

Nehmen Sie die natürlichen Logarithmen der Gleichung. Die Verwendung natürlicher Logarithmen anstelle von Logarithmen zur Basis 10 oder zur Basis 2 vereinfacht die endgültige Gleichung zu ln(e) = 1.

rt × ln(e) = t × ln(λ)

Begriff Definition
ln natürlichen Logarithmus - mit anderen Worten : ln (y) = log e (y) = x = die Leistung ( x ) , dass e Bedarf erhöht (zu e x ) , um die Antwort zu geben y .

In diesem Fall ist e 1 = e also ln(e) = 1 .

rt × 1 = t × ln(λ)

rt = t × ln(λ)

t bricht auf beiden Seiten ab.

rt / t = ln(λ)

Die Ergebnisse:

r = ln(λ)

und

e r = λ

Evolutionäre Spieltheorie

Die evolutionäre Spieltheorie wurde erstmals von Ronald Fisher in seinem 1930 erschienenen Artikel The Genetic Theory of Natural Selection entwickelt . 1973 formalisierte John Maynard Smith ein zentrales Konzept, die evolutionär stabile Strategie .

Populationsdynamik wurde in mehreren Anwendungen der Kontrolltheorie verwendet . Evolutionäre Spieltheorie kann in verschiedenen industriellen oder anderen Kontexten verwendet werden. Industriell wird es hauptsächlich in Multiple-Input-Multiple-Output ( MIMO )-Systemen verwendet, obwohl es für den Einsatz in Single-Input-Single-Output ( SISO )-Systemen angepasst werden kann. Einige andere Anwendungsbeispiele sind unter anderem Militärkampagnen, Wasserverteilung , Versand verteilter Generatoren , Laborexperimente, Transportprobleme, Kommunikationsprobleme.

Wissenswertes

Unter anderem versuchten die Computerspiele SimCity , Sim Earth und das MMORPG Ultima Online , einen Teil dieser Bevölkerungsdynamik zu simulieren .

Siehe auch

Verweise

Weiterlesen

  • Andrey Korotayev , Artemy Malkov und Daria Khaltourina. Einführung in die soziale Makrodynamik: Kompakte Makromodelle des Weltsystemwachstums . ISBN  5-484-00414-4
  • Turchin, P. 2003. Komplexe Populationsdynamiken: eine theoretische/empirische Synthese . Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Smith, Frederick E. (1952). „Experimentelle Methoden in der Bevölkerungsdynamik: eine Kritik“. Ökologie . 33 (4): 441–450. doi : 10.2307/1931519 . JSTOR  1931519 .

Externe Links