Mächtige Zahl - Powerful number

Demonstration der kraftvollen Natur von 1, 4, 8 und 9 . mit Cuisenaire-Ruten

Eine starke Zahl ist eine positive ganze Zahl m, so dass für jede Primzahl p, die m teilt , p ² auch m teilt . Äquivalent ist eine starke Zahl das Produkt eines Quadrats und eines Würfels , d. h. eine Zahl m der Form m = a ²b ³ , wobei a und b positive ganze Zahlen sind. Leistungsstarke Zahlen sind auch bekannt als squareful , quadratisch voll oder 2-voll . Paul Erdősund George Szekeres studierte solche Zahlen und Solomon W. Golomb nannte solche Zahlen mächtig .

Im Folgenden finden Sie eine Liste aller mächtigen Zahlen zwischen 1 und 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, ... (Sequenz A001694 im OEIS ).

Äquivalenz der beiden Definitionen

Wenn m = a ²b ³ , dann erscheint jede Primzahl in der Primfaktorzerlegung von a in der Primfaktorzerlegung von m mit einem Exponenten von mindestens zwei, und jede Primzahl in der Primfaktorzerlegung von b erscheint in der Primfaktorzerlegung von m mit an Exponent von mindestens drei; daher ist m mächtig.

Nehmen wir in der anderen Richtung an, dass m mächtig ist, mit Primfaktorzerlegung

m=\prod p_{i}^{\alpha_{i}},

wobei jedes α _i ≥ 2. Definiere γ _i als drei, wenn α _i ungerade ist, und ansonsten null, und definiere β _i = α _i − γ _i . Dann sind alle Werte β _i nichtnegative gerade ganze Zahlen, und alle Werte γ _i sind entweder null oder drei, also

m=\left(\prod p_{i}^{\beta_{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma_{i}}\right)=\left (\prod p_{i}^{\beta_{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma_{i}/3}\right)^{ 3}

liefert die gewünschte Darstellung von m als Produkt aus Quadrat und Würfel.

Formlos, angesichts der prime Faktorisierung von m , nehmen b das Produkt der Primfaktoren zu sein , m die eine ungerade Exponenten haben (wenn es keine gibt, dann nehmen b 1 zu sein). Da m stark ist, hat jeder Primfaktor mit einem ungeraden Exponenten einen Exponenten von mindestens 3, also ist m / b ³ eine ganze Zahl. Außerdem hat jeder Primfaktor von m / b ³ einen geraden Exponenten, also ist m / b ³ ein perfektes Quadrat, also nenne dies a ² ; dann m = a ²b ³ . Beispielsweise:

m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,

b=2\times 3=6\,,

a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,

m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.

Die Darstellung m = a ²b ³ auf diese Weise berechneten hat die Eigenschaft , dass b ist quadrat und wird eindeutig durch diese Eigenschaft definiert.

Mathematische Eigenschaften

Die Summe der Kehrwerte der mächtigen Zahlen konvergiert. Der Wert dieser Summe kann auf verschiedene andere Weise geschrieben werden, einschließlich als das unendliche Produkt

\prod_{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\ Zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi^{4}}}\zeta (3)=1.9435964368...,

wobei p über alle Primzahlen läuft, ζ( s ) die Riemannsche Zetafunktion bezeichnet und ζ (3) die Apéry-Konstante ist . (Sequenz A082695 im OEIS ) Allgemeiner ausgedrückt ist die Summe der Kehrwerte der s- ten Potenzen der mächtigen Zahlen (eine Dirichlet-Reihen- Erzeugungsfunktion) gleich

{\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}

wann immer es zusammenläuft.

Sei k ( x ) die Anzahl der mächtigen Zahlen im Intervall [1, x ]. Dann ist k ( x ) proportional zur Quadratwurzel von x . Etwas präziser,

cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)= 2.173\ldots

(Golomb, 1970).

Die beiden kleinsten aufeinanderfolgenden mächtigen Zahlen sind 8 und 9. Da die Pell-Gleichung $x 2 - 8 y 2 = 1$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat, gibt es unendlich viele Paare aufeinanderfolgender mächtiger Zahlen (Golomb, 1970); allgemeiner kann man aufeinanderfolgende starke Zahlen finden, indem man eine ähnliche Pell-Gleichung $x 2 - ny 2 = \pm1$ für jeden perfekten Würfel $n$ löst . Allerdings muss eine der beiden mächtigen Zahlen eines so gebildeten Paares ein Quadrat sein. Laut Guy hat Erdős gefragt, ob es unendlich viele Paare aufeinanderfolgender mächtiger Zahlen wie $(23 3, 2 332132) gibt,$ in denen keine Zahl des Paares ein Quadrat ist. Walker (1976) zeigte, dass es tatsächlich unendlich viele solcher Paare gibt, indem er zeigte, dass $33 c 2 + 1 = 7 3 d 2$ unendlich viele Lösungen hat. Walkers Lösungen dieser Gleichung werden für jede ungerade ganze Zahl $k$ unter Berücksichtigung der Zahl

(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},

für ganze Zahlen $a$ durch 7 teilbar und $b$ durch 3 teilbar, und Konstruieren aus $a$ und $b$ der aufeinanderfolgenden mächtigen Zahlen $7 a 2$ und $3 b 2$ mit $7 a 2 = 1 + 3 b 2$ . Das kleinste aufeinanderfolgende Paar in dieser Familie wird für $k = 1$ , $a = 2637362$ und $b = 4028637$ als . $generiert$

7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308

und

3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.

Ungelöstes Problem in der Mathematik :

Können drei aufeinanderfolgende Zahlen mächtig sein?

(mehr ungelöste Probleme in Mathematik)

Es ist eine Vermutung von Erdős, Mollin und Walsh, dass es keine drei aufeinanderfolgenden starken Zahlen gibt.

Summen und Differenzen starker Zahlen

Visueller Beweis, dass die Differenzen aufeinanderfolgender Quadrate aufeinanderfolgende ungerade Zahlen sind

Jede ungerade Zahl ist eine Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadrate: ( k + 1) ² = k ² + 2 k + 1, also ( k + 1) ² − k ² = 2 k + 1. Ebenso ist jedes Vielfache von vier a Differenz der Quadrate zweier Zahlen, die sich um zwei unterscheiden: ( k + 2) ² − k ² = 4 k + 4. Eine einfach gerade Zahl , also eine durch zwei aber nicht durch vier teilbare Zahl, kann nicht ausgedrückt werden als Differenz von Quadraten. Dies motiviert die Frage, welche einfach geraden Zahlen als Differenzen mächtiger Zahlen ausgedrückt werden können. Golomb stellte einige Darstellungen dieser Art aus:

2 = 3 ³ − 5 ²

10 = 13 ³ − 3 ⁷

18 = 19 ² − 7 ³ = 3 ⁵ − 15 ² .

Es wurde vermutet, dass 6 nicht so dargestellt werden kann, und Golomb vermutete, dass es unendlich viele ganze Zahlen gibt, die nicht als Differenz zwischen zwei mächtigen Zahlen dargestellt werden können. Narkiewicz zeigte jedoch, dass 6 auf unendlich viele Arten so dargestellt werden kann, wie z

6 = 5 ⁴ 7 ³ − 463 ² ,

und McDaniel zeigte, dass jede ganze Zahl unendlich viele solcher Darstellungen hat (McDaniel, 1982).

Erdős vermutete, dass jede hinreichend große ganze Zahl eine Summe von höchstens drei mächtigen Zahlen ist; dies wurde von Roger Heath-Brown (1987) bewiesen .

Verallgemeinerung

Allgemeiner können wir die ganzen Zahlen betrachten, deren Primfaktoren alle Exponenten von mindestens k haben . Eine solche ganze Zahl wird k- starke Zahl, k- volle Zahl oder k- volle Zahl genannt.

(2 ^{k +1} − 1) ^k , 2 ^k (2 ^{k +1} − 1) ^k , (2 ^{k +1} − 1) ^{k +1}

sind k- starke Zahlen in einer arithmetischen Folge . Außerdem, wenn ein ₁ , a ₂ , ..., a _n werden k -Leistungsstarke in einer arithmetischen Progression mit gemeinsamer Differenz d , dann

a ₁ ( a _s + d ) ^k ,

a ₂ ( a _s + d ) ^k , ..., a _s ( a _s + d ) ^k , ( a _s + d) ^{k +1}

sind s + 1 k -mächtige Zahlen in einer arithmetischen Folge.

Wir haben eine Identität mit k -mächtigen Zahlen:

a ^k ( a ^l + ... + 1) ^k + a ^{k + 1} ( a ^l + ... + 1) ^k + ... + a ^{k + l} ( a ^l + ... + 1) ^k = a ^k ( a ^l + ... +1) ^{k +1} .

Dies ergibt unendlich viele l +1-Tupel von k- mächtigen Zahlen, deren Summe auch k- mächtig ist. Nitaj zeigt, dass es unendlich viele Lösungen von x + y = z in relativ Primzahl-3-starken Zahlen gibt (Nitaj, 1995). Cohn konstruiert eine unendliche Familie von Lösungen von x + y = z in relativ primitiv nicht würfelförmigen 3-starken Zahlen wie folgt: das Triplett

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

ist eine Lösung der Gleichung 32 X ³ + 49 Y ³ = 81 Z ³ . Wir können eine andere Lösung konstruieren, indem wir X ′ = X (49 Y ³ + 81 Z ³ ), Y ′ = − Y (32 X ³ + 81 Z ³ ), Z ′ = Z (32 X ³ − 49 Y ³ ) und . setzen den gemeinsamen Teiler weglassen.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Cohn, JHE (1998). "Eine Vermutung von Erdős über 3-starke Zahlen" . Mathematik. Komp . 67 (221): 439–440. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
Erdős, Paul & Szekeres, George (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta Litt. Wissenschaft Szeged . 7 : 95–102.
Golomb, Solomon W. (1970). "Mächtige Zahlen". Amerikanische mathematische Monatszeitschrift . 77 (8): 848–852. doi : 10.2307/2317020 . JSTOR 2317020 .
Guy, Richard K. (2004). Ungelöste Probleme in der Zahlentheorie (3. Aufl.). Springer-Verlag. Abschnitt B16. ISBN 978-0-387-20860-2.
Heath-Brown, Roger (1988). „Ternäre quadratische Formen und Summen von drei quadratvollen Zahlen“. Seminar der Théorie des Nombres, Paris, 1986-7 . Boston: Birkhäuser. S. 137–163.
Heath-Brown, Roger (1990). "Summen von drei quadratvollen Zahlen". Zahlentheorie, I (Budapest, 1987) . Kolloq. Mathematik. Soz. János Bolyai, Nr. 51. S. 163–171.
Ivić, Aleksandar (1985). Die Riemannsche Zetafunktion. Die Theorie der Riemannschen Zetafunktion mit Anwendungen . Eine Wiley-Interscience-Publikation. New York usw.: John Wiley & Sons. S. 33–34, 407–413. ISBN 978-0-471-80634-9. Zbl 0556.10026 .
McDaniel, Wayne L. (1982). „Darstellungen jeder ganzen Zahl als Differenz mächtiger Zahlen“. Fibonacci vierteljährlich . 20 : 85–87.
Nitaj, Abderrahmane (1995). „Über eine Vermutung von Erdős über 3-starke Zahlen“. Stier. London Math. Soz. 27 (4): 317–318. CiteSeerX 10.1.1.24.563 . doi : 10.1112/blms/27.4.317 .
Walker, David T. (1976). "Aufeinanderfolgende ganzzahlige Paare mächtiger Zahlen und verwandte diophantische Gleichungen" (PDF) . Der Fibonacci-Quartalsbericht . 14 (2): 111-116. MR 0.409.348 .

Externe Links

Languages

In other projects