Porismus - Porism

Ein Porismus ist ein mathematischer Satz oder eine Folgerung . Es wurde verwendet, um sich auf eine direkte Folge eines Beweises zu beziehen, ähnlich wie sich ein Korollar auf eine direkte Folge eines Theorems bezieht . Im modernen Sprachgebrauch ist es eine Beziehung, die für einen unendlichen Bereich von Werten gilt, aber nur, wenn eine bestimmte Bedingung wie der Steinersche Porismus angenommen wird . Der Begriff stammt aus drei verschollenen Büchern von Euklid. Ein Satz ist möglicherweise nicht bewiesen, daher ist ein Porismus möglicherweise kein Theorem oder wahr.

Ursprünge

Das Buch , dass die Gespräche über porisms erste ist Euklid ‚s Porisms . Was ist davon bekannt ist in Pappos ‚s Sammlung , die es zusammen mit anderen geometrischen Abhandlungen erwähnt, und gibt mehrere Lemmata , die für sie zu verstehen. Pappus sagt:

Die Porismen aller Klassen sind weder Theoreme noch Probleme, sondern nehmen eine Zwischenstellung zwischen den beiden ein, so dass ihre Äußerungen entweder als Theoreme oder Probleme angegeben werden können, und folglich denken einige Geometer, dass sie Theoreme sind, und andere, dass sie Probleme sind. allein von der Form der Aussprache geleitet. Aber aus den Definitionen geht klar hervor, dass die alten Geometer den Unterschied zwischen den drei Klassen besser verstanden haben. Die älteren Geometer betrachteten ein Theorem als darauf gerichtet, das Vorgeschlagene zu beweisen, ein Problem als darauf gerichtet, das Vorgeschlagene zu konstruieren, und schließlich einen Porismus, das darauf abzielte, das Vorgeschlagene zu finden ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομ ).

Pappus sagte, dass die letzte Definition von einigen späteren Geometern geändert wurde, die einen Porismus als zufälliges Merkmal definierten als τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήμα to ( to leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos ), dasjenige, was einem Ortssatz um ein (oder in seiner ) Hypothese. Proclus wies darauf hin, dass das Wort Porismus in zweierlei Hinsicht verwendet wurde: Eine Bedeutung ist die von "Korollar", als Ergebnis ungesucht, aber als Folge eines Theorems angesehen. Im anderen Sinne fügte er der Definition der "älteren Geometer" nichts hinzu, außer dass die Feststellung des Kreismittelpunkts und die Feststellung des größten gemeinsamen Maßes Porismen sind.

Pappus über Euklids Porismus

Pappus lehnte Euklids Definition des Porismus ab . Ein in moderner Sprache ausgedrückter Porismus behauptet, dass bei vier Geraden, von denen sich drei um die Punkte drehen, in denen sie auf die vierte treffen, wenn zwei der Schnittpunkte dieser Geraden auf je einer festen Geraden liegen, der übrige Punkt von Der Schnittpunkt liegt ebenfalls auf einer anderen Geraden. Die allgemeine Definition gilt für eine beliebige Anzahl n von Geraden, von denen n sich um ebenso viele Punkte drehen kann , die auf der ( n  + 1)-ten Stelle festgelegt sind. Diese n gerade Linien geschnitten , um zwei und zwei in 1 / 2 n ( n  - 1) Punkte, 1 / 2 n ( n  - 1) eine dreieckige Zahl , deren Seite ist n  - 1. Wenn sie über den drehen sind aus n festen Punkte so, dass beliebige n  − 1 ihrer 1 ⁄ 2 n ( n  − 1) Schnittpunkte, unter gewissen Einschränkungen gewählt, auf n  − 1 gegebenen festen Geraden liegen, dann jeder der übrigen Schnittpunkte, 1 ⁄ 2 n ( n  − 1)( n  − 2) an der Zahl, beschreibt eine Gerade.

Das Obige kann wie folgt ausgedrückt werden: Wenn etwa zwei Fixpunkte P und Q sind, macht man die Kurve zwei Geraden, die auf einer gegebenen Geraden L zusammentreffen, und wenn einer von ihnen ein Segment AM von einer festen Geraden abschneidet , AX, in Position gegeben, eine weitere feste Gerade BY und ein darauf fixierter Punkt B so bestimmt werden, dass das Segment BM', das von der zweiten beweglichen Linie auf dieser von B gemessenen zweiten festen Linie gebildet wird, ein gegebenes Verhältnis X . hat zu AM. Die Lemmata, die Pappus im Zusammenhang mit den Porismen angibt, sind:

  1. der fundamentale Satz, dass das Kreuz- oder anharmonische Verhältnis eines Bleistifts von vier geraden Linien, die sich in einem Punkt treffen, für alle Transversalen konstant ist;
  2. der Beweis der harmonischen Eigenschaften eines vollständigen Vierecks;
  3. das Theorem, dass, wenn die sechs Ecken eines Sechsecks drei und drei auf zwei Geraden liegen, die drei Punkte des Zusammentreffens gegenüberliegender Seiten auf einer Geraden liegen.

Spätere Analyse

Robert Simson erläuterte die einzigen drei Sätze, die Pappus vollständig angibt, die 1723 in den Philosophical Transactions veröffentlicht wurden. Später untersuchte er das Thema Porismen allgemein in einem Werk mit dem Titel De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor und nach seinem Tod in einem Band veröffentlicht, Roberti Simson Opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776).

Simsons Abhandlung De porismatibus beginnt mit den Definitionen für Satz, Problem, Datum, Porismus und Ort. Simon schrieb, dass die Definition von Pappus zu allgemein ist und dass er sie wie folgt ersetzt hat:

Porisma est propositio in qua proponitur demonstrare rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt eandem habent ratio- nieren d deskriptam. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data demonstranda sunt, invenienda proponantur.

Simson sagte, dass ein Locus eine Art von Porismus ist. Dann folgt eine lateinische Übersetzung von Pappus' Anmerkung über die Porismen und die Sätze, die den Hauptteil der Abhandlung bilden.

John Playfairs Memoiren ( Trans. Roy. Soc. Edin. , 1794, Bd. iii.), eine Art Fortsetzung von Simsons Abhandlung, untersuchten den wahrscheinlichen Ursprung von Porismen oder die Schritte, die alte Geometer zu ihrer Entdeckung führten. Playfair bemerkte, dass die sorgfältige Untersuchung aller möglichen Einzelfälle eines Vorschlags zeigen würde, dass

  1. unter bestimmten Bedingungen wird ein Problem unmöglich;
  2. unter bestimmten anderen Bedingungen unbestimmt oder zu unendlich vielen Lösungen fähig.

Diese Fälle konnten getrennt definiert werden, lagen in gewisser Weise zwischen Theoremen und Problemen und wurden "Porismen" genannt. Playfair definierte einen Porismus als "[einen] Vorschlag, der die Möglichkeit bekräftigt, Bedingungen zu finden, die ein bestimmtes Problem unbestimmt oder zu unzähligen Lösungen fähig machen."

Obwohl Playfairs Definition eines Porismus in England am meisten bevorzugt zu sein scheint, wurde Simsons Ansicht im Ausland am allgemeinsten akzeptiert und hatte die Unterstützung von Michel Chasles . Doch in Liouville ‚s Journal de mathematiques puren et appliquées (Bd. Xx., Juli 1855), P. Breton veröffentlicht Recherches sur les nouvelles porismes d'Euclide , in dem er eine neue Übersetzung des Textes von Pappos gab, und versucht, eine Sicht auf das Wesen eines Porismus zu gründen, die der Definition von Pappus näher entspricht. Darauf folgte in derselben Zeitschrift und in La Science eine Kontroverse zwischen Breton und AJH Vincent, die die von Pappus gegebene Interpretation des Textes von Pappus bestritt und sich für Frans van Schootens Idee aussprach, die in seinen Mathematicae . vorgetragen wurde exercitationes (1657). Schreibt man nach Schooten die verschiedenen Beziehungen zwischen Geraden einer Figur in Form von Gleichungen oder Proportionen auf, so führt die Kombination dieser Gleichungen auf alle möglichen Weisen und daraus abgeleiteter neuer Gleichungen zur Entdeckung unzähliger discovery neue Eigenschaften der Figur.

Die Diskussionen zwischen Breton und Vincent, denen C. Housel beitrat, trugen die Arbeit zur Wiederherstellung von Euklids Porisms nicht voran , die Chasles überlassen wurde. Sein Werk ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , Paris, 1860) nutzt das gesamte in Pappus gefundene Material.

Eine interessante Hypothese über Porismen wurde von HG Zeuthen aufgestellt ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, Kap. VIII). Zeuthen beobachtete zum Beispiel, dass der Intercept-Porismus immer noch wahr ist, wenn die beiden Fixpunkte Punkte auf einem Kegelschnitt sind und die durch sie gezogenen Geraden sich auf dem Kegelschnitt anstatt auf einer festen Geraden schneiden. Er vermutete, dass die Porismen ein Nebenprodukt einer voll entwickelten projektiven Geometrie der Kegelschnitte waren.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Namensnennung: