Problem des Apollonius - Problem of Apollonius

Abbildung 1: Eine Lösung (in Lila) für das Problem von Apollonius. Die angegebenen Kreise sind schwarz dargestellt.

Abbildung 2: Vier komplementäre Lösungspaare für das Problem von Apollonius; die angegebenen Kreise sind schwarz.

In der Geometrie der euklidischen Ebene besteht das Problem von Apollonius darin , Kreise zu konstruieren, die drei gegebene Kreise in einer Ebene tangieren (Abbildung 1). Apollonius von Perge (ca. 262 v . Chr. – ca. 190 v . Chr.) stellte und löste dieses berühmte Problem in seinem Werk Ἐπαφαί ( Epaphaí , „Tangenzen“); diese Arbeit ist verloren gegangen , aber ein Bericht über seine Ergebnisse aus dem 4. Jahrhundert n. Chr. von Pappus von Alexandria ist erhalten geblieben. Drei gegebene Kreise haben im Allgemeinen acht verschiedene Kreise, die tangential zu ihnen sind (Abbildung 2), ein Paar von Lösungen für jede Möglichkeit, die drei gegebenen Kreise in zwei Teilmengen zu unterteilen (es gibt 4 Möglichkeiten, eine Menge von Kardinalitäten zu unterteilen 3 in 2 Teilen).

Im 16. Jahrhundert löste Adriaan van Roomen das Problem mit sich schneidenden Hyperbeln , aber diese Lösung verwendet nicht nur Lineal- und Zirkelkonstruktionen . François Viète hat eine solche Lösung gefunden, indem er Grenzfälle ausnutzt : Jeder der drei gegebenen Kreise kann auf den Radius Null (einen Punkt) verkleinert oder auf den unendlichen Radius (eine Linie) erweitert werden. Der Ansatz von Viète, der einfachere Grenzfälle verwendet, um kompliziertere zu lösen, gilt als plausible Rekonstruktion der Methode von Apollonius. Die Methode von van Roomen wurde von Isaac Newton vereinfacht , der zeigte, dass das Problem von Apollonius äquivalent zum Finden einer Position aus den Unterschieden seiner Entfernungen zu drei bekannten Punkten ist. Dies findet Anwendung in Navigations- und Ortungssystemen wie LORAN .

Spätere Mathematiker führten algebraische Methoden ein, die ein geometrisches Problem in algebraische Gleichungen umwandeln . Diese Methoden wurden vereinfacht, indem Symmetrien ausgenutzt wurden, die dem Problem von Apollonius inhärent sind: Beispielsweise treten Lösungskreise im Allgemeinen paarweise auf, wobei eine Lösung die gegebenen Kreise einschließt, die die andere ausschließt (Abbildung 2). Joseph Diaz Gergonne nutzte diese Symmetrie, um eine elegante Lineal- und Zirkellösung bereitzustellen, während andere Mathematiker geometrische Transformationen wie die Spiegelung in einem Kreis verwendeten , um die Konfiguration der gegebenen Kreise zu vereinfachen. Diese Entwicklungen liefern einen geometrischen Rahmen für algebraische Verfahren (unter Verwendung der Lie-Kugelgeometrie ) und eine Klassifikation von Lösungen nach 33 im Wesentlichen verschiedenen Konfigurationen der gegebenen Kreise.

Das Problem des Apollonius hat viele weitere Arbeiten angeregt. Verallgemeinerungen auf drei Dimensionen – die Konstruktion einer Kugel tangential zu vier gegebenen Kugeln – und darüber hinaus wurden untersucht. Besondere Aufmerksamkeit wurde der Konfiguration von drei einander tangierenden Kreisen gewidmet. René Descartes gab eine Formel, die die Radien der Lösungskreise und der gegebenen Kreise in Beziehung setzt, heute als Satz von Descartes bekannt . Die iterative Lösung des Apollonius-Problems führt in diesem Fall zu der Apollonian-Dichtung , die eines der frühesten Fraktale ist , die in gedruckter Form beschrieben werden, und in der Zahlentheorie über Ford-Kreise und die Hardy-Littlewood-Kreismethode wichtig ist .

Problemstellung

Die allgemeine Aussage des Apollonius-Problems besteht darin, einen oder mehrere Kreise zu konstruieren, die drei gegebene Objekte in einer Ebene tangieren, wobei ein Objekt eine Linie, ein Punkt oder ein Kreis beliebiger Größe sein kann. Diese Objekte können beliebig angeordnet sein und sich kreuzen; sie werden jedoch normalerweise als unterschiedlich angesehen, was bedeutet, dass sie nicht zusammenfallen. Lösungen für das Problem von Apollonius werden manchmal Apollonius-Kreise genannt , obwohl der Begriff auch für andere Arten von Kreisen verwendet wird, die mit Apollonius verbunden sind.

Die Tangentialeigenschaft ist wie folgt definiert. Zunächst wird angenommen, dass ein Punkt, eine Linie oder ein Kreis tangential zu sich selbst ist; Wenn also ein gegebener Kreis bereits die anderen beiden gegebenen Objekte tangiert, wird er als Lösung des Apollonius-Problems gezählt. Von zwei unterschiedlichen geometrischen Objekten wird gesagt, dass sie sich schneiden, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. Definitionsgemäß tangiert ein Punkt einen Kreis oder eine Gerade, wenn er diese schneidet, also auf ihnen liegt; daher können zwei unterschiedliche Punkte nicht tangential sein. Wenn der Winkel zwischen Linien oder Kreisen an einem Schnittpunkt null ist, werden sie als Tangente bezeichnet ; der Schnittpunkt wird Tangentialpunkt oder Tangentialpunkt genannt . (Das Wort „Tangente“ kommt aus dem Lateinischen Partizip , Tangens ., Was bedeutet , „rührend“) In der Praxis zwei verschiedene Kreise tangieren , wenn sie nur an einem Punkt schneiden; schneiden sie sich in null oder zwei Punkten, sind sie nicht tangential. Das gleiche gilt für eine Linie und einen Kreis. Zwei verschiedene Linien können in der Ebene nicht tangential sein, obwohl zwei parallele Linien als Tangente an einen Punkt im Unendlichen in inverser Geometrie angesehen werden können (siehe unten ).

Der Lösungskreis kann an jeden der angegebenen Kreise entweder innen oder außen tangential sein. Eine äußere Tangente ist eine, bei der sich die beiden Kreise an ihrem Berührungspunkt voneinander wegbeugen; sie liegen an diesem Punkt auf gegenüberliegenden Seiten der Tangente und schließen sich gegenseitig aus. Der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten ist gleich der Summe ihrer Radien. Im Gegensatz dazu ist eine interne Tangente eine solche, bei der die beiden Kreise an ihrem Berührungspunkt gleich gekrümmt sind; die beiden Kreise liegen auf derselben Seite der Tangente, und ein Kreis umschließt den anderen. In diesem Fall entspricht der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten der Differenz ihrer Radien. Zur Veranschaulichung ist in Abbildung 1 der rosa Lösungskreis rechts innen tangential an den mittelgroßen gegebenen schwarzen Kreis, während er außen an den kleinsten und größten gegebenen Kreis links tangiert.

Das Problem von Apollonius kann auch als das Problem formuliert werden, einen oder mehrere Punkte so zu lokalisieren, dass die Differenzen seiner Entfernungen zu drei gegebenen Punkten drei bekannten Werten entsprechen. Betrachten Sie einen Lösungskreis mit dem Radius r _s und drei gegebene Kreise mit den Radien r ₁ , r ₂ und r ₃ . Wenn der Lösungskreis alle drei gegebenen Kreise extern tangiert, sind die Abstände zwischen dem Mittelpunkt des Lösungskreises und den Mittelpunkten der gegebenen Kreise gleich d ₁ = r ₁ + r _s , d ₂ = r ₂ + r _s und d ₃ = r ₃ + rs bzw. r _s . Daher sind Unterschiede in diesen Abständen Konstanten, wie d ₁ − d ₂ = r ₁ − r ₂ ; sie hängen nur von den bekannten Radien der gegebenen Kreise ab und nicht vom Radius r _s des Lösungskreises, der sich aufhebt. Diese zweite Formulierung des Apollonius-Problems kann auf intern tangentiale Lösungskreise (bei denen der Mittelpunktsabstand gleich der Radiendifferenz ist) verallgemeinert werden, indem die entsprechenden Abstandsdifferenzen in Abstandssummen geändert werden, so dass der Lösungskreisradius r _s hebt wieder auf. Die Neuformulierung in Bezug auf Zentrum-Mitte-Abstände ist in den folgenden Lösungen von Adriaan van Roomen und Isaac Newton nützlich , und auch bei der hyperbolischen Positionierung oder Trilateration, der Aufgabe, eine Position aus Distanzunterschieden zu drei bekannten Punkten zu lokalisieren. Beispielsweise identifizieren Navigationssysteme wie LORAN die Position eines Empfängers aus den Unterschieden in den Ankunftszeiten von Signalen von drei festen Positionen, die den Unterschieden in den Entfernungen zu diesen Sendern entsprechen.

Geschichte

Ein reiches Repertoire an geometrischen und algebraischen Methoden wurde entwickelt, um das Problem von Apollonius zu lösen, das als "das berühmteste aller" Geometrieprobleme bezeichnet wird. Der ursprüngliche Ansatz des Apollonius von Perge ist verloren gegangen, aber François Viète und andere haben Rekonstruktionen angeboten , die auf den Hinweisen in der Beschreibung von Pappus von Alexandria basieren . Die erste neue Lösungsmethode wurde 1596 von Adriaan van Roomen veröffentlicht , der die Mittelpunkte der Lösungskreise als Schnittpunkte zweier Hyperbeln identifizierte . Van Roomens Methode wurde 1687 von Isaac Newton in seiner Principia und von John Casey 1881 verfeinert .

Obwohl die Methode von van Roomen erfolgreich bei der Lösung des Apollonius-Problems ist, hat sie einen Nachteil. Eine geschätzte Eigenschaft der klassischen euklidischen Geometrie ist die Fähigkeit, Probleme nur mit einem Zirkel und einem Lineal zu lösen . Viele Konstruktionen sind allein mit diesen Werkzeugen nicht möglich, wie zum Beispiel das Teilen eines Winkels in drei gleiche Teile . Viele dieser "unmöglichen" Probleme können jedoch durch sich schneidende Kurven wie Hyperbeln, Ellipsen und Parabeln ( Kegelschnitte ) gelöst werden . Zum Beispiel kann das Verdoppeln des Würfels (das Problem, einen Würfel mit dem doppelten Volumen eines gegebenen Würfels zu konstruieren) nicht nur mit einem Lineal und einem Zirkel durchgeführt werden, aber Menaechmus zeigte, dass das Problem durch die Verwendung der Schnittpunkte zweier Parabeln gelöst werden kann . Daher hat van Roomens Lösung – die den Schnittpunkt zweier Hyperbeln verwendet – nicht bestimmt, ob das Problem die Lineal-und-Kompass-Eigenschaft erfüllt.

Van Roomens Freund François Viète , der van Roomen in erster Linie gedrängt hatte, an Apollonius' Problem zu arbeiten, entwickelte eine Methode, die nur Zirkel und Lineal verwendete. Vor Viètes Lösung zweifelte Regiomontanus , ob das Problem des Apollonius mit Lineal und Zirkel gelöst werden könne. Viète löste zuerst einige einfache Spezialfälle des Apollonius-Problems, wie zum Beispiel das Finden eines Kreises, der durch drei gegebene Punkte geht, der nur eine Lösung hat, wenn die Punkte verschieden sind; er baute dann auf, kompliziertere Spezialfälle zu lösen, in einigen Fällen, indem er die vorgegebenen Kreise schrumpfte oder aufblähte. Nach dem 4. Jahrhundert Bericht von Pappus, eigenen Buch Apollonius auf diesem Problem berechtigten Ἐπαφαί ( Epaphaí ‚Tangenten‘, lateinisch: De tactionibus , De contactibus ) -followed einen ähnlichen progressiven Ansatz. Daher wird Viètes Lösung als plausible Rekonstruktion der Lösung von Apollonius angesehen, obwohl andere Rekonstruktionen unabhängig von drei verschiedenen Autoren veröffentlicht wurden.

Mehrere andere geometrische Lösungen für das Problem von Apollonius wurden im 19. Jahrhundert entwickelt. Die bemerkenswertesten Lösungen sind die von Jean-Victor Poncelet (1811) und von Joseph Diaz Gergonne (1814). Während der Beweis von Poncelet auf homothetischen Kreismittelpunkten und der Kraft eines Punktsatzes beruht, nutzt die Methode von Gergonne die konjugierte Beziehung zwischen Geraden und ihren Polen in einem Kreis aus. Methoden mit Kreisinversion wurden 1879 von Julius Petersen entwickelt ; Ein Beispiel ist das Ringlösungsverfahren von HSM Coxeter . Ein anderer Ansatz verwendet die Lie-Kugelgeometrie , die von Sophus Lie entwickelt wurde .

Algebraische Lösungen für das Problem von Apollonius wurden im 17. Jahrhundert von René Descartes und Prinzessin Elisabeth von Böhmen entwickelt , obwohl ihre Lösungen ziemlich komplex waren. Praktische algebraische Methoden wurden im späten 18. und 19. Jahrhundert von mehreren Mathematikern entwickelt, darunter Leonhard Euler , Nicolas Fuss , Carl Friedrich Gauß , Lazare Carnot und Augustin Louis Cauchy .

Lösungsmethoden

Sich überschneidende Hyperbeln

Abbildung 3: Zwei vorgegebene Kreise (schwarz) und ein Kreis tangential zu beiden (rosa). Die Mitte-zu-Mitte - Abstände d ₁ und d ₂ gleich r ₁ + r _s und r ₂ + r _s , jeweils, so dass ihre Differenz von unabhängiger r _s .

Die Lösung von Adriaan van Roomen (1596) basiert auf dem Schnittpunkt zweier Hyperbeln . Die gegebenen Kreise seien mit C ₁ , C ₂ und C _{3 bezeichnet} . Van Roomen löste das allgemeine Problem, indem er ein einfacheres Problem löste, nämlich die Kreise zu finden, die zwei gegebene Kreise tangieren , wie C ₁ und C ₂ . Er stellte fest, dass der Mittelpunkt eines Kreises, der zu beiden gegebenen Kreisen tangiert, auf einer Hyperbel liegen muss, deren Brennpunkte die Mittelpunkte der gegebenen Kreise sind. Um dies zu verstehen, seien die Radien des Lösungskreises und der beiden gegebenen Kreise mit r _s , r ₁ bzw. r ₂ bezeichnet (Abbildung 3). Der Abstand d ₁ zwischen den Mittelpunkten des Lösungskreises und C ₁ beträgt entweder r _s + r ₁ oder r _s – r ₁ , je nachdem, ob diese Kreise außen oder innen tangential gewählt werden. In ähnlicher Weise beträgt der Abstand d ₂ zwischen den Mittelpunkten des Lösungskreises und C ₂ entweder r _s + r ₂ oder r _s – r ₂ , wiederum abhängig von ihrer gewählten Tangentialität. Somit ist die Differenz d ₁ − d ₂ zwischen diesen Abständen immer eine von r _s unabhängige Konstante . Diese Eigenschaft, eine feste Differenz zwischen den Abständen zu den Brennpunkten zu haben , charakterisiert Hyperbeln, so dass die möglichen Mittelpunkte des Lösungskreises auf einer Hyperbel liegen. Eine zweite Hyperbel kann für das Paar gegebener Kreise C ₂ und C ₃ gezeichnet werden , wobei die innere oder äußere Tangente der Lösung und C ₂ konsistent mit der der ersten Hyperbel gewählt werden sollte. Ein Schnittpunkt dieser beiden Hyperbeln (sofern vorhanden) ergibt den Mittelpunkt eines Lösungskreises, der die gewählten inneren und äußeren Tangenten an die drei gegebenen Kreise hat. Die vollständige Menge an Lösungen für das Problem von Apollonius kann gefunden werden, indem alle möglichen Kombinationen der inneren und äußeren Tangenten des Lösungskreises an die drei gegebenen Kreise betrachtet werden.

Isaac Newton (1687) verfeinerte van Roomens Lösung, so dass die Lösungskreismittelpunkte an den Schnittpunkten einer Geraden mit einem Kreis lagen. Newton formuliert das Problem von Apollonius als Trilaterationsproblem : einen Punkt Z aus drei gegebenen Punkten A , B und C zu lokalisieren , so dass die Distanzunterschiede von Z zu den drei gegebenen Punkten bekannte Werte haben. Diese vier Punkte entsprechen dem Mittelpunkt des Lösungskreises ( Z ) und den Mittelpunkten der drei gegebenen Kreise ( A , B und C ).

Die Punktmenge mit einem konstanten Verhältnis der Abstände d ₁ / d ₂ zu zwei Fixpunkten ist ein Kreis.

Anstatt nach den beiden Hyperbeln aufzulösen, konstruiert Newton stattdessen ihre Directrix-Linien . Für jede Hyperbel ist das Verhältnis der Entfernungen von einem Punkt Z zu einem Brennpunkt A und zur Leitlinie eine feste Konstante, die Exzentrizität genannt wird . Die beiden Richtungen schneiden sich in einem Punkt T , und Newton konstruiert aus ihren beiden bekannten Abstandsverhältnissen eine durch T gehende Gerade, auf der Z liegen muss. Aber auch das Abstandsverhältnis TZ/TA ist bekannt; daher liegt Z auch auf einem bekannten Kreis, da Apollonius gezeigt hatte, dass ein Kreis als die Menge von Punkten definiert werden kann , die ein bestimmtes Verhältnis von Abständen zu zwei Fixpunkten haben. (Diese Definition ist nebenbei die Grundlage der bipolaren Koordinaten .) Die Lösungen des Apollonius-Problems sind also die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis.

Viètes Wiederaufbau

Wie unten beschrieben , hat das Apollonius-Problem zehn Spezialfälle, abhängig von der Natur der drei gegebenen Objekte, die ein Kreis ( C ), eine Linie ( L ) oder ein Punkt ( P ) sein können. Gewöhnlich werden diese zehn Fälle durch Drei-Buchstaben-Codes wie CCP unterschieden . Viète löste alle zehn dieser Fälle nur mit Zirkel- und Linealkonstruktionen und verwendete die Lösungen einfacherer Fälle, um die komplexeren Fälle zu lösen.

Abbildung 4: Tangentialität zwischen Kreisen bleibt erhalten, wenn ihre Radien um den gleichen Betrag geändert werden. Ein rosa Lösungskreis muss mit einem innen tangentialen Kreis (schwarzer Kreis rechts) schrumpfen oder anschwellen, während außen tangentiale Kreise (zwei schwarze Kreise links) das Gegenteil bewirken.

Viète begann mit der Lösung des PPP- Falls (drei Punkte) nach der Methode von Euklid in seinen Elementen . Daraus leitete er ein Lemma ab , das der Potenz eines Punktsatzes entspricht , mit dem er den LPP- Fall (eine Gerade und zwei Punkte) löste . Nach Euklid ein zweites Mal löste Viète den LLL- Fall (drei Linien) mit Hilfe der Winkelhalbierenden . Anschließend leitete er ein Lemma ab, um die Gerade senkrecht zu einer Winkelhalbierenden zu konstruieren, die durch einen Punkt geht, mit dem er das LLP- Problem (zwei Geraden und ein Punkt) löste . Dies erklärt die ersten vier Fälle des Apollonius-Problems, die keine Kreise betreffen.

Um die verbleibenden Probleme zu lösen, nutzte Viète die Tatsache, dass die gegebenen Kreise und der Lösungskreis gleichzeitig in der Größe geändert werden können, während ihre Tangenten erhalten bleiben (Abbildung 4). Wird der Lösungskreisradius um einen Betrag Δ r geändert , so muss der Radius seiner innen tangentialen gegebenen Kreise ebenfalls um Δ r geändert werden , während der Radius seiner außen tangentialen gegebenen Kreise um −Δ r geändert werden muss . Wenn also der Lösungskreis anschwillt, müssen die innen tangentialen gegebenen Kreise gleichzeitig anschwellen, während die außen tangentialen gegebenen Kreise schrumpfen müssen, um ihre Tangenten beizubehalten.

Viète nutzte diesen Ansatz, um einen der vorgegebenen Kreise auf einen Punkt zu verkleinern und so das Problem auf einen einfacheren, bereits gelösten Fall zu reduzieren. Er löste zuerst den CLL- Fall (ein Kreis und zwei Linien), indem er den Kreis zu einem Punkt schrumpfte, wodurch er zu einem LLP- Fall wurde. Dann löste er den CLP- Fall (ein Kreis, eine Linie und ein Punkt) mit drei Lemmata. Viète schrumpfte wieder einen Kreis auf einen Punkt und verwandelte den CCL- Fall in einen CLP- Fall. Dann löste er den CPP- Fall (ein Kreis und zwei Punkte) und den CCP- Fall (zwei Kreise und ein Punkt), letzteren Fall durch zwei Lemmata. Schließlich löste Viète den allgemeinen CCC- Fall (drei Kreise), indem er einen Kreis auf einen Punkt schrumpfte, wodurch er zu einem CCP- Fall wurde.

Algebraische Lösungen

Das Problem von Apollonius kann als ein System von drei Gleichungen für den Mittelpunkt und den Radius des Lösungskreises formuliert werden. Da die drei gegebenen Kreise und ein beliebiger Lösungskreis in derselben Ebene liegen müssen, können ihre Positionen durch die ( x , y ) Koordinaten ihrer Mittelpunkte angegeben werden. Zum Beispiel können die Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise als ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ) und ( x ₃ , y ₃ ) geschrieben werden, während die eines Lösungskreises geschrieben werden kann als ( x _s , y _s ). In ähnlicher Weise können die Radien der gegebenen Kreise und eines Lösungskreises als r ₁ , r ₂ , r ₃ bzw. r _{s geschrieben} werden. Die Forderung, dass ein Lösungskreis jeden der drei gegebenen Kreise genau berühren muss, lässt sich als drei gekoppelte quadratische Gleichungen für x _s , y _s und r _s ausdrücken :

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s} -s_{1}r_{1}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s} -s_{2}r_{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s} -s_{3}r_{3}\right)^{2}.}$

Die drei Zahlen s ₁ , s ₂ und s ₃ auf der rechten Seite , sogenannte Vorzeichen, können gleich ±1 sein und geben an, ob der gewünschte Lösungskreis den entsprechenden vorgegebenen Kreis innerlich ( s = 1) oder äußerlich ( s = . ) berühren soll −1). In den Abbildungen 1 und 4 beispielsweise tangiert die rosa Lösung rechts den mittelgroßen gegebenen Kreis und links den kleinsten und größten Kreis tangential; wenn die angegebenen Kreise nach Radius geordnet sind, sind die Vorzeichen für diese Lösung "− + −" . Da die drei Vorzeichen unabhängig voneinander gewählt werden können, gibt es acht mögliche Sätze von Gleichungen (2 × 2 × 2 = 8) , wobei jeder Satz einem der acht Typen von Lösungskreisen entspricht.

Das allgemeine System der drei Gleichungen kann durch die Methode der Resultanten gelöst werden . Ausmultipliziert haben alle drei Gleichungen x _s ² + y _s ² auf der linken Seite und r _s ² auf der rechten Seite. Das Subtrahieren einer Gleichung von einer anderen eliminiert diese quadratischen Terme; die verbleibenden linearen Terme können umgeordnet werden, um Formeln für die Koordinaten x _s und y _{s . zu erhalten}

${\displaystyle x_{s}=M+Nr_{s}}$

${\displaystyle y_{s}=P+Qr_{s}}$

wobei M , N , P und Q bekannte Funktionen der gegebenen Kreise und der Wahl der Vorzeichen sind. Einsetzen dieser Formeln in eine der drei Anfangsgleichungen ergibt eine quadratische Gleichung für r _s , die durch die quadratische Formel gelöst werden kann . Einsetzen des Zahlenwertes von r _s in die linearen Formeln liefert die entsprechenden Werte von x _s und y _s .

Die Zeichen s ₁ , s ₂ und s ₃ auf den rechten Seiten der Gleichungen kann in acht Möglichkeiten gewählt werden, und jede Wahl von Zeichen gibt zwei Lösungen auf, da die Gleichung für R _s ist quadratisch . Dies könnte (fälschlicherweise) darauf hindeuten, dass es bis zu sechzehn Lösungen für das Problem von Apollonius gibt. Jedoch aufgrund einer Symmetrie der Gleichungen, wenn ( r _s , x _s , y _s ) eine Lösung ist, mit Zeichen s _i , dann ist so (- r _s , x _s , y _s ), mit entgegengesetztem Vorzeichen - s _i , was den gleichen Lösungskreis darstellt. Daher hat das Problem von Apollonius höchstens acht unabhängige Lösungen (Abbildung 2). Eine Möglichkeit, diese Doppelzählung zu vermeiden, besteht darin, nur Lösungskreise mit nicht negativem Radius zu berücksichtigen.

Die zwei Wurzeln jeder quadratischen Gleichung können drei mögliche Typen haben: zwei verschiedene reelle Zahlen , zwei identische reelle Zahlen (dh eine entartete Doppelwurzel) oder ein Paar komplex konjugierter Wurzeln. Der erste Fall entspricht der üblichen Situation; jedes Wurzelpaar entspricht einem Paar von Lösungen, die durch Kreisinversion in Beziehung stehen , wie unten beschrieben (Abbildung 6). Im zweiten Fall sind beide Nullstellen identisch, was einem Lösungskreis entspricht, der sich unter Inversion in sich selbst umwandelt. In diesem Fall ist einer der gegebenen Kreise selbst eine Lösung des Apollonius-Problems, und die Anzahl der verschiedenen Lösungen wird um eins reduziert. Der dritte Fall komplex konjugierter Radien entspricht keiner geometrisch möglichen Lösung des Apollonius-Problems, da ein Lösungskreis keinen imaginären Radius haben kann; daher wird die Anzahl der Lösungen um zwei reduziert. Das Problem von Apollonius kann nicht sieben Lösungen haben, obwohl es eine beliebige andere Anzahl von Lösungen von null bis acht haben kann.

Lügenkugelgeometrie

Dieselben algebraischen Gleichungen können im Kontext der Lie-Kugelgeometrie abgeleitet werden . Diese Geometrie stellt Kreise, Linien und Punkte auf einheitliche Weise dar, als ein fünfdimensionaler Vektor X = ( v , c _x , c _y , w , sr ), wobei c = ( c _x , c _y ) der Mittelpunkt des Kreis, und r ist sein (nicht negativer) Radius. Wenn r nicht null ist, kann das Vorzeichen s positiv oder negativ sein; zur Visualisierung stellt s die Ausrichtung des Kreises dar, wobei Kreise gegen den Uhrzeigersinn ein positives s und Kreise im Uhrzeigersinn ein negatives s aufweisen . Der Parameter w ist null für eine gerade Linie, andernfalls eins.

In dieser fünfdimensionalen Welt gibt es ein bilineares Produkt ähnlich dem Punktprodukt :

${\displaystyle \left(X_{1}\mid X_{2}\right):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.}$

Die Lie-Quadrik ist definiert als die Vektoren, deren Produkt mit sich selbst (ihrer Quadratnorm ) null ist, ( X | X ) = 0. Seien X ₁ und X ₂ zwei Vektoren, die zu dieser Quadrik gehören; die Norm ihrer Differenz ist gleich

${\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_ {1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1 }-\mathbf{c}_{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.}$

Das Produkt verteilt sich über Addition und Subtraktion (genauer gesagt ist es bilinear ):

${\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}\mid X_{1}\right)-2\left (X_{1}\mid X_{2}\right)+\left(X_{2}\mid X_{2}\right).}$

Da ( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 (beide gehören zur Lie-Quadrik) und da w ₁ = w ₂ = 1 für Kreise ist, ist das Produkt zweier solcher Vektoren auf der Quadrik gleich

${\displaystyle -2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)=\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2 }-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.}$

wobei die vertikalen Balken zwischen c ₁ − c ₂ die Länge dieses Differenzvektors darstellen, dh die euklidische Norm . Diese Formel zeigt, dass, wenn zwei quadratische Vektoren X ₁ und X ₂ orthogonal (senkrecht) zueinander sind – das heißt, wenn ( X ₁ | X ₂ )  =  0 – ihre entsprechenden Kreise tangential sind. Denn wenn die beiden Vorzeichen s ₁ und s _{2 gleich} sind (dh die Kreise haben die gleiche "Orientierung"), sind die Kreise intern tangential; der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten ist gleich der Differenz der Radien

${\displaystyle \left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{ 2}.}$

Umgekehrt, wenn die beiden Vorzeichen s ₁ und s ₂ unterschiedlich sind (dh die Kreise haben entgegengesetzte "Orientierungen"), sind die Kreise nach außen tangential; der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten ist gleich der Summe der Radien

${\displaystyle \left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{ 2}.}$

Daher kann das Problem von Apollonius in der Lie-Geometrie als Problem des Findens senkrechter Vektoren auf der Lie-Quadrik neu formuliert werden; insbesondere besteht das Ziel darin, Lösungsvektoren X _sol zu identifizieren , die zur Lie-Quadrik gehören und auch orthogonal (senkrecht) zu den Vektoren X ₁ , X ₂ und X _{3 sind} , die den gegebenen Kreisen entsprechen.

${\displaystyle \left(X_{\textrm {sol}}\mid X_{\textrm {sol}}\right)=\left(X_{\textrm {sol}}\mid X_{1}\right)=\ left(X_{\textrm{sol}}\mid X_{2}\right)=\left(X_{\textrm{sol}}\mid X_{3}\right)=0}$

Der Vorteil dieser Umformulierung besteht darin, dass man Sätze aus der linearen Algebra über die maximale Anzahl von linear unabhängigen , gleichzeitig senkrechten Vektoren ausnutzen kann . Dies gibt eine andere Möglichkeit, die maximale Anzahl von Lösungen zu berechnen und den Satz auf höherdimensionale Räume zu erweitern.

Inversive Methoden

Abbildung 5: Inversion in einem Kreis. Der Punkt P ' ist die Umkehrung des Punktes P bezüglich des Kreises.

Ein natürlicher Rahmen für das Problem von Apollonius ist die inversive Geometrie . Die grundlegende Strategie inversiver Methoden besteht darin, ein gegebenes Apollonius-Problem in ein anderes einfacher zu lösendes Apollonius-Problem umzuwandeln; die Lösungen des ursprünglichen Problems werden aus den Lösungen des transformierten Problems gefunden, indem die Transformation rückgängig gemacht wird. Kandidatentransformationen müssen ein Apollonius-Problem in ein anderes verwandeln; Daher müssen sie die gegebenen Punkte, Kreise und Linien in andere Punkte, Kreise und Linien und keine anderen Formen umwandeln. Die Kreisumkehrung hat diese Eigenschaft und ermöglicht es, den Mittelpunkt und den Radius des Umkehrkreises mit Bedacht zu wählen. Andere Kandidaten sind die Isometrien der euklidischen Ebene ; Sie vereinfachen das Problem jedoch nicht, da sie das ursprüngliche Problem lediglich verschieben , drehen und spiegeln .

Die Umkehrung in einem Kreis mit Mittelpunkt O und Radius R besteht aus der folgenden Operation (Abbildung 5): Jeder Punkt P wird in einen neuen Punkt P' abgebildet , so dass O , P und P' kollinear sind und das Produkt der Abstände von P und P' zum Mittelpunkt O gleich dem Radius R zum Quadrat

${\displaystyle {\overline {\mathbf{OP}}}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime}}}}=R^{2}.}$

Wenn also P außerhalb des Kreises liegt , liegt P' innerhalb und umgekehrt. Wenn P gleich O ist, sagt man, dass die Inversion P ins Unendliche schickt . (In der komplexen Analysis wird "Unendlichkeit" in Bezug auf die Riemannsche Kugel definiert .) Inversion hat die nützliche Eigenschaft, dass Linien und Kreise immer in Linien und Kreise umgewandelt werden und Punkte immer in Punkte umgewandelt werden. Kreise werden im Allgemeinen unter Inversion in andere Kreise umgewandelt; Wenn jedoch ein Kreis durch den Mittelpunkt des Umkehrkreises geht, wird er in eine Gerade umgewandelt und umgekehrt. Wichtig ist, dass wenn ein Kreis den Inversionskreis im rechten Winkel schneidet (senkrecht schneidet), er von der Inversion unverändert gelassen wird; es verwandelt sich in sich selbst.

Kreisinversionen entsprechen einer Teilmenge von Möbius-Transformationen auf der Riemannschen Kugel . Das planare Apollonius-Problem kann durch eine inverse stereographische Projektion auf die Kugel übertragen werden ; daher beziehen sich Lösungen des planaren Apollonius-Problems auch auf sein Gegenstück auf der Sphäre. Neben den unten beschriebenen inversen Lösungen des planaren Problems sind andere möglich.

Lösungspaare durch Inversion

Abbildung 6: Ein konjugiertes Lösungspaar für das Problem von Apollonius (rosa Kreise), mit gegebenen Kreisen in Schwarz.

Lösungen für das Problem von Apollonius treten im Allgemeinen paarweise auf; zu jedem Lösungskreis gibt es einen konjugierten Lösungskreis (Abbildung 6). Ein Lösungskreis schließt die gegebenen Kreise aus, die von seiner konjugierten Lösung eingeschlossen sind und umgekehrt. In Abbildung 6 beispielsweise umschließt ein Lösungskreis (rosa, oben links) zwei vorgegebene Kreise (schwarz), schließt aber einen dritten aus; umgekehrt umschließt seine konjugierte Lösung (ebenfalls rosa, unten rechts) den dritten gegebenen Kreis, schließt aber die anderen beiden aus. Die beiden konjugierten Lösungskreise sind durch Inversion mit dem folgenden Argument verbunden.

Im Allgemeinen haben alle drei verschiedenen Kreise einen einzigartigen Kreis – den Radikalkreis –, der alle senkrecht schneidet; der Mittelpunkt dieses Kreises ist der radikale Mittelpunkt der drei Kreise. Zur Veranschaulichung kreuzt der orangefarbene Kreis in Abbildung 6 die schwarzen gegebenen Kreise im rechten Winkel. Die Inversion im Radikalkreis lässt die gegebenen Kreise unverändert, wandelt aber die beiden konjugierten rosa Lösungskreise ineinander um. Unter derselben Umkehrung werden die entsprechenden Tangentialpunkte der beiden Lösungskreise ineinander überführt; zur Veranschaulichung sind in Abbildung 6 die beiden blauen Punkte, die auf jeder grünen Linie liegen, ineinander überführt. Daher sind die Linien, die diese konjugierten Tangentenpunkte verbinden, unter der Inversion invariant; daher müssen sie das Inversionszentrum passieren, das das Radikalzentrum ist (grüne Linien, die sich am orangefarbenen Punkt in Abbildung 6 schneiden).

Inversion zu einem Kreisring

Wenn sich zwei der drei gegebenen Kreise nicht schneiden, kann ein Inversionszentrum so gewählt werden, dass diese beiden gegebenen Kreise konzentrisch werden . Bei dieser Umkehrung müssen die Lösungskreise in den Ringraum zwischen den beiden konzentrischen Kreisen fallen. Daher gehören sie zu zwei Einparameterfamilien. Bei der ersten Familie (Bild 7) umschließen die Lösungen nicht den inneren konzentrischen Kreis, sondern laufen wie Kugellager im Ringraum um. In der zweiten Familie (Abbildung 8) umschließen die Lösungskreise den inneren konzentrischen Kreis. Es gibt im Allgemeinen vier Lösungen für jede Familie, was acht mögliche Lösungen ergibt, die mit der algebraischen Lösung übereinstimmen .

Abbildung 7: Ein Lösungskreis (rosa) der ersten Familie liegt zwischen konzentrischen gegebenen Kreisen (schwarz). Der doppelte Lösungsradius r _s entspricht der Differenz r _außen − r _innen von Innen- und Außenradius, während der doppelte Achsabstand d _s deren Summe entspricht.

Abbildung 8: Ein Lösungskreis (rosa) in der zweiten Familie umschließt den inneren gegebenen Kreis (schwarz). Der doppelte Lösungsradius r _s entspricht der Summe r _außen + r _innen des Innen- und Außenradius, während der doppelte Achsabstand d _s deren Differenz entspricht.

Wenn zwei der gegebenen Kreise konzentrisch sind, kann das Problem von Apollonius leicht mit einer Methode von Gauß gelöst werden . Die Radien der drei gegebenen Kreise sind bekannt, ebenso der Abstand d _non vom gemeinsamen konzentrischen Mittelpunkt zum nicht konzentrischen Kreis (Bild 7). Der Lösungskreis kann aus seinem Radius r _s , dem Winkel θ und den Abständen d _s und d _T von seinem Mittelpunkt zum gemeinsamen konzentrischen Mittelpunkt bzw. zum Mittelpunkt des nicht konzentrischen Kreises bestimmt werden. Radius und Abstand d _s sind bekannt (Bild 7) und der Abstand d _T = r _s ± r _non , je nachdem, ob der Lösungskreis den nicht konzentrischen Kreis innen oder außen tangiert. Daher wird durch den Kosinussatz ,

${\displaystyle \cos\theta ={\frac {d_{\textrm {s}}^{2}+d_{\textrm {non}}^{2}-d_{\textrm {T}}^{2} }{2d_{\mathrm{s}}d_{\mathrm{non}}}}\equiv C_{\pm}.}$

Hier wurde der Kürze halber eine neue Konstante C definiert, wobei der Index angibt, ob die Lösung extern oder intern tangential ist. Eine einfache trigonometrische Umlagerung liefert die vier Lösungen

${\displaystyle \theta =\pm 2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).}$

Diese Formel stellt vier Lösungen dar, die den beiden Wahlmöglichkeiten des Vorzeichens von und den beiden Wahlmöglichkeiten für C entsprechen . Die verbleibenden vier Lösungen können mit der gleichen Methode erhalten werden, indem die in Abbildung 8 angegebenen Substitutionen für r _s und d _{s verwendet werden} . Somit können alle acht Lösungen des allgemeinen Apollonius-Problems mit dieser Methode gefunden werden.

Beliebige anfänglich zwei disjunkte gegebene Kreise können wie folgt konzentrisch gemacht werden. Die Radikalachse der beiden gegebenen Kreise wird konstruiert; wählt man zwei beliebige Punkte P und Q auf dieser Radikalachse, können zwei Kreise konstruiert werden, die auf P und Q zentriert sind und die beiden gegebenen Kreise orthogonal schneiden. Diese beiden konstruierten Kreise schneiden sich in zwei Punkten. Die Umkehrung in einem solchen Schnittpunkt F macht die konstruierten Kreise in gerade Linien, die von F ausgehen, und die beiden gegebenen Kreise in konzentrische Kreise, wobei der dritte gegebene Kreis (im Allgemeinen) ein anderer Kreis wird. Dies liegt daran, dass das Kreissystem einem Satz apollinischer Kreise entspricht , die ein bipolares Koordinatensystem bilden .

Größenänderung und Inversion

Die Nützlichkeit der Inversion kann durch eine Größenänderung deutlich erhöht werden. Wie in Viètes Rekonstruktion angemerkt , können die drei gegebenen Kreise und der Lösungskreis gleichzeitig in der Größe verändert werden, während ihre Tangenten erhalten bleiben. Somit wird das ursprüngliche Apollonius-Problem in ein anderes Problem umgewandelt, das möglicherweise einfacher zu lösen ist. Die Größe der vier Kreise kann beispielsweise so geändert werden, dass ein bestimmter Kreis auf einen Punkt verkleinert wird; alternativ können zwei gegebene Kreise oft in der Größe so geändert werden, dass sie tangential zueinander sind. Drittens können gegebene Kreise, die sich schneiden, in der Größe so verändert werden, dass sie sich nicht schneiden, wonach das Verfahren zum Invertieren zu einem Kreisring angewendet werden kann. In all diesen Fällen wird die Lösung des ursprünglichen Apollonius-Problems aus der Lösung des transformierten Problems erhalten, indem die Größenänderung und Inversion rückgängig gemacht werden.

Einen gegebenen Kreis zu einem Punkt verkleinern

Beim ersten Ansatz werden die gegebenen Kreise geschrumpft oder angeschwollen (entsprechend ihrer Tangente), bis ein gegebener Kreis auf einen Punkt P geschrumpft ist . In diesem Fall degeneriert das Apollonius-Problem zum CCP- Grenzfall , dem Problem, einen Lösungskreis zu finden, der die beiden verbleibenden gegebenen Kreise tangential durch den Punkt P geht . Die Umkehrung in einem Kreis mit Mittelpunkt P verwandelt die beiden gegebenen Kreise in neue Kreise und den Lösungskreis in eine Gerade. Daher ist die transformierte Lösung eine Linie, die die beiden transformierten gegebenen Kreise tangiert. Es gibt vier solcher Lösungsgeraden, die aus den äußeren und inneren homothetischen Zentren der beiden Kreise konstruiert werden können . Eine erneute Inversion in P und das Rückgängigmachen der Größenänderung wandelt eine solche Lösungslinie in den gewünschten Lösungskreis des ursprünglichen Apollonius-Problems um. Alle acht allgemeinen Lösungen können durch Schrumpfen und Aufquellen der Kreise gemäß den unterschiedlichen inneren und äußeren Tangenten jeder Lösung erhalten werden; jedoch können verschiedene gegebene Kreise für verschiedene Lösungen auf einen Punkt geschrumpft werden.

Größenänderung zweier gegebener Kreise auf Tangentialität

Beim zweiten Ansatz werden die Radien der gegebenen Kreise entsprechend um einen Betrag Δ r modifiziert, so dass zwei davon tangential (sich berührend) sind. Ihr Tangentialpunkt wird als Inversionszentrum in einem Kreis gewählt , der jeden der beiden sich berührenden Kreise an zwei Stellen schneidet. Bei der Umkehrung werden die sich berührenden Kreise zu zwei parallelen Linien: Ihr einziger Schnittpunkt wird bei der Umkehrung ins Unendliche geschickt, sodass sie sich nicht treffen können. Die gleiche Umkehrung verwandelt den dritten Kreis in einen anderen Kreis. Die Lösung des invertierten Problems muss entweder (1) eine Gerade sein, die parallel zu den beiden gegebenen parallelen Geraden und tangential zum transformierten dritten gegebenen Kreis verläuft; oder (2) ein Kreis mit konstantem Radius, der die zwei gegebenen parallelen Geraden und den transformierten gegebenen Kreis tangiert. Eine erneute Umkehrung und Anpassung der Radien aller Kreise um Δ r erzeugt eine Lösungskreistangente zu den ursprünglichen drei Kreisen.

Gergonnes Lösung

Abbildung 9: Die beiden Tangenten der beiden Tangentenpunkte eines gegebenen Kreises schneiden sich auf der Radikalachse R (rote Linie) der beiden Lösungskreise (rosa). Die drei Schnittpunkte auf R sind die Pole der Linien, die die blauen Tangentenpunkte in jedem gegebenen Kreis (schwarz) verbinden.

Gergonnes Ansatz besteht darin, die Lösungskreise paarweise zu betrachten. Ein Paar von Lösungskreisen sei als C _A und C _{B bezeichnet} (die rosa Kreise in Abbildung 6), und ihre Tangentenpunkte mit den drei gegebenen Kreisen seien als A ₁ , A ₂ , A ₃ und B ₁ , B . bezeichnet ₂ , B ₃ , respectively. Die Lösung von Gergonne zielt darauf ab, diese sechs Punkte zu lokalisieren und somit nach den beiden Lösungskreisen aufzulösen.

Gergonnes Erkenntnis war, dass wenn eine Linie L ₁ so konstruiert werden könnte, dass A ₁ und B ₁ garantiert darauf fallen, diese beiden Punkte als Schnittpunkte von L ₁ mit dem gegebenen Kreis C ₁ identifiziert werden könnten (Abbildung 6). Die verbleibenden vier Tangentenpunkte würden auf ähnliche Weise lokalisiert, indem Linien L ₂ und L _{3 gefunden würden} , die A ₂ und B ₂ bzw. A ₃ und B ₃ enthielten . Um eine Linie wie L ₁ zu konstruieren , müssen zwei Punkte identifiziert werden, die darauf liegen; aber diese Punkte müssen nicht die Tangentenpunkte sein. Gergonne konnte für jede der drei Linien zwei weitere Punkte identifizieren. Einer der beiden Punkte wurde bereits identifiziert: Das Radikalzentrum G liegt auf allen drei Geraden (Abbildung 6).

Um einen zweiten Punkt auf den Linien L ₁ , L ₂ und L _{3 zu} lokalisieren, stellte Gergonne eine reziproke Beziehung zwischen diesen Linien und der Radikalachse R der Lösungskreise C _A und C _{B fest} . Um diese reziproke Beziehung zu verstehen, betrachten Sie die beiden Tangenten an den Kreis C _{1 ,} die an seinen Tangentenpunkten A ₁ und B ₁ mit den Lösungskreisen gezogen werden; der Schnittpunkt dieser Tangenten ist der Polpunkt von L ₁ in C ₁ . Da die Abstände von diesem Polpunkt zu den Tangentenpunkten A ₁ und B ₁ gleich sind, muss auch dieser Polpunkt definitionsgemäß auf der Radikalachse R der Lösungskreise liegen (Abbildung 9). Die Beziehung zwischen Polpunkten und ihren Polarlinien ist reziprok; wenn der Pol von L ₁ in C ₁ auf R liegt , muss der Pol von R in C ₁ umgekehrt auf L _{1 liegen} . Wenn wir also R konstruieren können , können wir seinen Pol P ₁ in C _{1 finden} , was den benötigten zweiten Punkt auf L ₁ ergibt (Abbildung 10).

Abbildung 10: Die Pole (rote Punkte) der Radikalachse R in den drei gegebenen Kreisen (schwarz) liegen auf den grünen Verbindungslinien der Tangentialpunkte. Diese Linien können aus den Polen und dem Radikalzentrum (orange) aufgebaut werden.

Gergonne hat die Radikalachse R der unbekannten Lösungskreise wie folgt ermittelt. Jedes Kreispaar hat zwei Ähnlichkeitszentren ; diese beiden Punkte sind die beiden möglichen Schnittpunkte zweier Tangenten an die beiden Kreise. Daher haben die drei gegebenen Kreise sechs Ähnlichkeitszentren, zwei für jedes verschiedene Paar gegebener Kreise. Bemerkenswerterweise liegen diese sechs Punkte auf vier Linien, drei Punkte auf jeder Linie; außerdem entspricht jede Gerade der Radikalachse eines potentiellen Paares von Lösungskreisen. Um dies zu zeigen, betrachtete Gergonne Linien durch entsprechende Tangentialpunkte auf zwei der gegebenen Kreise, zB die durch A ₁ / A ₂ definierte Gerade und die durch B ₁ / B ₂ definierte Gerade . Sei X ₃ ein Ähnlichkeitszentrum für die beiden Kreise C ₁ und C ₂ ; dann sind A ₁ / A ₂ und B ₁ / B ₂ Paare von antihomologen Punkten , und ihre Linien schneiden sich bei X ₃ . Daraus folgt, dass die Produkte der Entfernungen gleich sind

${\displaystyle {\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}}$

was bedeutet, dass X ₃ auf der Radikalachse der beiden Lösungskreise liegt. Das gleiche Argument lässt sich auf die anderen Kreispaare anwenden, so dass drei Ähnlichkeitszentren für die gegebenen drei Kreise auf den Radikalachsen von Lösungskreispaaren liegen müssen.

Zusammenfassend wird die gesuchte Gerade L ₁ durch zwei Punkte definiert: den Radikalmittelpunkt G der drei gegebenen Kreise und den Pol in C ₁ einer der vier Verbindungslinien der homothetischen Zentren. Das Finden des gleichen Pols in C ₂ und C ₃ ergibt L ₂ bzw. L ₃ ; somit können alle sechs Punkte lokalisiert werden, aus denen ein Paar Lösungskreise gefunden werden kann. Das Wiederholen dieses Verfahrens für die verbleibenden drei Linien des homothetischen Zentrums ergibt sechs weitere Lösungen, was insgesamt acht Lösungen ergibt. Wenn eine Linie jedoch L _k nicht schneidet seinen Kreis C _k für einige k gibt es kein Paar von Lösungen für die homothetic-Mittellinie.

Kreuzungstheorie

Die Techniken der modernen algebraischen Geometrie und insbesondere der Schnittmengentheorie können verwendet werden, um das Problem von Apollonius zu lösen. Bei diesem Ansatz wird das Problem als Aussage über Kreise in der komplexen projektiven Ebene umgedeutet . Lösungen mit komplexen Zahlen sind erlaubt und entartete Situationen werden mit Vielfachheit gezählt. Wenn dies erledigt ist, gibt es immer acht Lösungen für das Problem.

Jede quadratische Gleichung in X , Y und Z bestimmt einen einzigartigen Kegelschnitt, seinen verschwindenden Ort. Umgekehrt hat jeder Kegelschnitt in der komplexen projektiven Ebene eine Gleichung, und diese Gleichung ist bis auf einen Gesamtskalierungsfaktor eindeutig (da die Neuskalierung einer Gleichung ihren verschwindenden Ort nicht ändert). Daher kann die Menge aller Kegelschnitte durch den fünfdimensionalen projektiven Raum P ⁵ parametrisiert werden , wobei die Korrespondenz

${\displaystyle \{[X:Y:Z]\in \mathbf {P}^{2}\colon AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2}=0 \}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P} ^{5}.}$

Ein Kreis in der komplexen projektiven Ebene wird als Kegelschnitt definiert, der durch die beiden Punkte O ₊ = [1 : i  : 0] und O ₋ = [1 : − i  : 0] geht , wobei i eine Quadratwurzel von − . bezeichnet 1 . Die Punkte O ₊ und O ₋ werden Kreispunkte genannt . Die projektive Varietät aller Kreise ist die Untervarietät von P ⁵ bestehend aus den Punkten, die den durch die Kreispunkte verlaufenden Kegelschnitten entsprechen. Einsetzen der Kreispunkte in die Gleichung für einen generischen Kegelschnitt ergibt die beiden Gleichungen

${\displaystyle A+Bi-C=0,}$

${\displaystyle A-Bi-C=0.}$

Aus der Summe und Differenz dieser Gleichungen ergibt sich, dass es äquivalent ist, die Bedingungen aufzuerlegen

${\displaystyle A=C}$und .${\displaystyle B=0}$

Daher ist die Varietät aller Kreise ein dreidimensionaler linearer Unterraum von P ⁵ . Nach Umskalierung und Vervollständigung des Quadrats zeigen diese Gleichungen auch, dass jeder Kegelschnitt, der durch die Kreispunkte geht, eine Gleichung der Form hat

${\displaystyle (X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2},}$

das ist die Homogenisierung der üblichen Kreisgleichung in der affinen Ebene. Daher ist das Studieren von Zirkeln im obigen Sinne fast äquivalent zum Studieren von Zirkeln im herkömmlichen Sinne. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der obige Sinn entartete Kreise zulässt, die die Vereinigung zweier Linien sind. Die nicht entarteten Kreise werden glatte Kreise genannt , während die entarteten Kreise singuläre Kreise genannt werden. Es gibt zwei Arten von singulären Kreisen. Eine ist die Vereinigung der Geraden im Unendlichen Z = 0 mit einer anderen Geraden in der projektiven Ebene (möglicherweise wieder der Geraden im Unendlichen), und die andere ist die Vereinigung von zwei Geraden in der projektiven Ebene, eine durch jeden der beiden Kreispunkte. Dies sind die Grenzen glatter Kreise, da der Radius r gegen +∞ bzw. 0 strebt . Im letzteren Fall hat kein Punkt auf keiner der beiden Linien reale Koordinaten außer dem Ursprung [0 : 0 : 1] .

Sei D ein fester glatter Kreis. Wenn C irgendein anderer Kreis ist, dann schneiden sich C und D nach der Definition eines Kreises in den Kreispunkten O ₊ und O ₋ . Da C und D Kegelschnitte sind, impliziert der Satz von Bézout, dass sich C und D in insgesamt vier Punkten schneiden, wenn diese Punkte mit der richtigen Schnittmultiplizität gezählt werden . Das heißt, es gibt vier Schnittpunkte O ₊ , O _– , P und Q , aber einige dieser Punkte könnten kollidieren. Das Problem von Appolonius betrifft die Situation, in der P = Q ist , was bedeutet, dass die Schnittmultiplizität an diesem Punkt 2 ist ; wenn P auch gleich einem Kreispunkt ist, sollte dies als Schnittmultiplizität von 3 interpretiert werden .

Sei Z _D die Vielfalt der Kreise, die D tangieren . Diese Varietät ist ein quadratischer Kegel im P ³ aller Kreise. Betrachten Sie dazu die Inzidenzkorrespondenz

${\displaystyle \Phi =\{(r,C)\in D\times \mathbf{P}^{3}\colon C{\text{ tangiert }}D{\text{ bei }}r\} .}$

Für eine Kurve, die der verschwindende Ort einer einzelnen Gleichung f = 0 ist , bedeutet die Bedingung, dass die Kurve D bei r mit der Multiplizität m trifft , dass die Taylor-Reihenentwicklung von f | _D verschwindet, um m bei r zu ordnen ; es sind daher m lineare Bedingungen für die Koeffizienten von f . Dies zeigt, dass für jedes r die Faser von Φ über r ein P ^{1 ist} , das durch zwei lineare Gleichungen im Kreisraum geschnitten wird. Folglich ist Φ der Dimension 2 irreduzibel . Da es möglich ist, einen Kreis zu zeigen, der D nur an einem einzigen Punkt tangiert, muss ein generisches Element von Z _D nur an einem einzigen Punkt tangential sein. Daher ist die Projektion Φ → P ² , die ( r , C ) an C sendet , ein birationaler Morphismus . Daraus folgt, dass das Bild von Φ , das Z _D ist, ebenfalls irreduzibel und zweidimensional ist.

Um die Form von Z _D zu bestimmen , legen Sie zwei verschiedene Kreise C ₀ und C _{∞ fest} , die nicht unbedingt tangential zu D sind . Diese beiden Kreise bestimmen einen Bleistift , also eine Linie L im P ³ der Kreise. Wenn die Gleichungen von C ₀ und C _∞ sind f und g jeweils dann die Punkte auf L entsprechen den Kreisen , deren Gleichungen sind Sf + Tg , wobei [ S  : T ] ein Punkt ist , P ¹ . Die Punkte, an denen L auf Z _D trifft, sind genau die Kreise im Bleistift, die D tangieren .

Für die Anzahl der Schnittpunkte gibt es zwei Möglichkeiten. Einer ist, dass entweder f oder g , sagen wir f , die Gleichung für D ist . In diesem Fall ist L eine Linie durch D . Wenn C _∞ Tangente an D ist , dann ist es auch jeder Kreis im Bleistift, und daher ist L in Z _{D enthalten} . Die andere Möglichkeit ist, dass weder f noch g die Gleichung für D sind . In diesem Fall ist die Funktion ( f / g )| _D ist ein Quotient von Quadraten, von denen keine identisch verschwindet. Daher verschwindet es an zwei Punkten und hat Pole an zwei Punkten. Dies sind die Punkte in C ₀ ∩ D bzw. C _∞ ∩ D , mit Multiplizität gezählt und mit den Kreispunkten abgezogen. Die rationale Funktion bestimmt einen Morphismus D → P ¹ vom Grad zwei. Die Faser über [ S  : T ] ∈ P ¹ ist der Satz von Punkten P , für die f ( P ) T = g ( P ) , S . Dies sind genau die Punkte, an denen der Kreis, dessen Gleichung Tf − Sg lautet, auf D trifft . Die Verzweigungspunkte dieses Morphismus sind die Kreise, die D tangieren . Nach der Riemann-Hurwitz-Formel gibt es genau zwei Verzweigungspunkte, und daher trifft L auf Z _D in zwei Punkten. Zusammen zeigen diese beiden Möglichkeiten für den Schnitt von L und Z _D , dass Z _D ein quadratischer Kegel ist. Alle diese Kegel in P ³ sind bis auf eine Änderung der Koordinaten gleich, so dass dies die Form von Z _D vollständig bestimmt .

Um das Argument abzuschließen, seien D ₁ , D ₂ und D ₃ drei Kreise. Wenn der Schnittpunkt Z _{D 1} ∩ Z _{D 2} ∩ Z _{D 3} endlich ist, dann hat er den Grad 2 ³ = 8 , und daher gibt es acht Lösungen des Apollonius-Problems, mit Multiplizität gezählt. Um zu beweisen, dass der Durchschnitt generisch endlich ist, betrachten wir die Inzidenzkorrespondenz

${\displaystyle \Psi =\{(D_{1},D_{2},D_{3},C)\in (\mathbf{P}^{3})^{4}\colon C{\text{ ist tangential zu allen }}D_{i}\}.}$

Es gibt einen Morphismus, der Ψ auf seinen Endfaktor P ³ projiziert . Die Faser über C ist Z _C ³ . Dies hat Dimension 6 , also hat Ψ Dimension 9 . Da ( P ³ ) ³ auch die Dimension 9 hat , kann die generische Faser der Projektion von Ψ auf die ersten drei Faktoren keine positive Dimension haben. Dies beweist, dass es generisch acht Lösungen gibt, die mit Multiplizität gezählt werden. Da es möglich ist, eine Konfiguration aufzuzeigen, bei der die acht Lösungen unterschiedlich sind, müssen bei der generischen Konfiguration alle acht Lösungen unterschiedlich sein.

Radien

Im generischen Problem mit acht Lösungskreisen summieren sich die Kehrwerte der Radien von vier der Lösungskreise auf den gleichen Wert wie die Kehrwerte der Radien der anderen vier Lösungskreise

Sonderfälle

Zehn Kombinationen von Punkten, Kreisen und Linien

Das Apollonius-Problem besteht darin, einen oder mehrere Kreise tangential zu drei gegebenen Objekten in einer Ebene zu konstruieren, die Kreise, Punkte oder Linien sein können. Dies führt zu zehn Arten des Apollonius-Problems, einer entspricht jeder Kombination von Kreisen, Linien und Punkten, die mit drei Buchstaben gekennzeichnet werden können, entweder C , L oder P , um anzuzeigen, ob die gegebenen Elemente ein Kreis sind, Linie bzw. Punkt ( Tabelle 1 ). Als Beispiel wird der Typ des Apollonius-Problems mit einem gegebenen Kreis, einer Linie und einem Punkt als CLP bezeichnet .

Einige dieser Spezialfälle sind viel einfacher zu lösen als der allgemeine Fall von drei gegebenen Kreisen. Die beiden einfachsten Fälle sind die Probleme des Zeichnens eines Kreises durch drei gegebene Punkte ( PPP ) oder Tangenten an drei Geraden ( LLL ), die zuerst von Euklid in seinen Elementen gelöst wurden . Beispielsweise kann das PPP- Problem wie folgt gelöst werden. Der Mittelpunkt des Lösungskreises ist von allen drei Punkten gleich weit entfernt und muss daher auf der senkrechten Winkelhalbierenden von zwei beliebigen liegen. Somit ist der Mittelpunkt der Schnittpunkt zweier beliebiger Mittelsenkrechter. In ähnlicher Weise muss im LLL- Fall der Mittelpunkt auf einer Linie liegen, die den Winkel an den drei Schnittpunkten zwischen den drei gegebenen Linien halbiert; somit liegt das Zentrum im Schnittpunkt zweier solcher Winkelhalbierenden. Da es an jedem Schnittpunkt der drei gegebenen Geraden zwei solcher Winkelhalbierenden gibt, gibt es vier Lösungen für das allgemeine LLL- Problem.

Punkte und Linien können als Sonderfälle von Kreisen angesehen werden; einen Punkt kann man sich als einen Kreis mit unendlich kleinem Radius vorstellen, und eine Gerade kann man sich als einen unendlich großen Kreis vorstellen, dessen Mittelpunkt ebenfalls im Unendlichen liegt. Aus dieser Perspektive besteht das allgemeine Apollonius-Problem darin, Kreise zu konstruieren, die drei gegebene Kreise tangieren. Die neun anderen Fälle von Punkten und Linien können als Grenzfälle des allgemeinen Problems angesehen werden. Diese Grenzfälle haben oft weniger Lösungen als das allgemeine Problem; zum Beispiel halbiert die Ersetzung eines gegebenen Kreises durch einen gegebenen Punkt die Anzahl der Lösungen, da ein Punkt als infinitesimaler Kreis interpretiert werden kann, der entweder intern oder extern tangiert.

Tabelle 1: Zehn Arten des Apollonius-Problems

Index	Code	Gegebene Elemente	Anzahl Lösungen (allgemein)	Beispiel (Lösung in Pink; vorgegebene Objekte in Schwarz)
1	PPP	drei Punkte	1
2	LPP	eine Linie und zwei Punkte	2
3	LLP	zwei Linien und ein Punkt	2
4	CPP	ein Kreis und zwei Punkte	2
5	LLL	drei Zeilen	4
6	CLP	ein Kreis, eine Linie und ein Punkt	4
7	CCP	zwei Kreise und ein Punkt	4
8	CLL	ein Kreis und zwei Linien	8
9	CCL	zwei Kreise und eine Linie	8
10	CCC	drei Kreise (das klassische Problem)	8

Anzahl Lösungen

Abbildung 11: Ein Apollonius-Problem ohne Lösungen. Ein Lösungskreis (rosa) muss den gestrichelten Kreis (schwarz) überqueren, um die beiden anderen Kreise (ebenfalls schwarz) zu berühren.

Das Problem, die Anzahl der Lösungen für verschiedene Typen des Apollonius-Problems zu zählen, gehört zum Gebiet der enumerativen Geometrie . Die allgemeine Anzahl von Lösungen für jeden der zehn Typen des Apollonius-Problems ist in Tabelle 1 oben angegeben. Durch spezielle Anordnungen der gegebenen Elemente kann sich jedoch die Anzahl der Lösungen ändern. Zur Veranschaulichung hat das Problem von Apollonius keine Lösung, wenn ein Kreis die beiden trennt (Abbildung 11); um beide ausgefüllten Kreise zu berühren, müsste der Lösungskreis den gestrichelten Kreis kreuzen; aber das kann es nicht, wenn es den gestrichelten Kreis tangential berühren soll. Umgekehrt, wenn drei gegebene Kreise alle an demselben Punkt tangential sind, dann ist jede Kreistangente an demselben Punkt eine Lösung; solche Apollonius-Probleme haben unendlich viele Lösungen. Wenn einer der angegebenen Kreise identisch ist, gibt es ebenfalls unendlich viele Lösungen. Wenn nur zwei gegebene Kreise identisch sind, gibt es nur zwei verschiedene gegebene Kreise; die Mittelpunkte der Lösungskreise bilden eine Hyperbel , wie sie in einer Lösung des Apollonius-Problems verwendet wird.

Eine erschöpfende Aufzählung der Anzahl von Lösungen für alle möglichen Konfigurationen von drei gegebenen Kreisen, Punkten oder Linien wurde erstmals 1896 von Muirhead vorgenommen, obwohl frühere Arbeiten von Stoll und Study durchgeführt worden waren. Muirheads Arbeit war jedoch unvollständig; es wurde 1974 erweitert und eine endgültige Aufzählung mit 33 verschiedenen Fällen wurde 1983 veröffentlicht. Obwohl Lösungen des Apollonius-Problems im Allgemeinen paarweise durch Inversion verbunden auftreten , ist in einigen Fällen eine ungerade Anzahl von Lösungen möglich, z für PPP , oder wenn einer oder drei der angegebenen Kreise selbst Lösungen sind. (Ein Beispiel für letzteres wird im Abschnitt über den Satz von Descartes gegeben .) Es gibt jedoch keine Apollonius-Probleme mit sieben Lösungen. Alternative Lösungen basierend auf der Geometrie von Kreisen und Kugeln wurden entwickelt und in höheren Dimensionen eingesetzt.

Gegenseitig tangentiale gegebene Kreise: Soddys Kreise und Descartes' Theorem

Wenn die drei gegebenen Kreise einander berühren, hat das Problem von Apollonius fünf Lösungen. Drei Lösungen sind die gegebenen Kreise selbst, da jede tangential zu sich selbst und zu den anderen beiden gegebenen Kreisen ist. Die verbleibenden zwei Lösungen (in Abbildung 12 rot dargestellt) entsprechen den eingeschriebenen und umschriebenen Kreisen und werden Soddy-Kreise genannt . Dieser Sonderfall des Apollonius-Problems wird auch als Vier-Münzen-Problem bezeichnet . Die drei gegebenen Kreise dieses Apollonius-Problems bilden eine Steiner-Kettentangente zu den beiden Soddy-Kreisen.

Abbildung 12: Die beiden Lösungen (rot) des Apollonius-Problems mit einander tangierenden gegebenen Kreisen (schwarz), gekennzeichnet durch ihre Krümmungen.

Jeder Soddy-Kreis erzeugt zusammen mit den drei gegebenen Kreisen einen Satz von vier Kreisen, die sich an sechs Punkten gegenseitig tangieren. Die Radien dieser vier Kreise sind durch eine Gleichung verbunden, die als Satz von Descartes bekannt ist . In einem Brief von 1643 an Prinzessin Elisabeth von Böhmen zeigte René Descartes , dass

${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_ {3}^{2}+k_{s}^{2})}$

wobei k _s = 1/ r _s und r _s die Krümmung bzw. der Radius des Lösungskreises sind, und analog für die Krümmungen k ₁ , k ₂ und k ₃ und die Radien r ₁ , r ₂ und r ₃ der drei gegebenen Kreise. Für jeden Satz von vier einander tangierenden Kreisen gibt es einen zweiten Satz von vier sich gegenseitig tangierenden Kreisen, die an denselben sechs Punkten tangential sind.

Der Satz von Descartes wurde 1826 von Jakob Steiner , 1842 von Philip Beecroft und 1936 von Frederick Soddy unabhängig wiederentdeckt . Soddy veröffentlichte seine Ergebnisse in der wissenschaftlichen Zeitschrift Nature als Gedicht The Kiss Precise , von dem die ersten beiden Strophen unten wiedergegeben sind. Die erste Strophe beschreibt Soddys Kreise, während die zweite Strophe den Satz von Descartes angibt. In Soddys Gedicht wird gesagt, dass sich zwei Kreise "küssen", wenn sie tangential sind, während sich der Begriff "biegen" auf die Krümmung k des Kreises bezieht .

Verschiedene Erweiterungen des Satzes von Descartes wurden von Daniel Pedoe abgeleitet .

Verallgemeinerungen

Das Problem von Apollonius kann erweitert werden, um alle Kreise zu konstruieren, die drei gegebene Kreise unter einem genauen Winkel θ schneiden, oder bei drei spezifizierten Kreuzungswinkeln ₁ , θ ₂ und θ ₃ ; das gewöhnliche Apollonius-Problem entspricht einem Sonderfall, in dem der Kreuzungswinkel für alle drei gegebenen Kreise null ist. Eine weitere Verallgemeinerung ist das Duale der ersten Erweiterung, nämlich Kreise mit drei angegebenen Tangentialabständen von den drei gegebenen Kreisen zu konstruieren.

Abbildung 13: Eine symmetrische apollinische Dichtung, nach ihrem Erfinder Gottfried Leibniz auch Leibniz-Packung genannt .

Das Problem von Apollonius kann von der Ebene auf die Kugel und andere quadratische Flächen ausgedehnt werden . Für die Kugel besteht das Problem darin, alle Kreise (die Grenzen der Kugelkappen ) zu konstruieren , die tangential zu drei gegebenen Kreisen auf der Kugel sind. Dieses sphärische Problem kann mittels stereographischer Projektion in ein entsprechendes planares Problem überführt werden . Nachdem die Lösungen des planaren Problems konstruiert wurden, können die entsprechenden Lösungen des sphärischen Problems durch Invertieren der stereographischen Projektion bestimmt werden. Noch allgemeiner kann man das Problem der vier Tangentenkurven betrachten, die sich aus den Schnittpunkten einer beliebigen quadratischen Fläche und vier Ebenen ergeben, ein Problem, das zuerst von Charles Dupin betrachtet wurde .

Durch wiederholtes Lösen des Apollonius-Problems, den einbeschriebenen Kreis zu finden, können die Zwischenräume zwischen einander tangentialen Kreisen beliebig fein ausgefüllt werden, wodurch eine Apollon-Dichtung , auch Leibniz-Packung oder Apollon-Packung genannt, entsteht . Diese Dichtung ist ein Fraktal , ist selbstähnlich und hat eine Dimension d , die nicht genau bekannt ist, aber ungefähr 1,3 beträgt, was höher ist als die einer regulären (oder korrigierbaren ) Kurve ( d = 1), aber kleiner als die einer Ebene ( d = 2). Die apollinische Dichtung wurde erstmals im 17. Jahrhundert von Gottfried Leibniz beschrieben und ist ein gebogener Vorläufer des Sierpiński-Dreiecks aus dem 20. Jahrhundert . Die apollinische Dichtung hat auch tiefe Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik; zum Beispiel ist es die Grenzmenge der Kleinschen Gruppen .

Die Konfiguration eines Kreises tangential zu vier Kreisen in der Ebene hat besondere Eigenschaften, die von Larmor (1891) und Lachlan (1893) erläutert wurden. Eine solche Konfiguration ist auch die Grundlage für den Satz von Casey , selbst eine Verallgemeinerung des Satzes von Ptolemäus .

Die Erweiterung des Apollonius-Problems auf drei Dimensionen, nämlich das Problem, eine fünfte Sphäre zu finden, die vier gegebene Sphären tangiert, kann durch analoge Methoden gelöst werden. Die Größe der gegebenen und der Lösungskugeln kann beispielsweise so geändert werden, dass eine gegebene Kugel unter Beibehaltung der Tangentialität auf einen Punkt verkleinert wird. Die Umkehrung in diesem Punkt reduziert das Problem von Apollonius, eine Ebene zu finden, die drei gegebene Kugeln tangiert. Es gibt im Allgemeinen acht solcher Ebenen, die durch Umkehren der Inversion und der Größenänderung die Lösungen des ursprünglichen Problems werden. Dieses Problem wurde zuerst von Pierre de Fermat betrachtet , und im Laufe der Jahrhunderte wurden viele alternative Lösungsmethoden entwickelt.

Das Problem von Apollonius kann sogar auf d- Dimensionen erweitert werden, um die Hypersphären tangential zu einer gegebenen Menge von d + 1 Hypersphären zu konstruieren . Nach der Veröffentlichung von Frederick Soddys Neuableitung des Descartes-Theorems im Jahr 1936 lösten mehrere Personen (unabhängig) den gegenseitig tangentialen Fall, der Soddys Kreisen in d- Dimensionen entspricht.

Anwendungen

Die Hauptanwendung des Apolonius Problems, wie von Isaac Newton formuliert ist hyperbolische Trilateration , die einen von den zu bestimmen suchen Unterschiede in Entfernungen zu mindestens drei Punkte. Beispielsweise kann ein Schiff versuchen, seine Position aus den Unterschieden in den Ankunftszeiten von Signalen von drei synchronisierten Sendern zu bestimmen. Lösungen für das Problem von Apollonius wurden im Ersten Weltkrieg verwendet , um die Position eines Artilleriegeschützes aus dem Zeitpunkt zu bestimmen, zu dem ein Schuss an drei verschiedenen Positionen gehört wurde, und hyperbolische Trilateration ist das Prinzip, das vom Decca Navigator System und LORAN verwendet wird . In ähnlicher Weise kann der Standort eines Flugzeugs aus der Differenz der Ankunftszeiten seines Transpondersignals an vier Empfangsstationen bestimmt werden. Dieses Multilaterationsproblem entspricht der dreidimensionalen Verallgemeinerung des Apollonius-Problems und gilt für globale Navigationssatellitensysteme (siehe GPS#Geometrische Interpretation ). Es wird auch verwendet, um die Position von rufenden Tieren (wie Vögeln und Walen) zu bestimmen, obwohl das Problem von Apollonius nicht gilt, wenn die Schallgeschwindigkeit mit der Richtung variiert (dh das Übertragungsmedium ist nicht isotrop ).

Das Problem von Apollonius hat andere Anwendungen. In Book 1, 21 in seiner Proposition Principia , Isaac Newton verwendete seine Lösung des Problems APOLLONIOS in eine Umlaufbahn zu konstruieren Himmelsmechanik vom Zentrum der Anziehung und Beobachtungen der Tangenten an die Umlaufbahn zu momentaner entsprechenden Geschwindigkeit . Der Spezialfall des Apollonius-Problems, bei dem alle drei Kreise tangential sind, wird in der Hardy-Littlewood-Kreismethode der analytischen Zahlentheorie verwendet , um Hans Rademachers Kontur für die komplexe Integration zu konstruieren , die durch die Grenzen einer unendlichen Menge von Ford-Kreisen jeweils gegeben ist von denen mehrere andere berührt. Schließlich wurde das Problem von Apollonius auf einige Arten von Verpackungsproblemen angewendet , die in unterschiedlichen Bereichen auftreten, wie beispielsweise die Fehlerkorrekturcodes auf DVDs und das Design von Arzneimitteln, die ein bestimmtes Enzym eines pathogenen Bakteriums binden .

Siehe auch

• Apollonius-Punkt
• Satz von Apollonius
• Isodynamischer Punkt eines Dreiecks

Verweise

Weiterlesen

• Boyd, DW (1973). „Die oskulatorische Packung einer dreidimensionalen Kugel“. Kanadisches Journal für Mathematik . 25 (2): 303–322. doi : 10.4153/CJM-1973-030-5 .
• Callandreau, douard (1949). Célèbres problèmes mathématiques (auf Französisch). Paris: Albin Michel. S. 219–226. OCLC  61042170 .
• Camerer, JG (1795). Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manualis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis Beobachtungibus, Computationibus, ac problematis Apolloniani historia (in Latein). Gothae: Ettinger.
• Gisch D, Ribando JM (2004). "Apollonius' Problem: Eine Studie über Lösungen und ihre Verbindungen" (PDF) . American Journal of Undergraduate Research . 3 : 15–25. doi : 10.33697/ajur.2004.010 .
• Pappus von Alexandria (1933). Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique (auf Französisch). Paris. OCLC  67245614 . Übers., Introd. und Anmerkungen von Paul Ver Eecke.
• Simon, M (1906). Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert (auf Deutsch). Berlin: Teubner. S. 97–105.
• Wells, D. (1991). Das Pinguin-Wörterbuch der neugierigen und interessanten Geometrie . New York: Pinguinbücher. S.  3–5 . ISBN 0-14-011813-6.

Externe Links

• "Fragen Sie Dr. Math Lösung" . Matheforum . Abgerufen 2008-05-05 .
• Weisstein, Eric W. "Apollonius' Problem" . MathWorld .
• "Apollonius' Problem" . Schneiden Sie den Knoten . Abgerufen 2008-05-05 .
• Kunkel, Paul. "Tangente Kreise" . Whistler-Gasse . Abgerufen 2008-05-05 .
• Austin, David (März 2006). "Wenn Küssen Trigonometrie beinhaltet" . Feature-Kolumne auf der Website der American Mathematical Society . Abgerufen 2008-05-05 .